第二十一章 一元二次方程 知识点分类练习 （含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程知识点分类练习
知识点 一元二次方程的定义
1.下列方程中，是一元二次方程的是 ( )
C. (x-1)(x+2)=1
2.下列方程是关于x的一元二次方程的是 ( )
3 把一元二次方程x(x+1)=3x+2化为一般形式，正确的是 ( )
4 若关于x的方程( 是一元二次方程，则m的取值范围是 .
5一元二次方程 化为一般式后为 试求 的值的算术平方根.
知识点二 一元二次方程的解法
1 下列一元二次方程中，没有实数根的是 ( )
2. 一元二次方程 配方后可化为( )
3 已知x ，x 是关于x的方程 的两根，则下列结论一定正确的是 ( )
4 下列方程，适合用因式分解法解的是 ( )
5 用配方法解方程 变形后的结果正确的是 ( )
6 已知关于x的一元二次方程( +1)=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是 ( )
A.1一定不是关于x的方程 的根
B.0一定不是关于x的方程 的根
C.1 和-1 都是关于x 的方程 的根
D.1 和-1不都是关于x的方程 的根
7 四位同学在研究函数 (b,c是常数)时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现-1是方程 的一个根；丙发现函数的最小值是3；丁发现当x=2时，y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是 ( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8 方程 的两根为x ,x ,则 的值是 ( )
A. - 1 B. 1 C. D. -
9 已知方程 可以配方成 ，则以m，n为两边长的直角三角形的第三边的长为
10 若 ，且一元二次方程 ax+b=0有实数根，则k的取值范围是
11 若x -mx-15=(x+3)(x+n),则 nm的值为
12 用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程 和 再求解.
13 如果一元二次方程 的两根互为相反数，那么m= ；如果两根互为倒数，那么n= .
14 解下列方程：
15 用配方法证明：不论x，y取何实数时，代数式 的值总不小于常数2.
16 在解方程 小张看错了p，解得方程的根为1与-3；小王看错了q，解得方程的根为4与-2.这个方程的根应该是什么
17 关于x的一元二次方程
(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根.
18 若方程: 的两根为x 和x ，不解方 程求 的值.
19 三角形两边长分别是 6 和 8 ，第三边长是 16x+60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长和周长.
20 利用判别式判断下列方程的根的情况：
21 已知a,b,c是△ABC 的三边长,且 6a-8b-10c+50=0.
(1) 求a,b,c的值;
(2) 判断△ABC 的形状.
知识点三一元二次方程的实际应用
1 某超市一月份的营业额为200 万元，一月、二月、三月的营业额共1000 万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为 ( )
B. 200+200×2×x=1000
C. 200+200×3×x=1000
D. 200+200(1+x)+200(1+x) =1000
2 某市2018年投入教育经费2500 万元,预计2020年要投入教育经费3600 万元，已知2018 年至2020年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，该增长率为 ( )
A. 10% B. 20% C.30% D. 40%
3 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36 场.设有x个队参赛，根据题意，可列方程为 ( )
C. x(x-1)=36 D. x(x +1)=36
4 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ( )
A.4 B. 5 C. 6 D.7
5 从一块长30cm宽12cm的长方形薄铁皮的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm ，则截去小正方形的边长为( )
A. 1 cm B. 2cm C. 3cm D. 4 cm
6 两个连续的奇数的积为195，设较小的奇数为x，则依题意可列方程为 .
7 一个直角三角形的两条直角边长之比为5：12 ，斜边长为26，则这个直角三角形的面积为 .
8 某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，若商店计划要赚400元，需要卖出 件商品，每件商品应售价为 元.
9 某小会议室的地面为长方形，长比宽多2m，如果用384块边长为25cm的正方形瓷砖恰好铺满整个地面，则这个小会议室的长和宽分别是 、 .
10“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价，已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100 元销售7辆获利相同.
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元
(2)若该型号自行车进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大 最大利润是多少
知识点一
1. C 2. C 3. D
4. m≠2
5.整理 得
则(a=3,2a+b=2,a+b+c=-1,
解得a=3,b=-4,c=0.
的值的算术平方根是5.
知识点二
1. C 2. B 3. A 4. C 5. C 6. D 7. B 8. A
9.5或
10. k≤4且k≠0
11. - 10
12. x+3=0 5-2x=0
13. 0 1
解得
(2t+1)(t-4)=0
解得
15. 证明:
故不论x、y为何实数，
代数式 恒成立.
16.解：由题意得(q=-3×1=-3,p=-(-2+4)2,∴方程为 ,解得x=3或x=-1.
17. 解:(1)a≠0,
∴△>0,
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
若b=2,a=1,则方程变形为 解得
18.解：因为方程 的两根为x 和x ，由根与系数的关系知
所以
19. 解:
x-8=±2
①当x=10时,6+8>10,
∴三角形周长为6+8+10=24.
②当x=6时,6+6>8,
∴三角形周长为6+6+8=20.
答：该三角形第三条边长为10或6.当第三边长为10时，周长为24；当第三边长为6时，周长为20.
20. 解:
∴方程有两个不相等的实数根；
∴方程有两个相等的实数根；
∴方程无实数根；
化成一般式为：
∴方程有两个不相等的实数根.
21. 解:(
即
∴a=3,b=4,c=5.
∴△ABC是直角三角形.
知识点三
1. D 2. B 3. A 4. C 5. D
6. x(x+2)=195 7. 120 8. 100 25 9. 6m 4m
10.解：(1)设该型号自行车的进价为x元，则标价为1.5x元，由题意得：
1.5x×0.9×8-8x=(1.5x-100)×7-7x,
解得x=1000,
则1.5x=1.5×1000=1500(元)
答：该型号自行车的进价为 1000 元，标价为1500 元.
(2)设该型号自行车降价a元，每月获利为w元，由题意得：
∴当a=80时,w最大,最大值为26460.
答：该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26460元.