保密★启用前
2025—2026学年八年级上学期期末押题卷02
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B C C C D C B
1．B
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图标都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
2．C
本题主要考查了用证明三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据得出，再根据，结合逐项进行判断即可．
解：∵，
∴，即，
当时，不能用可证，故A不符合要求；
当时，不能用可证，故B不符合要求；
当时，由可证，故C符合要求；
当，无法使，故D不符合要求．
故选：C．
3．C
本题考查三角形三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再判断选项即可．
解：设第三边长为，
由题意得，
则的取值范围为，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
4．B
此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
解：，
故选：．
5．C
此题考查了分式的乘方运算，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项计算得到结果，即可作出判断．
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
6．C
本题主要考查的是因式分解的定义，因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项．
解：选项A：，是从积到多项式的变形，属于整式乘法；
选项B：，是从积到多项式的变形，属于整式乘法；
选项C：，将多项式化为整式的积，符合因式分解定义；
选项D：，右边不是积的形式．
故选：C．
7．C
本题考查完全平方式，形如这样的式子是完全平方式．
根据完全平方式的定义得到，进而计算即可．
解：∵是一个完全平方式，
∴，
整理得，
即
解得：或．
故选：C．
8．D
本题考查了整式乘法的几何应用，图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解．
解：图1中，阴影部分的长为，宽为，
∴图1中阴影部分的面积为：，
图2中，阴影部分的面积为：
大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积，
∴图2中阴影部分的面积为：，
∴，
故选：D．
9．C
本题主要考查含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．先利用等腰三角形性质得出底角相等，结合三角形内角和求出顶角；再通过直角三角形角的性质求出的长度，接着算出的度数并证得，最后通过线段和求出的长度．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
10．B
本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进而求出的度数．
解：∵，，，
根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
∴是的角平分线，
∴，
故选：B．
11．100
本题考查三角形的内角和定理，根据平角的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可．
解：由题意，，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：100．
12．
本题考查了新定义下的实数运算，分式化简求值，已知式子的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
利用，将求和中的项配对，每对和为1，最后单独计算，进而即可求解．
解：∵，
∴，
∴．
对于从2到2026，，
这样的组合共有对．
又．
∴原式，
故答案为：．
13．
本题考查的是分式方程的应用，根据大水管的直径是小水管的2倍，得出大水管的横截面积是小水管的4倍，从而大水管的注水速度为小水管的4倍；注水过程分为两个阶段：第一阶段用小水管注水一半容积，时间；第二阶段用大水管注水剩余一半容积，时间；总时间等于两阶段时间之和．
解：设小水管注水速度为，
则注水一半容积为，
大水管的直径是小水管的2倍，因此横截面积是小水管的4倍，注水速度也为小水管的4倍，即，
第一阶段注水时间：，
第二阶段注水时间：，
总时间，
故答案为：．
14．
本题考查了因式分解，等腰三角形的定义，三角形的三边关系．根据绝对值和平方的非负性，可得，，再根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，利用三角形三边关系判断，即可求解．
解：
∴
因为且，所以且，解得，．
当腰为时，三边为，，，但，不满足三角形三边关系，故舍去；
当腰为时，三边为，，，满足三角形三边关系，
周长为．
故答案为：．
15．28
本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键；先根据正方形的性质表示出，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案．
解：设正方形的边长为x，
，
，
，
，
两个阴影部分都是正方形且面积和为60，
，
，
，
重叠部分的面积为28，
故答案为：28．
16．2或4
本题考查全等三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．当△△时，得到；当△△时，推出，得到，即可得到答案．
解：当△△时，
；
当△△时，
，
，
或．
故答案为：或．
17．(1)
(2)
(3)11
本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值，
对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，再根据整式的加减法计算；
对于（2），根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可；
对于（3），先根据整式的混合运算法则计算，再将数值代入求值即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当，时，
原式．
18．（1）无解
（2）；
本题考查了分式方程的求解，以及分式的化简求解，熟练掌握分式方程的求解流程并注意检验是解决本题的关键．
（1）先将原分式方程化为分母相同的分式方程，再去分母转化为整式方程求解，并将所得结果代回验证，保证分母不为零即可；
（2）先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
解：（1），
，
解得：，
经检验是增根，原分式方程无解；
解：（2）
，
当时，原式．
19．(1)
(2)需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片3张；
(3)
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
（1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论；
（2）将展开得到，而图1中A纸片的面积为，纸片的面积为，纸片的面积为，即可确定纸片的个数；
（3）将变形为，再由完全平方公式计算即可
（1）解：∵图2是边长为的正方形，
∴ ，
∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形，
∴ ，
∴；
故答案为：．
（2）解：，
而图1中A纸片的面积为，纸片的面积为，纸片的面积为，
∴需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片3张；
（3）解：．
20．(1)见解析
(2)7
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质可得，，由可得出，最后利用全等三角形判定定理即可证明；
（2）利用全等三角形的性质可得，，利用三角形的外角的性质得出，利用含角直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差关系即可求出的长．
（1）证明：等边，
，，
，
，即，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为7．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)3
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）利用证明即可；
（2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证；
（3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
（1）证明：在与中，
，
．
（2）过点作于，如图所示：
，
，，
又，即，
，
又，，
，
平分．
（3）在和中，，
，
同理：，
，
，
的面积，
，
，
解得：；
故答案为：3．
22．(1)见详解
(2)
本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键．
（1）首先根据，，等量代换可得，进而得到，最后利用平行线的性质即可得证，再由角平分线的定义得出，等量代换即可得出．
（2）根据三角形的内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，又因为，所以，进而可求出的度数．
（1）证明：，，
，
，
．
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：，，
，
是角平分线，
，
，
，
．
23．(1)是“登高数”，详见解析；
(2)“登高数”能被整除，详见解析；
(3)．
本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”．
（1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案；
（2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案；
（3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和．
（1）解：（1）是“登高数”，
理由：设，
解得：，
，
是 “登高数”；
（2）解：“登高数”能被整除，
理由：，
，
，
是正整数，
能被整除，
能被整除，
“登高数”都能被整除；
（3）解：由（2），可知“登高数”能被整除，
，
不超过的所有“登高数”有，，，，，，
，
，
，
，
．
24．(1)
(2)证明见解析
(3)
本题考查了等腰三角形，含角的直角三角形，三角形内角和，平行线的性质，外角的性质和全等三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识并正确作出辅助线是解答本题的关键；
（1）根据等腰三角形和三角形内角和的知识进行作答，即可求解；
（2）根据等腰直角三角形的知识可求得，再通过同角的余角相等，可得，然后证明，得到， ，再证得，然后证明，得到，然后等量变换即可求解；
（3）根据等腰三角形知识和题干条件可得，，作，，作，交延长线于点，连接，截，连接，得到，，，然后依次证明，，，，然后根据等腰三角形，直角三角形和外角的知识证明得到，，，然后即可求解；
（1）解：已知在中，，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，且，
设，则，可得：
，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为中点，
∴，
过点作 ，交的延长线于，如图：
，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴（直角三角形两锐角互余），
∵，
∴，
∴（同角的余角相等），
在和中：
，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∵，，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
设，由，得，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
作，，作，交延长线于点，连接，在上截，连接，如图：
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴设，
即，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点K为线段中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；保密★启用前
2025—2026学年八年级上学期期末押题卷02
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在以下节约用纸、有害垃圾、节水灌溉、节约用电四个图标中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，，如果添加一个条件用“”使，则添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．有两根长度分别为和的木棒，要选择第三根木棒，把它们钉成一个三角形框架，则第三根木棒的长度可以是（ ）
A． B． C． D．
4．随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A． B． C．4或 D．4
8．通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，，交于点．若，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
10．如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，将一副分别含，角的直角三角板叠放在一起，角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果，那么为 度．
12．对于正数x；规定，例如：，，则的值为 ．
13．一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程用时，设小水管注水速度为．那么可列出关于的分式方程为 ．
14．已知等腰三角形的两边长，满足，这个等腰三角形的周长为 ．
15．如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为 ．
16．如图，在四边形中，，，，点在线段上由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当△与△全等时， ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算
(1)；
(2)：
(3)先化简，再求值：，其中，
18．（1）解分式方程：
（2）先化简，再求值：，其中
19．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．
(1)用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可以拼成如图2的大正方形．观察图2，请你直接写出下列三个代数式：之间的等量关系：___________；
(2)若要拼出一个面积为的长方形，则分别需要A号纸片，B号纸片，C号纸片各多少张？
(3)根据（1）中发现的等量关系，简便计算．
20．如图，在等边中，，、相交于点．
(1)求证；
(2)过点作，垂足为．若，，求的长．
21．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若四边形的面积为12，，求的长．
22．如图，中，平分．点E，F分别在边，上；，交于点G， ．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”．
(1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由．
(2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗 如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
(3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和．
24．在中，，
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，在（1）的条件下，点D为中点，连接，过A作于E，交于点F，求证：；
(3)如图3，若，点K为线段中点，H为线段上一点，使，连接、交于点I，若，求的长．(共5张PPT)
人教版2024 八年级上册
八年级数学上册期末押题卷02
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 轴对称图形的识别
2 0.85 用SAS证明三角形全等（SAS）
3 0.75 三角形三边关系的应用
4 0.65 用科学记数法表示绝对值小于1的数
5 0.65 同底数幂相乘；同底数幂的除法运算；合并同类项；分式乘方
6 0.65 判断是否是因式分解
7 0.65 求完全平方式中的字母系数
8 0.65 多项式乘多项式与图形面积
9 0.65 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用
10 0.64 角平分线的性质定理；角平分线的有关计算
二、知识点分布
二、填空题 11 0.75 三角形内角和定理的应用
12 0.65 新定义下的实数运算；分式化简求值；已知式子的值，求代数式的值
13 0.65 列分式方程
14 0.65 构成三角形的条件；因式分解的应用；绝对值非负性；等腰三角形的定义
15 0.65 完全平方公式在几何图形中的应用
16 0.64 全等三角形的性质
二、知识点分布
三、解答题 17 0.75 整式的混合运算；运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；整式的加减中的化简求值
18 0.65 分式化简求值；解分式方程（化为一元一次）
19 0.65 多项式乘多项式与图形面积；运用完全平方公式进行运算；完全平方公式在几何图形中的应用
20 0.65 含30度角的直角三角形；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的性质
21 0.65 全等三角形综合问题；角平分线的判定定理
22 0.65 根据平行线判定与性质证明；与角平分线有关的三角形内角和问题；利用邻补角互补求角度
23 0.4 平方差公式分解因式；运用平方差公式进行运算；提公因式法分解因式
24 0.15 全等三角形综合问题；含30度角的直角三角形；等边对等角；三角形内角和定理的应用
