北师大版（2024）八年级数学上册实数期末专题复习课件

(共68张PPT)
实数
知识点 若x2 = a（a≥0），则x是a的平方根，记为；其中非负的平方根是a的算术平方根。
示例 混淆平方根与算术平方根，如误将16的算术平方根写成4；忽
略被开方数非负，如计算（无意义）。
易错点 求16的平方根和算术平方根，平方根为=4，算术平方根
为=4。
平方根与算术平方根
知识点01
知识点 若x3 = a，则x是a的立方根，记为，任意实数都有唯一立方根。
示例 求-8的立方根，=-2（因(-2)3=-8）。
易错点 符号判断错误，如误将算成3；与平方根混淆，认为负数
没有立方根。
立方根
知识点02
知识点 实数分为有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数）；实数与数轴上的点一一对应，且实数的相反数、绝对值、倒数性质与有理数一致。
示例 在、3.14、中，是无理数，3.14和是有理数。
易错点 误将无限循环小数归为无理数；忽略无理数的绝对值计算。
实数的分类与性质
知识点03
知识点 二次根式乘除：=（a≥0,b≥0），=（a≥0,b>0）；加减需先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式。
示例 计算+，化简得2+3=5。
易错点 运算前未化简，如直接计算+得；忽略被开方数取值范围，如计算（无意义）。
二次根式的运算
知识点04
无理数的识别
题型一
解｜题｜技｜巧
1. 定义判断法：若一个数不能表示为两个整数的比值（即分数形式，p、q为整数且q≠0），则为无理数。例如π、无法写成分数，是无理数。
2. 小数特征法：无理数的小数形式是无限不循环小数。若小数有限（如0.5）或无限循环（如0.3...），则为有理数；若无限且无循环规律（如1.010010001...），则为无理数。
无理数的识别
题型一
解｜题｜技｜巧
3. 常见类型法：记住典型无理数，如开方开不尽的数（、）、特定常数（π、e）、构造的无限不循环小数，可快速识别。
4. 运算排除法：有理数间的加、减、乘、除（除数不为0）运算结果仍为有理数，若运算后出现无限不循环小数，则结果为无理数。
【例1】（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中都是无理数的为（ ）
A．0.07，，π B．，π， C．，，π D．，π，
解：A、0.07，，π中的0.07、不是无理数，不符合题意；
B、，π，中的不是无理数，不符合题意；
C、，，π中的，，π都是无理数，故符合题意；
D、，π，中的不是无理数，不符合题意．
故选：C．
C
【变式1-1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）在实数，，，，，，…中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
解：，是整数，是有限小数，是分数，它们都不是无理数，
，，…是无限不循环小数，它们是无理数，共3个，
故选：C．
【变式1-2】 （24-25八年级上·全国·期末）在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：，3.1415926，是有理数；
， ，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）是无理数，无理数有4个．
故选D．
D
程序设计与实数运算
题型二
解｜题｜技｜巧
1. 理清程序逻辑：仔细看清楚每一步的判断条件和运算，特别是循环的条件。
2. 逐步计算推理：从初始流程开始，一步步代，直到分支走向输出为止。
【例2】 （24-25七年级下·四川绵阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，∴，是有理数，
取算术平方根为，是无理数，
符合题意，可以输出，∴，
故选：B．
【变式2-1】 （24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
解：当时，算术平方根为，是有理数，
再取立方根，是有理数，
倒回再取的算术平方根为，是无理数，
∴输出的值为，故选：B．
B
【变式2-2】 （23-24七年级下·陕西延安·期末）如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入的值是64时，输出的值是 .
解∶ 由题意得当时，，
∴，
∴，
故答案为：．
利用平方根与立方根的定义解方程
题型三
解｜题｜技｜巧
1. 还原“单根”形式：先通过移项、系数化为1，将方程化为“（未知数表达式）的n次方 = 常数”的形式（n=2为平方根，n=3为立方根）。
2. 根据根的定义求解：
- 平方根：若，则，注意b<0时无实数解。
- 立方根：若（b为任意实数），则，立方根只有一个实数解。
3. 检验结果：将解代入原方程，验证是否满足等式，排除计算错误。
【例3】 （24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程：．
解：移项，得，即．
开平方，得．
∴，．
【变式3-1】 （24-25七年级下·江苏苏州·期末）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
（1）解：，
移项得，，
∵，
∴；
（2）解：，
∵，
∴，
解得，．
【变式3-2】 （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的x
(1)
(2)
（1）解：，
移项得：，
开平方得：，
解得：．
（2）解：，
移项得：，
开立方得：，
解得：．
平方根与立方根的综合应用
题型四
解｜题｜技｜巧
1. 先确定代数式有意义的条件：求平方根时，被开方的代数式需≥0（如需）；立方根无此限制，但需先保证代数式本身有意义（如分母不为0）。
2. 化简代数式再开方：先合并同类项或因式分解，如求，先化为，再根据的正负得结果，避免直接开方出错。
平方根与立方根的综合应用
题型四
解｜题｜技｜巧
3. 用开方定义反向求字母值：若（c≥0），则；若，则，通过等式变形解字母。
4. 结合值的范围验证结果：求出字母值后，代入原代数式的被开方数（针对平方根），验证是否满足≥0，确保解的有效性。
【例4】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根．
解：∵的算术平方根为，
∴，则，
∵，而的立方根为，
∴，即，
∴，
∴的平方根是
（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
∴，．
（2）解：当，时，，
∵9的平方根为，
∴的平方根为．
【变式4-1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【变式4-2】 （24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
（1）解：的平方根是，
解得：，
的立方根是2，
．
解得：；
（2）解：把代入中得：，
的算术平方根为3．
判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式
题型五
解｜题｜技｜巧
1. 判断二次根式：紧扣定义——形如（a≥0）的式子。关键看两点：一是根指数为2（可省略），二是被开方数a非负，两者同时满足即为二次根式。
2. 判断最简二次根式：需同时满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。
3. 判断同类二次根式：先将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类。
【例5】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、当时，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、不是二次根式，不符合题意；
D、，，不是二次根式，不符合题意；
故选B．
B
【变式5-1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若有意义，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．4 D．7
解：由题意得：，
解得：，
则的值可以是7，
故选：．
D
【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、 被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数有平方因数4，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数中的指数为2，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、 被开方数不含分母，且因式和的指数均为1（都小于2），故是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
D
【变式5-3】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
解：由题意知与是同类二次根式，
，
解得，
∴，
故选B．
B
解｜题｜技｜巧
1. 抓核心性质：牢记两大核心性质， = ||（注意绝对值，避免直接等于）和 = （a≥0，b0），以此为化简依据。
2. 先判被开方数非负：先确认被开方数是正数或0，若含字母需明确取值范围，保证二次根式有意义。
3. 分解被开方数：将被开方数拆为“平方数×非平方数”。
4. 处理绝对值：化简时，根据的正负去绝对值。
5. 最终检查：确保结果满足“被开方数不含平方因子”“不含分母”，即化为最简二次根式。
利用二次根式的性质化简
题型六
【例6】 （24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ．
解：由数轴可得，
∴，
故答案为：7．
【变式6-1】 （24-25八年级下·吉林长春·期末）已知实数a的取值范围是，化简代数式． 的值为 .
解： ∵，
∴
．
故答案为：6．
【变式6-2】（24-25八年级下·河南许昌·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：，
解：隐含条件，解得：．
，
原式．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，隐含的条件是： ________．
（2）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
解：（1），
，
故答案为：；
（2）由（1）可知：，
，
，
；
（3）∵，b，c为的三边长，
，，
，，
．
判断二次根式运算是否正确
题型七
解｜题｜技｜巧
先抓核心前提，被开方数必须非负，运算结果需是最简二次根式；再查运算规则，同类根式才能合并，加减只算系数、根号不变。
乘除要满足非负条件，
(a≥0,b≥0)，=(a≥0,b≥0)，牢记乘方=|a|，每步核对，就能快速判对错。
【例7】（24-25八年级下·云南普洱·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
．
解：A：∵，∴A错误；
B：∵，∴B错误；
C：∵，∴C错误；
D：∵，∴D正确；
故选：D．
【变式7-1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列计算正确的是（　）
A． B．
C． D．
解：A．，故错误．
B．，故B正确．
C．，故C错误．
D．（除非），故D错误．
故选：B．
【变式7-2】（24-25八年级下·四川南充·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、与的被开方数不同，不能合并，故本选项计算错误；
B、，故本选项计算错误；
C、，故本选项计算正确；
D、，故本选项计算错误．
故选：C
解｜题｜技｜巧
1. 遵循运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右进行。
2. 先化简再运算：将所有二次根式化为最简形式，减少计算量。
3. 巧用运算律：乘法分配律（a(b+c)=ab+ac）可简化计算，避免逐项展开。
4. 注意符号与细节：计算时留意负号，分母有理化要彻底，最后检查结果是否为最简二次根式。
二次根式的混合运算
题型八
【例8】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）计算：
(1)
(2)．
（1）解：
；
（2）解：
．
【变式8-1】（（24-25八年级上·广东清远·期末）计算：
(1)；
(2)．
（1）解：
；
（2）解：
．
【变式8-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）计算：
(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
解｜题｜技｜巧
1. 精读定义，明确规则：先逐字理解新定义的含义，标注关键条件（如定义域、运算公式等）。
2. 套用定义转化问题：将新定义中的符号、表达式代入题目，转化为熟悉的二次根式运算。
3. 结合二次根式性质验证：化简或计算时，同步运用二次根式的非负性、最简形式等性质，确保结果符合数学规范。若新定义涉及字母，需结合定义域判断取值范围。
4. 举例验证，避免错用：若对定义理解模糊，可代入简单数值试算，验证运算逻辑是否正确，再解决原题。
二次根式中的新定义型问题
题型九
【例9】（24-25八年级下·福建福州·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算： 如 ．请你计算 。
解：∵
∴；
故答案为：
【变式9-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ．
解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）；
②当时，，解得（舍去）；
③当时，，解得；
综上所述，的值为．故答案为：。
【变式9-2】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”．
(1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）；
(2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值．
（1）解：∵，
∴是“和谐数组”；
∵，不是整数，
∴不是“和谐数组”．
（2）解：若，则，解得：；
当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件；
若，得，与12重复，舍去．
综上可知．
解｜题｜技｜巧
1. 列举前几项，直观找规律：先计算前3-4个式子的结果，观察被开方数、根号外系数、结果的变化趋势。
2. 用字母表示规律：将发现的规律用含n（n为正整数）的式子概括，注意标注n的取值范围。
3. 验证规律正确性：对概括的式子进行代数证明，左边通过二次根式性质化简，看是否等于右边。
4. 按规律解决问题：根据验证后的规律，计算指定项或推导后续式子。
二次根式中的规律探究问题
题型十
【例10】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题．
第1个等式：． 第2个等式：．
第3个等式：． 第4个等式：……
(1)请直接写出第5个等式____________．
(2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明．
（1）解：第1个等式：，
第2个等式：， 第3个等式：，
第4个等式：，第5个等式：；
【变式10-1】（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，特例2：，
特例3：，特例4：，
特例5：______（填写运算结果）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)应用运算规律．
若（均为正整数），则的值为______．
（1）解：特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：，
故答案为：；
（2）解：特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：，
，
特例n：，
故答案为：；
（3）解：由可知：，
均为正整数，
∴，，
，
故答案为：．
1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
解：选项A， 的被开方数含有分母， 不是最简二次根式；
选项B， 中， 能开方为 ， 可化简为 ，不是最简二次根式；
选项C， 的被开方数为和形式，无平方因子，且不能化简， 是最简二次根式；
选项D， = = ，可化简， 不是最简二次根式；
故选C．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
C
2．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）在下列实数中无理数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
A
解：，
无理数为：，，，
故选：A．
3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（ ）
A．1 B． C． D．
解：∵且，且，
∴ 且，
∴ ，即，
，即，
∴，
∴ ，
故选：D．
D
4．（24-25八年级上·湖南永州·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）．
解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 .
3
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
故答案为：3．
6．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为 ．
解：∵，
∴，
∴，
∴整数部分，小数部分，
∴﹒
故答案为：
7．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）计算：
(1)
(2)
(3)
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
=
．
8．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分．
(1)求a，m，b，c的值；
(2)求的算术平方根．
（1）解：由题意得，
，
，
∵的立方根为，
， ，
∵是的整数部分，且，
；
（2）解：由（1）可知，，，
，
算术平方根为．
1．（24-25八年级下·广西百色·期末）下列各数中，能使有意义的是（ ）
A． B． C． D．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
解：使有意义，即，
解得：，
故选：D．
D
2．（24-25九年级上·河南周口·期末）下列二次根式的计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：，而，，故A项错误．
与不是同类二次根式，不能合并，故B项错误．
，故C项正确．
，，故D项错误．
故选：C．
C
3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
解：∵矩形的长为，面积为，
∴矩形的另一边长为，
∵，
∴剪下的正方形的最大面积是，
故选：．
D
4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
解：∵，且为正整数，
∴，
即，，
∵为正整数，
∴，
即，
∴，
B
①当时，，
不符合题意，舍去；
②当时，，
不符合题意，舍去；
③当时，，
即或（不符合题意，舍去）；
∴．
故选B．
5．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ．
解：由，
∵能与最简二次根式合并，
∴，解得：，
故答案为：．
4
6．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）规定：表示不超过的最大整数，表示的小数部分，，其中为实数．例如，，．计算： ．
解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
7．（21-22七年级下·湖北恩施·期末）按要求解答问题：
(1)计算：；
(2)求式中的值：．
（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴或．
8．（24-25七年级下·广东珠海·期末）已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根．
(1)填空： ， ， ；
(2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值．
（1）解：∵的平方根是，的立方根是3，
∴，，
∴，
∵m是的算术平方根，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴m的整数部分为2，小数部分为，即，
∴．