九年级数学上册试题 第23章 旋转 期末章节复习卷 --人教版（含答案）

第23章《旋转》期末章节复习卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．如图，将绕点逆时针旋转角得到．点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一段抛物线的图象记为，它与轴交于点和，将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点……如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图所示，绕点A顺时针方向旋转得到，且点恰好落在BC上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将折线绕点顺时针旋转得到一段新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一段连续的折线，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点是等边内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．等腰，，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．如图，将绕点逆时针方向旋转一个角，使点落在上的点，若，，则的度数为 ．
12．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ．
13．如图，三角形中，，，，，，若，，则线段的长度为 ．
14．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为 ．

15．如图，在矩形中，，，将矩形绕点A旋转，点B、C、D落在点、、处、如果点落在直线上，那么 ．
16．如图，在四边形中，，连接，将绕点B旋转，使旋转到，旋转到，当与交于一点E，同时与交于一点F时，下面四个结论：①；②；③；④周长的最小值是，其中所有正确结论的序号是 ．
17．如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为 ．
18．如图，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H，连接．若平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）如图，为直角三角形，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，求证：．
20．（本题6分）在中，，．点D在射线上（不与点B，C重合），连接，将线段绕点D顺时针旋转角得到线段，连接．如图，当，且点D在边上时，求证：．
21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
(1)求，两点的坐标．
(2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求的值．
(3)将直线绕点顺时针旋转，得到直线，为旋转后的直线与抛物线的交点，求点的坐标．
22．（本题8分）“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线．将，其沿射线的方向平移，得到，其中点的对应点分别为．如图②，当线段经过点D时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考
（1）请回答老师提出的问题；
深入探究
老师将图②中的绕点F按逆时针方向旋转得到，其中点的对应点分别为，线段分别与边交于点．如图③，当时，让同学们提出新的问题．“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明．
23．（本题8分）在中，，，将绕点顺时针旋转一个角度得到，点、的对应点分别是、．
(1)如图1，若点恰好与点重合，，垂足为，求的大小；
(2)如图2，若，连接交于点，求证：四边形是平行四边形．
24．（本题8分）已知正方形，将线段绕点旋转得到线段，连接，．
(1)如图，当点在正方形的内部时，若平分，则 ；
(2)当点E在正方形的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求的度数；
②作的平分线交于点．交的延长线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
25．（本题10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段，的端点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图中，线段绕点旋转后可得到线段（点与点对应），画出点；
(2)在图中，先将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段，再在图中画点，使线段绕点旋转后能与线段重合（点与点对应）；
(3)在图2中，先将线段绕点旋转，得线段，点的对应点为点，点的对应点为点，画出对应线段，交线段于点，再画的角平分线．
26．（本题10分）问题：如图（1），正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．试判断和之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把绕点顺时针旋转至，从而发现，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】
当绕点旋转到如图（2）的位置时，猜想线段和之间的数量关系是_________．
【探究应用】
如图（3），四边形中，，，，点、分别在边、上，，，，求的长度．
参考答案
一．选择题
1．A
解：∵将绕点逆时针旋转角得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2．B
解：一段抛物线， 记为，它与轴交于点，，
当时， 得：，
解得：，
，
∵将绕点旋转得， 交轴于点，
∴的解析式为， ，
∴将绕点旋转得，交轴于点，
∴的解析式为， ，
…… ，
∴整个函数图象以个单位长度为一个周期，函数值就相等，
∵，
∴的值等于时的纵坐标，
∴，
故选：B．
3．C
解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．D
解：∵，是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
①当点E在的延长线上时，如图，过点B作于G，则，
在中，，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
在中，
根据勾股定理得，；
②当点E在的延长线上时，如图，过点B作于H，则，
在中，，
∴，
根据勾股定理得，
∴，
在中，
根据勾股定理得，．
∴或．
故选：D．
5．A
，
，
由旋转的性质有：，
，
即
故选：A．
6．D
解：如图，连接，
∵，将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即的度数为．
故选：D．
7．A
解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，
由旋转的性质得到，，，，
，即，
，
，
菱形的边长为4，
，
，
，
E是的中点，
，
，，
，
，
点在过点且与夹角为的直线上运动，
当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则，
的最小值为，即的最小值为．
故选：A．
8．C
解：由题意，如图，
可知：在轴上，且，的纵坐标以为一组进行循环，
∴，即一个循环，横坐标增加5，且在一个循环内横坐标的变化为，
∴，
∴，
∵，
∴的纵坐标为，横坐标为：，
∴，
故选C．
9．D
解：连接，由题意可知
则，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴
∴，
故选：D．
10．B
解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故选：B.
二．填空题
11．
解：∵将绕点逆时针方向旋转一个角，使点落在上的点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
12．6
解：如图连接．
在中，
∵，，
∴，
根据旋转不变性可知，，，
∵P是的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴
又∵，即，
∴的最大值为6（此时P、C、M共线）．
故答案为：6．
13．4
解：将绕点A顺时针旋转得到．
∴
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为4．
14．
∵绕点C顺时针方向旋转得到，
∴，，．
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．或
解：作于点E，则，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，点落在线段上，
由旋转得，
∴，
∴；
如图2，点落在线段延长线上，
由旋转得，
∴，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
16．
解：∵，，
∴，为等边三角形，
∴，，
∵将绕点旋转到位置，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，根据现有条件无法证明，故正确，错误；
∵，，
∴，故正确；
∵的周长，
∴当最小时，
∴的周长最小，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴当时，长度最小，即长度最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长最小值为，故正确，
故答案为：．
17．2或
解：在中，，
∴，
∵的垂直平分线交于，交于点，
∴，
在中，，
∴，
∴
∴，
∵由线段绕点顺时针旋转得到，
∴，
在中，，
当为直角边时，，
当为斜边时，，
故答案为：2或．
18．①②③
解：如图，过点作于点，
∴，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，则结论③正确；
∴，则结论①正确；
设，则，
∴，
∴，则结论②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，则结论④错误；
综上，结论正确的有①②③，
故答案为：①②③．
三．解答题
19．证明：∵将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，
∴，，
∴，
在中，是边上的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．
证明：过点D作，交于点F.
，
，
，.
，.
，，，
.
，
．
21．（1）解：根据题意，联立方程组得，，
解得，，
∴；
（2）解：直线向上平移个单位长度后的解析式为，
∵平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，
∴，整理得，，
∴，
解得，；
（3）解：如图所示，过点作轴于点，过点作延长线于点，设旋转后的直线与轴交于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立直线于抛物线为方程得，，
解得，，
∴．
22．解：（1）四边形是矩形，
理由如下：平移得到，
，
，
为边上的中线，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2），
证明：在图2中，平移得到，
，
由（1）可得，，
，
，
在图3中，旋转得到，
，
，
，
，
，
由图2可知，四边形是矩形，
，
，
，
．
23．（1）解：∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
（2）∵，即
又
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
24．（1）解：∵将线段绕点旋转，得到线段，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：补全图形如图，
∵将线段绕点旋转，得到线段，
∴，，，
∴，，
∴，；
，
证明：如图，过点作，交的延长线于点，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由知，，
∴，
∴，
∵，
当，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
25．（1）解：如图，点P即为所求，
连接、，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是以点为对称中心的中心对称图形，
∴线段绕点旋转后可得到线段；
（2）解：如图，线段和点为所求；
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴线段绕点顺时针旋转，得线段，
∵，
∴线段绕点旋转后能与线段重合；
（3）解：如图，、为所求，
取格点，，，连接，，，，，，
同（）可证，点绕点顺时针旋转得点，点绕点顺时针旋转得点，
∴线段绕点旋转，得线段，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
解得，，
∴，，
∵S BSF= ×5×3= ，
∴S GSF= × =6 ，
∴到的距离为，
∵，
∴，
∴到的距离为，
∴到的距离到的距离，
∴，
∴，
∴是的平分线．
26．[发现证明]
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵绕点顺时针旋转至，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
[类比引申]
解：，理由如下：
如图，在上截取，连接
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴ ，
即，
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
[探究应用]
解：延长至点，，再连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．