《1.2等腰三角形》同步练习 2025--2026学年北师大版八年级数学下册（含答案）

北师大新版八年级下册1.2《等腰三角形》同步测试卷
一、选择题
1．一个等腰三角形的底角为70°，则它的顶角为（　　）
A．100° B．70° C．50° D．40°
2．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（　　）
A．14 B．19 C．11 D．14或19
3．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　）
A．40° B．70° C．100° D．40°或100°
4．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（　　）
A．BD＝CD B．BD＝AD
C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C
5．如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为40°，则∠A的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（　　）
A．4与4 B．6与6
C．4与8 D．6与6或4与8
7．如图，在△ABC中，BC＝10，∠B＝∠BAC＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠EAC＝（　　）
A．80° B．60° C．50° D．40°
9．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A1，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D1，在边A2D上取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2026个三角形中以A2026为顶点的底角度数是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．等腰三角形的一个角等于40°，则另外两个角的度数分别是　 　 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，点E在边AB上，且AE＝AD，连结DE，若∠BDE＝15°，则∠CAD的大小为　 　 度．
13．已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，若，则BC＝ 　 　 ．
14．边长为8的等边△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在y轴上，BC交y轴于点D、BC∥x轴，O为坐标原点，连接OB，若∠OBD＝45°，则点C的坐标为　 　 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为　 　 ．
三、解答题
16．在等腰三角形ABC中，∠A为顶角，其中两个内角的度数之比为2：5，求∠A的度数．
17．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB∠BAC，CD是AB边上的高，CD＝5，求BC的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D．若AD＝3，求BC的长．
19．一个等腰三角形的周长是35cm．
（1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为7cm，求各边的长．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别在BC、AC上，且AD＝AE，连接DE，若∠AED＝75°，∠BAD＝80°，求∠ADC的度数．
21．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝152°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：．
22．如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 　 　 厘米，BP的长为 　 　 厘米．（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；
（3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数．
23．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，∠C＝60°，求∠AGD的度数；
（3）若△ABC的周长为16cm，AB＝BC，当中线AD将△ABC分成周长差为2cm的两部分，求AC的长．
北师大新版八年级下册《1.2等腰三角形》同步测试卷答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B D B B B C D
二、填空题
11． 100°，40°或70°，70°．
12． 30．
13． 6．
14． （4，﹣4）．
15． 30°或15°．
三、解答题
16．解：在等腰△ABC中，两个内角的度数之比为2：5，
∴三个内角的度数之比为2：5：5或2：2：5．
∴或，
∴∠A的度数为30°或100°．
17．解：∵∠B＝∠ACB∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠B+4∠B＝180°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∴BC＝2CD＝10．
18．解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，
∵AD＝3，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝6，
∵∠B+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ADB是△ADC的一个外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC，60°＝30°+∠DAC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠C＝∠DAC，
∴CD＝AD＝3，
∴BC＝BD+CD＝6+3＝9．
故BC的长为9．
19．解：（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm，
x+3x+3x＝35，
解得：x＝5，
所以3x＝15（cm），
故各边长为：5cm，15cm，15cm；
（2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论：
①若底边长为 7 cm，设腰长为ycm，
则：7+2y＝35，y＝14，
所以三边长分别为：7cm，14cm，14cm，
②若腰长为 7 cm，设底边长为acm，则：7+7+a＝35，得a＝21，
又因为7+7＝14＜21，故舍去，
综上所述，三边长分别为：7cm，14cm，14cm．
20．解：∵AD＝AE，∠AED＝75°，
∴∠AED＝∠ADE＝75°，
在△ADE中，
∠DAE＝180﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE＝80°+30°＝110°，
在△ABC中，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC为等腰三角形，
∴，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝80°+35°＝115°．
21．（1）解：∵∠AFD＝152°，
∴∠DFC＝28°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣28°＝62°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝62°
∴∠EDF＝360°﹣62°﹣152°﹣90°＝56°．
（2）证明：连接BF，
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD∠ABC．
22．解：（1）由题意得，BQ＝t，BP＝6﹣t，
故答案为：t；（6﹣t）；
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝5﹣t，
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t，
解得，t＝2，
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t），
解得，t＝4，
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形；
（3）∠CMQ不变，理由如下：
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，
∴∠CMQ不会变化．
23．（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，
∴∠1＝180﹣140°＝40°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠GDC＝∠1＝40°，
∵∠C＝60°，
∴∠AGD＝∠GDC+∠C＝40°+60°＝100°；
（3）解：∵△ABC的周长为16cm，AB＝BC，
∴设AB＝BC＝xcm，则AC＝（16﹣2x）cm，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CDxcm，
则，
，
当C△ABD﹣C△ACD＝2cm时，，
解得x＝6，
∴AC＝16﹣2×6＝4（cm）；
当C△ACD﹣C△ADB＝2cm时，，
解得：，
∴；
综上可知：AC＝4cm或．