九年级数学上册试题 第21章 一元二次方程 期末单元复习题--人教版（含答案）

第21章《一元二次方程》期末单元复习题
考点01：由一元二次方程的解求参数
1．如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．先化简，再求值：，其中是方程的根．
考点02：一元二次方程的解的估算
3．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（）
A． B． C． D．
4．根据下表判断方程的一个解的取值范围是（ ）
… …
… …
A． B．
C． D．
考点03：由一元二次方程的定义求参数
5．已知关于的方程是一元二次方程，则 ．
6．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．
考点04：解一元二次方程-直接开平方法
7．按照指定方法解下列方程：
(1)（用直接开平方法） (2)（用配方法）
8．用直接开方法解方程得方程的根为（ ）
A． B．
C． D．
考点05：解一元二次方程-配方法
9.（1）计算： （2）解方程：
10．解一元二次方程：．
考点06：配方法的应用
11．已知一元二次方程可配成，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
12．先阅读内容，再解决问题：
若，求和的值．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
(1)已知，求的值；
(2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由．
考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况
13．（1）用配方法解方程：；
（2）证明：不论，，为任何实数，关于的方程都有实数根．
14．已知关于的方程．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．
考点08：根据一元二次方程根的情况求参数
15．已知关于的方程．
(1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值；
(2)若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长
16．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B．且 C． D．且
考点09：公式法解一元二次方程
17．解下列方程：
(1)； (2)；
18．如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（ ）

A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
考点10：因式分解法解一元二次方程
19．解方程
(1)； (2)．
20．按要求解下列方程：
(1)（公式法） (2)（配方法）
(3)（因式分解法）
考点11：换元法解一元二次方程
21．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．关于x的方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．无实数解
考点12：—元二次方程的根与系数的关系
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)判断方程根的情况；
(2)若方程的两根、满足，求k值；
(3)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5．
①则k为何值时，是以为斜边的直角三角形？
②k为何值时，是等腰三角形，并求出的周长．
24．已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是，求k的值．
(2)若该方程的两个实数根满足， 求k的值．
考点13：传播问题（一元二次方程的应用）
25．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染．请你用学过的知识分析，轮感染后，被感染的电脑会不会超过台？
考点14：增长率问题（一元二次方程的应用）
27．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出多少张电影票．
28．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题：
①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）；
②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？
考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
29．综合与实践
主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长；
任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高．
30．如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务．
(1)图案中实心圆有______个，空心圆有______个；
(2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由．
考点16：数字问题（一元二次方程的应用）
31．一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　）
A．36 B．63 C．36或63 D．或
32．一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 ．
考点17：营销问题(一元二次方程的应用）
33．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价）
类别价格 款钥匙扣 款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
34．列方程解下列问题：
卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制．
(1)求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？
(2)卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？
考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用）
35．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动．
(1)运动几秒时的面积为？
(2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
36．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．．
(1)当为何值时，的长度等于？
(2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
考点19：工程问题（一元二次方程的应用）
37．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
38．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
考点20：行程问题（一元二次方程的应用）
39．是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等．
40．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步．
考点21：图表信息题（一元二次方程的应用）
41．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
考点22：其他问题（一元二次方程的应用）
42.问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________．
拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条．
（1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条；
（2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由．
43.阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值
考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
44.为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
45.八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计：
(1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？
(2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明；
(3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________．
参考答案
考点01：由一元二次方程的解求参数
1．A
解：由题意，将代入方程，得：
解得．
故选：A．
2．解：
，
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴原式
．
考点02：一元二次方程的解的估算
3．B
解：观察表格：
当时，；当时，；当时， ，
更接近，
时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近，
∴近似解在附近，
对比选项，最接近 ，
故选：．
4．B
解：∵当时，，
当时，，
∴当时，一定有一个x对应的值，使得，
∴一元二次方程的一个解x的取值范围是，
故选：B．
考点03：由一元二次方程的定义求参数
5．
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，，
即，，
∴
故答案为：．
6．C
解：将化为一般形式，得，
∵关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，
∴，
解得：．
故选：C．
考点04：解一元二次方程-直接开平方法
7．（1）解：，
开平方得，，
∴或，
解得：；
（2）解：原方程整理得，
二次项系数化为1，得：，
配方，得：，即，
两边开平方，得，
∴．
8．D
解：，
，
，
，
故选：D．
考点05：解一元二次方程-配方法
9．解:（1）
．
（2）
，
，
，
，
∴，．
10．解：
，
，
，
，
∴；
考点06：配方法的应用
11．D
解：，
，
，
，
∴，，
解得，
∴．
故选：D．
12．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：是等腰三角形，理由，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴是等腰三角形．
考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况
13．解：（1），
，
，
，
，
，
∴；
（2），
∴
，
∴不论，，为任何实数，关于的方程都有实数根．
14．（1）证明：
．
∵，
∴，
即，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且，
∴，
∴原方程为，且，
∴此时原方程的解为，
∴m的值为1，这两个有理数根为和．
考点08：根据一元二次方程根的情况求参数
15．（1）解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵两根异号，且正根的绝对值较大，
∴，
∴整数的值为；
（2）解：①当为底边长时，，
，
此时原方程为，
解得：．
、、能组成三角形，
三角形的周长为；
②当为腰长时，将代入原方程，得：，
解得：，
此时原方程为，
解得：．
、、能组成三角形，
三角形的周长为，
综上所述：等腰三角形的周长为或．
16．B
解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴的取值范围是且，
故选：．
考点09：公式法解一元二次方程
17．（1）
或 ，
，．
（2）
，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
，
，．
18．C
解：∵四边形是矩形
∴
在中，由勾股定理得，，
∴，
解方程得，
∴线段的长是方程的一个根．
故选：C．
考点10：因式分解法解一元二次方程
19．（1）解：
，
或，
解得，；
（2）解：
其中，，，
，
解得，．
20．（1）解：，，，
，
∴，
∴，；
（2）解：配方，得，
即
开方，得
∴，；
（3）解：移项，得
则
∴或
∴，．
考点11：换元法解一元二次方程
21．B
解：令，则方程即为方程，
∵方程的解是，
∴方程的解是，，
∴或，
解得，，，
∴方程的解是，，．
故选：B．
22．B
解：∵原方程 的解为 ，，
∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同，
∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ，
∴ 或，
∴此时新方程解得 或 ；
故选：B ．
考点12：—元二次方程的根与系数的关系
23．（1）解：，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意，得，，
，
，
，
解得，或；
（3）解：①由题意，得，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
解得，或，
，
，
且当时，方程为，
解得或4，符合题意，
当时，是以为斜边的直角三角形；
②若是等腰三角形，分两种情况：
当时，方程有两个相等的实数根，这与不符，不合题意，舍去；
当或与相等时，5是方程的根，
，
解得或4，
当时，，的周长为；
当时，，的周长为．
24．（1）解：把代入方程得：
解得：或；
（2）解：∵方程的两个实数根
∴，解得：；
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）．
∴．
考点13：传播问题（一元二次方程的应用）
25．A
解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的倍，根据题意得，
，
，
，
，（舍去），
∴每轮传染中平均每人传染6人，
则三轮传染后得流感的人数为（人）．
故选：A．
26．解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，
根据题意得：，
整理得：，
两边同时开平方得：，
或，
解得：，(舍去)，
，
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，轮感染后被感染的电脑会超过台．
考点14：增长率问题（一元二次方程的应用）
27．（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x，
依题意得，，
即，
可得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：平均每次累计票房增长的百分率是；
（2）解：
（张），
答：从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出2500000张电影票．
28．（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为；
（2）①解：由题意知，每天可售出扇子把，
故答案为：；
②解：依题意得，，
整理得，，
解得，或，
∵想尽可能地减少库存，
∴每把扇子应降价6元．
考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
29．解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为，
，，
答：收纳盒的底面的边的长为，的长为；
任务二：设该收纳盒的高为，则，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：该收纳盒的高为．
30．（1）解：图案1空心圆有个，实心圆有1个，
图案2空心圆有个，实心圆有个，
图案3空心圆有个，实心圆有个，
……
∴图案中实心圆有个，空心圆有个，
故答案为： ，
（2）存在，理由如下：
设图案中实心圆比空心圆多8个，根据题意，得：
，
整理，得，
解得（舍去）或，
故第6个图案中实心圆比空心圆多8个．
考点16：数字问题（一元二次方程的应用）
31．C
解：设十位数字为x，则个位数字为，
依题意得：，
整理得：，
解得．
当时，，此时这个两位数是；
当时，，此时这个两位数是．
故选：C．
32．
解：设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是．
由题意，得，
整理，得，
解得（舍去），
∴十位上的数字为，百位上的数字为．
故答案为：．
考点17：营销问题(一元二次方程的应用）
33．（1）解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
依题意得：，
解得：．
答：购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件．
（2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设每件款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
为了尽快减少库存
售价应定为30元
答：将销售价定为每件30元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
34．（1）解：设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制；
（2）解：设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出．
考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用）
35．（1）解：设后，可使的面积为．
由题意得，，，，
∴，
整理得：，
解得：，，
所以P、Q同时出发，或后可使的面积为．
（2）解：由题意得：，
∴，
整理可得：，
，该方程无实数解，
所以，不存在使得的面积等于面积的一半的时刻．
36．（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒，
，，
，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得（舍去），，
当时，的长度等于；
（2）由题意得：，
的面积等于，
，
，
，
或（舍去），
当时，使得的面积等于．
考点19：工程问题（一元二次方程的应用）
37．（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，
∴，解得，，
∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元．
（2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，
∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元，
∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去），
∴的值为．
38．（1）解：设甲施工米，
由题意可得：，
解得：．
答：甲最多施工900米．
（2）解：由题意可得：，
整理得，
解得．
答：的值为2．
考点20：行程问题（一元二次方程的应用）
39．解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点，
千米，千米
两人与这棵古树的距离恰好相等，则
根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米
如图，过点作
，
在中，，即
在中，，即
解得（舍去），
答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．
40．解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，
设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，
即：，，，
根据题意可得：，
即：，
解得：，（舍去），
答：甲走了步．
故答案为：．
考点21：图表信息题（一元二次方程的应用）
41．（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
考点22：其他问题（一元二次方程的应用）
42.解：问题：设参加聚会的同学共有人，
对于其中任意一个人来说，他需要和除自己之外的个人握手，
∵总共有个人，总共握手的次数是次．
∴得．
故答案为：．
拓展：（1）∵每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线．
∴每个顶点可以形成3条对角线，
∴六边形的对角线数量为条．
∵每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线．
∴每个顶点可以形成4条对角线，
∴七边形的对角线数量为条．
故答案为：9；14．
（2）∵每个顶点可以与个顶点连接形成对角线，
∴每个顶点可以形成条对角线．
所以n边形的对角线数量为条．
设多边形的边数为n，对角线数量为，
可以得到方程，化简为．
解得或，
因为n为正整数，所以，
即多边形的边数为9．
43.（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：，
故答案为：；
（2）解：∵是“友好方程”，
∴且为完全平方数，
∵，
∴，
∴=36或49或64，
∴或或，
∵为整数，
∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超强代码”为；
（3）解：方程的“超强代码”为：
，
由得：
方程的“超强代码”为：
，
由得：
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，
∴，
即，
又∵的一个根是的一个根的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，．
考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
44.C
解：设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，
则有：．
故选：C．
45.（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为，
答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛；
（2）解：小江说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，由题意得，整理得，
解得，不为整数，
∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，
得，整理得，
解得，
当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去．
∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4．
故答案为：4．