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上篇
主题通关
主题2 能量与动量
微主题5 功和能
内容索引
活动一 问题导忆
活动二 知识内化
活动三 真题引领
活动四 典题悟理
新 情 境
活动一 问题导忆
结合教材与《考前回归》，回答下列问题：
1. 功的计算公式是什么？式中确定位移时选取的参考系是什么？
2. 瞬时功率的表达式是什么？如何计算抛体运动中重力的瞬时功率？
3. 动能定理的内容是什么？
4. 机械能守恒的条件是什么？
5. 动能的变化、重力势能的变化、弹簧弹性势能的变化、机械能的变化分别对应什么力做功？
6. 如何计算摩擦生热？
活动二 知识内化
1 功
(1) 恒力做功的计算式
W＝__________(α是F与位移l方向的夹角)．
(2) 恒力所做总功的计算式
W总＝__________或W总＝_____________.
Flcos α
F合lcos α
W1＋W2＋…
2 功率
(1) 计算功率的两个公式：P＝____，P＝Fv cos α(α为F与v的夹角)．
(2) 机车启动类问题中的“临界点”(如图所示)
①全程最大速度的临界点为Ff＝____；
②匀加速运动的最后点为________＝ma，此时瞬
时功率等于额定功率P额；
③在匀加速过程中的某点有________＝ma1；
④在变加速运动过程中的某点有________＝ma2.
3 动能定理：W总＝__________.
4 机械能守恒定律的三种表达方式
(2) 能量转化：ΔEk(增)＝ΔEp(减)．
(3) 研究对象：ΔEA＝－ΔEB.
Ek2－Ek1
5 几种常见的功能关系
做功 能量变化 功能关系
重力做功WG 重力势能变化ΔEp WG＝______
弹力做功W弹 弹性势能变化ΔEp W弹＝______
合外力做功W合 动能变化ΔEk W合＝______
除重力和弹力之外其他力做功W其 机械能变化ΔE W其＝______
系统克服滑动摩擦力与介质阻力做功Ffs相对 系统内能变化ΔE内 Ffs相对＝______
电场力做功WAB＝qUAB 电势能变化ΔEp WAB＝______
－ΔEp
－ΔEp
ΔEk
ΔE
ΔE内
－ΔEp
活动三 真题引领
考向1 功和功率
1 [2025山东卷]一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为50%.已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力f＝kv(k为常量)，该光伏电池的光电转换效率为η，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为( )
点拨·拓展·感悟
考查小车平衡条件下的能量转换关系、功率公式、效率公式．
感悟：______________
____________________________________________________________________________________________________
A
2 [2023江苏卷节选]如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°.平台BC与缓冲坡CD相连．若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点．滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出．已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，不计空气阻力．
(1) 求滑雪者从B点飞出
的速度大小v；
(2) 若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L.
考查动能定理、牛顿第二定律的应用、斜抛运动的性质．对于斜抛运动，可将运动分解处理，分运动均有独立性和等时性．
感悟：____________
____________________________________
3 [2024全国甲卷]如图所示，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点．则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小( )
A. 在Q点最大
B. 在Q点最小
C. 先减小后增大
D. 先增大后减小
考查机械能守恒定律、牛顿定律的综合运用，正确受力分析是解题的关键．
感悟：_______
__________________________
C
考向4 功能关系的应用
4 [2024江苏卷]某重力储能系统的简化模型如图所示，长度为L、倾角为θ的斜坡ABCD上，有一质量为m的重物通过绳索与电动机连接．在电动机的牵引下，重物从斜坡底端A点由静止开始运动，到达B点时速度达到最大值v，然后重物被匀速拉到C点，此时关闭电动机，重物恰好能滑至顶端D点，系统储存机械能．已知绳索与斜坡平行，重物
与斜坡间的动摩擦因数为μ，重力
加速度为g，不计空气阻力和滑轮
摩擦．
考查功能关系与能量守恒定律的应用、功率的计算，分析多种能量的转化过程，根据能量守恒定律确定等量关系．
感悟：__________
________________________________________________
(1) 求CD的长度x；
(2) 求重物从B到C过程中，电动机的输出功率P；
(3) 若不计电动机的损耗，求在整个上升过程中，系统存储的机械能E1和电动机消耗的电能E2的比值．
(2) 重物在BC段匀速运动，得电动机的牵引力为F＝mgsin θ＋μmgcos θ，
由P＝Fv得P＝mgv(sin θ＋μcos θ)．
(3) 全过程中重物增加的机械能为E1＝mgLsin θ，
整个过程中由能量守恒得电动机消耗的总电能转化为重物增加的机械能和摩擦产生的内能，故可知E2＝E1＋μmgcos θ·L，
活动四 典题悟理
考向1 功和功率
[2025南通海安高级中学]汽车定速巡航行驶(速度大小不变)，通过如图所示的路段，1、2上坡，3、4下坡，路面对汽车的摩擦阻力和空气阻力大小恒定，汽车经过1、2、3、4位置时发动机的功率( )
A. P1>P3 B. P1＝P4
C. P2
点拨·拓展·感悟
利用公式P＝Fvcos α求瞬时功率时，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角．
1
A
【解析】设汽车所处位置切线与水平面夹角为θ，根据题意，汽车经过上坡阶段，有P上＝F上v＝(mgsin θ＋f)v，由于θ1<θ2，所以P1考向2 动能定理的应用
[2025南京二模]如图甲所示，倾角为θ、长为2l的斜面AC，AB段光滑，BC段粗糙，且AB＝BC＝l.质量为m的小物体由A处静止释放，到C点恰好停下，BC段动摩擦因数自上而下逐渐增大，具体变化如图乙所示，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
应用动能定理解题时，不必深究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程初末的动能，计算时要把各力所做的功连同正负号一同代入公式．
笔记：______________
____________________
2
甲
乙
B
A. 动摩擦因数最大值μm＝2tan θ
C. 重力在AB、BC两段路面上做功不相等
D. 重力在AB段中间时刻瞬时功率等于在BC段中间时刻瞬时功率
考向3 机械能守恒定律
[2025南通调研]如图所示，竖直平面内两个小球A、B固定在一根轻质直角尺的两端，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴．开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方．让该系统由静止开始自由转动，直到
B运动到最高点过程中( )
A. 释放瞬间杆对A没有作
用力
B. 释放瞬间杆对B的作用力方向水平向左
C. 在加速阶段，杆对B做功的功率等于A克服杆的作用力做功的功率
D. 在减速阶段，A、B减小的动能等于B增大的重力势能
应用机械能守恒定律解题时，要正确选择系统和过程，对于通过绳或杆连接的多个物体组成的系统，注意找物体间的速度关系和高度变化关系，链条、液柱类不能看作质点的物体，要按重心位置确定高度．
笔记：____________
__________________
3
C
【解析】以两个小球A、B为系统，由于只有重力对系统做功，系统满足机械能守恒，则在加速阶段，小球B增加的机械能等于A减少的机械能，根据功能关系可知，杆对B做功的功率等于A克服杆的作用力做功的功率，C正确；释放瞬间，由于球A的机械能减小，所以杆对A要做负功，杆对A有作用力，释放瞬间杆对B的作用力有水平向左的分力，还有竖直向上的分力，所以杆对B的作用力方向斜向上偏左，A、B错误；在减速阶段，根据系统机械能守恒可知，A、B减小的动能等于A、B系统增大的重力势能，D错误．
功能关系的选用原则
(1) 总的原则是根据做功与能量转化的一一对应关系，确定所选用的定理或规律，若只涉及动能的变化，用动能定理分析．
(2) 只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析．
(3) 只涉及机械能的变化，用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
4
A
新 情 境
1 如图所示，高速公路上汽车定速巡航(即保持汽车的速率不变)，忽略空气阻力和摩擦阻力大小的变化，汽车沿拱形路面上坡的过程中发动机的输出功率( )
A. 保持不变 B. 逐渐减小
C. 逐渐增大 D. 先增大后减小
【解析】设汽车速度方向与水平方向的夹角为θ，根据题意可得汽车的牵引力大小为F＝mgsin θ＋f，汽车沿拱形路面上坡的过程中，θ减小，所以牵引力减小，根据功率的计算公式P＝Fv可知，功率逐渐减小，B正确．
2
1
B
2 如图所示，拉动齿条可使玩具陀螺转动起来．设每次拉出齿条的长度都相同，则( )
A. 转动过程中，陀螺上各点线速度大小相等
B. 拉力做功大小与陀螺质量有关
C. 拉力F做功全部转化为陀螺的动能
D. 拉力F越大，拉力F的功率就越大
2
1
D
【解析】转动过程中，陀螺上各点角速度相等，半径不同，由v＝ωr，可知各点线速度大小不相等，A错误；由功的公式W＝Flcos α可知，拉力做功大小与拉力大小、在拉力方向上发生的位移大小有关，与陀螺质量无关，B错误；拉力做功转化为陀螺的动能和摩擦产生的内能，C错误；因每次拉出齿条的长度都相同，如果拉力越大，拉力做功越多，陀螺的动能越大，即获得的速度越大，由功率P＝Fv可知，F的功率越大，D正确．
2
1
谢谢观看
Thank you for watching微主题5 功和能
结合教材与《考前回归》，回答下列问题：
1. 功的计算公式是什么？式中确定位移时选取的参考系是什么？
2. 瞬时功率的表达式是什么？如何计算抛体运动中重力的瞬时功率？
3. 动能定理的内容是什么？
4. 机械能守恒的条件是什么？
5. 动能的变化、重力势能的变化、弹簧弹性势能的变化、机械能的变化分别对应什么力做功？
6. 如何计算摩擦生热？
1 功
(1) 恒力做功的计算式
W＝________(α是F与位移l方向的夹角).
(2) 恒力所做总功的计算式
W总＝________或W总＝________________．
2 功率
(1) 计算功率的两个公式：P＝________，P＝Fv cos α(α为F与v的夹角).
(2) 机车启动类问题中的“临界点”(如图所示)
①全程最大速度的临界点为Ff＝________；
②匀加速运动的最后点为________＝ma，此时瞬时功率等于额定功率P额；
③在匀加速过程中的某点有________＝ma1；
④在变加速运动过程中的某点有________＝ma2.
3 动能定理：W总＝________．
4 机械能守恒定律的三种表达方式
(1) 始末状态：mgh1＋mv＝________________．
(2) 能量转化：ΔEk(增)＝ΔEp(减).
(3) 研究对象：ΔEA＝－ΔEB.
5 几种常见的功能关系
做功 能量变化 功能关系
重力做功WG 重力势能变化ΔEp WG＝________
弹力做功W弹 弹性势能变化ΔEp W弹＝________
合外力做功W合 动能变化ΔEk W合＝________
除重力和弹力之外其他力做功W其 机械能变化ΔE W其＝________
系统克服滑动摩擦力与介质阻力做功Ffs相对 系统内能变化ΔE内 Ffs相对＝________
电场力做功WAB＝qUAB 电势能变化ΔEp WAB＝________
点拨·拓展·感悟
考向1 功和功率
1 [2025山东卷]一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为50%.已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力f＝kv(k为常量)，该光伏电池的光电转换效率为η，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为( )
A. B. C. D.
考查小车平衡条件下的能量转换关系、功率公式、效率公式．
考向2 动能定理的应用
2 [2023江苏卷节选]如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°.平台BC与缓冲坡CD相连．若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点．滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出．已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，不计空气阻力．
(1) 求滑雪者从B点飞出的速度大小v；
(2) 若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L.
考查动能定理、牛顿第二定律的应用、斜抛运动的性质．对于斜抛运动，可将运动分解处理，分运动均有独立性和等时性．
考向3 机械能守恒定律
3 [2024全国甲卷]如图所示，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点．则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小( )
A. 在Q点最大 B. 在Q点最小
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
考查机械能守恒定律、牛顿定律的综合运用，正确受力分析是解题的关键．
考向4 功能关系的应用
4 [2024江苏卷]某重力储能系统的简化模型如图所示，长度为L、倾角为θ的斜坡ABCD上，有一质量为m的重物通过绳索与电动机连接．在电动机的牵引下，重物从斜坡底端A点由静止开始运动，到达B点时速度达到最大值v，然后重物被匀速拉到C点，此时关闭电动机，重物恰好能滑至顶端D点，系统储存机械能．已知绳索与斜坡平行，重物与斜坡间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力和滑轮摩擦．
(1) 求CD的长度x；
(2) 求重物从B到C过程中，电动机的输出功率P；
(3) 若不计电动机的损耗，求在整个上升过程中，系统存储的机械能E1和电动机消耗的电能E2的比值．
考查功能关系与能量守恒定律的应用、功率的计算，分析多种能量的转化过程，根据能量守恒定律确定等量关系．
点拨·拓展·感悟
考向1 功和功率
[2025南通海安高级中学]汽车定速巡航行驶(速度大小不变)，通过如图所示的路段，1、2上坡，3、4下坡，路面对汽车的摩擦阻力和空气阻力大小恒定，汽车经过1、2、3、4位置时发动机的功率( )
A. P1>P3 B. P1＝P4
C. P2利用公式P＝Fv cos α求瞬时功率时，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角．
考向2 动能定理的应用
[2025南京二模]如图甲所示，倾角为θ、长为2l的斜面AC，AB段光滑，BC段粗糙，且AB＝BC＝l.质量为m的小物体由A处静止释放，到C点恰好停下，BC段动摩擦因数自上而下逐渐增大，具体变化如图乙所示，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
甲 乙
A. 动摩擦因数最大值μm＝2tan θ
B. 小物块的最大速度为
C. 重力在AB、BC两段路面上做功不相等
D. 重力在AB段中间时刻瞬时功率等于在BC段中间时刻瞬时功率
应用动能定理解题时，不必深究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程初末的动能，计算时要把各力所做的功连同正负号一同代入公式．
考向3 机械能守恒定律
[2025南通调研]如图所示，竖直平面内两个小球A、B固定在一根轻质直角尺的两端，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴．开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方．让该系统由静止开始自由转动，直到B运动到最高点过程中( )
A. 释放瞬间杆对A没有作用力
B. 释放瞬间杆对B的作用力方向水平向左
C. 在加速阶段，杆对B做功的功率等于A克服杆的作用力做功的功率
D. 在减速阶段，A、B减小的动能等于B增大的重力势能
应用机械能守恒定律解题时，要正确选择系统和过程，对于通过绳或杆连接的多个物体组成的系统，注意找物体间的速度关系和高度变化关系，链条、液柱类不能看作质点的物体，要按重心位置确定高度．
考向4 功能关系的应用
[2025镇江丹阳调研]如图所示，一个质量为m的物体，从倾角为30°的固定斜面上高度为h处由静止开始下滑，其运动的加速度为，则物体在斜面上下滑高度h这个过程中( )
A. 物体的动能增加了mgh
B. 物体的机械能减少了mgh
C. 物体的重力势能减少了mgh
D. 物体的克服阻力做了mgh的功
功能关系的选用原则
(1) 总的原则是根据做功与能量转化的一一对应关系，确定所选用的定理或规律，若只涉及动能的变化，用动能定理分析．
(2) 只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析．
(3) 只涉及机械能的变化，用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
1 如图所示，高速公路上汽车定速巡航(即保持汽车的速率不变)，忽略空气阻力和摩擦阻力大小的变化，汽车沿拱形路面上坡的过程中发动机的输出功率( )
A. 保持不变 B. 逐渐减小 C. 逐渐增大 D. 先增大后减小
2 如图所示，拉动齿条可使玩具陀螺转动起来．设每次拉出齿条的长度都相同，则( )
A. 转动过程中，陀螺上各点线速度大小相等
B. 拉力做功大小与陀螺质量有关
C. 拉力F做功全部转化为陀螺的动能
D. 拉力F越大，拉力F的功率就越大
微主题5 功和能
活动二
1 (1) Fl cos α (2) F合l cos α W1＋W2＋…
2 (1) (2) ① ②－Ff ③－Ff ④－Ff
3 Ek2－Ek1
4 (1) mgh2＋mv
5
WG＝－ΔEp
W弹＝－ΔEp
W合＝ΔEk
W其＝ΔE
Ffs相对＝ΔE内
WAB＝－ΔEp
活动三
1 A 根据题意，小车匀速运动，则有F＝f＝kv，小车的机械功率P机＝Fv＝kv2，由于电动机的效率为50%，则有P电＝＝＝2kv2，光伏电池的光电转换效率为η，即η＝×100%，可得P阳＝＝，A正确．
2 (1) 滑雪者从A到P根据动能定理有
mgd sin 45°－μmg·dcos 45°＝mv－0，
解得vP＝，
由于滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点，故从P点到B点合力做功为0，所以当从A点下滑时，到达B点有
vB＝vP＝.
(2) 当滑雪者刚好落在C点时，平台BC的长度最大；滑雪者从B点飞出做斜抛运动，竖直方向上有vB sin 45°＝g×，
水平方向上有L＝vB cos 45°·t，
联立可得L＝d(1－μ).
3 C 设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处(P点)与圆环的作用力恰好为零，如图所示，设图中夹角为θ，从大圆环顶端到P点过程，根据机械能守恒定律mgR(1－cos θ)＝mv2，在P点，根据牛顿第二定律mg cos θ＝m，联立解得cos θ＝，从大圆环顶端到P点过程，小环速度较小，小环重力沿着指向大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从P点到最低点过程中，小环速度变大，小环重力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大，C正确．
4 (1) 重物在CD段运动过程中，由动能定理得
－mgx sin θ－μmgx cos θ＝0－mv2，
解得x＝.
(2) 重物在BC段匀速运动，得电动机的牵引力为
F＝mg sin θ＋μmg cos θ，
由P＝Fv得P＝mgv(sin θ＋μcos θ).
(3) 全过程中重物增加的机械能为E1＝mgL sin θ，
整个过程中由能量守恒得电动机消耗的总电能转化为重物增加的机械能和摩擦产生的内能，故可知
E2＝E1＋μmg cos θ·L，
故可得＝＝.
活动四
【例1】 A 设汽车所处位置切线与水平面夹角为θ，根据题意，汽车经过上坡阶段，有P上＝F上v＝(mg sin θ＋f)v，由于θ1<θ2，所以P1【例2】 B 从A处静止释放，到C点恰好停下，根据动能定理可得mg·2l sin θ－Wf＝0，由图乙可知Wf＝μmmg cos θ·l，联立解得μm＝4tan θ，A错误；当摩擦力等于重力沿斜面向下的分力时，小物块的速度达到最大，此时有μmg cos θ＝mg sin θ，解得μ＝tan θ＝μm，由图乙可知，此时小物块在BC段下滑的距离为l，则从A处静止释放到最大速度过程，根据动能定理可得mg·sin θ－W′f＝mv－0，其中W′f＝μmg cos θ·＝mgl sin θ，解得最大速度为vm＝，B正确；由于AB、BC两段路面的长度相同，对应的高度相同，根据WG＝mgh，可知重力在AB、BC两段路面上做功相等，C错误；设小物块在B点的速度为vB，小物块在AB段做匀加速直线运动，则AB中间时刻速度为 v1＝＝，则重力在AB段中间时刻瞬时功率P＝mgv1sin θ＝，小物块在BC段不是做匀变速直线运动，所以BC段中间时刻速度v2≠＝，则重力在BC段中间时刻瞬时功率P′＝mgv2sin θ≠，D错误．
【例3】 C 以两个小球A、B为系统，由于只有重力对系统做功，系统满足机械能守恒，则在加速阶段，小球B增加的机械能等于A减少的机械能，根据功能关系可知，杆对B做功的功率等于A克服杆的作用力做功的功率，C正确；释放瞬间，由于球A的机械能减小，所以杆对A要做负功，杆对A有作用力，释放瞬间杆对B的作用力有水平向左的分力，还有竖直向上的分力，所以杆对B的作用力方向斜向上偏左，A、B错误；在减速阶段，根据系统机械能守恒可知，A、B减小的动能等于A、B系统增大的重力势能，D错误．
【例4】 A 设斜面摩擦力为f，结合题意根据牛顿第二定律有mg sin 30°－f＝，解得阻力f＝mg，下落h过程根据动能定理有mgh－f＝mv2，故得动能增量ΔEk＝mv2＝mgh，A正确；物体下落过程中克服阻力做功Wf＝f＝mgh，由功能关系得，机械能减少量为ΔE机减＝mgh，B、D错误；物体下降高度h，则重力势能减小了ΔEp＝mgh，C错误．
新情境
1 B 设汽车速度方向与水平方向的夹角为θ，根据题意可得汽车的牵引力大小为F＝mg sin θ＋f，汽车沿拱形路面上坡的过程中，θ减小，所以牵引力减小，根据功率的计算公式P＝Fv可知，功率逐渐减小，B正确．
2 D 转动过程中，陀螺上各点角速度相等，半径不同，由v＝ωr，可知各点线速度大小不相等，A错误；由功的公式W＝Fl cos α可知，拉力做功大小与拉力大小、在拉力方向上发生的位移大小有关，与陀螺质量无关，B错误；拉力做功转化为陀螺的动能和摩擦产生的内能，C错误；因每次拉出齿条的长度都相同，如果拉力越大，拉力做功越多，陀螺的动能越大，即获得的速度越大，由功率P＝Fv可知，F的功率越大，D正确．
