中考数学（河南专用）复习教材梳理考点第5章四边形微专题8半角模型 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
微专题8　半角模型
类型 90°内含45° 120°内含60°
图示

条件 ①正方形ABCD;
②∠EAF=45° ①等腰直角三角形ABC;
②∠DAE=45° ①DB=DC,∠BDC=120°;
②∠EDF=60°;
③等边三角形ABC
结论 ①EF=BE+DF;
②C△EFC=2AB BD2+CE2=DE2 EF=BE+CF
1.(1)我们知道,正方形的四条边都相等,四个角都为直角.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,连接AE,AF,EF,并延长CB到点G,使BG=DF,连接AG.若∠EAF=45°,猜想BE,EF,DF之间的数量关系并证明.
(2)如图2,当点E在线段BC的延长线上,且∠EAF=45°时,试探究BE,EF,DF之间的数量关系,并说明理由.
图1
图2
2.(1)如图1,等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E在线段BC上,且∠DAE=45°,BC=12,BD=3,求DE的长.
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,如果∠BAC=120°,D在线段BC上,E在BD上,D在E的右侧,∠DAE=60°,若BC=12,CD=2,求DE的长.
图1
图2
解:(1)如图1,
图1
作AF⊥AE,且AF=AE,连接BF,DF,∴∠EAF=90°.
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠BAC=∠EAF,
∠C=∠ABC=45°,
∴∠CAE=∠BAF,
∴△CAE≌△BAF(SAS),∴BF=CE,∠ABF=∠C=45°,
∴∠DBF=90°,∴BD2+BF2=DF2.∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,∴∠CAE+∠BAD=45°,∴∠BAF+∠BAD=45°.∴∠DAF=45°,∴∠DAE=∠DAF,∴△DAE≌△DAF(SAS),∴DF=DE,∴BD2+CE2=DE2.∵CE=BC-BD-DE=12-3-DE=9-DE,∴32+(9-DE)2=DE2,∴DE=5.
图2
3.已知,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边长分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于点H.
(1)如图1,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:　AH=AB　.
(2)如图2,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗 如果不成立,请写出理由;如果成立,请证明.
图1
图2
4.问题初探
(1)综合与实践数学活动课上,李老师给出了一个问题:如图1,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠BCD=120°,点E,F分别在边AB,AD上,且∠ECF=60°,用等式表示线段BE,DF,EF之间的数量关系,并证明.小明同学发现,如图2,在AB的延长线上截取BG=DF,连接CG.通过两次证明,证明三角形全等,可以解决问题.
图1
图2
图3
请你直接写出(1)中的结论.
类比分析
(2)李老师发现同学们运用了转化思想,构造全等三角形解决问题.为了帮助学生更好地感悟转化思想,李老师又提出下面问题,请你解答.
如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E在边AB上,且∠DCE=45°,用等式表示线段AD,BE,DE之间的数量关系,并证明.
解:(1)结论:BE+DF=EF,理由如下:
∵∠ABC=∠D=90°,∴∠GBC=∠FDC=90°.
∵BG=DF,BC=DC,
∴△GBC≌△FDC(SAS),
∴GC=FC,∠DCF=∠BCG.
∵∠BCD=120°,∠ECF=60°,
∴∠DCF+∠ECB=60°,
∴∠BCG+∠ECB=60°,
即∠ECF=∠ECG.
∵EC=EC,∴△ECG≌△ECF(SAS),
∴EF=EG,∴BE+DF=BE+BG=EF.
(2)BE2+AD2=DE2,证明如下:
将△ADC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC,连接HE,如图所示,
由旋转的性质可知,BH=AD,∠CAD=∠CBH,CD=CH,∠ACD=∠BCH.
∵∠ACB=90°,∴∠CAD+∠CBD=90°,
∴∠CBH+∠CBD=90°,即∠EBH=90°.
∵∠DCE=45°,∴∠ACD+∠BCE=45°,
∴∠BCH+∠BCE=45°=∠DCE.
∵CE=CE,∴△CDE≌△CHE(SAS),
∴DE=HE.∵BH2+BE2=HE2,
∴BE2+AD2=DE2.