九年级数学上册试题 第23章 旋转 --旋转综合问题 期末复习题--人教版（含答案）

第23章《旋转》期末复习题--旋转综合问题
题型1 无刻度直尺作图—网格作图
1．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：

(1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分；
(2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且．
2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段．
(1)连接，请判断的形状，并说明理由；
(2)请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）．
3．如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹．

(1)以为旋转中心，将线段逆时针旋转至线段，连接；
(2)作于；
(3)将绕点顺时针旋转至，旋转角度等于．
4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，点是边上一点，在线段上画一点，使得；
(2)在（1）的基础上，将平移到，画出线段．
(3)在图（2）中，平行四边形对角线的交点为，在上画一点，使得，连接；
(4)在（3）的基础上，将绕着点顺时针旋转的度数得到线段，点与点对应，点与点对应，画出线段．
题型2 无刻度直尺作图—非网格作图
5．如图，在正六边形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)如图，连接，将绕点逆时针旋转，得到．
(2)如图，是的中点，将绕点顺时针旋转，得到．
6．在正方形中，为的中点．用无刻度直尺作图，保留作图痕迹；
(1)在图中将绕点逆时针旋转；
(2)在图中在正方形内作以为顶点的正方形．
7．已知正方形，点F是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹），
(1)在图①中，画出正方形的中心O；将线段绕正方形中心旋转；
(2)在图②中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转；
(3)在图③中，点F为正方形边上任意一点，作F关于的对称点H．
题型3 遇60°构造等边三角形
重难点一 点在等边三角形内
8．如图，
(1)如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则______．
(2)请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图2，中，，，E、F为BC上的点且，求证：．
9．如图1，在等边内有一点P，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．
(1)求出的度数；
(2)如图1，在等边内有一点P，若，，，则______．
(3)如图3，在正方形内有一点P，且，，，则______．
重难点二 点在等边三角形外
10．【问题呈现】（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；
小明同学给出了如下解决思路：
以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系．根据小明同学思路推出其数量关系并证明；
【类比探究】（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明；
【实际应用】（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系．（不写证明过程）
11．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数．
为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题．
已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长．
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积．
题型4 遇90°构造等腰直角三角形
重难点一 点在等腰三角形内
12．（1）如图①，在中，，过上一点作交于点，则_____．（填“”“”或“”）
（2）发现：图②中的绕点顺时针旋转到图②位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，是等腰直角内一点，，且．直接写出的度数．
13．【操作发现】
（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为；
②连接，此时______°；
【问题解决】
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（2）如图2，在等边中，点在内部，且，，，求的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；
【学以致用】
（3）如图3，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求；
【思维拓展】
（4）如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数．
重难点二 点在等腰三角形外
14．如图，D是内一点，，，，，，求的长．
15．在中，，，为平面内一点．
(1)当在线段上时，将线段绕点顺时针旋转至，连接，请你在图1中完成作图，试判断与的位置关系并证明；
(2)在（1）的条件下，连接交于，过点作的垂线交延长线于点，试判断线段与的数量关系并证明；
(3)如图2，点位于上方，且，的面积为9，直接写出的长度．
16．问题背景：如图1，在四边形中，若，则平分．小明为了证明这个结论，将绕点C顺时针旋转，得到．
(1)请帮助小明完成他的证明过程；
证明：将绕点C顺时针旋转得到，
__________，__________，．
，
，
，即三点共线．
，
__________，
__________，即平分．
(2)应用：在图1中，若，则__________；
(3)迁移：如图2，，若，求的长；
(4)拓展：如图3，以等腰的一边作等腰，且，连接，已知，则的值为__________．（请直接写出答案）
重难点三 点在等腰三角形边上
17．如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接．
(1)如图1，若，，把绕顺时针旋转到，连接，求的长；
(2)如图2，若，以为底边在的左侧作等腰直角，连接，求证：；
(3)如图3，若，点为平面内一点，若，，请直接写出的值．
18．如图，在中，为边上一动点，以为斜边在右侧构造等腰，连接．求证：．
19．如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接．
(1)如图1，若，，把绕A顺时针旋转到，，连接，求的长；
(2)如图2，若，以为底边在的左侧作等腰直角，连接BP，求证：；
题型5 遇α°构造手拉手模型
20．在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．

(1)探究发现
如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ．
(2)类比延伸
如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由．
(3)迁移应用
如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值．
21．已知，在中，，点M为边上一点，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转α得到，连接．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当，时，若，求的值．
22．已知是等腰三角形，，，点D为边上一点，连接．

(1)如图1，，，将绕着点A顺时针方向旋转与相同的度数得到，连接，若，求的长度．
(2)如图2，将线段绕点D逆时针旋转到，连接，点O为线段的中点，连接，证明：
(3)点Q为平面内一点，若，，请直接写出的值．
23．在中， （ ），于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，，
①求证；
②求出的度数．
如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，写出的大小，并证明．
题型6 费马点模型
24．已知等腰，，点为三角形内一点，连，，．
(1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长；
(2)如图，若，，求的最小值．
25．阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：；
(3)能力提升
如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值．
26．【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
【理解运用】
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：
当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点；
【深入探究】
（2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值．
27．【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点．
【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接，
，，
为等边三角形，
，
点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长．
当四点在同一直线上时，最小．
（1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系．
（2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值；
（3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长．
28．如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：
（1）的最小值；
（2）的最小值
（3）的最小值；
（4）的最小值
（5）的最小值；
（6）的最小值
（7）的最小值；
（8）的最小值
题型7 坐标系中的旋转问题
重难点一 旋转30°
29．线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，线段与轴的夹角为，现将线段绕点旋转，得到线段，则点的坐标为 ．
重难点二 旋转45°
30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式 ．
31．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，将点P绕着原点O顺时针旋转后的坐标为 ．
重难点三 旋转60°
32．如图，已知直线与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，且，点C为x轴的正半轴上一点，将线段绕点C按顺时针方向旋转得线段，连接，若，则 ．
33．直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点A旋转60°后对应点的纵坐标是 ．
34．已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ．
重难点四 旋转90°
35．如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ．
36．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点 O 逆时针旋转至，则点B的坐标是 ．

重难点五 旋转120°
37．在平面直角坐标系中，的两条直角边、分别在轴和轴上，，．把绕点顺时针旋转，得到．边上的一点旋转后的对应点为，当取得最小值时，点的坐标为 ；
38．如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，则点B的对应点所在位置的坐标是 ．
重难点六 旋转135°
39．将点绕坐标原点按逆时针方向旋转后得到点，点的坐标是 ．
40．在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的横坐标是 ．
重难点七 旋转150°
41．如图，与x轴正向的夹角为，已知点A的坐标为，将线段绕原点O旋转得点，则此时点的坐标为 ．
42．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，P点坐标为，现将点A绕P逆时针旋转得到点B，则点B的纵坐标为 ．
题型8 旋转与多解问题
43．综合与实践
如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，且点与的中点重合，，
观察发现
（1）①的长为___________；
②如图1，设与的交点为，则的长为___________．
类比迁移
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，连接．
①当旋转角为时，求的长；
②当时，请直接写出以为边的正方形的面积．
拓展应用
（3）如图3，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，当最大时，求以为边的正方形的面积．
44．综合与实践
如图，在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针旋转得到（点是点的对应点），连接．

(1)观察发现：
如图1，当且时，与满足的数量关系是______．
(2)类比探究：
如图2，当且时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)拓展应用：
如图3，在（1）的基础上，以为对角线作正方形，且正方形的边长为，将绕点顺时针旋转，得到，连接，当点恰好落在直线上时，求线段的长．
45．综合与实践
问题情境：如图1，四边形是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F．
解决问题：
（1）四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形
（2）若，，则四边形的面积为________；
深入探究：
（3）将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E、B的对应点分别为点G、H．
①如图2，当线段经过点C时，所在直线分别与线段、交于点M、N．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线直线交于点N．若，，则线段的长度为________．
46．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动．
(1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请写出图中一个度数为的角：______；
(2)【解决问题】如图2，小明将长方形绕点A顺时针旋转后，边与边交于点M，连接，若，，求矩形的面积；
(3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点O时，连接，，若，，请求出的面积．
题型9 旋转与最值问题
47．综合与实践
如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上一动点（含，两个顶点），连接，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．探究的面积与点移动的关系．
特例感知
（1）如图1，当时，求的面积．
规律探究
（2）如图2，若设，的面积为，求与之间的函数解析式，并求出的最小值．
数学思考
（3）如图3，连接，当的长最小时，求的面积．
48．如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边，的中点，，．
(1)将绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
(2)将绕顶点C逆时针旋转（如图2），求的长．
49．如图，E是正方形边上不与B，C重合的一动点，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于G，交于H，连接．
【知识技能】（1）写出和的数量关系，并证明你的结论：
【数学理解】（2）①若．求面积的最大值．
②若，，则正方形的边长为______．
【拓展探索】（3）求证：．
50．已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接．
(1)如图1，，若，求的长；
(2)如图2，与对角线交于点F，，求证：；
(3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值．
参考答案
题型1 无刻度直尺作图—网格作图
1．（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：即为所求；
2．（1）解：是等腰直角三角形；
理由：∵将线段绕点A顺时针旋转后得到线段，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：如图，线段即为所求．
．
3．（1）解：根据旋转变换的性质，在网格中取格点，连接线段， 如图：

（2）解：取格点，，连接交于点，连接，如上图，
根据网格知识，，
又∵，
∴．
（3）解：取点，使得，取格点，作射线，则，取格点，连接交于点，即，则即为所求，如上图所示．
4．（1）解：如图，点F即为所求；
理由：如图，连结，，，
∵，，，
∴五边形是轴对称图形，直线就是它的对称轴，
∴将五边形沿直线对折，点与点重合，点与点重合，点在对称轴上，
∴与重合，
∴点与点是对称点，
∴；
（2）如图，线段即为所求；
理由：交过点的网格线于点，连结交的延长线于点，
由对称性可知，，
所以，
所以，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
即将向右平移4个单位得到；
（3）如图，点H即为所求；
理由：连结，，
∵，，
∴，
又四边形是平行四边形，对角线与交于点，
∴，
∴，
∴直线垂直平分，
又点在上，
∴；
（4）如图，线段即为所求．
理由：由图可知，，
又，
，
，
又，，
，，
，
．
绕着点顺时针旋转的度数得到线段，
点与点对应，点与点对应，线段即为所求作．
题型2 无刻度直尺作图—非网格作图
5．（1）解：如下图所示，
正六边形的每个内角的度数是，
，
将绕点逆时针旋转，与重合，
延长与的延长线的交点即为点；

（2）解：如下图所示，
过点作垂足在的延长线上，设正六边形的边长为，
，
，
，
又点是的中点，
，
，
，
，
连接交于点，
则，，，
，，
，
，，
，
，
连接，过点作，
则，
，，
则，
，
，
，
即为绕点顺时旋转得到的线段．
6．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求．
7．（1）如图，点O，线段即为所求；
（2）如图，直线即为所求；
（3）如图，点HE即为所求；
题型3 遇60°构造等边三角形
重难点一 点在等边三角形内
8．（1）解：将绕顶点旋转到，连接，
，
、、，
由题意知旋转角，
为等边三角形，
，，
，
为直角三角形，且，
．
故答案为：
（2）证明：如图2中，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即．
9．（1）解：将逆时针旋转得到；
∵由旋转所得，
∴，
∴，，，，
在中，，，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，，即，
∴，
∴，
∴；
（2）将逆时针旋转得到；
∵由旋转所得，
∴，
∴，，，，
在中，，，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，，即，
在中，，且，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）将绕A点顺时针旋转90°得，连接，
∵由旋转所得，
∴，
∴，，，
在中，，且，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：．
重难点二 点在等边三角形外
10．解：（1），理由如下；
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵以为边作等边，连接，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）（1）中的结论改变，，理由如下；
证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，是的中点，
∴，，
∴，
如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵厘米，厘米，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
11．解：（1）和都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
（2）如图②，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（3）当点与点重合时，线段绕点顺时针旋转，
，，
是等边三角形，
，
，，
为直角三角形，
，
，，，
，
如图③，延长至，使，连接，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，，
又，
，
．
题型4 遇90°构造等腰直角三角形
重难点一 点在等腰三角形内
12．解：（1） ，
，
，
，
故答案为：；
（2）成立．
证明： ，，
，
由旋转性质可知，
在和中，
，
，
；
（3）如图，将绕点旋转得，连接，
，
，，，
，
在中，由勾股定理可得，，
在中，，，，
，
是直角三角形
，
，
又，
．
13．解：（1）①如图所示，即为所求；
②，，
；
（2）如图，
∵将绕点按逆时针方向旋转，得到，
∴， ，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
（3）∵是等腰直角三角形，
∴，，
将绕点顺时针旋转得到，连接，如图：
则，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
∴，
∴．
（4）将绕点逆时针旋转，得到，连接，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
重难点二 点在等腰三角形外
14．解：如图所示，将线段顺时针旋转得到，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
设与的交点为，
在中，，，，
设，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
，，，
．
15．（1）补充作图如下：
与的位置关系为，
连接，如图，
，，
由旋转性质得：，
，
，
在与中，
，
∴，
，
，
．
（2），证明如下：
如图，在线段上截取，连接，
，，
，
由（1）知，
，
由（1）知，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
（3）如图，过点A作交于N，连接，
则，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，，
，
的面积为9，
，
即，
．
16．（1）证明：将绕点C顺时针旋转得到，
，，，
，
，
，即三点共线，
，
，
∴，即平分
故答案为：；（或）；；．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵三点共线，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
（3）解：如图，将绕C点顺时针至，
，
，
，
，
∴B，A，三点共线，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
．
（4）解：如图，过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G．
，
∴设，则，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形为正方形，
，
，
；
当在左侧时，连接，
，
∴，，
∵，
，
，
．
综上，或．
故答案为：或．
重难点三 点在等腰三角形边上
17．（1）解：，，
把绕顺时针旋转到，
，．
．
．
即．
．
，．
．
，
．
，，
．
．
．
（2）证明：延长至，使，连接，．
以为底边得等腰直角，
，，．
垂直平分．
，
．
．
．
即．
．
．
．
．
．
（3）解：如图将三角形绕点逆时针旋转到三角形处，连接．
当在三角形外部时，如图所示：
∵，，
∴，
∵三角形绕点逆时针旋转到三角形处，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴．
当在三角形内部时，
同理得：，
则，由勾股定理得，
∴．
综上可得：的值为或．
18．证明：将绕点逆时针旋转得到线段，连接，
将绕点逆时针旋转得到线段，
，，，
，
，
又，
∴，
，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，
，
、、三点共线，
，，
，
∵是直角三角形，
，
，即，
，
∵，
．
19．（1），，
把绕顺时针旋转到，
，．
．
．
即．
．
，．
．
，
．
，，
．
．
．
（2）证明：延长至，使，连接，．
以为底边得等腰直角，
，，．
垂直平分．
，
．
．
．
即．
．
．
．
．
．
题型5 遇α°构造手拉手模型
20．（1）解：由旋转性质可知：，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接，

由旋转性质可知：，，，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
∴；
（3）解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，

由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（1）证明：连接，
∵，线段绕点A按顺时针方向旋转α得到，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：∵将线段绕点A按顺时针方向旋转α得到，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A、N、C、M四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点A作于点H，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，
同理可得：，
∴，，
∴．
22．（1）解：由旋转性质得：，
∵，，
∴；
（2）证明：如图所示，将绕点D顺时针旋转到，连接，，

∵，，
∴，
∵，
∴，，，
故，
∵，，
∴，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分，
∵点O为中点，所以与相交于点O且O为中点，
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：①当点Q在三角形内部，如图，将绕点A顺时针旋转，得到，

，，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点A作，设，则，
，
，
，
，
，
；
②当点Q在三角形外部，如图，将绕点A顺时针旋转，得到，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，由①可知，，
∵，则，
；
综上所述：的值为或；
23．（1）证明: ∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴是的中点；
（2）①证明: ∵，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴是的中位线，
，
∵，
，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵是的中点,
∴；
②由①可知, ，
∴；
（3）延长至，使，连接、，

∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
设，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
题型6 费马点模型
24．（1）解：∵是等边三角形，
，
将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示：
由旋转的性质得：，，，
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
是直角三角形，即，
，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
的度数是，边的长为；
（2）解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示：
由旋转的性质得：，，，，
和均为等边三角形，
，，
，
在中，，，于点，
，，
在中，由勾股定理得：，
是等边三角形，，
，
，
，
点，，在同一条直线上，
，
在中，由勾股定理得：，
，
根据“两点之间线段最短”得：，
，
即，
的最小值为．
25．（1）解：，
，，，
由题意知旋转角，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
；
故答案为：；
（2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得， ，，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即；
（3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接，
在中，，，
，
，
绕点B顺时针方向旋转，
，，
，
，
绕点B顺时针方向旋转，得到，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
C，O，，四点共线，
在中， ，
．
26．（1）解：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A．
分析如下：，
为等边三角形；
，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
，
，
由旋转可知，
，
，
；
，
，
，
三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又已知当有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A．
（2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
，
，
又，
，
由旋转性质可知：，
，
最小值为5．
27．（1）解：；
理由如下：
是等边三角形，
，
四点在同一直线上，
，
，
由旋转得：
，
，
；
（2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到，
当四点在同一直线上时，
最小，
此时，
由旋转得：，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在中
，
故最小值为；
（3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于，
当四点在同一直线上时，
最小，
此时
，
由旋转得：，
，
，
设正方形的边长为，则有
，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，（舍去），
，
故正方形的边长为．
28．解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为
同理可证为等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值为；
（2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴，
∴，
∴
∴，，
∴，
∴的最小值为；
（3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
过点C作于E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴，
∴
∴，
∴
∴，
∴的最小值为；
（4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接
由旋转的性质得，，，，
∴，，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当，，，共线时最小，最小为，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，
同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，
∵，在中，，
，
最小为；
（6）∵
∴由（5）得：的最小值为26；
（7）∵
∴由（4）得的最小值为；
（8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，
同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．
在中，，，
过点作交延长线于E，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
题型7 坐标系中的旋转问题
重难点一 旋转30°
29．解：当线段绕点O逆时针旋转时，得到线段，
∵线段与x轴的夹角为，
∴点在y轴上，
∵，
∴，
∴点的坐标为；
当线段绕点O顺时针旋转30°时，得到线段，
过点作轴于点B，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
∴的坐标为或．
故答案为：或．
重难点二 旋转45°
30．
解：作交于，过点作轴于，
一次函数的图象分别交，轴于点，，
，，
，，
，，
又，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，
把代入得，，
解得，
，
设直线为，
，
，
直线的函数表达式为．
故答案为：．
31．
如图，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，

由题意可得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴直线直线解析式为，
∴设，
∵在第一象限，
∴
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
重难点三 旋转60°
32．
解：如图，过点B作，使得，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
33．或
34．
解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：
绕点逆时针旋转的对应点为，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
设直线解析式为，将，，，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
故答案为：．
重难点四 旋转90°
35．
解：过点作轴于点，
∵，，
∴，，
由旋转可知： ，，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
36．
过点作轴于点，轴于点，则：，

∵点，绕坐标原点 O 逆时针旋转至，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
重难点五 旋转120°
37．
解：∵把绕点顺时针旋转，得到，点是边上的一点，
，
∴的最小值的最小值，
作点关于直线的对称点，连接交于，
则最小，
过作轴于，
，
，
，
，
∴，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
∴直线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：．
38．
解：∵，
，
∵三角形绕点顺时针旋转，
如图，过作轴于，
由旋转的性质可得：，
，
，
，
点所在位置的坐标为，
故答案为：．
重难点六 旋转135°
39．
解：如图，作轴于，
，点的坐标为，
，
将点绕坐标原点按逆时针方向旋转后得到点，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
点的坐标是，
故答案为：．
40．
解：如图，在轴上截，连接，过点作轴于点，在左侧截取，连接，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点，，
∴，，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
故答案为：．
重难点七 旋转150°
41．或
解∶∵点A的坐标为，
∴，
∴，
当线段绕原点O逆时针旋转得点时，
∵与x轴正向的夹角为，
∴此时点落在x轴负半轴，
∴此时点的坐标为；
当线段绕原点O顺时针旋转得点时，如图，过点A作于点B，
过点作轴于点C，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时点的坐标为；
故答案为：或
42．
解：∵A点坐标为，P点坐标为，
∴，
如图：将绕点逆时针旋转90度，即得出，再连接，过点A作轴，过点G作轴，
∵将绕点逆时针旋转90度，即得出，再连接，过点A作轴，过点G作轴，
∴，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转90度，即得出，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵现将点A绕P逆时针旋转得到点B，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
设，
∴，
整理得，
把代入，
得，
整理的，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（点在第三象限，故舍去）；
∴，
∴点的坐标为,
故答案为：．
题型8 旋转与多解问题
43．解：（1）①∵等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∵与的中点重合，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
故答案为：4；
②∵等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴；
故答案为：2；
（2）①连接，过点M作于点N，如图，
由题意可知，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
则；
②如图，过点D作交的于点F，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
则以为边的正方形的面积；
如图，过点D作交的延长线于点H，连接，
同理可得，，，
∴，
则以为边的正方形的面积；
故以为边的正方形的面积或；
（3）∵点为的中点，
∴，
由题意可知点P的轨迹为以点A为圆心长为半径的圆上运动，如图，
当点P、点A和点M三点共线时，最大，
如图，
此时，，，
∴，
则以为边的正方形的面积．
44．（1）解：如图1，∵，，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：结论成立，理由如下：如图2，
∵，，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，当点在线段上时，过点作于点，连接，

∵正方形的边长为，
∴，
由旋转可得，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
如图4，当点在延长线上时，过点作于点，连接，
同理可得，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
综上，线段的长为或．
45．解：（1）四边形是菱形，
，
于点E， 于点F，
，
，
四边形是矩形；
故选：B；
（2） ，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形的面积为 ，
故答案为：．
（3）①，理由如下：
绕点A逆时针旋转，得到，
，，，，
，
四边形是菱形，
，，
为菱形的对角线，
，
，
又，，
，
，
，
，
即；
②过点A作于点Q，
当在线段上时；
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
由旋转的性质可知，，，，
，
，
四边形为正方形，
，
；
当在延长线上时；
同理可得，，，
，
故答案为：或．
46．（1）解：∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：或；
（2）解：∵长方形绕点A顺时针旋转，
∴，
∵是矩形，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图，
当线段与交于点时，作于，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
，
∴，
，
，
，
；
如图，
当的延长线交于点时，
由上知：，
，
，
综上所述：的面积是或．
题型9 旋转与最值问题
47．解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵将绕点顺时针旋转到，，
∴，
∴，
又，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，则是等腰直角三角形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）设，则，
当点与点重合时，，当点与点重合时，，
在中，，
∵，
∴恒有意义，
∴根据旋转得到，
如图所示，过点作于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∴
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为；
（3）如图所示，将线段绕点顺时针旋转得，连接，交于点，
∴
∴，即，
又，
∴，
∴，，
当时，的值最小，
∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
由（2）可得，，，
∴．
48．（1）解：∵是等腰直角三角形，N是中点，
∴平分， ，
∵是等腰直角三角形，
∴是中点，
∴，
∴点M在以C为圆心，1为半径的圆上运动，连接交圆C于，延长交圆C于，
∴M、N距离的最小值是，M、N距离的最大值是；
（2）解：连接，，作交延长线于H，
∵是等腰直角三角形，N是中点，
∴，
同理： ，
∵绕顶点C逆时针旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
49．解：（1），
由旋转得：
如图1，将绕点顺时针旋转得到，
则，，，
，
，
，，
，
∴L、B、E三点在同一条直线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图1，作交的延长线于点，则，
在和中，
，
∴，
，
，
设，
，
，
，
，
当时，，
∴面积的最大值是．
②如图1，设正方形的边长为，则，
，，
，，，
，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
正方形的边长为，
故答案为：．
（3）证明：如图2，作交于点，作交的延长线于点，则，
由（2）得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
在和中，
，
∴，
，
，且，
．
50．（1）解：∵菱形中，，
∴ ，
∵
在中，，
∴ ，则，根据勾股定理得：
∵
∴
在中，
∴
∴
（2）∵菱形中，
∴ ，，
∵，
∴
∴
如图；延长，在上取点，作
∵ ，
∴ ，
∵ 是菱形的对角线，
∴
在与中
∴
∴，
在与
∴
∴
∵
∴
（3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值；
∴
∵
∴
∴ ，即：
∴
∴
∴
∵
∴
∴
作交于点，
∵ ，
∴ ，即
∵
∴
∴
∴
∵
∴
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