人教版九年级数学上册 第22章《二次函数》期末复习题--二次函数与线段、倍角、最值问题（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学上册 第22章《二次函数》期末复习题--二次函数与线段、倍角、最值问题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-15 00:00:00 | ||
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文档简介
第22章《二次函数》期末复习题--二次函数与线段、倍角、最值问题
题型1 二次函数与线段问题
重难点一 线段最值问题（平行于y轴）
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值．
2．在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）经过点，点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点B，点C为抛物线对称轴上一点，且轴，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，y的取值范围是______；
(3)A、B两点之间的距离为d，当时，求m的值；
(4)已知点P的坐标为，当直线将的面积分成两部分且时，直接写出m的值．
3．如图，已知抛物线经过点，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；
(3)在（2）的条件下，连接，，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求出最大值及点M的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，直线与顶点坐标为的抛物线相交于、两点，其中点在轴上．
(1)求、两点的坐标．
(2)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．设线段长度为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式．
(3)为何值时，线段长度最大？
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点．
(1)求直线的解析式；
(2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标；
(3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值．
重难点二 线段最值问题（平行于x轴）
6．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点．
(1)求、的值；
(2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值；
(3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标．
7．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判定的形状；
(3)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作交于点，求的最大值及此时点P的坐标．
重难点三 线段最值问题（斜线）
9．如图1，点A、B、C的坐标为分别为，，，抛物线经过这三点．
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标．
(2)点P为射线上方抛物线上的一个动点，过P点作射线的垂线，垂足为E，设P点的横坐标为m，求的最大值．
(3)如图2，点D的坐标为，连接，将抛物线的图象向下平移n个单位，得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则n的取值范围是_______．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标．
重难点四 线段存在倍数关系
11．已知抛物线，顶点为．
(1)求b，c的值；
(2)若，抛物线与直线相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值；
(3)已知点、，若点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，且，求证：直线经过一个定点．
12．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作直线轴，交x轴于点N，交直线于点M．设点P的横坐标为t，当时，求点P的坐标．
13．如图，抛物线交x轴于两点，过y轴正半轴上一点C作x轴的平行线交该抛物线于D，E两点（点D在左侧）．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)若，求点E的坐标．
重难点五 等线段问题
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点为和，与y轴的交点为C，顶点为点D．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
(3)若点M是y轴上一点，使得是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标．
15．已知抛物线，经过平面直角坐标系中的A、B、C三点，，，．
(1)如图1，外接圆记作，则 度；
(2)如图2，连接，点P是位于上方的抛物线的一动点，过P作x轴的垂线交于点E，交x轴于F点，当时，求P点的坐标；
(3)如图，过M作于点N，是否存在P点，使得？若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由．
题型2 二次函数与倍角问题
16．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求的长；
(2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标；
(3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标．
17．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点的坐标．
18．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C．若P为第二象限抛物线上的一点，且，求点P的坐标．
19．已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图．
①求的面积；
②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)当时，求点D的坐标．
题型3 二次函数与最值问题
重难点一 线段和最小问题
21．如图，二次函数的图象过点和，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该二次函数的对称轴上有一点M，使的长度最短，求出M的坐标．
重难点二 线段差最大问题
22．已知抛物线 与x 轴交于点，与y轴交于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使得的值最大，求点P的坐标．
23．如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上．
(1)求四边形的面积；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标．
24．已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标；
(3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值．
重难点三 周长最值问题
25．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值．
26．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？
重难点四 面积最值问题
27．已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时的坐标和S的最大值；
28．如图，抛物线过点，与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线的顶点，直接写出点C的坐标；
(3)求（2）中四边形的面积．
29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点C，点P是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直接写出点A和抛物线的顶点坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积．
重难点五 将军饮马问题
30．如图，已知抛物线经过两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，直线的解析式是 ；
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求出此时的最小值．
31．已知关于x的二次函数．
(1)若该函数图象经过．
①求a的值；
②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值．
(2)在时，该函数的最大值与最小值之差为12，求a的值．
重难点六 将军饮马问题（建桥选址）
32．在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)若，．
①求该抛物线的解析式；
②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标．
(2)若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值．
33．已知二次函数是常数，且．
(1)若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的表达式；
(2)若，且该二次函数图象经过第一、二、四象限，求实数的取值范围；
(3)在（1）的条件下，若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点（点在点左侧），线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．求的最小值．
34．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？
(3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由．
参考答案
题型1 二次函数与线段问题
重难点一 线段最值问题（平行于y轴）
1．（1）解：∵二次函数经过，，，
∴将三点坐标代入解析式得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵直线经过A、B两点，设直线解析式为，
∴将A、B两点代入得，
解得，
∴直线解析式为，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令，则，
∴．
（2）解：∵点P在直线上方，
∴，
由题知，，
∴，
∵，
∴当时，是最大值．
2．（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：，
∴当时，取得最小值为，
∵当时，，当时，，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：∵点的坐标为，过点作轴交抛物线于点，
，
，
∵、两点之间的距离为，
，
∴当时，，
当时，，
∴当时，的值为或；
（4）解：∵点的坐标为，
∴点在直线上，
∵点的坐标为，
∴点在直线上，
，
∴点在轴的左侧.
①点在抛物线的对称轴的左侧时，设直线与交于点，交抛物线的对称轴于点，如图，
则，，
∵的坐标为，过点作轴交抛物线于点，
，
1，
∵点为抛物线对称轴上一点，轴，
，
∴，
∵直线将的面积分成两部分，
或
或
，
，
或，
或，
解得：或
，
或；
②点在抛物线的对称轴的右侧时，设直线与交于点，交抛物线的对称轴于点，如图，
则，，
∵的坐标为，过点作轴交抛物线于点，
，
，
∵点为抛物线对称轴上一点，轴，
，
，
∵直线将的面积分成两部分，
或，
或，
，
，
或，
或，
或，
，
或；
综上，当直线将的面积分成两部分且时，的值为或．
3．（1）解：∵抛物线经过点三点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴抛物线的解析式：；
（2）解：设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
又∵轴，
∴，
∴；
（3）解：存在，
点
．
则
∵，
当时，最大，最大值为．
在中，
当时，
．
综上所述，存在点M，当，最大值为．
4．（1）解：对于直线，当时，，
∴．
∵抛物线顶点坐标为，
所以可设抛物线解析式为：．
∵抛物线经过点，
∴，得：．
∴抛物线解析式为．
解方程，
得：，．
当时，；当时，．
∴，；
（2）解：∵轴，点在直线上，点在抛物线上，
∴点横坐标为时，点纵坐标为，点纵坐标为．
∴线段的长度．
即：；
（3）解：由，配方得：．
，
当（点的横坐标为3）时，线段长度有最大值．
5．（1）解：当时，，
解得或，
∵抛物线与轴交于点和点，在的左侧，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，
由（1）可知，，
∵点为直线上方抛物线上一动点，
∴，
∵过点作轴的平行线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为，
此时，
综上，点的坐标为和的最大值为．
重难点二 线段最值问题（平行于x轴）
6．（1）解：∵抛物线的图像过点、，
故将代入，得，
将代入，得．
（2）解：由（1）可得抛物线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∵点在直线的图像上，
∴点的横坐标为，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）解：抛物线的对称轴为，
设点的坐标为，点的坐标为，则，，
则，
，
，
∵为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，解得：或（不合题题意舍弃），
∴，
点的坐标为．
7．（1）解：∵二次函数的图象经过，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）∵二次函数的解析式为，
∴时，，
∴，
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
所以直线的解析式为
设点的坐标为．
则点的坐标为．
因为点在点的右边，
所以
．
因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，
所以，
所以当时，线段的长度有最大值，最大值为．
8．（1）解：当时，，得
又抛物线过点
设抛物线表达式
得
抛物线的解析式为；
（2）解：在中，
为直角三角形；
（3）解：设直线BC的解析式为，则，
解得，
直线BC的解析式为
，
，
，
设，则
，
∴当时，有最大值为，此时点P坐标为．
重难点三 线段最值问题（斜线）
9．（1）解：设抛物线的解析式为，
∵点A、B、C的坐标为分别为，，，抛物线经过这三点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴于，交于，
，
设，则，
∴，
∵，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，的值最大，为；
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入直线解析式可得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，此时坐标为，
当时，，此时坐标为，
∵将抛物线的图象向下平移n个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为：，
∵当时，若抛物线与直线有两个交点，
∴当抛物线经过时，抛物线与直线有两个交点，代入可得：，
解得：，
联立消去可得：，
∵抛物线与直线有两个交点，
∴，
解得：，
综上所述，n的取值范围是．
10．（1）解：将，两点坐标代入抛物线解析式，可得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）解：由（1）可得，抛物线的表达式为：，
令，则，
解得：，，
，
当时，，
设直线的表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
，，
，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设点的坐标为：，则点，
，
，
，故有最大值，
当时，的最大值为：，此时点．
重难点四 线段存在倍数关系
11．（1）解：设这个抛物线的表达式为，
∵这个抛物线的顶点是，
∴这个抛物线的表达式，
∴，；
（2）解：当时，抛物线的表达式为，
∵P为y轴右侧抛物线C上一动点，
∴设点P的坐标为，则点，
∵，
∴，
∴（舍去）或或或（舍去），
∴或；
（3）解：作点A关于y轴对称的对应点M，
∵抛物线关于y轴对称，
∴点M在抛物线上，
连接，
∵，
∴M，P，B三点共线，
设，则点，
设直线的解析式为，
得，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点B，点M是抛物线C与直线的交点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
把的值代入得，，
∴点B的坐标为．
∵，
∴同理可求直线的解析式为．
当时，，
∴直线恒过一个定点，定点坐标为．
12．（1）将点B的坐标为代入，
得，
解得，
故抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴．
设直线的解析式为，
将和代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点P的横坐标为t，
∴点，
∵过P点的直线轴，点M在直线：上，点N在x轴上，
∴，，
∴，，
当时，，
解得或（舍），
∴，
∴．
13．（1）解：把代入，
， 解得，
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为，
∴该抛物线得对称轴是直线x＝．
设，则，
∴，
∵，
∴，解得：．
把代入，解得：，
∴点E的坐标为．
重难点五 等线段问题
14．（1）解：将和代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由，令，解得：，
∴，
∵，顶点坐标为，对称轴为直线，
点为该抛物线对称轴上的一个动点，
设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
设点，使得是以为斜边的直角三角形，
设点为的中点，则，
如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，
∴，
即，
解得：或．
∴点M的坐标为或．
15．（1）由点、的坐标知，，
则，
，
则，
故答案为：45；
（2）设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线解析式为，
由点、的坐标得，直线解析式为，
设，则，
，
，，轴，
，，，
过作于点，
则，
，
则，，
，即，
解得：，
则点；
（3）点，
，，
则，
解得，
点的横坐标为和．
题型2 二次函数与倍角问题
16．（1）解：∵，
，
，
令，则，
，
，
．
（2）解：当时，，
，
，
，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
则，
则直线，
过点作轴交于，
设，则，
，
，
∴点的横坐标为4或2；
（3）解：设直线与轴交于点，
则，
，
∴，
，
，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，
．
17．解：将，代入，
得，
解得：，
抛物线解析式为；
对于，令，则
解得：，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
，
△是等腰直角三角形，
，
设，则，
，，
，
解得：（舍去）或，
．
18．令，则，
解得或，
，；
令，则，
，
，，，
，
是直角三角形，
，
∴
，
取的中点，连，过两点作直线，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
，，
，即
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
∴联立，
解得：（舍去）或，
∴．
19．（1）解：∵抛物线经过点和．
∴
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：①在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，则
∴
②∵点在抛物线上
∴
∴点坐标
设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
，，
∴
解得：，
所以点的坐标为:
20．（1）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的函数表达式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的函数表达式为．
（2）解：∵，
∴，
如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∵为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为，轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入得：，
解得或（不符合题意，舍去），
∴点的坐标为．
题型3 二次函数与最值问题
重难点一 线段和最小问题
21．（1）解：∵二次函数的图象过点，
∴，
解得，
∴二次函数的关系式为；
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴是直线，与y轴交点，
∵点B关于直线的对称点是A，
∴与对称轴的交点即为点M，使的长度最短，如图：
设直线的解析式为，将代入得：
，解得
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
重难点二 线段差最大问题
22．（1）解：∵抛物线 与x 轴交于点，
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，代入，得：，
∴，
∴；
（2）∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当三点共线时，的值最大，
∴直线与对称轴的交点即为点，
设直线得解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴，
当时，，
∴．
23．（1）解：如图，连接，
当时，，
，
由得，，
，
当时，，
，
∴
；
（2）解：如图，
抛物线的对称轴为：直线，
连接，
根据抛物线对称性可得：，
则，
故当三点共线，的值最大，最大值即为的长，
设直线的解析式为：，
，
，
，
当时，，
．
24．（1）解：设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，，
设点P的坐标为，
当时，，
当时，，
∴当时，取得最小值，
此时，即，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：连接，如图，
设 ，
∴
，
∵，
∴面积的最大值为．
重难点三 周长最值问题
25．（1）解：在二次函数的图象上，
解得
抛物线的解析式为；
（2）解：
对称轴为
如图，连接，
关于轴对称
的周长等于，
当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为
由抛物线解析式，
令，即，
解得，
，
，
∴，，
的周长的最小值为，
，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴．
26．（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点，在抛物线上，
∴点，关于抛物线对称轴对称，
∴由抛物线的对称性得，
，
当时，，则点的纵坐标为，
矩形的周长
，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
重难点四 面积最值问题
27．（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．
当时，，
当时，，
则或，
，，，
，，，
，，，
∴，
是直角三角形，且．
（2）解：设直线的解析式的解析式为：，
∵直线过点， ，
，
解得：，
直线的解析式的解析式为：，
∵点是抛物线在第一象限部分上的点，
∴，
∵轴，交直线于点Q，
∴，
，
，
，
即S关于m的函数关系式为，
当时，的最大值为8，此时．
28．（1）解：设抛物线的解析式为[交点式，因抛物线过、]．
将代入解析式得：，即，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）将解析式化为顶点式：．
∴顶点C的坐标为．
（3）过点C作轴于点为．
四边形的面积可分割为：．
当，
∴，
；
；
．
∴总面积．
29．（1）解：把代入，得，
抛物线的表达式为，
将点B的坐标代入上式得，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：∵
∴令，即，
解得，
故A点坐标为．
则，
∴抛物线顶点坐标为．
（3）解：如图1，过P作轴于点F，交于点E，
∵四边形的面积的面积的面积，而的面积不变，
∴当的面积最大时，四边形的面积也最大，
令，则，
解得：，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，，，
此时，
∴此时四边形的面积也最大，，
∴当时，四边形面积最大，此时，最大面积为．
重难点五 将军饮马问题
30．（1）解：把代入，得：
，解得：，
∴；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴；
故答案为：．
（3）∵，
∴对称轴为直线，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当点在线段上时，的值最小，为的长，
由（2）知：直线的解析式为：，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
31．（1）①将点代入抛物线表达式得：，解得；
②由①知，抛物线的表达式为，对称轴为，
设抛物线与x轴的另外一个交点为A，
令，解得，
故点A、B的坐标分别为，
令，解得，，
由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线，即点P在函数的对称轴上，
∵点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接交于点P，则点P为所求点，
即为最小，
故的最小值；
（2）抛物线的对称轴为直线，
则比距离对称轴更远，
当时，抛物线开口向上，则抛物线在时取得最小值，在时取得最大值，
当时，最小值为，
当时，最大值为，
∵该函数的最大值与最小值之差为12，
∴，解得
当时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在时取得最小值，
∵该函数的最大值与最小值之差为12，
∴，解得；
故．
重难点六 将军饮马问题（建桥选址）
32．（1）解：①抛物线与x轴交于点，，
，解得：，
该抛物线的解析式为；
②抛物线与y轴交于点C，
令，则，
，
，
，，
，
，，
如图，过点作轴，则，
，
，
，
点D的坐标为．
（2）解：，
抛物线，对称轴为直线，
令，则，
，
如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
即当点在上时，有最小值为，
的最小值为，
，
在中，，，
，
整理得：，
解得：或（舍），
即a的值为．
33．（1）解：根据题意得，解得，
二次函数表达式为；
（2）解：图象经过第一、二、四象限，
，且二次函数的对称轴，解得①
，
，
，解得②
综合①②可得的取值范围为；
（3）解：过点作对称轴的垂线交二次函数的图象于点，过点作平行于对称轴，且使，连接交对称轴于，如图所示：
易得四边形是平行四边形，
，
由抛物线的对称性知点关于对称轴对称，
，
，
，
当点，，在一条直线上时，的值最小，此时，
由（1）得，
对称轴是直线，
当时，，
点，点，点，
当时，，解得或，
点在点左侧，
点，
的最小值．
34．（1）解：由，，得
，
即，
把A，B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：作轴交于M点，如图1
由，得的解析式为，
设P点坐标为．
的长为，
，
；
由，得
．
化简，得，解得，
点坐标为或；
（3）解：m有最小值，理由如下：
在上作，如图2
作关于对称轴的对称点，连接，
取得最小值为．
在中，由勾股定理，得
，
．
题型1 二次函数与线段问题
重难点一 线段最值问题（平行于y轴）
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值．
2．在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）经过点，点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点B，点C为抛物线对称轴上一点，且轴，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，y的取值范围是______；
(3)A、B两点之间的距离为d，当时，求m的值；
(4)已知点P的坐标为，当直线将的面积分成两部分且时，直接写出m的值．
3．如图，已知抛物线经过点，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；
(3)在（2）的条件下，连接，，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求出最大值及点M的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，直线与顶点坐标为的抛物线相交于、两点，其中点在轴上．
(1)求、两点的坐标．
(2)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．设线段长度为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式．
(3)为何值时，线段长度最大？
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点．
(1)求直线的解析式；
(2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标；
(3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值．
重难点二 线段最值问题（平行于x轴）
6．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点．
(1)求、的值；
(2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值；
(3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标．
7．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判定的形状；
(3)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作交于点，求的最大值及此时点P的坐标．
重难点三 线段最值问题（斜线）
9．如图1，点A、B、C的坐标为分别为，，，抛物线经过这三点．
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标．
(2)点P为射线上方抛物线上的一个动点，过P点作射线的垂线，垂足为E，设P点的横坐标为m，求的最大值．
(3)如图2，点D的坐标为，连接，将抛物线的图象向下平移n个单位，得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则n的取值范围是_______．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标．
重难点四 线段存在倍数关系
11．已知抛物线，顶点为．
(1)求b，c的值；
(2)若，抛物线与直线相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值；
(3)已知点、，若点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，且，求证：直线经过一个定点．
12．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作直线轴，交x轴于点N，交直线于点M．设点P的横坐标为t，当时，求点P的坐标．
13．如图，抛物线交x轴于两点，过y轴正半轴上一点C作x轴的平行线交该抛物线于D，E两点（点D在左侧）．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)若，求点E的坐标．
重难点五 等线段问题
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点为和，与y轴的交点为C，顶点为点D．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
(3)若点M是y轴上一点，使得是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标．
15．已知抛物线，经过平面直角坐标系中的A、B、C三点，，，．
(1)如图1，外接圆记作，则 度；
(2)如图2，连接，点P是位于上方的抛物线的一动点，过P作x轴的垂线交于点E，交x轴于F点，当时，求P点的坐标；
(3)如图，过M作于点N，是否存在P点，使得？若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由．
题型2 二次函数与倍角问题
16．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求的长；
(2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标；
(3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标．
17．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点的坐标．
18．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C．若P为第二象限抛物线上的一点，且，求点P的坐标．
19．已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图．
①求的面积；
②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)当时，求点D的坐标．
题型3 二次函数与最值问题
重难点一 线段和最小问题
21．如图，二次函数的图象过点和，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该二次函数的对称轴上有一点M，使的长度最短，求出M的坐标．
重难点二 线段差最大问题
22．已知抛物线 与x 轴交于点，与y轴交于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使得的值最大，求点P的坐标．
23．如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上．
(1)求四边形的面积；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标．
24．已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标；
(3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值．
重难点三 周长最值问题
25．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值．
26．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？
重难点四 面积最值问题
27．已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时的坐标和S的最大值；
28．如图，抛物线过点，与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线的顶点，直接写出点C的坐标；
(3)求（2）中四边形的面积．
29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点C，点P是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直接写出点A和抛物线的顶点坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积．
重难点五 将军饮马问题
30．如图，已知抛物线经过两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，直线的解析式是 ；
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求出此时的最小值．
31．已知关于x的二次函数．
(1)若该函数图象经过．
①求a的值；
②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值．
(2)在时，该函数的最大值与最小值之差为12，求a的值．
重难点六 将军饮马问题（建桥选址）
32．在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)若，．
①求该抛物线的解析式；
②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标．
(2)若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值．
33．已知二次函数是常数，且．
(1)若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的表达式；
(2)若，且该二次函数图象经过第一、二、四象限，求实数的取值范围；
(3)在（1）的条件下，若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点（点在点左侧），线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．求的最小值．
34．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？
(3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由．
参考答案
题型1 二次函数与线段问题
重难点一 线段最值问题（平行于y轴）
1．（1）解：∵二次函数经过，，，
∴将三点坐标代入解析式得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵直线经过A、B两点，设直线解析式为，
∴将A、B两点代入得，
解得，
∴直线解析式为，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令，则，
∴．
（2）解：∵点P在直线上方，
∴，
由题知，，
∴，
∵，
∴当时，是最大值．
2．（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：，
∴当时，取得最小值为，
∵当时，，当时，，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：∵点的坐标为，过点作轴交抛物线于点，
，
，
∵、两点之间的距离为，
，
∴当时，，
当时，，
∴当时，的值为或；
（4）解：∵点的坐标为，
∴点在直线上，
∵点的坐标为，
∴点在直线上，
，
∴点在轴的左侧.
①点在抛物线的对称轴的左侧时，设直线与交于点，交抛物线的对称轴于点，如图，
则，，
∵的坐标为，过点作轴交抛物线于点，
，
1，
∵点为抛物线对称轴上一点，轴，
，
∴，
∵直线将的面积分成两部分，
或
或
，
，
或，
或，
解得：或
，
或；
②点在抛物线的对称轴的右侧时，设直线与交于点，交抛物线的对称轴于点，如图，
则，，
∵的坐标为，过点作轴交抛物线于点，
，
，
∵点为抛物线对称轴上一点，轴，
，
，
∵直线将的面积分成两部分，
或，
或，
，
，
或，
或，
或，
，
或；
综上，当直线将的面积分成两部分且时，的值为或．
3．（1）解：∵抛物线经过点三点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴抛物线的解析式：；
（2）解：设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
又∵轴，
∴，
∴；
（3）解：存在，
点
．
则
∵，
当时，最大，最大值为．
在中，
当时，
．
综上所述，存在点M，当，最大值为．
4．（1）解：对于直线，当时，，
∴．
∵抛物线顶点坐标为，
所以可设抛物线解析式为：．
∵抛物线经过点，
∴，得：．
∴抛物线解析式为．
解方程，
得：，．
当时，；当时，．
∴，；
（2）解：∵轴，点在直线上，点在抛物线上，
∴点横坐标为时，点纵坐标为，点纵坐标为．
∴线段的长度．
即：；
（3）解：由，配方得：．
，
当（点的横坐标为3）时，线段长度有最大值．
5．（1）解：当时，，
解得或，
∵抛物线与轴交于点和点，在的左侧，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，
由（1）可知，，
∵点为直线上方抛物线上一动点，
∴，
∵过点作轴的平行线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为，
此时，
综上，点的坐标为和的最大值为．
重难点二 线段最值问题（平行于x轴）
6．（1）解：∵抛物线的图像过点、，
故将代入，得，
将代入，得．
（2）解：由（1）可得抛物线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∵点在直线的图像上，
∴点的横坐标为，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）解：抛物线的对称轴为，
设点的坐标为，点的坐标为，则，，
则，
，
，
∵为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，解得：或（不合题题意舍弃），
∴，
点的坐标为．
7．（1）解：∵二次函数的图象经过，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）∵二次函数的解析式为，
∴时，，
∴，
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
所以直线的解析式为
设点的坐标为．
则点的坐标为．
因为点在点的右边，
所以
．
因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，
所以，
所以当时，线段的长度有最大值，最大值为．
8．（1）解：当时，，得
又抛物线过点
设抛物线表达式
得
抛物线的解析式为；
（2）解：在中，
为直角三角形；
（3）解：设直线BC的解析式为，则，
解得，
直线BC的解析式为
，
，
，
设，则
，
∴当时，有最大值为，此时点P坐标为．
重难点三 线段最值问题（斜线）
9．（1）解：设抛物线的解析式为，
∵点A、B、C的坐标为分别为，，，抛物线经过这三点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴于，交于，
，
设，则，
∴，
∵，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，的值最大，为；
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入直线解析式可得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，此时坐标为，
当时，，此时坐标为，
∵将抛物线的图象向下平移n个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为：，
∵当时，若抛物线与直线有两个交点，
∴当抛物线经过时，抛物线与直线有两个交点，代入可得：，
解得：，
联立消去可得：，
∵抛物线与直线有两个交点，
∴，
解得：，
综上所述，n的取值范围是．
10．（1）解：将，两点坐标代入抛物线解析式，可得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）解：由（1）可得，抛物线的表达式为：，
令，则，
解得：，，
，
当时，，
设直线的表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
，，
，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设点的坐标为：，则点，
，
，
，故有最大值，
当时，的最大值为：，此时点．
重难点四 线段存在倍数关系
11．（1）解：设这个抛物线的表达式为，
∵这个抛物线的顶点是，
∴这个抛物线的表达式，
∴，；
（2）解：当时，抛物线的表达式为，
∵P为y轴右侧抛物线C上一动点，
∴设点P的坐标为，则点，
∵，
∴，
∴（舍去）或或或（舍去），
∴或；
（3）解：作点A关于y轴对称的对应点M，
∵抛物线关于y轴对称，
∴点M在抛物线上，
连接，
∵，
∴M，P，B三点共线，
设，则点，
设直线的解析式为，
得，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点B，点M是抛物线C与直线的交点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
把的值代入得，，
∴点B的坐标为．
∵，
∴同理可求直线的解析式为．
当时，，
∴直线恒过一个定点，定点坐标为．
12．（1）将点B的坐标为代入，
得，
解得，
故抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴．
设直线的解析式为，
将和代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点P的横坐标为t，
∴点，
∵过P点的直线轴，点M在直线：上，点N在x轴上，
∴，，
∴，，
当时，，
解得或（舍），
∴，
∴．
13．（1）解：把代入，
， 解得，
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为，
∴该抛物线得对称轴是直线x＝．
设，则，
∴，
∵，
∴，解得：．
把代入，解得：，
∴点E的坐标为．
重难点五 等线段问题
14．（1）解：将和代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由，令，解得：，
∴，
∵，顶点坐标为，对称轴为直线，
点为该抛物线对称轴上的一个动点，
设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
设点，使得是以为斜边的直角三角形，
设点为的中点，则，
如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，
∴，
即，
解得：或．
∴点M的坐标为或．
15．（1）由点、的坐标知，，
则，
，
则，
故答案为：45；
（2）设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线解析式为，
由点、的坐标得，直线解析式为，
设，则，
，
，，轴，
，，，
过作于点，
则，
，
则，，
，即，
解得：，
则点；
（3）点，
，，
则，
解得，
点的横坐标为和．
题型2 二次函数与倍角问题
16．（1）解：∵，
，
，
令，则，
，
，
．
（2）解：当时，，
，
，
，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
则，
则直线，
过点作轴交于，
设，则，
，
，
∴点的横坐标为4或2；
（3）解：设直线与轴交于点，
则，
，
∴，
，
，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，
．
17．解：将，代入，
得，
解得：，
抛物线解析式为；
对于，令，则
解得：，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
，
△是等腰直角三角形，
，
设，则，
，，
，
解得：（舍去）或，
．
18．令，则，
解得或，
，；
令，则，
，
，，，
，
是直角三角形，
，
∴
，
取的中点，连，过两点作直线，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
，，
，即
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
∴联立，
解得：（舍去）或，
∴．
19．（1）解：∵抛物线经过点和．
∴
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：①在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，则
∴
②∵点在抛物线上
∴
∴点坐标
设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
，，
∴
解得：，
所以点的坐标为:
20．（1）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的函数表达式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的函数表达式为．
（2）解：∵，
∴，
如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∵为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为，轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入得：，
解得或（不符合题意，舍去），
∴点的坐标为．
题型3 二次函数与最值问题
重难点一 线段和最小问题
21．（1）解：∵二次函数的图象过点，
∴，
解得，
∴二次函数的关系式为；
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴是直线，与y轴交点，
∵点B关于直线的对称点是A，
∴与对称轴的交点即为点M，使的长度最短，如图：
设直线的解析式为，将代入得：
，解得
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
重难点二 线段差最大问题
22．（1）解：∵抛物线 与x 轴交于点，
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，代入，得：，
∴，
∴；
（2）∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当三点共线时，的值最大，
∴直线与对称轴的交点即为点，
设直线得解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴，
当时，，
∴．
23．（1）解：如图，连接，
当时，，
，
由得，，
，
当时，，
，
∴
；
（2）解：如图，
抛物线的对称轴为：直线，
连接，
根据抛物线对称性可得：，
则，
故当三点共线，的值最大，最大值即为的长，
设直线的解析式为：，
，
，
，
当时，，
．
24．（1）解：设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，，
设点P的坐标为，
当时，，
当时，，
∴当时，取得最小值，
此时，即，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：连接，如图，
设 ，
∴
，
∵，
∴面积的最大值为．
重难点三 周长最值问题
25．（1）解：在二次函数的图象上，
解得
抛物线的解析式为；
（2）解：
对称轴为
如图，连接，
关于轴对称
的周长等于，
当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为
由抛物线解析式，
令，即，
解得，
，
，
∴，，
的周长的最小值为，
，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴．
26．（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点，在抛物线上，
∴点，关于抛物线对称轴对称，
∴由抛物线的对称性得，
，
当时，，则点的纵坐标为，
矩形的周长
，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
重难点四 面积最值问题
27．（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．
当时，，
当时，，
则或，
，，，
，，，
，，，
∴，
是直角三角形，且．
（2）解：设直线的解析式的解析式为：，
∵直线过点， ，
，
解得：，
直线的解析式的解析式为：，
∵点是抛物线在第一象限部分上的点，
∴，
∵轴，交直线于点Q，
∴，
，
，
，
即S关于m的函数关系式为，
当时，的最大值为8，此时．
28．（1）解：设抛物线的解析式为[交点式，因抛物线过、]．
将代入解析式得：，即，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）将解析式化为顶点式：．
∴顶点C的坐标为．
（3）过点C作轴于点为．
四边形的面积可分割为：．
当，
∴，
；
；
．
∴总面积．
29．（1）解：把代入，得，
抛物线的表达式为，
将点B的坐标代入上式得，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：∵
∴令，即，
解得，
故A点坐标为．
则，
∴抛物线顶点坐标为．
（3）解：如图1，过P作轴于点F，交于点E，
∵四边形的面积的面积的面积，而的面积不变，
∴当的面积最大时，四边形的面积也最大，
令，则，
解得：，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，，，
此时，
∴此时四边形的面积也最大，，
∴当时，四边形面积最大，此时，最大面积为．
重难点五 将军饮马问题
30．（1）解：把代入，得：
，解得：，
∴；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴；
故答案为：．
（3）∵，
∴对称轴为直线，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当点在线段上时，的值最小，为的长，
由（2）知：直线的解析式为：，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
31．（1）①将点代入抛物线表达式得：，解得；
②由①知，抛物线的表达式为，对称轴为，
设抛物线与x轴的另外一个交点为A，
令，解得，
故点A、B的坐标分别为，
令，解得，，
由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线，即点P在函数的对称轴上，
∵点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接交于点P，则点P为所求点，
即为最小，
故的最小值；
（2）抛物线的对称轴为直线，
则比距离对称轴更远，
当时，抛物线开口向上，则抛物线在时取得最小值，在时取得最大值，
当时，最小值为，
当时，最大值为，
∵该函数的最大值与最小值之差为12，
∴，解得
当时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在时取得最小值，
∵该函数的最大值与最小值之差为12，
∴，解得；
故．
重难点六 将军饮马问题（建桥选址）
32．（1）解：①抛物线与x轴交于点，，
，解得：，
该抛物线的解析式为；
②抛物线与y轴交于点C，
令，则，
，
，
，，
，
，，
如图，过点作轴，则，
，
，
，
点D的坐标为．
（2）解：，
抛物线，对称轴为直线，
令，则，
，
如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
即当点在上时，有最小值为，
的最小值为，
，
在中，，，
，
整理得：，
解得：或（舍），
即a的值为．
33．（1）解：根据题意得，解得，
二次函数表达式为；
（2）解：图象经过第一、二、四象限，
，且二次函数的对称轴，解得①
，
，
，解得②
综合①②可得的取值范围为；
（3）解：过点作对称轴的垂线交二次函数的图象于点，过点作平行于对称轴，且使，连接交对称轴于，如图所示：
易得四边形是平行四边形，
，
由抛物线的对称性知点关于对称轴对称，
，
，
，
当点，，在一条直线上时，的值最小，此时，
由（1）得，
对称轴是直线，
当时，，
点，点，点，
当时，，解得或，
点在点左侧，
点，
的最小值．
34．（1）解：由，，得
，
即，
把A，B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：作轴交于M点，如图1
由，得的解析式为，
设P点坐标为．
的长为，
，
；
由，得
．
化简，得，解得，
点坐标为或；
（3）解：m有最小值，理由如下：
在上作，如图2
作关于对称轴的对称点，连接，
取得最小值为．
在中，由勾股定理，得
，
．
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