九年级数学上册试题 22.1 二次函数的图像与性质 期末小节复习题--人教版（含答案）

22.1《二次函数的图像与性质》期末小节复习题
题型1 利用坐标和函数的性质求二次函数解析式
重难点一 一般式
1.抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 …
从上表可知，时，的值为（ ）
A． B． C． D．0
2．已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．
重难点二 顶点式
3．已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式，并求出它与x轴和y轴的交点坐标．
4．在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值．
(1)求这个二次函数的表达式
(2)试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由
重难点三 变换式
5．已知抛物线．
（1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为 ．
（2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为 ．
（3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为 ．
6．若将抛物线先向右平移3个单位长度，在向下平移3个单位长度后得到抛物线的解析式为，则的值为 ．
7．绕原点旋转，再向右平移3个单位长度，求新函数解析式为： ．
重难点四 根据二次函数的性质求解析式
8．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B．此抛物线对应的函数表达式；
9．已知直线与抛物线的一个交点坐标为，抛物线对称轴是直线．求出直线和抛物线的表达式；
题型2 利用坐标和函数图像求二次函数解析式
重难点一 已知抛物线与坐标轴的交点
10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点是二次函数的图象的对称轴与直线的交点，点是二次函数图象的顶点，求的长．
11．如图，已知抛物线（、为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)在轴下方的抛物线上是否存在点，使得的面积是面积的倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
重难点二 已知抛物线与坐标轴的交点、对称轴
12．已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接）
13．如图，二次函数图象过原点，直线为抛物线对称轴且，，求该二次函数的解析式．
14．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B．
(1)点C的坐标为______；
(2)将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式．
题型3 函数值的大小比较
15．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
16．已知二次函数的图象上有两点、，如果，那么、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
17．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
18．若二次函数的图象经过三点．则关于大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．二次函数的图象经过、、、、，则、、的大小关系是 ．
20．已知二次函数，经过点和点．当时，的取值范围为或．则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
21．已知二次函数（为常数）的图象上的两点．、，若，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较的大小
22．点,都在二次函数的图象上，若，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
题型4 二次函数与最值问题
重难点一 顶点处取得最值
23．当 时，二次函数的最小值是 ．
24．二次函数的最大值为 ．
25．二次函数的最大值为4，则实数的值为 ．
重难点二 定轴定区间
26．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ．
27．已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ．
28．已知二次函数，当时，则y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
29．已知二次函数（），若时，函数的最大值与最小值的差为4，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
重难点三 定轴动区间
30．对于二次函数，当自变量满足时，函数值的取值范围为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
31．当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ．
32．已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ．
33．已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ．
重难点四 动轴定区间
34．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ．
35．已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是 ．
36．已知，设y的最大值为M，则M的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．9
37．已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（ ）
A． B．1或 C．或 D．1或
重难点五 动轴动区间
38．已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
题型5 二次函数的图像与各项系数间的关系
重难点一 二次函数图像与各项系数符号
39．已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
40．已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）
①；②； ③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
41．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有 ．

42．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论：①，②，③，④，⑤时，随的增大而增大．其中正确的是 ．
重难点二 二次函数图像与各项式子符号
43．已知抛物线经过点，且满足下列四个结论：①；②；③若，则不等式的解集或；④抛物线上的两个点，，当，且时，．其中一定正确的是 ．（填写序号）
44．如图是抛物线（，，是常数，且）的一部分，其对称轴是直线，且与轴的一个交点坐标是，则下列结论中正确的有 （填序号）
①；②；③关于的一元二次方程的根分别是，则；④若，则或．
45．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立．其中正确的有 ．
46．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有 ．
47．如图，二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确结论为 ．
48．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ．
重难点三 函数图像综合
49．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ）
A．B． C． D．
50．已知二次函数的图象如图，则和的图象为（ ）
A．B．C．D．
51．在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
52．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型6 二次函数与方程、不等式
53．已知抛物线
(1)抛物线的对称轴为直线，且经过点
①求抛物线的函数表达式．
②若点，都在此抛物线上，求m的值．
(2)若点落在此抛物线上，求证：．
54．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时．
①求证：该抛物线的顶点不在第三象限；
②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值．
(2)若，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和．当时，求的最小值．
55．在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为它们的“密接点”．例如：函数与函数有且只有一个交点，则称这两个函数为“亲密函数”，点称为它们的“密接点”．
(1)判断下列几组函数，是“亲密函数”的有 （填写编号）．
①与；②与；③与
(2)一次函数与二次函数（其中为常数，）是“亲密函数”，求的值；
(3)一次函数与反比例函数（其中为常数，）是“亲密函数”，且它们的“密接点”到原点的距离等于3，求的值．
56．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)并根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围．
57．在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点．
(1)若抛物线经过点，求的值；
(2)已知，若，有最大值9，求的值；
(3)①求点坐标；
②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围．
58．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．
(1)当时，
①直接写出b与a满足的数量关系；
②m与n的大小关系是：m_______n．（填“＞”，“＜”或“＝”）
(2)已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围．
参考答案
题型1 利用坐标和函数的性质求二次函数解析式
重难点一 一般式
1.D
解：把，、，和，代入，
可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴当时，的值为．
故选：D
2．解：∵二次函数的图像经过点、和，
∴
解得：
∴该函数解析式为：，
∵，
∴图像开口向下；
∵，
∴顶点为，对称轴为直线．
重难点二 顶点式
3．解：设二次函数解析式为，
∵点在二次函数的图象上，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
在中，当时，，
当时，解得或，
∴二次函数与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为．
4．（1）解：由题意设这个二次函数的表达式为，
将点代入，得，
解得，
这个二次函数的表达式为；
（2）点在此函数图象上；
理由：当时，，
在此函数图象上．
重难点三 变换式
5．
解，
（1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为，
即，
故答案为：；
（2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为，
即，
故答案为：；
（3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为，
即，
故答案为：．
6．
解：将抛物线先向右平移3个单位长度，在向下平移3个单位长度后得到抛物线的解析式为，对照可得：，
∴，
∴；
故答案为．
7．
解：把抛物线绕原点旋转，开口方向变为相反数，故变为，对称轴直线变为相反数，故不变，变为，可得：，
再向右平移3个单位长度，
得到抛物线的解析式是，
故答案为：．
重难点四 根据二次函数的性质求解析式
8．（1）解：由题意得：
，
解得：，
∴；
9．（1）解：将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为
∵点在抛物线上，对称轴是直线，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
题型2 利用坐标和函数图像求二次函数解析式
重难点一 已知抛物线与坐标轴的交点
10．（1）解：将，代入，得
，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为（），将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
抛物线的对称轴与直线的交点为，
当时，，即点的坐标为，
∴．
11．（1）解：∵抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，
∴，解得：，
∴该抛物线的函数解析式为；
（2）解：存在，理由，
∵，，
∴，
由（）得抛物线的函数解析式为，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为或．
重难点二 已知抛物线与坐标轴的交点、对称轴
12．（1）解：令，则；
∴抛物线与轴的交点为；
∴；
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：；
∴此抛物线的解析式为：；
（2）解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线．
∵且，
∴
故答案为：
13．解：∵，，
∴顶点B的坐标为，
∴可设该二次函数的解析式为．
∵二次函数图象过原点，
∴，
解得：，
∴．
14．（1）解：∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，
∴点的坐标为；
（2）解：把，分别代入，得，
，
解得，，
∴二次函数的解析式为，
将二次函数的图象向下平移3个单位长度后，新抛物线的解析式为．
题型3 函数值的大小比较
15．D
解：对于抛物线，由可得抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远的点函数值越大，
∵点，，在抛物线上，且，
∴，
故选：D．
16．A
解：∵，，
∴对称轴为直线，且二次函数的图象开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴，
故选：A．
17．B
解：二次函数，
，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：，
点，，是二次函数图象上的三点，
点与对称轴的距离为：，
点与对称轴的距离为：，
点与对称轴的距离为：，
，，与对称轴的距离按由远到近排序为：A、B、C，
．
故选B．
18．A
解：二次函数的对称轴为直线．
∴点到对称轴的距离为；
点到对称轴的距离为；
点到对称轴的距离为．
∵．二次项系数，开口向上，因此离对称轴越远的点，y值越大．
∴，
故选：A．
19．
解：二次函数的图象经过、，
二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
距离对称轴越近函数值越大，
，
、、三点中，点离对称轴最近，点离对称轴最远，
，
故答案为：．
20．A
解：∵二次函数，
∴函数的对称轴为，
∵当时，的取值范围为或，
∴二次函数与直线的交点为和，
∴对称轴为，
∴，解得，
则二次函数，
∵点和点过二次函数，
∴，，
∵，
∴，
故选∶A．
21．B
解：∵，
∴该二次函数的图象的对称轴为，开口向上，
∵，
∴，，
∵
，
，即．
故选：B．
22．D
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点,都在二次函数的图象上，，
∴，
解得：；
故选：D．
题型4 二次函数与最值问题
重难点一 顶点处取得最值
23．
解：将二次函数化成顶点式，得：
，
二次函数的顶点坐标为，
，
二次函数开口向上，
当时，二次函数的最小值为，
故答案为：，．
24．
解：二次函数
∵
∴当时，取得最大值，最大值为
故答案为：．
25．或
解：∵的最大值为4，
∴
解得：或
故答案为：或．
重难点二 定轴定区间
26．36
解：，
抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0，
当时，，
当时，，
当时，最大值为36，最小值为0，
二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：．
故答案为：36．
27．1
解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线，
∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远，
∴当时，取得最大值，最大值为，
又∵当时，的最大值为9，
∴，
解得，
故答案为：1．
28．A
解：∵，
该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵，，
∴当时，取得最小值，最小值为，
∵当时，；当时，，
当时，．
故选：A．
29．C
解：当时，
对称轴为，
当时，有最小值为，当时，有最大值为，
．
，
当时，同理可得
有最大值为； 有最小值为，
，
，
综上，的值为
故选：C
重难点三 定轴动区间
30．C
解：∵二次函数，
∴该函数的顶点坐标为，对称轴为：直线，
把代入解析式可得：，
把代入解析式可得：，
所以函数值的取值范围为时，自变量的范围为，
故可得：，
故选：C．
31．或
解：由题意，∵，
∴抛物线开口向上，当时，y取最小值为．
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大．
∴当时或当时，y取最大值．
①当时，y取最大值，此时，即．
又∵此时y最大值为，
∴（不合题意，舍去）或．
②当时，y取最大值，此时，即．
又∵此时y最大值为，
∴或（不合题意，舍去）．
综上，或．
故答案为：或．
32．
解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且图象的点离对称轴的距离越近函数值越小，
∴和的函数值相等，
∵当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，
∴函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值，
∴，
故答案为：．
33．或3
解：∵，
∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为，
∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
∴当时，，
解得，，，
在时，当时，最大值为1，此时；
在时，当时，最大值为1，
综上，a的值为或3，
故答案为：或3．
重难点四 动轴定区间
34．
解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴是，当时，有最小值，离对称轴越远函数值越大．
∵，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值，
∴，
解得．
故答案为：．
35．或
解：，
抛物线对称轴为：直线，顶点坐标为．
，
抛物线开口向下．
当时，；
当时，．
①当，即时，如图1．
当时，，
当时，，
，
解得，（不合题意，舍去）；
②当，即时，如图2．
当时，，
当时，，
，
解得，（不合题意，舍去）；
③当，即时，如图3．
当时，最大值，
当时，，
，
解得（不合题意，舍去）．
综上所述，的值为或．
36．C
解：由题意得，原函数对称轴为直线，
①若，即，则原函数在时取到最大值，
从而．
②若，即，则原函数在时取到最大值，
从而．
综上，可知当时，．
故选：C．
37．C
解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线．
当，即时，时取最大值（如图1所示），
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当，即时，时取最大值（如图2所示），
，
解得：；
当，即时，时取最大值（如图3所示），
，
解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）．
综上所述，的值为或．
故选：C．
重难点五 动轴动区间
38．C
解：∵，
∴顶点坐标为 ，
∵，即抛物线开口向上，
∴最小值为，
∴当时，该函数的最小值为，
∵，
∴当时，函数取得最大值，为，
∵当时，该函数的最大值与最小值的差是，
∴，
解得：．
故选：C．
题型5 二次函数的图像与各项系数间的关系
重难点一 二次函数图像与各项系数符号
39．D
解：如图，∵抛物线开口方向向上，
∴，
当时，，
∴点所在的象限是第四象限，
故选：D
40．C
解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，且在直线的右侧，
∴，
∴，，
∴，，故①错误，④正确；
∵抛物线与x轴有两个不相同的交点，
∴，即，故②正确；
∵当时，，
∴，故③正确；
故选：C．
41．②⑤
解：∵二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，
∴，，，
∴故①不正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，且开口向下，二次函数的最大值为，
故②正确；
由图象可知时，，即，
故③不正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
故④不正确；
∵对称轴为直线，，
∴，
由图象可知，时，，
故⑤正确．
故答案为：②⑤．
42．①②⑤
解：∵二次函数图象开口向上，
∴，
∵二次函数图象与y轴交于负半轴，
∴，
∵二次函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴，，
∴，
∴①正确，③错误，
∵二次函数图象经过，对称轴为，
∴二次函数图象与x轴另一个交点为，
∴，②正确；
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴，④错误，
观察图象得，时，y随x的增大而增大，⑤正确．
综上①②⑤正确，
故答案为：①②⑤．
重难点二 二次函数图像与各项式子符号
43．①②③
解：∵抛物线经过点 ，
∴，即，故①正确，
∴
∴对称轴为直线
又∵满足
∴抛物线经过点
代入
∴
∴
∴
若，则，，此时，成立；
若，则，，此时，仍成立．
因此，无论正负，，故结论②正确
∵，代入，
．
解得：
不等式，整理为：．
代入，：
，即：．
当时，，解得：或．
因此结论③正确
当时，由得，抛物线开口向上，对称轴为．
比较点和的纵坐标：
，
．
代入，：
展开化简：，
故．
同理，
展开化简：，
故．
由得：（因，可两边除以）：
．
因此，正确答案为①②③．
故答案为：①②③．
44．②③④
解：由图象知：，，
∵对称轴是直线，
，
，
，故①错误；
，
，故②正确；
根据抛物线的对称性，点关于直线的对称点是，
∴抛物线与轴的交点坐标是和，
∴关于的一元二次方程的根是，
∴，故③正确；
，
，
∴对于函数，
当时的函数值应小于当时的函数值．
，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
，
∴或，故④正确．
综上，正确的有②③④．
故答案为：②③④．
45．①③④
解：对称轴是直线，
，
故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故②错误；
将代入，可得，
由图像可知，此时图像在轴上方，故，故①正确；
时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确；
时，函数有最大值，
故，即不等式总成立，故④正确；
故答案为：①③④．
46．①③④⑤⑥
解：①∵抛物线图象开口朝上，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，即，故②错误；
∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方，
，
，故①正确；
③经过，
又由①得，，
，故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等，
当时，即
，
即，
经过，即经过，故④正确；
⑤当时，，当时，，
，
函数有最小值，
，
∴，
∴，故⑤正确；
⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确；
综上所述：①③④⑤⑥正确．
故答案为：①③④⑤⑥．
47．③④
解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，则结论①错误；
由得：，
由图象可知，当时，，
∴，
∴，则结论②错误；
当时，，
∴，
由函数图象可知，，
∵，
∴，即，
∴，则结论③正确；
∵，，
∴，
将点代入函数得：，
∵，
∴，即，
将代入得：
，
∴关于的方程有一个根为，则结论④正确；
综上，正确的结论为③④，
故答案为：③④．
48．①②③
解：由所给图像可知，
，，，
所以．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
则．
故②正确．
因为点坐标为，
由得，，
所以点的坐标为，
则，
所以．
因为抛物线的对称轴为直线，且点坐标为，
所以点的坐标为．
由得，
，
所以．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
所以当时，二次函数有最大值，
即对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有，即．
故④错误．
故答案为：①②③．
重难点三 函数图像综合
49．C
解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
二次函数图象的开口向下，二次函数的对称轴，
对称轴应在轴的右侧．
故选：C．
50．C
解：二次函数图象开口向下，
；
二次函数图象与y轴交点在负半轴，
当时；
，，
，
对于一次函数的图象，当，直线经过第一、二、四象限，
对于双曲线，当时，双曲线的两个分支在第二、四象限，选项C符合题意；
故选：C．
51．A
解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为，同时也可得，故选项正确，符合题意；
B．根据一次函数图像可知，而根据二次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意；
C．根据二次函数的图像可知，根据一次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意；
D．二次函数图像与y轴的交点不是，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
52．D
解：根据题意，得，
解得，
故两个函数的交点为，
又，
∴交点位于x轴的上方，
由，得，
直线与x轴交于负半轴，
由抛物线得抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的对称轴位于y轴的左侧，
故A， B，C都不符合题意；D一致，符合题意，
故选：D．
题型6 二次函数与方程、不等式
53．（1）解：①抛物线的对称轴为直线，且经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
②∵点，都在此抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵点落在此抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
54．（1）①证明：当时，代入抛物线并化为顶点式得：
，
顶点坐标为，
若顶点在第三象限，则
解得：，
该不等式组无解，
抛物线的顶点不在第三象限；
②解：为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，
．
，
，
抛物线为，
当时，，．则；
（2）解：，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和，
．
解得：．
．
，
．
，
直线与该抛物线有交点，将点的坐标分别代入得：
，
解得：，
抛物线为．
的图象开口方向向上，对称轴为直线．
①当，即时，，随的增大而减小，
当时，取最小值为．
②当，即时，，随的增大而减小，
，随的增大而增大，
当时，取最小值为0．
③当时，，随的增大而增大，
当时，取最小值为．
综上可知，当时，取最小值为；当时，取最小值为0；当时，取最小值为．
55．（1）解：依题意，，
则，
解得，
∴，
即与有且只有一个交点，
故①是“亲密函数”；
依题意，，
则，
此时无解
∴，
即与无交点，
故②不是“亲密函数”；
依题意，，
∴，
整理得，
解得，
∴，
即与有且只有一个交点，
故③是“亲密函数”；
故答案为：①③；
（2）解：∵一次函数与二次函数是“亲密函数”，
∴，
∴，
整理得，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，；
（3）解：∵一次函数与反比例函数（其中为常数，）是“亲密函数”，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
∴，
∴，
∴把代入，得，
即一次函数与反比例函数的“密接点”的坐标为
∵“密接点”到原点的距离等于3，
∴，
∴，
整理得，
把代入，得，
∴，
∴，
∴，
∵，
则．
56．（1）解：∵二次函数的图象相交于点，
∴，；
∴，
∵一次函数的图象过A点和B点，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：描点作图如下：
由图象可得，
不等式的解集为：或；
（3）解：把代入得
∵，
由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是或；
57．（1）解：将点代入，
得，
解得，
∴的值分别为；
（2）解：∵，
，
∴抛物线为，
∵，
∴抛物线顶点坐标为，
①当时，抛物线开口向上，，
∴当时，为最大值，
即，解得；
②当时，抛物线开口向下，
∴当时，为最大值，
即，解得；
综上所述，或
（3）解：①∵抛物线，
当时，，则点坐标为；
②∵，均在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过，，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
58．（1）解：（1）①由题意，∵，
∴．
②∵抛物线中，，
∴抛物线开口向上，
∵点，点在抛物线上，对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴．
故答案为：>．
（2）由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大．
∵，
∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
∵，都有，
∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
∴ ，
∴．
∴t的取值范围是．