专题一 勾股定理的基本应用 期末复习专项练习（含答案）2025-2026学年北师大版八年级数学上册

专题一 勾股定理的基本应用
考点一求线段长
①利用勾股定理求直角边长或斜边长.②勾股定理是求线段长度的主要方法.若图形中缺少直角条件，则可以通过作垂线的方法构造直角三角形，为勾股定理的应用创造必要的条件.如果不能直接用勾股定理求出直角三角形的边长，那么可引入未知数，建立方程求解.③含特殊角的直角三角形三边之比：含45°角的直角三角形三边之比为1：1： ;含30°和60°角的直角三角形三边之比为1::2.
1.(七中育才)若一等腰三角形的底边长为12，底边上的中线长为8，则它的腰长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.3
2.(成华区期末)若一直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则它斜边上的高是 ( )
A.5 B. C. D.
3.(武侯区期末)如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC 边上的高，则高AD的长为 ( )
A.1 B. C. D.2
4.(成华区期末)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，且ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 .
5.(嘉祥)如果一个直角三角形的两边长分别是3，4，那么这个直角三角形斜边上的高的最小值为
6.(锦江区期末)如图,已知等边△ABC中,AB=2,等腰Rt△ABD中,∠ABD=90°,延长AC,BD交于点E,连接CD,则CD= .
7.(双流区期末)如图,在△ABC中,CE是AB 边上的中线,CD⊥AB于点D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE的长为 .
8.(石室联中)如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为直角边作等腰直角△CEF(点 D、点 F在直线CE 的同侧),连接BF.若AE=1,则BF= .
9.(石室联中)如图，在长方形ABCD中， 延长AB至点E,连接CE,CE=CF,CF平分∠ECD,则BE= .
10.(武侯区期末)如图,在△ABC 中,. ，以BC 为斜边作等腰Rt△BCD,连接AD,则线段AD的长为 .
11.(树德实验)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,D是△ABC外一点,连接AD,BD,CD,∠ADC=30°,CD=6,AD=5 ,则BD= .
12.(青羊区期末)如图,△ACB 和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CD=CE,△ACB的顶点A 在△ECD的斜边DE上,连接BD.
(1)求证:△CBD≌△CAE;
(2)若AE=3cm,AD=6 cm,求AB的长.
13.(成外)如图,在 Rt△ABC中,AB=AC,在 外作 使 若BD=x,CD=y,且x，y满足 求AD的长.
14.(武侯区期末)在四边形ABCD中，
(1)如图1,若
①连接BD，试判断 的形状，并说明理由；
②连接AC,过点A 作 交CD的延长线于点E，求 的面积.
(2)如图2,若 四边形ABCD的面积为 求CD的长.
15.(高新区期末)如图，在 中， D是 所在平面内一点，且
(1)如图1,当点 D在BC 边上时,求证:AD=CD;
(2)如图2,当点D在 外部时，连接CD，若AB=5,AC=CD,求线段BD的长；
(3)如图3,当点 D在 内部时，连接CD，若 求点D到BC的距离.
1. C 2. D 3. C 4.3 6. - 7.2
【解析】如图,过点 F 作FH⊥AD 交AD的延长线于点H，作FM⊥AB交BA 的延长线于点M,则∠FHE=∠M=∠MAH=90°,FM=AH,AM=FH.∵AD=4,AE=1,∴DE=3.∵以CE为直角边作等腰直角△CEF,∴EF=CE,∠CEF=90°,∴∠FEH+∠CED=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD=4,∠ADC=90°,∴∠CED+∠ECD=90°,∴∠ECD=∠FEH.在△EFH 和△CED 中, △EFH≌△CED(AAS),∴FH=DE=3,EH=CD=4,∴BM=AB+AM=CD+FH=4+3=7,FM=AH=AE+EH=5,∴BF= =
9. 【解析】如图，延长CF，BA 交于点G，连接EF,过点F作FH⊥CE于点H,过点E作EM⊥CF 于点M.∵四边形 ABCD 是矩形,且AB= ∠ABC=∠CBE=90°,∴∠DCF=∠G.∵CF 平分∠ECD,∴∠DCF=∠ECF,FH=DF,∴∠G=∠ECF,∴EC=EG,∴△ECG 是等腰三角形.∵EM⊥CG,∴CM=MG.∵CE=CF,∴△ECF是等腰三角形.∵EM⊥CF,FH⊥CE,∴EM和FH 是等腰三角形ECF 两腰上的高,∴EM=FH=DF,∴Rt△CDF≌Rt△CME(HL),∴CM= 在Rt△CBG中,BG= 设BE=x,则EC=EG=3+x.在Rt△CBE中,( 解得
或
【解析】如图,构造∠DCE=120°,延长DA交CE 于点E,连接BE交CD 的延长线于点F.∵∠ADC=30°,∴∠DEC=30°=∠ADC,∴CD=EC=6.∵∠DCE=120°,∠ACB=120°,∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE, 即∠ACD =∠BCE. 在 △ACD 和△BCE 中,
∴∠ADC=∠BEC=30°,BE=AD=5 .∵∠ECF=180°-∠DCE=60°,∴∠CFE=180°-∠ECF-∠BEC=90°.在 Rt△CEF 中,CE=6, 在Rt△BFD中,DF=DC+CF=9,
(1)证明:∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CB=CA,CD=CE,∴∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE.
在△CBD 和△CAE 中, .
△CBD≌△CAE(SAS)
(2)解:∵△CBD≌△CAE,∴∠BDC=∠AEC.又∵△ECD是等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°,∴∠BDC=45°,
∴∠BDC+∠CDE=90°,
∴△BDA是直角三角形，
13.解:
∴x=9,y=3,即BD=9,CD=3.
如图,过点 A 作AE⊥AD,且 AE=AD,连接DE,CE,∴△ADE 是等腰直角三角形,∴∠ADE=45°.
∵∠ADC=45°,∴∠CDE=90°.
∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD 与△ACE 中,
∴
△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.
∵BD=9,∴CE=9.
在Rt△CDE中,∵∠CDE=90°,∴DE +CD
在 Rt△ADE 中,∵.
14.解:(1)①△BCD是直角三角形.理由如下:
+BC ,
∴∠DCB=90°,∴△BCD是直角三角形.
②∵∠DAB=∠DCB=90°,∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠ADE+∠ADC=180°,∴∠ADE=∠ABC.
∵AE⊥AC,∴∠EAC=∠DAB=90°,∴∠DAE=∠BAC.
又∵AB=AD,∴△ABC≌△ADE(ASA),∴AE=AC,DE=BC=
∵AE=AC,AE⊥AC,∴EC= AE,∴AE=
(2)如图,过点 B 作BM⊥DC,交 DC 的延长线于点M,连接AM,过点A 作AP⊥AM,交 MD的延长线于点 P.
∵BM⊥CD,∴∠BMC=90°.
∵∠BCD=135°,∴∠BCM=45°,∴∠BCM=∠CBM=45°,∴CM=BM.
∵BC =CM +BM =20,∴BM=CM=
∵∠DAB=∠DMB=90°,∴∠ADC+∠ABM=180°.
∵∠ADP+∠ADC=180°,∴∠ADP=∠ABM.
∵AP⊥AM,∴∠PAM=∠DAB= 90°,∴∠DAP=∠BAM.
又∵AB=AD,∴△ABM≌△ADP(ASA),
S△APM=S四边形ABMD.
即
∵AP +AM =PM ,∴PM =45+45=90,
15.(1)证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠C=∠B=45°.
∵∠ADB=90°,∴∠BAD=∠DAC=45°,∴∠C=∠DAC,∴AD=CD.
(2)解:如图1,过点C作CE⊥AD于点E.
∵AC=CD,∴AE=DE.
∵∠BAD+∠EAC=90°,∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BAD=∠ACE.
又∵AB=AC,∠ADB=∠AEC,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,∴BD=AE=DE.
设BD=x,则AD=2x.
(负值已舍去)，
(3)解:如图2,过点 C分别作CN⊥AD,交AD的延长线于点N,作 CM⊥BD,交 BD 的延长线于点M,过点 D作DE⊥BC于点E.
∵∠ADB=90°,∠ADC=∠BDC,∴∠ADC=
=45°,∴DM=CM=CN=DN.
与(2)同理可证△ABD≌△CAN,∴AD=CN=
即点 D到BC的距离为-