甘肃省甘南州2024年中考数学试题
1．（2024·甘南）的相反数是（ ）
A． B． C．2024 D．﹣2024
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质；求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】
解：的相反数是
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，可得的相反数是，解答即可.
2．（2024·甘南）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】
解： 中国航天的图标是一个中心对称图形只有D符合
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，判断即可解答.
3．（2024·甘南）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是：
，
故选：D．
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．根据俯视图的定义即可得到答案．
4．（2024·甘南）某小组8名学生的中考体育分数（单位：分）如下：39，40，42，40，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，41
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据排列为39，40，40，42，42，42，43，44，
所以这组数据的众数为42，中位数为
故答案为：C.
【分析】根据众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数。将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数。如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，计算即可解答.
5．（2024·甘南）下列计算正确的是（ ）
A．x6÷x2＝x3 B．5x3 3x5＝15x8
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2 D．5x﹣2x＝3
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
解：A、x6x2=x4，故A不符合题意；
B、5x3.3x5=15x8，故B符合题意；
C、(x+2) (x-2)=x2-4，故C不符合题意；
D、5x-2x=3x，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则得5x-2x=3x可判断D，根据单项式乘单项式的法则得5x3.3x5=15x8可判断B，根据平方差公式得(x+2) (x-2)=x2-4可判断C，根据同底数幂的除法法则得x6x2=x4可判断A；逐一判断即可解答.
6．（2024·甘南）已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式有意义：则，可列式为，，求出，再代入代数式中得到y的值，再代入求，计算即可．
7．（2024·甘南）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；尺规作图-作高
【解析】【解答】
解：由作图可知
∵ ∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4．
∴
∵
∴∠AFB=90°
∴BF=
故答案为：B.
【分析】先根据题干的尺规作图判断得到，再由已知条件利用勾股定理计算得到，再用勾股定理计算BF，解答即可.
8．（2024·甘南）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（ ）
A．18° B．36° C．48° D．72°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；切线长定理；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】
解：如图，连接BC
∵DB、DE分别切于点B、C，
∴BD=DC，
∵AB是的直径，
∴ACB=90°，
∴DBC=DCB=90°-18°=72°，
∴D=180-72X2=36°
故答案为：B.
【分析】连接BC，根据切线长定理得到BD=DC，由圆周角定理的推论得ACB=90°，从而计算得
DBC=DCB=90°-18°=72°，进而即可求解.
9．（2024·甘南）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： 设规定时间为x天 由题意得
故答案为：A.
【分析】 设规定时间为x天 ，由快马所需时间比规定时间少2天可得时间为x-2，再由题干表示出快马得速度为，慢马的速度，再根据快马的速度是慢马的倍，列方程即可解答.
10．（2024·甘南）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：①由图像开口向下得a<0；
由对称轴在y轴的右侧a、b异号，得b>0；
由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得c>0，
∴abc<0，
所以①正确，符合题意；
②当x=-1时图象在x轴下方，则y=a-b+c<0，即a+c∴②不正确，不符合题意；
③对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，
则y=4a+2b+c>0，
∴③正确，符合题意；
④x==1，则a=-，而a-b+c
则
所以④正确，符合题意；
⑤开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；
当x=m(m1)时，y=am2+bm+c，
则a+b+c>am2+bm+c，
即a+b>m (am+b) (m1)，
∴⑤错误，不符合题意。
故①③④正确，
故答案为：C.
【分析】观察函数图象，与y轴得交点，对称轴得位置得出abc<0，可判断 ① ；当x=-1时图象在x轴下方，则y=a-b+c<0可判断②；对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c>0可判断③；由对称轴直线x==1，结合a-b+c 计算可判断④；根据函数图象开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c计算可判断⑤，逐一判断即可解答.
11．（2024·甘南）分解因式：x3﹣x= .
【答案】x（x+1）（x﹣1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣x，
=x（x2﹣1），
=x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
12．（2024·甘南）民之所盼，我之所呼．人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次，其中数据“5810000”用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据“5 810 000”用科学记数法可表示为．
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，n比原位数少1，写出表示形式解答即可．
13．（2024·甘南）若点P（3m+1，2﹣m）在x轴上，则点P的坐标是 ．
【答案】（4，0）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】
解： ∵点P（3m+1，2﹣m）在x轴上
∴2-m=0，解得m=2
∴ 点P的坐标 是（4，0）
故答案为：（4，0）.
【分析】根据坐标的特点：x轴上的点纵坐标为0.列式为2-m=0，计算得到m的值，求出点P的坐标解答即可.
14．（2024·甘南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD=40°，若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 ．
【答案】π
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】
解：如图，连接OA、OD、OC，
∵∠B＝58° ，∠ACD=40° .
∴AOC=2B=116°，AOD=2ACD=80°，
∴DOC=36°，
∴弧CD的长为
故答案为：π.
【分析】根据圆周角定理计算出AOC=2B=116°，AOD=2ACD=80°，再由角的和差运算计算出弧DC所对的圆心角度数，利用弧长公式，计算即可解答.
15．（2024·甘南）
（1）计算：（π﹣1）0+9tan30°﹣+|﹣3|﹣；
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：原式＝1+9×﹣+3﹣（﹣2）
＝7+﹣+3+4
＝6
（2）解：，
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞﹣3，
故不等式组的解集为﹣4＜x≤2．
将解集表示在数轴上如下：
．
【知识点】二次根式的混合运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先计算，再计算特殊的三角函数 tan30° =，再计算，再算|-3|=3，再算，最后算乘法和加减解答即可.
(2)根据不等式组的解法先解不等式①，得x≤2，再解不等式②，得x＞﹣3，将解集表示在数轴上然后写出解集，解答即可.
16．（2024·甘南）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可．
【答案】解：原式＝
＝
＝，
∵﹣2≤x≤2，且x≠3，
∴整数x＝1或﹣1，
∴当x＝2时，原式＝．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先因式分解分式的分子分母， 再通分计算，最后约分化简得到，根据题意﹣2≤x≤2，且x≠3，选择使得分式有意义的值代入计算即可解答.
17．（2024·甘南）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）．
【答案】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CE于点F，
∴四边形AGCF是矩形，
∴AG＝CF，GC＝AF，
∵AB＝5m，BC＝4m，
∴AG＝ABcos∠GAB＝6×cos16°≈5×0.96＝6.8（m），
BG＝ABsin∠GAB＝5×sin16°≈5×0.28＝1.4（m），
∴CF＝4.8（m），CG＝4﹣1.4＝7.6（m），
∴AF＝2.7（m），
∵∠ADF＝45°，
∴AF＝DF＝2.6（m）
∴CD＝CF﹣DF＝4.8﹣2.4＝2.2（m）．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系；正弦的概念；余弦的概念
【解析】【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CE于点F，由矩形的性质得到AG＝CF，GC＝AF，再根据余弦和正弦的定义计算出AG＝ABcos∠GAB=6.8，BG＝ABsin∠GAB=1.4，再由线段的和差运算可得CF，CG，AF，再根据等腰直角三角形的性质可得AF＝DF＝2.6，最后计算CD=CF﹣DF=2.2，解答即可.
18．（2024·甘南）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了_________名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，；
（2）详见解析；
（3），详见解析．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
19．（2024·甘南）如图，反比例函数与一次函数y=2x+m的图象交于点A（1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接AB，若OD=1，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵点A（1，4）在反比例函数图象上，
∴k＝4×4＝4，
∴反比例函数解析式为：y＝，
∵y＝2x+m的图象过点A（1，7），
∴4＝2×4+m．解得m＝2，
∴一次函数解析式为：y＝2x+4．
（2）解：将y＝1代入y＝得x＝4，
∴B（4，1），
将y＝3代入y＝2x+2得x＝﹣，
∴C（﹣，1），
∴BC＝4﹣（﹣）＝，
∴S△ABC＝×（4﹣6）＝．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)根据点A（1，4）在反比例函数图象上可得k=4，即可得到反比例函数解析式为y＝；再根据一次函数的图象过点A（1，7）代入点的坐标计算可得m=2，即可得一次函数解析式为y＝2x+4，解答即可.
(2)先计算B（4，1），C（﹣，1），再根据两点之间的距离公式得BC＝，再由三角形的面积公式计算即可得面积的值.
20．（2024·甘南）如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝18，，求BE的长．
【答案】（1）解：DE为⊙O的切线，理由为：
证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝CB，
∴点D为AC的中点，
∵点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝∠DFC，
∵DE⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠A+∠OBD＝90°，∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠BDE，即sinA＝sin∠BDE＝，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝18，
∴BD＝ABsinA＝18×＝6，
在Rt△BDF中，sin∠BDE＝，
∴BF＝BDsin∠BDE＝6×＝2，
∵BF∥OD，
∴∠FBE＝∠DOE，∠EFB＝∠EDO，
∴△BEF∽△OED，
，即
∴
解得：BE＝．
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接OD，BD，根据圆周角定理的推论得到∠ADB＝90°，再由等腰三角三线合一的性质得到点D为AC的中点，再根据中位线定理得到OD∥BC，再由平行线的性质得到∠ODE＝∠DFC，再由出现的性质得到DE⊥OD，即可根据切线的判定定理解答；
(2)根据等边对等角得到∠ODB＝∠OBD，再根据同角的余角相等得到∠A＝∠BDE，在Rt△ABD中，在Rt△BDF中，利用正弦的定义计算出BD，BF，再用AA判定△BEF∽△OED，根据相似三角形的性质建立比例关系计算即可解答.
21．（2024·甘南）若二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），则2024+2a﹣b＝ ．
【答案】2025
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：∵ 二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1）
∴4a-2b-1=1即2a-b=1
∴ 2024+2a﹣b＝ 2025
故答案为：2025.
【分析】根据二次函数图象上点的特征把点（2，1）代入二次函数y＝ax2﹣bx﹣1解得2a-b=1，在整体代值计算即可解答.
22．（2024·甘南）若分式的值为0，则x的值为 ．
【答案】-2
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】
解： ∵分式的值为0
∴|x|-2=0，且x-2，x-1
解得x=-2
故答案为：-2.
【分析】根据分式的值为0得到|x|-2=0，但分式得有意义因而得到x-2，x-1计算可得x=-2，解答即可.
23．（2024·甘南）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，点C的对应点是点C'.若AB=4，EF= ，则AD的长等于 .
【答案】8
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知
连接 ， 与 相交于点 ，
折叠
四边形 是菱形，
中，
设
在 中，
故答案为：8.
【分析】利用折叠的性质，可证得∠BEF=∠DEF，利用平行线的性质去证明∠BEF=∠EFB，由此可推出BE=BF；连接DF，BD与EF交于点O，易证DE=BE=BF=DF，利用四边相等的四边形是菱形，可得四边形BEDF是菱形，利用菱形的性质可求出OE=OF，OB=OD，EF⊥BD，设BF=x，利用勾股定理表示出BO的长，同时可表示出四边形BEDF的面积，再利用菱形的面积公式，建立关于x的方程，解方程求出x的值，利用勾股定理求出FC的长；然后根据AD=BC=BF+FC，可求出AD的长.
24．（2024·甘南）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N．若点B的坐标为（4，2），△MON的面积是，则k的值为 ．
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】
解： 由点B的坐标为（4，2）设M，N
则BM=2-，BN=4-
由反比例的几何意义得到=K
∴
∴
解得k=
由图像可知k>0，
∴k=2
故答案为：2.
【分析】线根据点B的坐标为（4，2）设M，N，再表示出BM，BN，再根据反比例的几何意义得到=K，表示出，根据面积公式建立方程，解方程可得k=，再根据反比例的函数图象可得k的值，解答即可.
25．（2024·甘南）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为 .
【答案】(1010，0)
【知识点】坐标与图形性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：观察图形，除A1、A2、A3外，每隔4次则循环出现在正方形的四个顶点处，故：
且(2020-3)÷4=504余1，故A2020位于正方形的左下角处。
由图可知，点A4（2，0），
点A8（4，0），
点A12（6，1），
…
故A4n的坐标为(2n，0).
所以，点A2020的坐标为 (1010，0)，
故答案为：(1010，0).
【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点An的坐标，然后根据变化规律写出即可.
26．（2024·甘南）某网络经销商购进了一批 A型钥匙扣和B型钥匙扣．已知购进A型钥匙扣个、B型钥匙扣个共需 元，购进 A 型钥匙扣个、B型钥匙扣 个共需 元．
（1）每个 A 型钥匙扣和 B型钥匙扣的进价分别是多少元
（2）该经销商决定购进 A 型钥匙扣和 B型钥匙扣共 个，投入资金不超过 元，并将 A 型钥匙扣的售价定为每个 元，B型钥匙扣的售价定为每个 元，请问如何进货可以使该经销商获得最大利润 最大利润是多少元
【答案】（1）解：设每个A 型钥匙扣进价x元，B型钥匙扣的进价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每个A 型钥匙扣进价元，B型钥匙扣的进价为元．
（2）解：设购进A 型钥匙扣a个，则B型钥匙扣件，利润为W元，根据题意得：
，
即：，
，
，且a为非负整数
，
W随着a的增大而增大，
当时，W最大，最大值为：
，
该经销商应购进 A 型钥匙扣 个，B型钥匙扣个，可获得最大利润，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；加减消元法解二元一次方程组；列二元一次方程；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每个A 型钥匙扣进价x元，B型钥匙扣的进价为y元，根据“购进A型钥匙扣个、B型钥匙扣个共需元可得50x+30y=870，根据购进 A 型钥匙扣个、B型钥匙扣 个共需可得30x+50y=810，解方程组即可解答；
（2）设购进A 型钥匙扣a个，则B型钥匙扣件，先求出利润的函数再化简得到，再根据投入资金不超过元列式为 ，接触不等式，再根据一次函数的性质W随着a的增大而增大，可得当时，W最大为666，由此即可解答．
27．（2024·甘南）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算的值；
（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE AB＝CF AD．
【答案】（1）解：如图1，设DE与CF交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1；
（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠CDG＝60°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∴CE＝CD，
∴
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴
∴
∴DE AB＝CF AD．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）设DE与CF交于点G，根据正方形的性质得到∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，再根据垂线的定义得到∠DGF＝90°，再由等角的余角相等得到∠CFD＝∠AED，即可由AAS判定△AED≌△DFC，再由全等三角形的性质得到DE＝CF，计算比值即可解答；
（2）设DB与CE交于点G，根据正方形的性质得到∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°，再由直角三角形的锐角互余得到∠CDG＝60°，∠DCE＝30°，再根据余弦的定义得到CE＝CD，再代入比值线段计算即可解答.
(3)过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，根据垂线的定义和矩形的性质得到∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，即可判定四边形ABCH为矩形，再根据矩形的性质得到等角即可由AA判定△DEA∽△CFH，再根据相似三角形的性质建立比例关系转化线段的比值即可得到结论，解答即可.
28．（2024·甘南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
【答案】（1）解：由抛物线的表达式知，c＝﹣5＝yB，
则OB＝5
∵5OA＝OB＝OC．
∴OA=1，OC=5，
则点A、C、B的坐标分别为：（1、0)，（﹣5、0)（0，-5)
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5，
则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5；
（2）解：点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，理由：
△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小，
由点B、C的坐标得直线BC的解析式为y＝﹣x﹣5，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣5＝﹣3，
则点M（﹣2，﹣3）；
（3）解：设点P（x，﹣x﹣5），Q(x，x2+4x﹣5），
则PQ＝（﹣x﹣8）﹣（x2+4x﹣8）＝﹣x2﹣5x，
∵PQ∥OB，
故当PQ＝OB时，满足题设条件，
即PQ＝﹣x5﹣5x＝OB＝5，
解得：x＝，
则点P的坐标为：（，）或（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两点之间线段最短；一元二次方程的求根公式及应用；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
(1)、观察函数图象得到与y轴的交点即为点B的坐标（0，-5)，再根据已知条件表示出点A、C的坐标分别为（1、0)，（﹣5、0)，再设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）根据对应系数相等得到a＝1，即可求得抛物线的韩虎解析式；
（2）、点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M根据两点之间线段最短得到△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小，先由点B、C的坐标得直线BC的解析式为y＝﹣x﹣5，再求出抛物线的对称轴为直线x＝-2，计算当x＝﹣2时，y＝﹣3，即可得点M的坐标为（﹣2，﹣3）；
（3） 由点P是线段BC上一点，根据直线BC的解析式为y＝﹣x﹣5可设点P（x，﹣x﹣5），根据点P作y轴的平行线交抛物线于点Q可得P，Q横坐标相等，于是表示出Q(x，x2+4x﹣5），在表示出PQ＝﹣x2﹣5x，当PQ＝OB时建立方程得到﹣x5﹣5x=5，计算可得x＝，表示出P的坐标即可解答.
1 / 1甘肃省甘南州2024年中考数学试题
1．（2024·甘南）的相反数是（ ）
A． B． C．2024 D．﹣2024
2．（2024·甘南）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·甘南）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·甘南）某小组8名学生的中考体育分数（单位：分）如下：39，40，42，40，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，41
5．（2024·甘南）下列计算正确的是（ ）
A．x6÷x2＝x3 B．5x3 3x5＝15x8
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2 D．5x﹣2x＝3
6．（2024·甘南）已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
7．（2024·甘南）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2024·甘南）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（ ）
A．18° B．36° C．48° D．72°
9．（2024·甘南）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·甘南）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024·甘南）分解因式：x3﹣x= .
12．（2024·甘南）民之所盼，我之所呼．人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次，其中数据“5810000”用科学记数法可表示为 ．
13．（2024·甘南）若点P（3m+1，2﹣m）在x轴上，则点P的坐标是 ．
14．（2024·甘南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD=40°，若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 ．
15．（2024·甘南）
（1）计算：（π﹣1）0+9tan30°﹣+|﹣3|﹣；
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
16．（2024·甘南）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可．
17．（2024·甘南）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）．
18．（2024·甘南）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了_________名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
19．（2024·甘南）如图，反比例函数与一次函数y=2x+m的图象交于点A（1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接AB，若OD=1，求△ABC的面积．
20．（2024·甘南）如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝18，，求BE的长．
21．（2024·甘南）若二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），则2024+2a﹣b＝ ．
22．（2024·甘南）若分式的值为0，则x的值为 ．
23．（2024·甘南）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，点C的对应点是点C'.若AB=4，EF= ，则AD的长等于 .
24．（2024·甘南）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N．若点B的坐标为（4，2），△MON的面积是，则k的值为 ．
25．（2024·甘南）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为 .
26．（2024·甘南）某网络经销商购进了一批 A型钥匙扣和B型钥匙扣．已知购进A型钥匙扣个、B型钥匙扣个共需 元，购进 A 型钥匙扣个、B型钥匙扣 个共需 元．
（1）每个 A 型钥匙扣和 B型钥匙扣的进价分别是多少元
（2）该经销商决定购进 A 型钥匙扣和 B型钥匙扣共 个，投入资金不超过 元，并将 A 型钥匙扣的售价定为每个 元，B型钥匙扣的售价定为每个 元，请问如何进货可以使该经销商获得最大利润 最大利润是多少元
27．（2024·甘南）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算的值；
（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE AB＝CF AD．
28．（2024·甘南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质；求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】
解：的相反数是
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，可得的相反数是，解答即可.
2．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】
解： 中国航天的图标是一个中心对称图形只有D符合
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，判断即可解答.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是：
，
故选：D．
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．根据俯视图的定义即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据排列为39，40，40，42，42，42，43，44，
所以这组数据的众数为42，中位数为
故答案为：C.
【分析】根据众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数。将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数。如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，计算即可解答.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
解：A、x6x2=x4，故A不符合题意；
B、5x3.3x5=15x8，故B符合题意；
C、(x+2) (x-2)=x2-4，故C不符合题意；
D、5x-2x=3x，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则得5x-2x=3x可判断D，根据单项式乘单项式的法则得5x3.3x5=15x8可判断B，根据平方差公式得(x+2) (x-2)=x2-4可判断C，根据同底数幂的除法法则得x6x2=x4可判断A；逐一判断即可解答.
6．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式有意义：则，可列式为，，求出，再代入代数式中得到y的值，再代入求，计算即可．
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；尺规作图-作高
【解析】【解答】
解：由作图可知
∵ ∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4．
∴
∵
∴∠AFB=90°
∴BF=
故答案为：B.
【分析】先根据题干的尺规作图判断得到，再由已知条件利用勾股定理计算得到，再用勾股定理计算BF，解答即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；切线长定理；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】
解：如图，连接BC
∵DB、DE分别切于点B、C，
∴BD=DC，
∵AB是的直径，
∴ACB=90°，
∴DBC=DCB=90°-18°=72°，
∴D=180-72X2=36°
故答案为：B.
【分析】连接BC，根据切线长定理得到BD=DC，由圆周角定理的推论得ACB=90°，从而计算得
DBC=DCB=90°-18°=72°，进而即可求解.
9．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： 设规定时间为x天 由题意得
故答案为：A.
【分析】 设规定时间为x天 ，由快马所需时间比规定时间少2天可得时间为x-2，再由题干表示出快马得速度为，慢马的速度，再根据快马的速度是慢马的倍，列方程即可解答.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：①由图像开口向下得a<0；
由对称轴在y轴的右侧a、b异号，得b>0；
由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得c>0，
∴abc<0，
所以①正确，符合题意；
②当x=-1时图象在x轴下方，则y=a-b+c<0，即a+c∴②不正确，不符合题意；
③对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，
则y=4a+2b+c>0，
∴③正确，符合题意；
④x==1，则a=-，而a-b+c
则
所以④正确，符合题意；
⑤开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；
当x=m(m1)时，y=am2+bm+c，
则a+b+c>am2+bm+c，
即a+b>m (am+b) (m1)，
∴⑤错误，不符合题意。
故①③④正确，
故答案为：C.
【分析】观察函数图象，与y轴得交点，对称轴得位置得出abc<0，可判断 ① ；当x=-1时图象在x轴下方，则y=a-b+c<0可判断②；对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c>0可判断③；由对称轴直线x==1，结合a-b+c 计算可判断④；根据函数图象开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c计算可判断⑤，逐一判断即可解答.
11．【答案】x（x+1）（x﹣1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣x，
=x（x2﹣1），
=x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据“5 810 000”用科学记数法可表示为．
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，n比原位数少1，写出表示形式解答即可．
13．【答案】（4，0）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】
解： ∵点P（3m+1，2﹣m）在x轴上
∴2-m=0，解得m=2
∴ 点P的坐标 是（4，0）
故答案为：（4，0）.
【分析】根据坐标的特点：x轴上的点纵坐标为0.列式为2-m=0，计算得到m的值，求出点P的坐标解答即可.
14．【答案】π
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】
解：如图，连接OA、OD、OC，
∵∠B＝58° ，∠ACD=40° .
∴AOC=2B=116°，AOD=2ACD=80°，
∴DOC=36°，
∴弧CD的长为
故答案为：π.
【分析】根据圆周角定理计算出AOC=2B=116°，AOD=2ACD=80°，再由角的和差运算计算出弧DC所对的圆心角度数，利用弧长公式，计算即可解答.
15．【答案】（1）解：原式＝1+9×﹣+3﹣（﹣2）
＝7+﹣+3+4
＝6
（2）解：，
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞﹣3，
故不等式组的解集为﹣4＜x≤2．
将解集表示在数轴上如下：
．
【知识点】二次根式的混合运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先计算，再计算特殊的三角函数 tan30° =，再计算，再算|-3|=3，再算，最后算乘法和加减解答即可.
(2)根据不等式组的解法先解不等式①，得x≤2，再解不等式②，得x＞﹣3，将解集表示在数轴上然后写出解集，解答即可.
16．【答案】解：原式＝
＝
＝，
∵﹣2≤x≤2，且x≠3，
∴整数x＝1或﹣1，
∴当x＝2时，原式＝．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先因式分解分式的分子分母， 再通分计算，最后约分化简得到，根据题意﹣2≤x≤2，且x≠3，选择使得分式有意义的值代入计算即可解答.
17．【答案】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CE于点F，
∴四边形AGCF是矩形，
∴AG＝CF，GC＝AF，
∵AB＝5m，BC＝4m，
∴AG＝ABcos∠GAB＝6×cos16°≈5×0.96＝6.8（m），
BG＝ABsin∠GAB＝5×sin16°≈5×0.28＝1.4（m），
∴CF＝4.8（m），CG＝4﹣1.4＝7.6（m），
∴AF＝2.7（m），
∵∠ADF＝45°，
∴AF＝DF＝2.6（m）
∴CD＝CF﹣DF＝4.8﹣2.4＝2.2（m）．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系；正弦的概念；余弦的概念
【解析】【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CE于点F，由矩形的性质得到AG＝CF，GC＝AF，再根据余弦和正弦的定义计算出AG＝ABcos∠GAB=6.8，BG＝ABsin∠GAB=1.4，再由线段的和差运算可得CF，CG，AF，再根据等腰直角三角形的性质可得AF＝DF＝2.6，最后计算CD=CF﹣DF=2.2，解答即可.
18．【答案】（1）50，；
（2）详见解析；
（3），详见解析．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
19．【答案】（1）解：∵点A（1，4）在反比例函数图象上，
∴k＝4×4＝4，
∴反比例函数解析式为：y＝，
∵y＝2x+m的图象过点A（1，7），
∴4＝2×4+m．解得m＝2，
∴一次函数解析式为：y＝2x+4．
（2）解：将y＝1代入y＝得x＝4，
∴B（4，1），
将y＝3代入y＝2x+2得x＝﹣，
∴C（﹣，1），
∴BC＝4﹣（﹣）＝，
∴S△ABC＝×（4﹣6）＝．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)根据点A（1，4）在反比例函数图象上可得k=4，即可得到反比例函数解析式为y＝；再根据一次函数的图象过点A（1，7）代入点的坐标计算可得m=2，即可得一次函数解析式为y＝2x+4，解答即可.
(2)先计算B（4，1），C（﹣，1），再根据两点之间的距离公式得BC＝，再由三角形的面积公式计算即可得面积的值.
20．【答案】（1）解：DE为⊙O的切线，理由为：
证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝CB，
∴点D为AC的中点，
∵点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝∠DFC，
∵DE⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠A+∠OBD＝90°，∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠BDE，即sinA＝sin∠BDE＝，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝18，
∴BD＝ABsinA＝18×＝6，
在Rt△BDF中，sin∠BDE＝，
∴BF＝BDsin∠BDE＝6×＝2，
∵BF∥OD，
∴∠FBE＝∠DOE，∠EFB＝∠EDO，
∴△BEF∽△OED，
，即
∴
解得：BE＝．
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接OD，BD，根据圆周角定理的推论得到∠ADB＝90°，再由等腰三角三线合一的性质得到点D为AC的中点，再根据中位线定理得到OD∥BC，再由平行线的性质得到∠ODE＝∠DFC，再由出现的性质得到DE⊥OD，即可根据切线的判定定理解答；
(2)根据等边对等角得到∠ODB＝∠OBD，再根据同角的余角相等得到∠A＝∠BDE，在Rt△ABD中，在Rt△BDF中，利用正弦的定义计算出BD，BF，再用AA判定△BEF∽△OED，根据相似三角形的性质建立比例关系计算即可解答.
21．【答案】2025
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：∵ 二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1）
∴4a-2b-1=1即2a-b=1
∴ 2024+2a﹣b＝ 2025
故答案为：2025.
【分析】根据二次函数图象上点的特征把点（2，1）代入二次函数y＝ax2﹣bx﹣1解得2a-b=1，在整体代值计算即可解答.
22．【答案】-2
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】
解： ∵分式的值为0
∴|x|-2=0，且x-2，x-1
解得x=-2
故答案为：-2.
【分析】根据分式的值为0得到|x|-2=0，但分式得有意义因而得到x-2，x-1计算可得x=-2，解答即可.
23．【答案】8
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知
连接 ， 与 相交于点 ，
折叠
四边形 是菱形，
中，
设
在 中，
故答案为：8.
【分析】利用折叠的性质，可证得∠BEF=∠DEF，利用平行线的性质去证明∠BEF=∠EFB，由此可推出BE=BF；连接DF，BD与EF交于点O，易证DE=BE=BF=DF，利用四边相等的四边形是菱形，可得四边形BEDF是菱形，利用菱形的性质可求出OE=OF，OB=OD，EF⊥BD，设BF=x，利用勾股定理表示出BO的长，同时可表示出四边形BEDF的面积，再利用菱形的面积公式，建立关于x的方程，解方程求出x的值，利用勾股定理求出FC的长；然后根据AD=BC=BF+FC，可求出AD的长.
24．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】
解： 由点B的坐标为（4，2）设M，N
则BM=2-，BN=4-
由反比例的几何意义得到=K
∴
∴
解得k=
由图像可知k>0，
∴k=2
故答案为：2.
【分析】线根据点B的坐标为（4，2）设M，N，再表示出BM，BN，再根据反比例的几何意义得到=K，表示出，根据面积公式建立方程，解方程可得k=，再根据反比例的函数图象可得k的值，解答即可.
25．【答案】(1010，0)
【知识点】坐标与图形性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：观察图形，除A1、A2、A3外，每隔4次则循环出现在正方形的四个顶点处，故：
且(2020-3)÷4=504余1，故A2020位于正方形的左下角处。
由图可知，点A4（2，0），
点A8（4，0），
点A12（6，1），
…
故A4n的坐标为(2n，0).
所以，点A2020的坐标为 (1010，0)，
故答案为：(1010，0).
【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点An的坐标，然后根据变化规律写出即可.
26．【答案】（1）解：设每个A 型钥匙扣进价x元，B型钥匙扣的进价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每个A 型钥匙扣进价元，B型钥匙扣的进价为元．
（2）解：设购进A 型钥匙扣a个，则B型钥匙扣件，利润为W元，根据题意得：
，
即：，
，
，且a为非负整数
，
W随着a的增大而增大，
当时，W最大，最大值为：
，
该经销商应购进 A 型钥匙扣 个，B型钥匙扣个，可获得最大利润，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；加减消元法解二元一次方程组；列二元一次方程；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每个A 型钥匙扣进价x元，B型钥匙扣的进价为y元，根据“购进A型钥匙扣个、B型钥匙扣个共需元可得50x+30y=870，根据购进 A 型钥匙扣个、B型钥匙扣 个共需可得30x+50y=810，解方程组即可解答；
（2）设购进A 型钥匙扣a个，则B型钥匙扣件，先求出利润的函数再化简得到，再根据投入资金不超过元列式为 ，接触不等式，再根据一次函数的性质W随着a的增大而增大，可得当时，W最大为666，由此即可解答．
27．【答案】（1）解：如图1，设DE与CF交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1；
（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠CDG＝60°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∴CE＝CD，
∴
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴
∴
∴DE AB＝CF AD．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）设DE与CF交于点G，根据正方形的性质得到∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，再根据垂线的定义得到∠DGF＝90°，再由等角的余角相等得到∠CFD＝∠AED，即可由AAS判定△AED≌△DFC，再由全等三角形的性质得到DE＝CF，计算比值即可解答；
（2）设DB与CE交于点G，根据正方形的性质得到∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°，再由直角三角形的锐角互余得到∠CDG＝60°，∠DCE＝30°，再根据余弦的定义得到CE＝CD，再代入比值线段计算即可解答.
(3)过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，根据垂线的定义和矩形的性质得到∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，即可判定四边形ABCH为矩形，再根据矩形的性质得到等角即可由AA判定△DEA∽△CFH，再根据相似三角形的性质建立比例关系转化线段的比值即可得到结论，解答即可.
28．【答案】（1）解：由抛物线的表达式知，c＝﹣5＝yB，
则OB＝5
∵5OA＝OB＝OC．
∴OA=1，OC=5，
则点A、C、B的坐标分别为：（1、0)，（﹣5、0)（0，-5)
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5，
则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5；
（2）解：点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，理由：
△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小，
由点B、C的坐标得直线BC的解析式为y＝﹣x﹣5，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣5＝﹣3，
则点M（﹣2，﹣3）；
（3）解：设点P（x，﹣x﹣5），Q(x，x2+4x﹣5），
则PQ＝（﹣x﹣8）﹣（x2+4x﹣8）＝﹣x2﹣5x，
∵PQ∥OB，
故当PQ＝OB时，满足题设条件，
即PQ＝﹣x5﹣5x＝OB＝5，
解得：x＝，
则点P的坐标为：（，）或（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两点之间线段最短；一元二次方程的求根公式及应用；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
(1)、观察函数图象得到与y轴的交点即为点B的坐标（0，-5)，再根据已知条件表示出点A、C的坐标分别为（1、0)，（﹣5、0)，再设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）根据对应系数相等得到a＝1，即可求得抛物线的韩虎解析式；
（2）、点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M根据两点之间线段最短得到△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小，先由点B、C的坐标得直线BC的解析式为y＝﹣x﹣5，再求出抛物线的对称轴为直线x＝-2，计算当x＝﹣2时，y＝﹣3，即可得点M的坐标为（﹣2，﹣3）；
（3） 由点P是线段BC上一点，根据直线BC的解析式为y＝﹣x﹣5可设点P（x，﹣x﹣5），根据点P作y轴的平行线交抛物线于点Q可得P，Q横坐标相等，于是表示出Q(x，x2+4x﹣5），在表示出PQ＝﹣x2﹣5x，当PQ＝OB时建立方程得到﹣x5﹣5x=5，计算可得x＝，表示出P的坐标即可解答.
1 / 1
