第二十二章 二次函数 知识点复习练习（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第二十二章 二次函数 知识点复习练习（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 108.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-15 00:00:00 | ||
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文档简介
第二十二章二次函数知识点复习练习
知识点一二次函数的图象和性质
1 二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A. ac<0
B. b<0
D. a+b+c<0
2 把抛物线 向下平移1个单位长度，再向左平移1 个单位长度，得到的抛物线解析式为 ( )
3 关于二次函数 下列说法正确的是 ( )
A.图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D. y的最小值为-3
4 如图是二次函数 (a,b,c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A 在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x =1，对于下列说法：①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当-10.其中正确的是 ( )
A. ①②④
B. ①②⑤
C. ②③④
D. ③④⑤
5 如图，二次函数 图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1和3，则下列结论错误的是 ( )
B. a+b+c<0
C. b=2a
D. a-b+c=0
6 抛物线 的对称轴是直线x=1，那么m= .
7如图,△ABC中,点D、E 分别在AB、AC上,DE∥BC,AD:DB=1:2,则△ADE 与△ABC 的面积的比为 .
8 直线y= ax +m和直线y= bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 bx+c的对称轴是 .
9 如图，二次函数的图象经过A，B，C三点，点C 在y轴正半轴上,已知A(-1,0),B(3,0),OC=AB.
(1)求点C 的坐标;
(2)求二次函数的解析式.
10 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 -3)x-3(m>0)与x轴交于A,B 两点(点A 在点B 左侧),与y轴交于点 C,AB=4,点D 为抛物线的顶点.
(1)求点A 和顶点 D 的坐标;
(2)将点 D 向左平移4个单位长度，得到点 E，求直线 BE的表达式；
(3)若抛物线 与线段 DE 恰有一个公共点，求a 的取值范围.
11 如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点,其中点A 的坐标为(-1,0),点C(0,5),D(1,8)在抛物线上,M为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△MCB 的面积.
12 已知二次函数 的图象过点A(-3,0)和点B(1,0),且与y轴交于点 C,点 D在抛物线上且横坐标是-2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点 P，求 PA+PD的最小值.
知识点二二次函数与一元二次方程
1 已知二次函数 (m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程 的两实数根是 ( )
2根据下列表格的对应值，判断方程 ≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是 ( )
x 3.23 3.24 3.25 3.26
-0.06 -0.02 0.03 0.09
A.3C. 3.243 如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(2，0)，对称轴是直线x=-1，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ( )
A.(-2,0) B.(-3,0)
C. ( - 4,0) D.(-5,0)
4 二次函数 的图象如图所示，则函数值y<0时x的取值范围是 ( )
A. x<-1 B. x>2
C. - 12
5 已知二次函数 下列说法错误的是( )
A.当x<1时，y随x的增大而减小
B.若图象与x轴有交点，则a≤4
C. 当a=3时,不等式 的解是1D.若将图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位后过点(1,-2),则a= - 3
6 一元二次方程 的实数根，就是二次函数 当 时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的
7 抛物线 与x轴交点个数与一元二次方程 根的判别式的关系：当 时，抛物线与x轴 交点；当 时，抛物线与x轴有 交点；当 时，抛物线与x轴有 交点
8 抛物线 与x轴只有一个公共点，则m的值为 .
9 绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度h(米)与前行距离s(米)之间的关系为 那么当足球落地时距离原来的位置有 米.
10 利用函数图象求方程 的近似解.
11 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程 的两个根；
(2)写出不等式 的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
12.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v 来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度；
(1)列表表示I与v的关系；
(2)当汽车的速度扩大为原来的2 倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍
知识点三实际问题与二次函数
1 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式 +24t+1，则下列说法中正确的是 ( )
A.点火后9 s和点火后13s的升空高度相同
B.点火后24 s火箭落于地面
C.点火后10 s的升空高度为139m
D.火箭升空的最大高度为145 m
2. 中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线 (如图所示)，则下列结论正确的是 ( )
③a-b+c>0
④0A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
3 把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=200t 当h=20 m时，小球的运动时间为 ( )
A. 20s B. 2s
4 将进货单价为70元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价 元，最大利润为 元.
5 如图，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA 为1m ,球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为 ，小孩将球抛出了约 米(精确到0.10m).
6 随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y (单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站 A B C D E
x(千米) 8 9 10 11.5 13
y (分钟) 18 20 22 25 28
(1)求y 关于x的函数表达式；
(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用 来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短 并求出最短时间.
7 某校九年级学生小丽，小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作.已知该水果的进价为每千克8元，下面是他们在活动结束后的对话.
小丽：如果以每千克10元的价格销售，那么每天可售出30千克.
小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250 千克.
小红：如果以每千克13 元的价格销售，那么每天可获取利润750元.
(1)请根据他们的对话，判决该水果每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在怎样的函数关系，并求出这个函数关系式；
(2)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W(元)，求W(元)与x(元)之间的函数关系式；当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大 最大利润是多少元
(3)当销售利润为 600 元时，销售单价为每千克多少元
知识点一
1. B 2. B 3. D 4. A 5. C
6.2
7.1:9
8.直线
9. 解:(1)点A的坐标为( - 1,0),点B的坐标为(3,0),
∴OC=AB=4,
∴点 C的坐标为(0,4);
(2)设二次函数的解析式为
把A(-1,0),B(3,0)分别代入解析式得:
解得
∴二次函数的解析式为
10. 解:(1)抛物线 与 y 轴交于点C(0,-3),
令y=0,则
可得
由点A在点 B左侧,m>0可知点A(-1,0),
又∵AB=4,
∴点 B(3,0),
∴m=1,
∴点D(1,-4);
(2)依题意可知点E(-3,-4),
设直线BE 的表达式为y= kx+b,
解得
∴ 直线 BE 的表达式为
(3)将点 D(1,-4),E(-3,-4)分别代入 可得 或a=2,
∴a的取值范围为
11. 解: (1)∵A(-1,0),C(0,5),D(1,8)三点在抛物线上,
解得
∴ 抛物线的解析式为
∴M点的坐标为(2,9),B点的坐标为(5,0).
过点M作ME⊥y轴于点E,
∴E点坐标为(0,9),
12. 解:(1)将A(-3,0),B(1,0)分别代入 得
解得
∴对称轴为直线x=-1，
又∵A、B关于对称轴对称，
∴连接BD 与对称轴的交点即为所求 P 点.
过D作DF⊥x轴于F,
如图，将x=-2代入
则y=4-4-3= - 3,
∴D( - 2,-3)
∴DF=3,BF=1-(-2)=3,
在Rt△BDF中,
∵PA=PB,
故PA+PD的最小值为3
知识点二
1. B 2. C 3. C 4. C 5. C
6. y=0 横坐标
7.无一个 两个
8. 9 9. 50
10. 解:设 画出图象.
由图象知,当x≈2.2或x≈-0.2时,
y=0,
即方程 的近似解为
(2)12 (4)k<2
12. (1)如下表:
v … -2 -1 - 0 12 1 3 …
I … 8 2 - 0 2 18 …
当汽车的速度扩大为原来的2 倍时，撞击影响扩大为原来的4倍.
知识点三
1. D 2. B 3. B
4. 5 625
6. 解:(1)设y = kx+b,将(8,18),(9,20)分别代入得:
解得
故y 关于x的函数表达式为
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，
则
∴当x=9时，y有最小值 答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟.
7.解：(1)当销售单价为13 元/千克时，销售量为：
750÷(13-8)=150千克,
设y与x之间的函数关系式为:y= kx+b(k≠0),把(10,300),(13,150)分别代入得:
k= - 50,b=800,
∴y与x的函数关系式为:y= - 50x+800(x>0);
(2)∵利润=销售量×(销售单价-进价)，由题意得
∴W=(-50x+800)(x-8)= - 50(x-12) +800,
∴当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元；
(3)将 W=600代入二次函数
W=( - 50x+800)(x-8)=600,解得: 即：当销售利润为600元时，销售单价为每千克10 元或14元.
知识点一二次函数的图象和性质
1 二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A. ac<0
B. b<0
D. a+b+c<0
2 把抛物线 向下平移1个单位长度，再向左平移1 个单位长度，得到的抛物线解析式为 ( )
3 关于二次函数 下列说法正确的是 ( )
A.图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D. y的最小值为-3
4 如图是二次函数 (a,b,c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A 在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x =1，对于下列说法：①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当-1
A. ①②④
B. ①②⑤
C. ②③④
D. ③④⑤
5 如图，二次函数 图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1和3，则下列结论错误的是 ( )
B. a+b+c<0
C. b=2a
D. a-b+c=0
6 抛物线 的对称轴是直线x=1，那么m= .
7如图,△ABC中,点D、E 分别在AB、AC上,DE∥BC,AD:DB=1:2,则△ADE 与△ABC 的面积的比为 .
8 直线y= ax +m和直线y= bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 bx+c的对称轴是 .
9 如图，二次函数的图象经过A，B，C三点，点C 在y轴正半轴上,已知A(-1,0),B(3,0),OC=AB.
(1)求点C 的坐标;
(2)求二次函数的解析式.
10 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 -3)x-3(m>0)与x轴交于A,B 两点(点A 在点B 左侧),与y轴交于点 C,AB=4,点D 为抛物线的顶点.
(1)求点A 和顶点 D 的坐标;
(2)将点 D 向左平移4个单位长度，得到点 E，求直线 BE的表达式；
(3)若抛物线 与线段 DE 恰有一个公共点，求a 的取值范围.
11 如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点,其中点A 的坐标为(-1,0),点C(0,5),D(1,8)在抛物线上,M为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△MCB 的面积.
12 已知二次函数 的图象过点A(-3,0)和点B(1,0),且与y轴交于点 C,点 D在抛物线上且横坐标是-2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点 P，求 PA+PD的最小值.
知识点二二次函数与一元二次方程
1 已知二次函数 (m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程 的两实数根是 ( )
2根据下列表格的对应值，判断方程 ≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是 ( )
x 3.23 3.24 3.25 3.26
-0.06 -0.02 0.03 0.09
A.3
A.(-2,0) B.(-3,0)
C. ( - 4,0) D.(-5,0)
4 二次函数 的图象如图所示，则函数值y<0时x的取值范围是 ( )
A. x<-1 B. x>2
C. - 1
5 已知二次函数 下列说法错误的是( )
A.当x<1时，y随x的增大而减小
B.若图象与x轴有交点，则a≤4
C. 当a=3时,不等式 的解是1
6 一元二次方程 的实数根，就是二次函数 当 时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的
7 抛物线 与x轴交点个数与一元二次方程 根的判别式的关系：当 时，抛物线与x轴 交点；当 时，抛物线与x轴有 交点；当 时，抛物线与x轴有 交点
8 抛物线 与x轴只有一个公共点，则m的值为 .
9 绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度h(米)与前行距离s(米)之间的关系为 那么当足球落地时距离原来的位置有 米.
10 利用函数图象求方程 的近似解.
11 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程 的两个根；
(2)写出不等式 的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
12.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v 来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度；
(1)列表表示I与v的关系；
(2)当汽车的速度扩大为原来的2 倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍
知识点三实际问题与二次函数
1 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式 +24t+1，则下列说法中正确的是 ( )
A.点火后9 s和点火后13s的升空高度相同
B.点火后24 s火箭落于地面
C.点火后10 s的升空高度为139m
D.火箭升空的最大高度为145 m
2. 中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线 (如图所示)，则下列结论正确的是 ( )
③a-b+c>0
④0
B. ①④
C. ②③
D. ②④
3 把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=200t 当h=20 m时，小球的运动时间为 ( )
A. 20s B. 2s
4 将进货单价为70元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价 元，最大利润为 元.
5 如图，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA 为1m ,球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为 ，小孩将球抛出了约 米(精确到0.10m).
6 随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y (单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站 A B C D E
x(千米) 8 9 10 11.5 13
y (分钟) 18 20 22 25 28
(1)求y 关于x的函数表达式；
(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用 来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短 并求出最短时间.
7 某校九年级学生小丽，小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作.已知该水果的进价为每千克8元，下面是他们在活动结束后的对话.
小丽：如果以每千克10元的价格销售，那么每天可售出30千克.
小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250 千克.
小红：如果以每千克13 元的价格销售，那么每天可获取利润750元.
(1)请根据他们的对话，判决该水果每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在怎样的函数关系，并求出这个函数关系式；
(2)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W(元)，求W(元)与x(元)之间的函数关系式；当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大 最大利润是多少元
(3)当销售利润为 600 元时，销售单价为每千克多少元
知识点一
1. B 2. B 3. D 4. A 5. C
6.2
7.1:9
8.直线
9. 解:(1)点A的坐标为( - 1,0),点B的坐标为(3,0),
∴OC=AB=4,
∴点 C的坐标为(0,4);
(2)设二次函数的解析式为
把A(-1,0),B(3,0)分别代入解析式得:
解得
∴二次函数的解析式为
10. 解:(1)抛物线 与 y 轴交于点C(0,-3),
令y=0,则
可得
由点A在点 B左侧,m>0可知点A(-1,0),
又∵AB=4,
∴点 B(3,0),
∴m=1,
∴点D(1,-4);
(2)依题意可知点E(-3,-4),
设直线BE 的表达式为y= kx+b,
解得
∴ 直线 BE 的表达式为
(3)将点 D(1,-4),E(-3,-4)分别代入 可得 或a=2,
∴a的取值范围为
11. 解: (1)∵A(-1,0),C(0,5),D(1,8)三点在抛物线上,
解得
∴ 抛物线的解析式为
∴M点的坐标为(2,9),B点的坐标为(5,0).
过点M作ME⊥y轴于点E,
∴E点坐标为(0,9),
12. 解:(1)将A(-3,0),B(1,0)分别代入 得
解得
∴对称轴为直线x=-1，
又∵A、B关于对称轴对称，
∴连接BD 与对称轴的交点即为所求 P 点.
过D作DF⊥x轴于F,
如图，将x=-2代入
则y=4-4-3= - 3,
∴D( - 2,-3)
∴DF=3,BF=1-(-2)=3,
在Rt△BDF中,
∵PA=PB,
故PA+PD的最小值为3
知识点二
1. B 2. C 3. C 4. C 5. C
6. y=0 横坐标
7.无一个 两个
8. 9 9. 50
10. 解:设 画出图象.
由图象知,当x≈2.2或x≈-0.2时,
y=0,
即方程 的近似解为
(2)1
12. (1)如下表:
v … -2 -1 - 0 12 1 3 …
I … 8 2 - 0 2 18 …
当汽车的速度扩大为原来的2 倍时，撞击影响扩大为原来的4倍.
知识点三
1. D 2. B 3. B
4. 5 625
6. 解:(1)设y = kx+b,将(8,18),(9,20)分别代入得:
解得
故y 关于x的函数表达式为
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，
则
∴当x=9时，y有最小值 答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟.
7.解：(1)当销售单价为13 元/千克时，销售量为：
750÷(13-8)=150千克,
设y与x之间的函数关系式为:y= kx+b(k≠0),把(10,300),(13,150)分别代入得:
k= - 50,b=800,
∴y与x的函数关系式为:y= - 50x+800(x>0);
(2)∵利润=销售量×(销售单价-进价)，由题意得
∴W=(-50x+800)(x-8)= - 50(x-12) +800,
∴当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元；
(3)将 W=600代入二次函数
W=( - 50x+800)(x-8)=600,解得: 即：当销售利润为600元时，销售单价为每千克10 元或14元.
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