期末模拟综合试题 2025-2026学年上学期高二数学人教A版期末复习

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期末模拟综合试题 2025-2026学年上学期
高二数学人教A版期末复习
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B．
C．不存在 D．
2．已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A． B． C． D．4
5．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（ ）
A． B． C．3 D．
7．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知A，B是圆上的两动点，当面积最大时，求的值（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、多选题
9．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．的面积为1
C．到双曲线的一条渐近线的距离为2
D．以为直径的圆的方程为
10．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ）
A．若，则，；
B．若，则使的最大的n为15；
C．若，，则中最大；
D．若，则.
11．已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）
A．该椭圆的焦距为6 B．的最小值为2
C．的值可以为 D．的值可以为
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，，，若，则实数 ．
13．在等比数列中，，且，则 ．
14．设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为 .
四、解答题
15．已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；
(1)若，求的直线方程；
(2)若，求的直线方程．
16．已知数列是一个公差为的等差数列，前n项和为成等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列{}的前10项和．
17．如图，在四棱锥中，平面平面，是斜边为的等腰直角三角形，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
18．在数列中，，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
(3)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C D C B D AB ABD
题号 11
答案 ABC
1．D
【分析】直接判断直线的倾斜角即可.
【详解】直线即，是一条与轴垂直的直线，
所以直线的倾斜角为．
故选：D．
2．C
【分析】根据所给数据，分析规律，即可得答案.
【详解】由题意可知1，4，9，16，…的通项公式可能是.
故选：C.
3．A
【分析】把抛物线方程化为标准方程可得结果.
【详解】∵抛物线的方程为，
∴标准方程为，
∴抛物线的准线方程为.
故选：A.
4．C
【分析】根据空间直角坐标系中点的特征结合空间向量的模长坐标表示计算即可.
【详解】根据题意点在坐标平面内的射影为，所以.
故选：C.
5．D
【分析】利用双曲线的标准方程，令方程右边的常数1为0，两边开平方，即可得到答案．
【详解】双曲线，
由方程，可得双曲线的渐近线方程为．
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线的方程求法，属于基础题．
6．C
【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进而可求出公差.
【详解】因为，解得，
所以公差．
故选：C．
7．B
【分析】由题直线过定点，作图，数形结合求解即可.
【详解】因为直线恒过定点，且，
要使得直线与线段相交由图可知，则或.
所以的取值范围为.
故选：B.
8．D
【分析】求得圆心与半径，求得面积最大时，，进而计算即可求得的值.
【详解】由，得，可得圆心，半径，
由，当最大时，，
此时点到直线的距离为，
设线段的中点为，则.
故选：D.
9．AB
【解析】由双曲线方程求出的值，得到左右焦点的坐标，渐近线方程，由求出点的横纵坐标的关系，可求出点的坐标，进而可判断各选项
【详解】解：对于A，由得，所以双曲线的渐近线方程为，所以A正确；
对于B，由双曲线，可得，则，设，则，
所以，得，
因为点是双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确；
对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误；
对于D，由于 ，所以以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为，所以圆的方程为，所以D错误，
故选：AB
【点睛】此题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题
10．ABD
【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，
所以，即，
根据等差数列的性质可得，又，
所以，，故A正确；
对于B：因为，则，
所以，又，
所以，
所以，，
所以使的最大的n为15，故B正确；
对于C：因为，则，
，则，即，
所以则中最大，故C错误；
对于D：因为，则，又，
所以，即，故D正确，
故选：ABD
【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.
11．ABC
【分析】先由椭圆，得到焦距，判断A是否正确，椭圆上的动点，分析的取值范围，判断BCD是否正确，得到答案.
【详解】由椭圆，得，，，故A正确；
椭圆上的动点，，即有，
故的最小值为2，B正确；
设，，，…组成的等差数列为，公差，则，
又，所以，所以，所以的最大值是，
故C正确，D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题.
12．6
【分析】求出的坐标，再求模长即可.
【详解】因为，，所以，
所以，解得.
故答案为：.
13．3
【分析】先根据等比数列的性质求出，再对所求式子求和，利用等比数列的性质求值.
【详解】因为在等比数列中，，所以，解得，
设等比数列的公比为，
则数列是首项为，公比为的等比数列，其前7项和为
.
由等比数列的性质可知，所以.
故答案为：3
14．15
【分析】利用椭圆的定义得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|)求解.
【详解】如图所示：
在椭圆+=1中，a=5，b=4，c=3，
所以焦点坐标分别为F1(-3，0)，F2(3，0).
|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).
∵|PM|-|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，
∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|==5，
此时|PM|+|PF1|取最大值，最大值为10+5=15.
故答案为：15
15．(1) ； (2)
【分析】(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l
(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l
【详解】（1）由，得，
∴与的交点为.
设与直线平行的直线为，
则，∴.
∴所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线为，
则，解得．
∴所求直线方程为.
【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1．
16．（1）；（2）.
【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式．
（2）推出，令，得到{cn}是首项为-5，公差为的等差数列，然后求解数列的和即可．
【详解】（1）由a2、a4、a5成等比数列得：，即5d2=a1d，
又∵d≠0，可得a1=5d；
而，解得d=1，所以an=a1+（n1）d=n6，
即数列{an}的通项公式为an=n6．
（2）因为，所以，
令，则为常数，∴{cn}是首项为5，公差为的等差数列，
所以的前10项和为．
【点睛】本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及利用等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质可得线面垂直，再由线面垂直的判定定理得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
【详解】（1）平面平面，平面平面，
平面，，平面，
平面，，
又且，、平面PAB，
平面；
（2）取中点为，连接、，
又，，则，
，，
，，则，
以为坐标原点，分别以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，
∴由，得，
令，则，
设与平面所成角为，
.
则直线与平面所成角的正弦值为.
18．（1），；（2）.
【解析】（1）将变形可得，即，利用累加可得；
（2）由（1）可得，利用错位相减法可得结果。
【详解】（1）∵，
等式两边同时除以得，，即．
当时，可得．∴，，．．．．．，．
以上各式累加得，又，
当时，，
又时，也满足上式，∴，．
（2）由（1）可得，
∴，①，②
①-②，得，
∴．
【点睛】关键点点睛：第（1）问等式两边同时除以得，是解题关键.第（2）问掌握错位相减法适用类型以及求和步骤是解题关键.
19．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解；
（3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.
【详解】（1）由题意，因为，为直角三角形，所以.
又，所以，所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，,显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
联立消去得，，
所以，即.
且，
因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或.
（3）由题意，,
设直线的方程为,，
则直线的方程为，，
联立消去得，
所以
所以
所以，
同理联立消去得，
所以
所以
所以，
即的中点.
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的面积最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值.
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