2025-2026学年九年级数学上学期期中复习压轴题（21-24章）--人教版（含答案）

2025-2026学年九年级数学上学期期中复习压轴题（21-24章）
题型1 解一元二次方程
1．（1）计算： （2）解方程：
2．用合适的方法解下列方程
(1) (2)；
(4)．
题型2 —元二次方的根与系数的关系
3．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根：
(2)若此方程的两实数根满足，求实数的值．
4．嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“□”印刷不清楚．
(1)她把“□”猜成4，请你解方程；
(2)她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是2．”通过计算说明原题中“□”是几；
(3)若此方程两个实根都是整数，直接写出“□”中所有可能的正数之和．
题型3 实际问题与一元二次方程
5．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
6．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．
(1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？
(2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值．
题型4 y=ax +bx+c的图象与性质
7．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为任意实数）；⑥若是抛物线上两点，则．正确结论的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中，已知点的坐标为．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当点与点恰好关于抛物线对称轴对称时，设抛物线的顶点为点，求的面积；
(3)当此拋物线在点与点之间的部分（包含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的值．
题型5 根据二次函数的图象判断式子符号
9．如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有 ．
题型6 已知抛物线上对称的两点求对称轴
11．已知二次函数的部分图象如图所示．
(1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值．
(2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上．
12．已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）
①若，且，比较与的大小；
②当时，若是一个与无关的定值，求与的值．
题型7 根据二次函数的对称性求函数值
13．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 0 …
(1)当时，____________；
(2)求二次函数的表达式；
(3)若抛物线上两点的横坐标满足，则____________0（填“”“”或“”）．
14．已知抛物线．
(1)求此抛物线的顶点的坐标；
(2)若点，均在抛物线上，求线段的长度；
(3)若这条抛物线经过点，，且，求的取值范围．
题型8 线段周长问题（二次函数综合）
15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值．
16．如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线解析式；
(2)当，求t的值；
(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；
题型09 面积问题（二次函数综合）
17．如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求抛物线的解析式及其顶点坐标；
(2)判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由，若点在二次函数图像上，求出的面积；
18.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F．
（）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标；
（）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型10 角度问题（二次函数综合）
19．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求的长；
(2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标；
(3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标．
20．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标；
(3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．
题型11 特殊三角形问题（二次函数综合）
21．如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标；
(3)若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接．
(1)求抛物线解析式；
(2)当线段的长度最大时，求点P的坐标；
(3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标．
题型12 特殊四边形（二次函数综合）
23．如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点，为抛物线上的一个动点，连接，，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在直线上方时，求面积的最大值；
(3)当点在轴右侧时：
①连接，当的面积是面积的一半时，直接写出点的坐标______；
②设是抛物线对称轴上一动点，当、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的的值．
题型13 抛物线与x轴的交点问题
25．如图是二次函数的部分图象，有下列结论：①方程的两个根是，；②；③（为实数）；④若点，为抛物线上两点，当，且时，有，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
26．如图，抛物线的开口向下，与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列结论：①；②如果方程有两个实数根、，则；③；④如果，则．其中正确的结论有 ．
题型14 求x轴与抛物线的截线长
27．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
28．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值．
(2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围．
题型15 图象法解一元二次不等式
29．已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的解析式：
(2)根据图象，直接写出当时，的取值范围．
30．小明同学学习二次函数后，对函数研究．在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题：
(1)观察研究
①方程的解为________．
②关于x的方程有四个实数根时a的取值范围是____
(2)综合应用：当函数的图象与直线也有三个交点时，求出b的值．
题型16 坐标与旋转规律问题
31．如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点O、B分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点．则点的坐标是 ．
题型17 线段问题（旋转综合题）
33．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上．
(1)求的度数；
(2)求的长；
(3)求的面积．
34．已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，．
（1）如图2，当点与点重合时，线段 ．
（2）点运动过程中，线段的最小值是 ．
题型18 面积问题（旋转综合题）
35．已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到．
(1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长；
(2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接．
①判断线段与的位置关系并说明理由；
②求的值；
③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________．
36．综合与实践．
【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围；
【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）；
【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积．
题型19 角度问题（旋转综合题）
37.把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　）
A． B． C． D．
38．将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度 后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为
题型20 坐标系中的动点问题（不含函数）
39．如图，在长方形中，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示的长：
(2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值；
(3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值；
(4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值．
40．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25
题型21 中心对称图形规律问题
41．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）
(1)如图1，在中，为边上一点，在上找点，使得；
(2)在平行四边形中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分．
42．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( )
A． B． C． D．
题型22 已知两点关于原点对称求参数
43．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
44．对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点经1次斜平移后的点的坐标为，已知点A的坐标为．

(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C．
①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为，求出点B的坐标及n的值．
题型23 垂径定理的推论与应用
45．如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．

(1)求圆弧所在圆的半径的长；
(2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？
46．如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由．
(3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由．
题型24 圆周角定理及应用
47．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接．
(1)若，求的直径；
(2)若，求的度数；
(3)若弦分为的两部分，点F在上，求弦所对的圆周角的度数．
48．如图1，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，．
(1)若，，求的长；
(2)如图2，在中，，D为外一点，且，线段之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论：
(3)如图3，已知是的直径，点C，D是上的点，且，求证：．
题型25 点与圆的位置关系
49．如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
50．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（ ）
如
A． B． C． D．
题型26 切线定理的判定与性质
51．如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求的长．
52．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若点A、D的坐标分别为，，则的半径为______；
(3)在（2）的条件下，求的长．
题型27 正多边形和圆的综合问题
53．如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形．
(1)求的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比．
54．已知，正方形和它的外接圆．
(1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径；
(2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明；
(3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离．
题型28 弧长和扇形面积
55．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D ，E 分别在上，点 C 在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
56．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
(1)如图，连接，求的度数；
(2)如图，若点为的中点，且，求的长．
参考答案
题型1 解一元二次方程
1．解：（1），
；
（2），
，
，
，
，
∴，．
2．（1）解：，
，
，
即或，
；
（2）解：，
，
或，
；
（3）解：，
，
，
，
；
（4）解：，
，
，
，
，
．
题型2 —元二次方的根与系数的关系
3．（1）证明：关于的一元二次方程，
，
，
，
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
，
解得，
∴实数的值为．
4．（1）解：，
移项，得．
配方，得，即．
两边开平方，得．
解得．
（2）解：设方程的另一个根为m，中的数是n，根据题意，得，
解得：，
故中的数是8．
（3）解：设中的数是n，是方程的两个实数根，
则，
根据题意，得，
又都是整数，且
，
由于，
故 或或，
解得或或，
故正数之和为．
题型3 实际问题与一元二次方程
5．（1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，
根据题意，得，
解得，舍去，
答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为；
（2）设这种台灯售价应定为元，
根据题意，得，
解得，，
售价在元至元范围内，
，
答：这种台灯售价应定为元．
6．（1）解：设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克，
依题意得，
解得
当时，．
答：第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克；
（2）解：依题意得
整理得
解得（不合题意，舍去）
答：m的值为10．
题型4 y=ax +bx+c的图象与性质
7．B
解：由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，
∵拋物线对称轴为，
∴，故①正确．
该函数图象与轴两个交点，则，即，故②正确．
由图象可知，当时，，
∴，故③错误．
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，
∴与轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，
，
，
∴，故④正确．
∵当时，取得最大值，
∴，即（为任意实数），故⑤正确．
，
∴点关于抛物线对称轴对称，
∴，故⑥错误．
综上所述，正确的是①②④⑤，共4个．
故选：B．
8．（1）解：把点代入二次函数解析式得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为，
把配成顶点式得：，
∴顶点坐标为；
（2）解：由（1）可知：二次函数的对称轴为直线，，
∵点与点恰好关于抛物线对称轴对称，
∴，解得：，则，
∴点、Q的横坐标分别为，
∴，，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由题意得：，
由（2）可分：当时，此时点P、Q分别位于抛物线的对称轴两侧，且点P离抛物线的对称轴更近，
∴最小值为，最大值为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，此时点Q离抛物线的对称轴更近，
∴最小值为，最大值为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，此时最小值为，最大值为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：或．
题型5 根据二次函数的图象判断式子符号
9．B
解：由图象可知，当时，，故①正确；
当时，，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴，，
∵抛物线与x轴的交点是和，其中，
∴对称轴，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，故④正确．
故正确的有3个．
故选：B．
10．①④⑤
解：①∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，
∵抛物线与轴交于负半轴，
故①正确；
②当时，，
故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线，
∴与时的函数值相同，
∴时，，即，
故③错误；
④∵，
将代入，得，
故④正确；
⑤∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
当时，，
∴（为实数且），
故⑤正确；
故答案为：①④⑤．
题型6 已知抛物线上对称的两点求对称轴
11．（1）解：由题意得，该抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，
∴该抛物线与轴的另外一个交点坐标为，即，
把代入中得，解得；
（2）解：由（1）得该抛物线解析式为，
∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴点在抛物线上，即点在平移后的抛物线上．
12．（1）解：由题意得，将点代入得，，
即，
∴，
故所求抛物线的对称轴是直线．
（2）解：①∵
∴，
∴抛物线的解析式为．
又∵，
∴ ．
∵抛物线过原点，且点A与原点不重合，
∴，
∴，
故；
②∵在上，
∴，
∵在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是一个与无关的定值，
∴设（k为定值,）,
∴,
将 代入上式得：，
整理得，
由于上式对任意都成立，所以对应项系数相等，
则有，
解得，
∴．
题型7 根据二次函数的对称性求函数值
13．（1）解：由表格可知，和的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴和的函数值相同，
∴当时，；
（2）由（1）结合表格可知，抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，解得，
∴；
（3）∵的对称轴为直线，
∴当时，函数值随着的增大而增大，
∵抛物线上两点的横坐标满足，
∴，
∴；
故答案为：．
14．（1）解：把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，
可得：，
抛物线的顶点坐标是；
（2）解：点和点的纵坐标相等，
点与关于对称轴对称，
点到对称轴的距离是，
点到对称轴的距离也是，
；
（3）解：抛物线的解析式中，
抛物线开口向上，
由可知，抛物线的解析可以整理为，
抛物线的对称轴是，
点的坐标为，
点关于的对称点的坐标是，
当点，在对称轴左侧时，
若，则，
解得：；
当点，在对称轴右侧时，
若，则，
解得：；
综上所述，若，则或．
题型8 线段周长问题（二次函数综合）
15．（1）解：在二次函数的图象上，
解得
抛物线的解析式为；
（2）解：
对称轴为
如图，连接，
关于轴对称
的周长等于，
当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为
由抛物线解析式，
令，即，
解得，
，
，
∴，，
的周长的最小值为，
，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴．
16．（1）解：直线中，时，；时，．
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵设点（），则点，，
∴，，
∵，
∴，
解得：或4（与点B重合，舍去），
∴；
（3）解：点N到直线的距离为d，
求d的最大值即为求面积的最大值，
连接，如下图所示，
∵点，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴面积最大为8，
∵，
∴，
解得，
即d的最大值为；
题型09 面积问题（二次函数综合）
17．（1）解：依题意， 设抛物线，
代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为；
（2）在该二次函数的图象上，理由如下，
当时，，
∴在该二次函数的图象上，
∵
∴
∴
18．（1）解：把，的坐标代入，得，
解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：（）设，
令，则，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将，的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
，
的面积为，
，
当时，的面积有最大值，最大值为8，
此时，
点E的坐标为；
（）存在，点P的坐标为或．理由如下：
由（）知，，
在中，，
，
，
当时，如图， ，
，
，
解得或3，
；
当时， 过点C作于点H，
则，
，
，
，
，
解得或2，
；
综上所述，点P的坐标为或．
题型10 角度问题（二次函数综合）
19．（1）解：∵，
，
，
令，则，
，
，
．
（2）解：当时，，
，
，
，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
则，
则直线，
过点作轴交于，

设，则，
，
，
∴点的横坐标为4或2；
（3）解：设直线与轴交于点，

则，
，
∴，
，
，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，
．
20．（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线，
设，则，
当为矩形边时，可得或，
当时，则，即，
解得：，
则；
当时，则，即，
解得：，
则；
如图，当为矩形对角线时，
，四边形是矩形，
，
则，即，
解得：或，
则或；
综上：或或或．
（3）解：设直线的解析式为，则，解得：，
故直线的解析式为，
设，
作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示．
根据题意可得，
当时，，，故符合条件．
此时，，
解得：，
∴点的坐标为．
作于点，作点关于点的对称点．如图所示．
此时，则，故点符合条件．
根据题意，
∴，
∵，
∴，
过点作于H，
则，
∴，
∵点关于点N对称，
即点为线段的中点，
∴点的坐标为．
∴点的坐标为或．
题型11 特殊三角形问题（二次函数综合）
21．（1）解：∵抛物线交y轴于点，则，
再把代入抛物线，得：，
解得：，
所以抛物线的函数表达式为．
（2）解：设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴当时，最大为，此时，
当时，，
解得：或1，即
设直线的表达式为，代入B、Q两点坐标，
得，
解得，
∴直线的表达式为，
∵抛物线的对称轴为直线，把代入，得，
∴M点坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
由抛物线的对称轴为直线、、 ，
设，
∴，
①当时，即，
得，
解得：，
∴P点坐标为或；
②当时，即，
得，
解得或1（舍去），
∴P点坐标为；
③当时，易知P点的横坐标为，
代入中得，
∴P点坐标为．
综上，P点坐标为或或或．
22．（1）解：∵直线与x轴交于点，
，
，
∴直线解析式为：，
当时，，
∴点，
∵抛物线经过点A，B，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：轴，
，
，
点，
点，则点，
则，
当时，最大．，
；
（3）解：根据题意得，，
由（2）得，，
，
，
解得：（舍去）或，
∴点E的坐标为．
题型12 特殊四边形（二次函数综合）
23．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在点，理由如下，
∵，，
∴设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵点在直线上，
∴设，
∵点为直线右侧抛物线上一点，
设，
由抛物线的函数表达式为，
∴，
∴当时，，
∴，
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点，此时与点重合；
综上可知：点的坐标为或或．
24．（1）对于直线，当时，，解得，
；
当时，，
，
把得：
，
将代入，
得，解得，
抛物线解析式为；
（2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，把代入得，
．
点的坐标为，
．
将代入，
，
面积的最大值最大值是4；
（3）①抛物线，令，即，
解得，
．
，
的面积是面积的一半，
，
过点作轴交x轴于点H，设H点的横坐标为n，
H点坐标为，，
代入化简解得，
代入抛物线得，
；
②由题意，
当是对角线时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
当是平行四边形的边时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
解得
的值是或．
题型13 抛物线与x轴的交点问题
25．C
由图象可知，抛物线与轴的交点为，，
方程的两个根是，，故①不正确；
当时，，
，
，
，故②不正确；
函数图象开口方向向上，对称轴为，
当时，为最小值，
，
，
，
，
，故③正确；
当时，，时，，
∵二次函数对称轴且图象开口向上，
时函数有最小值，
时，随增大而增大，
当且时，，故④正确；
综上所述，正确的有③④．
故选．
26．①②④
解：∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴；
把点A的坐标代入抛物线解析式可得，
∴，故①正确；
∵方程有两个实数根、，
∴方程有两个实数根、，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴；
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③错误；
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
题型14 求x轴与抛物线的截线长
27．C
解：根据题意，得，
解得，
故，
故选：C．
28．（1）解：①∵，
∴
∴抛物线的顶点坐标为，
②∵将抛物线向下平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
把代入，得，
∴
∴
设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，
则，，
∴
∴
∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6，
∴
∴
∴
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴．
（2）解：把，代入，得
，
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型15 图象法解一元二次不等式
29．（1）解：的图象经过点，
∴，解得，
∴该函数的解析式为；
（2）解：，
该函数的顶点坐标是，开口向下，过点，该函数图象如图所示：
由图象可得，当时，的取值范围或．
30．（1）解：补充并观察图象可知：上顶点为，中间顶点为，
①方程的解为：或或；
②关于x的方程有四个实数根时，则a的取值范围是．
故答案为：或或；；
（2）把点代入得，，
令，整理得，
则，解得，
∴当函数的图象与直线有三个交点时，b的值为或；
题型16 坐标与旋转规律问题
31．B
∵射线是第一象限的角平分线，，
∴设点，则，
∴，（不合题意舍去）
∴，
由题意得：第一次旋转后点对应点的坐标为，
第二次旋转后点对应点的坐标为，
第三次旋转后点对应点的坐标为，
第四次旋转后点对应点的坐标为，
第五次旋转后点对应点的坐标为，
第六次旋转后点对应点的坐标为，
第七次旋转后点对应点的坐标为，
第八次旋转后点对应点的坐标为，
∴第八次旋转后与原来点B重合，
∴每8次一个循环，
，
∴第次旋转结束后，点对应点的坐标与第一次的坐标相同为．
故选：B．
32．
解：∵点坐标为，点坐标为，
，
在 中，，
由旋转可知，，
，
则点的坐标为．
又 ∵，
∴点的坐标为．
依次类推，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
由此可见，点的纵坐标按 0，4 循环出现，且横坐标比的横坐标大 12 （为正整数），
因为，
所以，
所以点的坐标为．
故答案为：．
题型17 线段问题（旋转综合题）
33．（1）解：正方形，
，
将绕点顺时针旋转至处，
，且旋转角度为，
，，
是等腰直角三角形，
，
点、、三点正好在同一直线上，
；
（2）解：，，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
（3）解：是等腰直角三角形，，
，
，
，
过点作于点，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
34． /
解：（1）∵，，
∴，，
∵线段绕点逆时针旋转至，点与点重合，
∴，，
∴，
∴点在线段上，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，过点作于，过点作，交于，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转至，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点在过点且垂直的直线上运动，
∴当时，有最小值，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴线段的最小值是，
故答案为：．
题型18 面积问题（旋转综合题）
35．（1）解：∵，
∴，
如图，过点C作于点D，
∴，
∴，
解得：，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
由旋转的性质得：，
∴
，即，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∴；
③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∴当最大时，最大，
而的最大值为，
∴的最大值为．
故答案为∶．
36．解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
又∵，
∴，即，
∴，
∴的取值范围为；
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴的大小为；
（3）如图，将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∵四边形是正方形，，，，
∴，，
∴点在的延长线上，
∴，
，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴的面积为．
题型19 角度问题（旋转综合题）
37．D
解：连接、，
四边形是边长为5的正方形，
，，
，
，
把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，
，，，
，点在上，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形的周长是，
故选：D．
38．6或9或18
解：I．如图，当时，

，，
，
，
，
a为
（秒），
II．如图，当时，

，
，
a为，
（秒），
III． 如图，当时，

此时与在同一条直线上，
a为，
（秒），
综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18
故答案为：6或9或18
题型20 坐标系中的动点问题（不含函数）
39．（1）解：当点P在上，时，；
当点P在上，时，；
综上分析可知：；
（2）解：∵O为的中点，
∴，
∵长方形中，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：当点P在上，时，，
解得：；
当点P在上，时，则，
根据勾股定理得：，
∴，
整理得：，
即
，
∴，
解得：或（舍去）；
当点P在上，时，过点P作于点E，
则，
∵此时四边形为长方形，
∴，
∴，
解得：；
综上分析可知：当是以为腰的等腰三角形时，或；
（4）解：当点P在上时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当点P在上时，如图所示：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
综上分析可知：当时，或．
40．B
解：连接，，
∵正方形的边长为4和正方形的边长为3，
∴正方形的面积为16，正方形的面积为9，
∵正方形和正方形的对称中心都是点，
∴．
故选B．
题型21 中心对称图形规律问题
41．（1）解：如图，连接、，交于点，连接并延长交于点，
∵四边形是平行四边形，对角线、交于点，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴ ，
∴，
则点即为所作；
（2）如图，设矩形的对角线交点为点，连接、，对角线、相交于点，过点、作直线，
设直线将分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为），直线将矩形分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为），
∵平行四边形和矩形都是中心对称图形，且直线同时经过和矩形的对角线的交点，
∴，，
∴，
∴直线左边剩余部分的面积等于直线右边剩余部分的面积，
即直线将剩下图形的面积平分，
则直线即为所作．
42．D
解：如图所示，作轴于点，
，，
，
，
，重合，
，
则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：，，，
则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是；
同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是；
第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，，
故选：D．
题型22 已知两点关于原点对称求参数
43．B
解：∵点关于原点的对称点为，且在第二象限，
∴，解得：；
故选B．
44．（1）点经1次斜平移后的点的坐标为，点的坐标为，
点经1次平移后得到的点的坐标为，点经2次平移后得到的点的坐标；
（2）①是直角三角形，理由如下：
连接，如图

由中心对称可知，，
由轴对称可知：，
，
，，
，
，
，
∴是直角三角形；
②过点作轴的平行线，与的延长线交于点，过点作于点，如图

，，
，
是等腰直角三角形，
由①得，
，
点坐标为，
设直线的解析式为，
，点在直线上，
可得：，
解得：，
，
点由点经次斜平移得到，
点，由，
解得：，
．
题型23 垂径定理的推论与应用
45．（1）解：连接，设圆弧所在圆的半径为，
由题意得，，
在中，由勾股定理得，
解得；
答：圆弧所在圆的半径的长为；
（2）解：连接，

，
在中，由勾股定理得，
即，
解得．
．
，
不需要采取紧急措施．
46．（1）解：设抛物线的函数表达式为，
由题意得，点坐标为，点的坐标为，
∵点在抛物线上，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下：
当时，，
∴这辆货运卡车能顺利通过隧道；
（3）解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下：
如图，设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，连接，
∵为弧的中点，
∴，，
又由题意可得，，
∴，
∵，
，
解得，
∴，
，，
，
∴这辆货运卡车能顺利通过隧道．
题型24 圆周角定理及应用
47．（1）解：设的半径为r，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴的直径为20；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵弦分为的两部分，
∴，
若点F在优弧上，
∴；
若点F在劣弧上，
∴．
48．（1）解：由旋转知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图2，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，
同（1）的方法得，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得，，
即；
（3）解：如图3，过点作交的延长线于，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理得，，
连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
则，
∴，
题型25 点与圆的位置关系
49．D
解：∵为的外接圆，且是的直径，，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故选：．
50．B
解：如图，连接，取的中点，连接，，，
∵是 的中点，半径为，
∴是的中位线，
∴，
∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆，
∵，，
∴，
∴，
∵为上任意一点，
∴，当点、、共线时取等号，
此时取得最小值，最小值为，
∵，
∴的最小值为．
故选：B．
题型26 切线定理的判定与性质
51．（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
，
∴是的切线；
（2）解：连接．
∵为半径，
∴是的切线，
∴，
，
∴，
，
，
∴，，
∴，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
52．（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即是的切线．
（2）解：如图，连接，
设的半径为r，
则，即，
解得，即的半径为．
故答案为：．
（3）解：过点F作，连接，
由（2）得，，
在中，，
在中，，
∴，，
在中，，
由（1）得，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
题型27 正多边形和圆的综合问题
53．（1）解：连接，
∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形．
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：过作于，设正六边形的边长为．
∵为正六边形的中心角，
∴．
∵，
∴是边长为的等边三角形，
∴， ，
∴正方形的面积为，
∴，
正六边形的面积为，
∴正六边形与正方形的面积比为．
54．（1）解：连接、，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴是的直径，
∴
在中，
∴
∴的半径为
（2），理由如下：
在上取点G，使，连接，
同理（1）可得：，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点A到的距离是或，理由如下：
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴点在以为直径的圆上，
∴点是这两圆的交点，
①当点P在如图3①所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴A、P、D、B在以为直径的圆上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，，
∴由（2）中的结论可得：，
∴，
∴；
②当点P在如图3②所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：点A到的距离为或．
题型28 弧长和扇形面积
55．A
解：连接，过点作，垂足为点．
∵在菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，扇形的面积，
∴，
，
∵在菱形，，
∴，解得：，
∴，
阴影部分的面积扇形的面积 ．
故选：A．
56．（1）解：连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
设，，
在四边形中，∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为．