江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高二上学期期中数学（文）试题（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高二上学期期中数学（文）试题（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 186.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-10-25 17:25:44 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）
一、填空题
1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是 ．
2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 ．
3．双曲线﹣=1的实轴长为 ．
4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是 ．
5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是 ．
6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有 条公切线．
7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为 ．
8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是 ．
9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为 ．
10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米．
11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为 ．
12．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值范围是 ．
13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是 ．
14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是 ．
二、解答题
15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．
16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．
17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？
18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．
（1）求证：抛物线与直线相交；
（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．
19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；
（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．
2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是 6π ．
【考点】圆的一般方程．
【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．
【分析】求出圆的半径，即可求解圆的周长．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9，
圆的半径为：3．
圆的周长为：6π．
故答案为：6π
【点评】本题考查圆的方程的应用，是基础题．
2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 7 ．
【考点】椭圆的定义．
【专题】计算题．
【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．
【解答】解：椭圆的长轴长为10
根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3
∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7
故答案为：7
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．
3．双曲线﹣=1的实轴长为 6 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】双曲线方程﹣=1中，由a2=9，能求出双曲线的实轴长．
【解答】解：双曲线方程﹣=1中，
∵a2=9，
∴双曲线的实轴长2a=2×3=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，双曲线的实轴长的求法，考查计算能力．
4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是 x+ ．
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；集合思想；数学模型法；直线与圆．
【分析】点是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为求得圆的切线方程．
【解答】解：∵把点代入圆x2+y2=4成立，
∴可知点是圆x2+y2=4上的一点，
则过的圆x2+y2=4的切线方程为，
即x+．
故答案为：x+．
【点评】本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为，此题是基础题．
5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是 （5，2） ．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P即为可行域中的点B，
联立，解得．
故答案为：（5，2）．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有 2 条公切线．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】分别求出两圆的半径和圆心距，由此得到两圆相交，从而能求出两公切线的条数．
【解答】解：∵圆C1：（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r1=2，
圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径r2=3，
|C1C2|=，
∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，
∴圆C1：（x+2）2+y2=4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9相交，
∴公切线有2条．
故答案为：2．
【点评】本题考查两圆的公切线的条数的求法，是基础题，解题时要注意两圆位置关系的合理运用．
7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为 y2=﹣4x或x2=y ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由于点（﹣1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），代入（﹣1，2），解方程可得m，n，进而得到抛物线的标准方程．
【解答】解：由于点（﹣1，2）在第二象限，
可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），
代入（﹣1，2），可得4=﹣m或1=2n，
解得m=﹣4或n=，
则抛物线的方程为y2=﹣4x或x2=y．
故答案为：y2=﹣4x或x2=y．
【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查解方程的运算能力，属于基础题．
8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是 1＜k＜3 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直接由题意可得5﹣k＞k﹣1＞0求得k的范围得答案．
【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴5﹣k＞k﹣1＞0，
∴1＜k＜3．
故答案为：1＜k＜3．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题．
9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，
故y=x经过点（1，2），可得b=2a，
故双曲线的离心率e====
故答案为：
【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．
10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 2 米．
【考点】抛物线的应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A（2，﹣2）代入x2=my，
得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，
故水面宽为2m．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题
的能力．
11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为 [﹣2，2）∪{2} ．
【考点】曲线与方程．
【专题】综合题；数形结合；数形结合法；综合法．
【分析】由题意可得直线y=x+b与半圆x2+y2=4（y≥0）有公共点，当直线过点A（2，0）时，求得
b的值；当直线和半圆相切于点B时，根据圆心到直线的距离等于半径求得b的值，数形结合从而得到b的取值范围．
【解答】解：由题意可得直线y=x+b与半圆x2+y2=4（y≥0）恰有1个公共点，
如图所示：当直线过点A（2，0）时，可得0=2+b，求得b=﹣2．
当直线和半圆相切于点B时，由圆心到直线的距离等于半径可得
=2，求得b=2，或b=﹣2（舍去），
故b的取值范围是[﹣2，2）∪{2}，
故答案为：[﹣2，2）∪{2}．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
12．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值范围是 [﹣1，] ．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合法；直线与圆；不等式．
【分析】直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直；求出k再求m，利用线性规划的知识进行求解即可．
【解答】解：由题意可知，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直，
∴k=1，圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心的横坐标为=，
圆心坐标（，）在直线x+y=0上，
∴m=﹣1，
即不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=，则z的几何意义为区域内的点（a，b）到定点）D（2，﹣2）的斜率，
由图象知，OD的斜率最小，此时z=﹣1，
BD的斜率最大，此时B（﹣1，0），
则z==，
即﹣1≤≤，
故答案为：[﹣1，]．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据直线和圆的位置关系求出k，m的值，以及利用数形结合是解决本题的关键．
13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a﹣c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．
【解答】解：设P到直线l的距离为d，
根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，
则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，
而|PF1|∈（a﹣c，a+c]，即2d=，
所以得到，由①得：
++2≥0，为任意实数；
由②得：
+3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），
所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．
故答案为：[，1）
【点评】此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．
14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是 x2﹣y2=1 ．
【考点】轨迹方程．
【专题】综合题；方程思想；综合法；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（a，a+1），则直线AE的方程为y=（x﹣1），与直线l2：x+y+1=0联立，可得B的坐标，进而可得线段AB的中点M的坐标，消去a，即可得到结论．
【解答】解：设A（a，a+1），则直线AE的方程为y=（x﹣1），
与直线l2：x+y+1=0联立，可得B（，﹣﹣1），
设M（x，y），则x=（a+），y=（a﹣），
消去a，可得x2﹣y2=1．
故答案为：x2﹣y2=1．
【点评】本题考查曲线方程，考查学生的计算能力，正确求出B的坐标是关键．
二、解答题
15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．
【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：，
由题意得a=2，c=1， b2=3，
∴所求椭圆的标准方程为．
（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b＞0）．
∴，，
又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，
∴所求双曲线标准方程为．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．
16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）求出半径，即可求出圆C的方程．
（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1，当l的斜率不存在时，l：x=3成立；若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），由d=1，求出k，由此能求出直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意，r=2，
∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4；
（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1
当l的斜率不存在时，l：x=3成立，
若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），
由d=1，得=1，解得k=﹣，
∴l：12x+5y﹣31=0．
综上，直线l的方程为x=3或12x+5y﹣31=0．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．
17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】转化思想；数学模型法；不等式．
【分析】先设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=7x+12y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．
【解答】解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，
则线性约束条件为，
目标函数为z=7x+12y，作出可行域如图，
作出一组平行直线7x+12y=t，
当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点B（20，24）时，
利润最大．
即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax=7×20+12×24=428（万元）．
【点评】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．
18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．
（1）求证：抛物线与直线相交；
（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；设而不求法；函数的性质及应用．
【分析】（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x，只需证明f（x）有解即可；
（2）设出交点坐标，利用根与系数得关系表示出x1+y1和x1 x2，带入弦长公式得到关于a得函数．求此函数的最值．
【解答】解：（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x=﹣x2+（a﹣2）x+，
则△=（a﹣2）2+2≥2．∴f（x）有两个不相等的实数根．
∴抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x相交．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+y1=a﹣2，x1 x2=﹣．
∴|AB|===．
∵a∈（1，4），∴2≤（a﹣2）2+2＜6．
∴≤|AB|＜．
【点评】本题考查了二次函数零点的存在性判断，弦长公式应用，设而不求是常用方法之一．
19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；
（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】方程思想；不等式的解法及应用；直线与圆．
【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，点与圆的位置关系即可求出a的取值范围；
（2）利用PM=PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，
则圆心C（﹣1，2），半径r=，
∵弦AB的中点为M（0，1）．
∴点M在圆内部，即＜，
∴5﹣a＞2，即a＜3．
∵弦的中点为M（0，1）．
∴直线CM的斜率k==﹣1，
则直线l的斜率k=1，
则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．
（2）设P（x，y），由|PM|=|PN|，
可得= ，
化简可得，x2+（y+5）2=12，
即为P的轨迹为圆心（0，﹣5），半径为2的圆．
据题意：两个圆相交：|﹣2|＜＜+2，
解得﹣57﹣20＜a＜﹣57+20，且﹣57+20＜3，
则实数a的取值范围是（﹣57﹣20，﹣57+20）．
【点评】本题主要考查直线和圆的方程的应用，同时考查点与圆及圆与圆的位置关系，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；作图题；证明题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意得，从而解椭圆的方程；
（2）由题意作图辅助，设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），设直线PN：y=kx﹣8k，从而联立化简可得（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，从而可得x1+x2=，x1x2=；假设存在定点D（d，0），从而可得=，从而化简d=+x1===2．
【解答】解：（1）由题意得，
，
解得，a=4，c=2，故b=2；
故椭圆的方程为+=1；
（2）证明：由题意作图象右图，
设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），
易知直线PN的斜率存在，设直线PN：y=kx﹣8k，
联立方程得，
，
化简可得，（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，
故x1+x2=，x1x2=；
假设存在定点D（d，0），
则=，
即，d=+x1
=+x1
=
=
==2；
故直线ME与x轴相交于定点（2，0）．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用及数形结合的思想应用，关键在于化简运算．
一、填空题
1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是 ．
2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 ．
3．双曲线﹣=1的实轴长为 ．
4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是 ．
5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是 ．
6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有 条公切线．
7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为 ．
8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是 ．
9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为 ．
10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米．
11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为 ．
12．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值范围是 ．
13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是 ．
14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是 ．
二、解答题
15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．
16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．
17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？
18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．
（1）求证：抛物线与直线相交；
（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．
19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；
（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．
2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是 6π ．
【考点】圆的一般方程．
【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．
【分析】求出圆的半径，即可求解圆的周长．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9，
圆的半径为：3．
圆的周长为：6π．
故答案为：6π
【点评】本题考查圆的方程的应用，是基础题．
2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 7 ．
【考点】椭圆的定义．
【专题】计算题．
【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．
【解答】解：椭圆的长轴长为10
根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3
∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7
故答案为：7
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．
3．双曲线﹣=1的实轴长为 6 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】双曲线方程﹣=1中，由a2=9，能求出双曲线的实轴长．
【解答】解：双曲线方程﹣=1中，
∵a2=9，
∴双曲线的实轴长2a=2×3=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，双曲线的实轴长的求法，考查计算能力．
4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是 x+ ．
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；集合思想；数学模型法；直线与圆．
【分析】点是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为求得圆的切线方程．
【解答】解：∵把点代入圆x2+y2=4成立，
∴可知点是圆x2+y2=4上的一点，
则过的圆x2+y2=4的切线方程为，
即x+．
故答案为：x+．
【点评】本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为，此题是基础题．
5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是 （5，2） ．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P即为可行域中的点B，
联立，解得．
故答案为：（5，2）．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有 2 条公切线．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】分别求出两圆的半径和圆心距，由此得到两圆相交，从而能求出两公切线的条数．
【解答】解：∵圆C1：（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r1=2，
圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径r2=3，
|C1C2|=，
∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，
∴圆C1：（x+2）2+y2=4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9相交，
∴公切线有2条．
故答案为：2．
【点评】本题考查两圆的公切线的条数的求法，是基础题，解题时要注意两圆位置关系的合理运用．
7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为 y2=﹣4x或x2=y ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由于点（﹣1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），代入（﹣1，2），解方程可得m，n，进而得到抛物线的标准方程．
【解答】解：由于点（﹣1，2）在第二象限，
可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），
代入（﹣1，2），可得4=﹣m或1=2n，
解得m=﹣4或n=，
则抛物线的方程为y2=﹣4x或x2=y．
故答案为：y2=﹣4x或x2=y．
【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查解方程的运算能力，属于基础题．
8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是 1＜k＜3 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直接由题意可得5﹣k＞k﹣1＞0求得k的范围得答案．
【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴5﹣k＞k﹣1＞0，
∴1＜k＜3．
故答案为：1＜k＜3．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题．
9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，
故y=x经过点（1，2），可得b=2a，
故双曲线的离心率e====
故答案为：
【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．
10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 2 米．
【考点】抛物线的应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A（2，﹣2）代入x2=my，
得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，
故水面宽为2m．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题
的能力．
11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为 [﹣2，2）∪{2} ．
【考点】曲线与方程．
【专题】综合题；数形结合；数形结合法；综合法．
【分析】由题意可得直线y=x+b与半圆x2+y2=4（y≥0）有公共点，当直线过点A（2，0）时，求得
b的值；当直线和半圆相切于点B时，根据圆心到直线的距离等于半径求得b的值，数形结合从而得到b的取值范围．
【解答】解：由题意可得直线y=x+b与半圆x2+y2=4（y≥0）恰有1个公共点，
如图所示：当直线过点A（2，0）时，可得0=2+b，求得b=﹣2．
当直线和半圆相切于点B时，由圆心到直线的距离等于半径可得
=2，求得b=2，或b=﹣2（舍去），
故b的取值范围是[﹣2，2）∪{2}，
故答案为：[﹣2，2）∪{2}．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
12．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值范围是 [﹣1，] ．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合法；直线与圆；不等式．
【分析】直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直；求出k再求m，利用线性规划的知识进行求解即可．
【解答】解：由题意可知，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直，
∴k=1，圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心的横坐标为=，
圆心坐标（，）在直线x+y=0上，
∴m=﹣1，
即不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=，则z的几何意义为区域内的点（a，b）到定点）D（2，﹣2）的斜率，
由图象知，OD的斜率最小，此时z=﹣1，
BD的斜率最大，此时B（﹣1，0），
则z==，
即﹣1≤≤，
故答案为：[﹣1，]．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据直线和圆的位置关系求出k，m的值，以及利用数形结合是解决本题的关键．
13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a﹣c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．
【解答】解：设P到直线l的距离为d，
根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，
则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，
而|PF1|∈（a﹣c，a+c]，即2d=，
所以得到，由①得：
++2≥0，为任意实数；
由②得：
+3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），
所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．
故答案为：[，1）
【点评】此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．
14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是 x2﹣y2=1 ．
【考点】轨迹方程．
【专题】综合题；方程思想；综合法；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（a，a+1），则直线AE的方程为y=（x﹣1），与直线l2：x+y+1=0联立，可得B的坐标，进而可得线段AB的中点M的坐标，消去a，即可得到结论．
【解答】解：设A（a，a+1），则直线AE的方程为y=（x﹣1），
与直线l2：x+y+1=0联立，可得B（，﹣﹣1），
设M（x，y），则x=（a+），y=（a﹣），
消去a，可得x2﹣y2=1．
故答案为：x2﹣y2=1．
【点评】本题考查曲线方程，考查学生的计算能力，正确求出B的坐标是关键．
二、解答题
15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．
【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：，
由题意得a=2，c=1， b2=3，
∴所求椭圆的标准方程为．
（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b＞0）．
∴，，
又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，
∴所求双曲线标准方程为．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．
16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）求出半径，即可求出圆C的方程．
（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1，当l的斜率不存在时，l：x=3成立；若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），由d=1，求出k，由此能求出直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意，r=2，
∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4；
（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1
当l的斜率不存在时，l：x=3成立，
若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），
由d=1，得=1，解得k=﹣，
∴l：12x+5y﹣31=0．
综上，直线l的方程为x=3或12x+5y﹣31=0．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．
17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】转化思想；数学模型法；不等式．
【分析】先设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=7x+12y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．
【解答】解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，
则线性约束条件为，
目标函数为z=7x+12y，作出可行域如图，
作出一组平行直线7x+12y=t，
当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点B（20，24）时，
利润最大．
即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax=7×20+12×24=428（万元）．
【点评】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．
18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．
（1）求证：抛物线与直线相交；
（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；设而不求法；函数的性质及应用．
【分析】（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x，只需证明f（x）有解即可；
（2）设出交点坐标，利用根与系数得关系表示出x1+y1和x1 x2，带入弦长公式得到关于a得函数．求此函数的最值．
【解答】解：（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x=﹣x2+（a﹣2）x+，
则△=（a﹣2）2+2≥2．∴f（x）有两个不相等的实数根．
∴抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x相交．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+y1=a﹣2，x1 x2=﹣．
∴|AB|===．
∵a∈（1，4），∴2≤（a﹣2）2+2＜6．
∴≤|AB|＜．
【点评】本题考查了二次函数零点的存在性判断，弦长公式应用，设而不求是常用方法之一．
19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；
（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】方程思想；不等式的解法及应用；直线与圆．
【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，点与圆的位置关系即可求出a的取值范围；
（2）利用PM=PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，
则圆心C（﹣1，2），半径r=，
∵弦AB的中点为M（0，1）．
∴点M在圆内部，即＜，
∴5﹣a＞2，即a＜3．
∵弦的中点为M（0，1）．
∴直线CM的斜率k==﹣1，
则直线l的斜率k=1，
则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．
（2）设P（x，y），由|PM|=|PN|，
可得= ，
化简可得，x2+（y+5）2=12，
即为P的轨迹为圆心（0，﹣5），半径为2的圆．
据题意：两个圆相交：|﹣2|＜＜+2，
解得﹣57﹣20＜a＜﹣57+20，且﹣57+20＜3，
则实数a的取值范围是（﹣57﹣20，﹣57+20）．
【点评】本题主要考查直线和圆的方程的应用，同时考查点与圆及圆与圆的位置关系，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；作图题；证明题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意得，从而解椭圆的方程；
（2）由题意作图辅助，设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），设直线PN：y=kx﹣8k，从而联立化简可得（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，从而可得x1+x2=，x1x2=；假设存在定点D（d，0），从而可得=，从而化简d=+x1===2．
【解答】解：（1）由题意得，
，
解得，a=4，c=2，故b=2；
故椭圆的方程为+=1；
（2）证明：由题意作图象右图，
设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），
易知直线PN的斜率存在，设直线PN：y=kx﹣8k，
联立方程得，
，
化简可得，（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，
故x1+x2=，x1x2=；
假设存在定点D（d，0），
则=，
即，d=+x1
=+x1
=
=
==2；
故直线ME与x轴相交于定点（2，0）．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用及数形结合的思想应用，关键在于化简运算．
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