2025-2026学年九年级数学上学期期中复习检测卷---人教版（含答案）

2025-2026学年九年级数学上学期期中复习检测卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分).
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，是方程的两个根，则（）
A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
5．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A．10 B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
9．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，是方程的两根，则满足．其中正确结论的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，在中,，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.）
11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ．
12．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ．
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
14．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，若点P为上一动点，旋转后点P的对应点，则线段的最小值是 ．
15．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是 s．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为 ．
三．解答题（本大题有9小题，共72分.）
17．（本题6分）用适当的方法解方程：
(1)； (2)；
18．（本题6分）如图，抛物线 经过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标．
19．（本题8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于原点的中心对称图形．并写出点的对应点的坐标；
(2)画出将绕原点按逆时针方向旋转后的图形；
(3)连接，，，求出的面积．
20．（本题8分）已知关于的方程．
(1)求证：不论为何值，该方程总有实数根；
(2)若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长．
21．（本题8分）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为万元，市场调研表明：当销售价为万元时，平均每周能售出辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．销售利润销售价进货价
(1)求与的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围；
(2)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
22．（本题8分）在等边三角形的内部有一点D，连接，，以点B为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点C为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
23．（本题8分）近年来越来越多的商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要途径，为了在店庆期间扩大销量，某商家在直播间销售一种高档水果，将售价从原来的每千克元经两次降价后，调至每千克元．
(1)若该商家两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)现在店庆结束了，商家准备适当涨价，如果现在每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价元，日销量将减少千克，则商品涨价多少元时，商家每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．（本题10分）在坐标系中，直线与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于，点M是直线上的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图，点M在运动过程中，当时，求点M的坐标；
(3)若点N在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点M，使以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（本题10分）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．
(1)求b，c的值；
(2)如图，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得线段PD，且点D恰好落在直线上，求点P的坐标；
(3)若点M是OB的中点，以点O，M，C，P为顶点的四边形的面积为S．
①求S与m的函数解析式；
②根据S的不同取值，结合图象，直接写出S随m变化时自变量m的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．D
解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．B
解：∵方程中，，，，
∴，．
只有选项B正确．
故选B．
3．D
解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故答案为：D．
4．D
解：原抛物线可化为，顶点坐标为；
平移后抛物线,可化为，顶点坐标为
顶点从到，横坐标增加，即抛物线向右平移个单位，与选项D一致．
故选：D．
5．B
解：依题意，设长为x步，
∵宽与长的和为60步，
∴宽为步，
则，
故选：B．
6．B
解：由图象可知，当时，，故①正确；
当时，，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴，，
∵抛物线与x轴的交点是和，其中，
∴对称轴，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，故④正确．
故正确的有3个．
故选：B．
7．B
解：如图，连接，交于点，
由旋转的性质得：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．A
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
其中，，，
∴，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴且．
故选：A．
9．D
解：由题意，，对称轴为直线，
，即，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
当时，，
，即，
，
，
解得，
，故③错误；
，，
，故④正确；
方程的两根、是抛物线与直线交点的横坐标，
，抛物线与 轴交于点 、 ，开口向上，
，，则，，
又 ，
，故⑤正确；
正确的有①②④⑤，
故选：D．
10．C
解：∵绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴②正确；
∴，
∵，
∴，
∴；
∴①正确；
，如图，连接，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴③正确；
连接，如图，
∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴④错误；
综上所述，正确的为①②③，共3个；
故选：C．
二．填空题
11．
因为点与点关于原点对称，
所以，．
因此．
故答案为：．
12．或
解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为或，
故答案为：或．
13．且
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得，且，
故答案为：且．
14．
解：如图，连接、，过点A作于点，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵点为上一动点，旋转后点的对应点，
∴当点与点重合时，有最小值为，
∴线段的最小值是．
故答案为：．
15．
解：，
，
设运动时间为，
，
的面积为，
，
解得：，
当时，，不成立，舍去，
．
故答案为：．
16．
解：设，直线的解析式为，
∵将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴
解得或，
∴，
又∵将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，
∴轴，，
中，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，即，
∴直线的解析式为，
∴
解得或，
∴
中，令，则，
∴，
同理，，
，
…，
即的横坐标为，纵坐标为
的横坐标为，纵坐标为，
的横坐标为，纵坐标为，
…，
∴的坐标中，当n为奇数时，横坐标为，纵坐标为，
∴的横坐标为，纵坐标为，
即
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：
（2）解：
．
18．（1）解：∵抛物线 经过点，，
∴，
解得，
∴；
（2）解：由（1）得，
则，
∴抛物线的顶点坐标为．
19．（1）解：如图，即为所求：
点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：如图，连接，，，
∴的面积为：．
20.（1）证明： ，
，
不论为何值，该方程总有实数根；
（2）等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，
当，为腰时，，，且，
，
解得：，
，
周长；
当，或，为腰，则是方程的解，
，
，
，
，
的周长；
的周长为或．
21．（1）由题意得：，
∴（）；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元，
则
，
∴时，S最大为50．
∵（万元），
∴每辆汽车的定价为万元时，销售利润最大，最大利润为50万元．
22.（1）解：，理由如下：
∵逆时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴.
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴.
（3）证明：∵顺时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
23.（1）解：设每次降价的百分率为．
根据题意得，，
解得，（不符合题意，舍去），
答：每次降价的百分率为；
（2）设商品涨价元，则每千克盈利元，日销量为千克．
根据题意得，，
因为，
所以当时，有最大值，
答：商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元．
24.（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当时，得：，
解得：；
当时，得：，
，，
设直线的解析式为，
将点，分别代入得：，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：，，，
，，，
，
，
点M在直线上，
或，
①当时，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
；
②当时，
得：，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
，
综上所述，点M的坐标为或；
（3）解：平面内存在一点M，使得以点A、B、M、N四点为顶点形成的四边形是菱形；理由如下：
设，相交于点E，则，，设，
①当四边形是菱形，如图1
，即，
，
，
或；
②当四边形是菱形，如图2，
此时，即，
，
解得：，
；
③当四边形是菱形时，过点M作轴于点Z，如图3，
此时，即，
，
解得：不合题意，舍去或，
；
综上所述，M坐标为或或或
25.（1），在上，
，
解得：；
（2）如图，过点作于点，过点作的延长线于点，
，，
由旋转的性质知，，
，
，
，
，
点的横坐标为，
，，且，
，
，
，
解得：，，
或；
（3）由题意知，当时，，
，即，
，即，
当点在轴左侧，即时，如图所示，
则
；
当点在轴右侧，即时，连接，
则
，
综上所述，，
当或时，的值随的增大而减小；当时，的值随的增大而增大，理由如下：
，
由图可知：当或时，的值随的增大而减小；当时，的值随的增大而增大．