九年级数学上册试题 第22章 二次函数 期末复习题--二次函数与几何图形综合 --人教版（含答案）

第22章《二次函数》期末复习题--二次函数与几何图形综合
题型1 角度存在性问题
重难点一 已知特殊角求解
1．如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值．
(3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由．
2．如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标；
(3)对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线交x轴于A，B两点，顶点是C．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标．
(3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
重难点二 已知角度关系求解
4．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为．
(1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值；
(3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
5．抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______；
(2)连接，若，求点P的坐标；
(3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段上一动点，求周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
题型2 三角形存在性问题
重难点一 等腰三角形存在性问题（两动一定）
7．已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；
(3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标．
重难点二 等腰三角形存在性问题（一定两动）
8．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线的顶点坐标是，与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，平移后新抛物线的顶点是点，求的面积；
(3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于，且二次函数的最大值为4．
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)P是抛物线上一动点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点Q恰好在直线上 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
重难点三 直角三角形存在性问题
11．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
(3)若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离．
12．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B．
(1)若直线经过B，C两点，求直线解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标．
重难点四 等腰直角三角形存在性问题
13.如图，已知抛物线经过点、，过点作轴，交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点在线段下方的地物线上连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)将抛物线向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围；
(4)若是抛物线的对称轴上的一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点．

(1)求的面积；
(2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
(3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
15．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，当时，求的面积；
(3)当时，求点的坐标；
(4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
重难点五 全等三角形存在性问题
16．如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标．
17．如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线解析式及点D坐标；
(2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标；
(3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标．
18．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型3 特殊四边形存在性问题
重难点一 平行四边形存在性问题
19．已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)直线，且直线与抛物线只有一个交点．
①求直线的表达式；
②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标．
20．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标：
(3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
重难点二 矩形存在性问题
21．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值；
(3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标．
22．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标；
(3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．
重难点三 菱形存在性问题
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值；
(3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作 轴交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；
(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D
①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值．
②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
重难点四 正方形存在性问题
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标；
(3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标．
27．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中，，设点是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转，得到新的抛物线．
(1)求抛物线C的函数解析式；
(2)若抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
(3)如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线上的对应点，设M是C上的动点，N是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
题型4 其它存在性问题
28．如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值；
(3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
29．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由；
(3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果）
30．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合．
(1)写出点C的坐标为______；线段的长为______．
(2)写出的面积______．
(3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标．
31．已知二次函数的图象过点．
(1)求该二次函数表达式；
(2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为．
①当时，求点P的坐标；
②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
32．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由．
33．如图，抛物线．
(1)试说明：无论为何值，抛物线必经过某个定点．
(2)若抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，且满足．
①求的值．
②抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
34．如图，已知双曲线，抛物线和直线．设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为．
(1)若线段与线段的中点重合，求证：；
(2)是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由．
35．已知二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)点D是y轴上任意一点，连接，使得，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得最小，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知和是抛物线上任意两点，当时，求代数式的值．
参考答案
题型1 角度存在性问题
重难点一 已知特殊角求解
1．（1）解：∵，
∴，
将代入抛物线得∶，解得：，
∴抛物线的解析式为∶；
（2）解：当时，，
解得：，
∴B点的坐标为，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最大时，的周长最大，
设D点坐标为，
设直线的解析式为，
代入B点的坐标，得∶，解得，
∴直线的解析式为∶，
∴F点的坐标为
∴
∴当时，取最大值为
∴周长的最大值为，
（3）解：根据题意得：，
①以为边在x轴下方作等腰直角三角形，点Q为直角顶点，此时点Q在的垂直平分线上，且点Q到x轴的距离等于长度的一半，
∴，
以点Q为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求．
设点，根据勾股定理有∶
，
整理方程，得∶
即
设，则原方程为∶，
解得，，
∴当（与A，B重合，舍去）
当
∴点M的坐标为或；
②以为边在x轴上方作等腰直角三角形，点为直角顶点，同理点坐标为，
以点为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求．
设点，根据勾股定理有∶
整理方程，得∶
设，则原方程为∶，解得，
∴当（与A，B重合，舍去）
当
综上所述∶点M的坐标为或．
2．（1）解：函数的图像与轴相交于，
，
，
，
（2）解：假设存在点，过点作轴于点，
的面积等于6，
，
当，
，
解得：或3，
，
，
即，
解得：或（舍去）．
又顶点坐标为： 1.5，．
，
轴下方不存在点，
点的坐标为：；
（3）解：点的坐标为：，
，，
当，
，
设点横坐标为：，则纵坐标为：，
即，
解得 或（舍），
在抛物线上仅存在一点 ．
3．（1）解：由得顶点坐标为，
令得，
解得，
故．
综上所述，，．
（2）解：∵，，，
∴，，
∴
∴，
∵点P在抛物线上，
设，
∵，
∴，
∴，
∴或
解得，，
故点P的坐标为或或或．
（3）解：设在抛物线上存在点Q，使，且，根据题意，，得，
∵，
∴，
根据两点间距离公式得，
，（舍去），
故点Q的坐标为或．
重难点二 已知角度关系求解
4．（1）将点代入抛物线中
得
解得：
∴抛物线解析式为
∴顶点D坐标为；
（2）令
解得，
∴
∵P的横坐标为且
∴
∴将代入
∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为；
①如右图所示，当点P在x轴上方时，
则，即
此时：，
解得：，符合题意；
②如右图所示，当点P在x轴下方时，
则，即
此时：
解得：，（舍去）
③当点P在x轴上时，
则，即
此时：（或），解得：（舍去）
综上所述，或；
（3）存在点P，使，点P的坐标为
理由如下：
如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
设直线的解析式为，过，
∴直线的解析式为
∵
∴设直线的解析式为
将代入得
解得：
∴直线的解析式为
由
解得：，（舍去）
∴．
5．（1）解：令，则，
令，则，
解得：或，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图，连接，

设，
P是第一象限内抛物线上的一点，
，
则，
，
，
，
，
，即，
解得：或（舍去），
当时，，
∴点P的坐标为；
（3）解：存在点P使得，理由如下：
如图2，在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，

在中，
，
，
，
，
轴，
，
，
．
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立：，
解得：（舍去）或，
∴点P的坐标为．
6．（1）∵顶点D的坐标为，
设二次函数表达式为
将点代入得
∴抛物线M的表达式为：
当时，或1，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为
∴设直线的表达式为：
故解得
∴，
，
，
，
作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点
，
∴所在直线垂直于y轴，
关于的对称点，
∴点的坐标为，
∴点G的横坐标为
将代入得，
∴点G的坐标为，
∵，，
∴，
∴
即周长的最小值为；
（3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为
将点代入得：，
∴抛物线N的表达式为
∴顶点P的坐标为，
将代入，，
∴，
作于H，则，
∵
∴点H为点P和点Q的中点，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一个方程可得（舍），
解第二个方程可得（舍），
将代入P点坐标，
P的坐标为或．
题型2 三角形存在性问题
重难点一 等腰三角形存在性问题（两动一定）
7．（1）解：把，代入可得
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令可得，
解得
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴①或②，
解方程①得，方程②无解
∴；
（3）解：∵点是轴上一个动点，
∴设，
∵，，
∴，，，
∵为等腰三角形，
∴当时，，则，解得，此时或（舍去）；
当时，，则，解得，此时或；
当时，，则，解得，此时；
综上所述，存在使为等腰三角形，或或或．
重难点二 等腰三角形存在性问题（一定两动）
8．（1）解：将点，点代入，
∴，
解得，
∴．
（2）设点D的坐标为，
∵的面积为10，
∴，即，
解得．
①当时，，
解得：，，
∴D或．
②当时，，
此方程无实数根，
综上所述，点D的坐标为或．
（3）存在，
①当时，，
∴M点与A点重合，
∴；
②当时，，
如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线，过点P作交于点H，过点M作交于点G，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
设，则，
∴，解得或．
∴或．
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为．
如图2，当P点在M点下方时，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
设，则，
∴，解得（舍）或，
∴．
综上所述：M点的坐标为或或．
9．（1）解：∵抛物线的顶点坐标是
∴假设抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为，令，则，
解得，
即,
,
在中，利用勾股定理得，,
∴抛物线沿着射线方向平移个单位长度，可以看作向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，
此时，顶点的坐标为，
∴
∴的面积是2；
（3）解：存在
①如图所示，当点与点重合时，存在以为腰的等腰直角，
根据二次函数图象的性质，，
当时，
是等腰直角三角形，
所以，;
②当时，
当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，，
设，则，
，
解得：，，
点的坐标为或，
点在对称轴的左侧，
点的坐标为；
③如图，当点在点下方时，，过点作轴，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，，
，
，，
设，则，
，
解得：，，
点的坐标为或，
点在对称轴的左侧，
点的坐标为；
综上可得，点的坐标为或或．
10．（1）解：∵抛物线经过，二次函数的最大值为4，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：存在
过点P作轴的平行线，分别过点B和作的垂线，垂足分别为，如图，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，，
令，
∴，
解得或，
∴，
设，
∴，，
∴，
∵点Q恰好在直线上，
∴，
解得，
∴点P的坐标为或．
重难点三 直角三角形存在性问题
11．（1）解：把，代入得，
，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：如图：
由得抛物线对称轴为直线，
∵两点关于抛物线对轴对称，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴：，
作轴交于K点，
设，则，
∴
，
∴当时，最大为，
，
，且，
解得，
∴点P到直线的距离为．
12．（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，
∴，
设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，解得，
∴抛物线的解析式为：；
把，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，
把代入直线得，故，
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为；
（3）设，
∵，，
∴，
若点B为直角顶点时，则，
即，
解得；
若点C为直角顶点时，则，
即
解得，
若P为直角顶点时，则，
∴，
解得，
综上，点P的坐标为或或或．
重难点四 等腰直角三角形存在性问题
13．（1）∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）如图，过点P作轴交于点G，
设点，
∵平分，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
设直线的关系式为，
将点代入，得，
解得，
∴直线的关系式为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，
此时，
∴；
（3）由抛物线，
∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是．
抛物线向上平移h个单位长度后顶点坐标为．
设直线交于点M，交于点N，则．
如图，
∵直线的关系式为，
∴．
∵点Q在内，
∴，
解得；
（4）存在．设，分两种情况：
当点P在对称轴右侧，且在x轴下方时，
如图，过点P作，过点F作于点M，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即,
解得，
∵，不符合题意，舍去，
∴，
则，
∴；
当点P在对称轴右侧，且在x轴上方时，如图，
同理可得，
解得（舍），
∴点P的坐标是．
综上所述，点P的坐标是或．
14．（1）解：令，则，解得，，
∴点A，B的坐标为，，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴；
（2），
∴当时，n随m的增大而减小时；
（3）由（2）知当时，随的增大而增大，
∴点P在对称轴右侧，
过点作轴于点，点作轴于点，

则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
当时，即
解得： (舍去)，
当时，即 ，

解得： (舍去)，
∴点的坐标为或；
（4）当时，解得，
当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点，

当时， 如图，矩形除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有一个公共点；

，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去），
∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

令，则抛物线的顶点在上，这时，（舍去），
∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

综上所述，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，出m的取值范围为，，，，．
15．（1）解：把，点代入二次函数中得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵点是抛物线上的动点，，
∴，
∴，
设的解析式为：，与轴交于点，
把和代入得：，
∴，
∴的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
∴的面积；
（3）解：如图1，当点位于直线下方时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可求得的解析式为：，
∴，
解得：（舍），，
∴；
当点位于直线上方时，作轴于，于，
则，四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时，即．
综上，或．
（4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
由题意得：，
∵，
∴抛物线对称轴是直线，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（如图3），；
如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
同理可得：，
∴，
∴，
解得：，，
综上，的值是或．
重难点五 全等三角形存在性问题
16．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线的表达式为：；
（2）解：在中，当 时，，
∴，
当时，即，解得：，
俗，
，
设，则，
∵和全等，且，
∴，
，
或．
①当 时，点位于直线的右侧，
此时，，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴对应点的坐标为或．
②当 时，点位于直线的左侧，
此时，，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴对应点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或．
17．（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：如图1，设对称轴与轴交于点，
平分，
，
又，
，
，
．
由（1）可知对称轴为直线，则
在中，，．
，
；．
①当时，直线解析式为：，
联立得．
解得：，，
点在对称轴右侧的抛物线上运动，
，
②当时，直线解析式为：，
同理可求：，
综上所述：点的坐标为：或；
（3）解：由题意可知：，，，
，
，
，
直线经过，，
直线解析式为，
抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点，
坐标为；
，
设点坐标为，则，，
，
∴与全等，有两种情况，
当，，即时，
，
解得：，，
即点坐标为或．
当，，即时，
，
解得：，，
即点坐标为或．
综上所述，点P的坐标为或或或．
18．（1）解：将、代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
（2）令，
解得：或，即、，
抛物线的对称轴为，
∵，
∴当时，，
当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：，
故的取值范围为；
（3）存在
到轴的距离为，由图象可知，
则点在轴下方，点到轴的距离为，
当时，，
解得：或，
点的坐标为或．
∵关于x轴对称
∴与全等，
∵关于抛物线的对称轴对称
∴与全等
题型3 特殊四边形存在性问题
重难点一 平行四边形存在性问题
19．（1）解：将，代入抛物线解析式，得：
，
解得：，；
（2）解：①由（1）可知，抛物线解析式为：，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
将代入，得：
，
解得：，
∴，
∵直线，
∴设的表达式为：，
联立直线与抛物线，得：
，
整理，得：，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为：；
②存在，点的坐标为或或，
理由如下：
设直线与抛物线的交点为，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴直线的解析式为：，
∴不在直线上，
∴一定存在，
设，然后分三种情况讨论：
第一种情况：当四边形为平行四边形时，由平行四边形的性质可知，和互相平分，
又，，，
∴，，
∴，，
∴；
第二种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分，
∴，，
∴，，
∴；
第三种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分，
∴，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或或．
20．（1）解：抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的交点式为，
即抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：
由（1）知抛物线的表达式为，
抛物线与轴交于点，
设直线，
将、代入得，
解得，
直线，
点是抛物线上位于线段下方的一个动点，
设，则，
，
，
抛物线开口向下，当时，有最大值，
此时点的坐标为；
（3）解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下：
∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或或．
重难点二 矩形存在性问题
21．（1）解： 把，，分别代入得： ，
解得 ，
抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，
抛物线对称轴为直线，
点和点关于抛物线的对称轴对称，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得 ，
解得 ，
直线的解析式为
记于轴的交点为，
当时，，则，
，
为等腰直角三角形，
，
过作轴交于，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
当时，有最大值，
的最大值为：；
（3）解：如图，当在的右边，
记直线交轴于，，则，
设直线的解析式为，
把、分别代入得 ，
解得 ，
直线的解析式为，
当时，，则，
设，而四边形为矩形，
，
，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
如图，当在的左边，
同理可得：，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
综上：或．
22．（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线，
设，则，
当为矩形边时，可得或，
当时，则，即，
解得：，
则；
当时，则，即，
解得：，
则；
如图，当为矩形对角线时，
，四边形是矩形，
，
则，即，
解得：或，
则或；
综上：或或或．
（3）解：设直线的解析式为，则，解得：，
故直线的解析式为，
设，
作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示．
根据题意可得，
当时，，，故符合条件．
此时，，
解得：，
∴点的坐标为．
作于点，作点关于点的对称点．如图所示．
此时，则，故点符合条件．
根据题意，
∴，
∵，
∴，
过点作于H，
则，
∴，
∵点关于点N对称，
即点为线段的中点，
∴点的坐标为．
∴点的坐标为或．
重难点三 菱形存在性问题
23．（1）解：将，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
设，则，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为，
此时，
点的坐标为，的最大值为；
（3）解：存在．如图，
设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，，
，
解得，
或．
24．（1）解：设抛物线的表达式为，
因为抛物线与x轴交于点，，
所以，则抛物线的对称轴为直线．
（2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为，
设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得，
故直线的表达式为，
设点，则点，
则，
，故有最大值，当时，的最大值为．
（3）解：存在，理由如下：
当时，点，
设点，而点；
四边形是菱形，则，
即，解得：，
即点M的坐标为或．
25．（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：①当，
∴
设直线表达式为：，
∴，
解得：，
∴设直线表达式为，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，面积最大值为，
∴此时；
②存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，
此时，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．
重难点四 正方形存在性问题
26．（1）根据题意得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点D作直线于M，交直线于G，
∴轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B．
令，则，解得，，
令，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
由点B、C的坐标得，直线的解析式为，
设直线DM交x轴于N，，则，，
∴，，
∴，
∴的最大值为，此时点D的坐标为；
（3）如图，
根据旋转得抛物线过点，，，
∴，
设，
∵四边形正方形，
∴，，
∴，
过点H作轴于M，过点P作轴于N，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
∴，
∴P点的坐标为或，，
①当P点的坐标为时，
∵，，，四边形为正方形，
∴点K的坐标为；
②当P点的坐标为时，
∵，，，四边形为正方形，
∴点K的坐标为；
综上，存在，点K的坐标为或．
27．（1）解：由题意，把点、代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线C的函数解析式为：；
（2）解：如图1，由题意，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
由，
消去y得到：，
∵抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
∴，
解得：，
∴满足条件的m的取值范围为：；
（3）解：结论：四边形能成为正方形．
理由：情形1，如图2，作轴于E，轴于H．
设，
将代入得：，
解得：（负值舍去），
∴，
当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点M在上，
∴，
解得或（舍），
∴时，四边形是正方形．
情形2，如图，四边形是正方形，同法可得，
把代入中，，
解得或（舍去），
∴时，四边形是正方形．
综上，四边形能成为正方形，或．
题型4 其它存在性问题
28．（1）解：∵抛物线经过三点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接交于点P，
∵，
∴，是定值，
∴当最小时，的周长最小，
∵点A、B关于对称轴l对称，
∴，
∴，
∴的周长最小的最小值为，
∴，
∴，
∴的周长最小的最小值为；
（3）解：①∵，
∴顶点，
如图，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点E的横坐标为m，
∴点，
∵轴，
∴点，
∴，
∴四边形的面积
，
即；
②存在，
，
∵，
∴当时，S取得最大值，最大值为7，此时点．
29．（1）解：将点，代入，
解得：
∴此抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接，交直线于点，
∵关于直线对称，
∴，
的周长为，此时的周长最小，
∵，令，得，
∴，
设直线的解析式为，将点，代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周长的最小值为：；
（3）解：如图，过点作轴，交于点，设，则，
∴的面积为
，
当时，的面积最大
当时，
∴．
30．（1）解：∵，
∴当时，，
∴点C的坐标为，
当时，，
解得或，
∴，，
∴；
（2）解：∵点C的坐标为，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）解：设，
∵的面积等于的面积，
∴，
解得或或（舍去），
∴P的坐标或或．
31．（1）解：的图象过点，
，
，
解得：，
二次函数表达式为：；
（2）解：二次函数表达式为：，
二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点，
点，点，点，
设点，
，
，
①，
，
解得：（不合题意，舍去），，
点的坐标为；
②，
当时存在最大值，最大值为12.
32．（1）解：∵，在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：．
（2）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，，
设点坐标为，点Q坐标为，
①当为对角线时，，
解得：，
∴；
②当为对角线时，，
解得：，
∴；
③当为对角线时，，
解得：，
解得：，
综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或．
（3）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即，
设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则，
联立新抛物线与直线的解析式得：，
∴，
∴，，
，
同理，，
，
∵为定值，
∴，
解得：，
当时，，
∴定点的值为4．
33．（1）解：法一：当时，，
∴无论为何值，抛物线必经过定点．
法二：由，可得，
，
解得：，
∴无论为何值，抛物线必经过定点；
（2）①由题意，可知，，
∴，
∴，解得（舍去），，
∴点的坐标是．
把点代入，得，解得．
②∵，抛物线的表达式是．
如图，连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点，
则，
∵，
点的坐标是，
点的坐标是．
把代入，得，
点的坐标是．
设直线的表达式是，则，
解得，
∴直线的表达式是．
设直线的表达式是，
把点代入，
得，
∴直线的表达式是．
联立方程组，得，
解得，，
∴抛物线上存在点，使得，点的坐标是或；
34．（1）证明：设、、、．显然．
联立，得，
∴，．
联立，得，
∴，．
若线段与的中点重合，则．
∴；
（2）解：若A、B为线段的三等分点，则线段与的中点重合，且，
∴，
∴．且，
∴．
将代入上式得．
解得或．
对应的或．经检验均符合题意．
∴直线的解析式为或或．
35．（1）解：∵二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点（点A位于点B的左侧），
∴令，则，
解得
令，则，
即：，，；
（2）解：存在，理由如下：
∵，
∴当时，，对称轴为直线，
∴，
在y轴上找到一点D，连接，如图，
∵，，
，
在中，，
∵，
，
即
点A关于对称轴的对称点为点B，连接交对称轴于点E，
则线段的长为的最小值．
设直线：，代入和，
得：
解得
直线：，
令，则，
故；
（3）解：，
∴和关于对称轴直线对称，
∴，
，
．