九年级数学上册试题 第23章《旋转》期末复习题--利用旋转的性质求解--人教版（含答案）

第23章《旋转》期末复习题--利用旋转的性质求解
题型1 利用旋转的性质求角度
重难点一 旋转后共线
1．如图，在中，，，将绕点旋转到的位置，使顶点恰好在斜边上，与相交于点，则 ．
2．如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为 °．
3．如图，将绕点A，逆时针旋转得到，连接，点E恰好在线段上，则的度数为 ．

4．如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为 ．
重难点二 旋转后平行
5．如图，把一副直角三角尺（其中，，）的直角顶点C重合放在一起，且三角尺固定不动，将三角尺绕点C转动，当三角尺有一条边与边平行，且点E在直线上方时，的度数为 ．
6.如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为 ．
7．如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，当第一次平行于时，旋转角的度数为 ．
8．在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则的度数为 ．
重难点三 旋转后垂直
9．如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，．当点恰好落在的延长线上时，，且，则的度数为 ．
10．如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的度数为 ．
11．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ．
12．如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，若，，且，则的度数为 ．
重难点四 旋转和多解
13．如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ．
14．如图，在中，．O为的中点，将绕着点O逆时针旋转至．
（1）求 °；
（2）当为等腰三角形时，的度数为 ．
15．如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是 ．
题型2 利用旋转的性质求线段长
重难点一 旋转后共线
16．如图，在中， ，将绕点A顺时针旋转得到，点B与点D对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为 ．
17．将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接，若，，，则的长为 ．
18．如图，在中，，，，将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，，延长交于点，则的长为 ．
19．如图，在中，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当是以为底的等腰三角形时，的长为 ．
重难点二 旋转后平行
20．如图，中，，，，在边上取一点，使，将绕点旋转，得到，其中的对应点为点，连接，当时，的长为 ．
21．如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为 ．
22．如图，在中，，，点为平面内一点，，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，若，则的长为 ．
重难点三 旋转后垂直
23．如图，在中，，点D在线段上，瓦，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，，垂足为点F，则的长为 ．
24．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，延长交于点F．若，且，则的长是 ．
25．如图，点为直线上方一点，于点，点为直线上一点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别为点、），连接并延长，交于点．若，，则的长为 ．
重难点四 旋转和轴对称
26．如图，正方形的边长为5，点在的边上，且，与关于所在的直线对称，将按顺时针方向绕点旋转90°得到，连接、，则线段的长为 ．

27．如图，在正方形中，，点在边上，且，与关于所在直线对称，将按顺时针方向绕点旋转得到，连接，则线段的长为 ．
28．如图，正方形的边长为8，是边上的动点（不与，重合），与关于直线对称，把绕点顺时针旋转得到，连结，.现有以下结论：
①；②的最小值为；③当时，；④当为中点时，所在直线垂直平分.其中一定正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
重难点五 旋转和多解
29．如图，中，，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转得，连接，当时，的长为 ．
30．如图，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转α度（）得到，当是直角三角形时，的长为 ．
31．已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为 ．
重难点六 旋转后求坐标
32．如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ．
33．如图，直线，点、点，x轴上一点， 点P为y轴上一动点，把线段绕B点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）当在y轴上时，则的坐标是 ；
（2）当线段长度最小时， 则线段的长度为 ．
34．如图，一次函数的图像与轴、轴交于点、，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则点坐标为 ．
35．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D．
（1）点C的坐标为 ；
（2）点为线段上一点，且横坐标为2，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 ．
题型3 旋转作图找旋转中心
重难点一 明确对应点，旋转中心唯一
36．在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是 ，旋转角是 ．
37．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是 ．
38．如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______．
重难点二 分类讨论找对应点
39．如图，已知点，，，若在所给的网格中存在一点，使得与垂直且相等．
（1）点的坐标( ， )；

（2）将直线绕某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则此旋转中心到原点的距离是 ．
40．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标可以是 ．
41．如图，已知点，若在所给的网格中存在一点，使得与垂直且相等．
（1）直接写出点的坐标 ；
（2）将线段绕某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ．
题型4 关于旋转的证明和计算
重难点一 对应点在边上（旋转特殊角）
42．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．
(1)根据题意，作(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接，判断与的位置关系，并说明理由．
43．在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E．
(1)如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数；
(2)如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形．
44．在中，，．将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E．

(1)若点E恰好落在边上，如图（1），连接，求的大小；
(2)若，F为的中点，如图（2），连接，求证：四边形是平行四边形．
(3)若，如图（3）．连接，且与分别交于点G、H，求证：．
重难点二 对应点在边上（旋转一般角）
45．综合与实践
问题情境：在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点．
初步探究：（）如图，当点恰好落在边上时，连接，求证：．
问题解决：当旋转一定角度，与交于点（点不与点重合）时，
（）如图，若恰好是边的中点，试猜想与的位置关系，并说明理由．
（）如图，当时，请直接写出的长．
重难点三 对应点在边的延长线上（旋转特殊角）
46．如图，是含角的直角三角形尺，且，．将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上，连接．求证：是等边三角形．

47．如图，四边形是正方形，点F是延长线上一点，连接，绕点A旋转一定角度后得到，若，．
(1)直接写出旋转角的度数；
(2)求的长度；
(3)求证直线．
重难点四 对应点不在边上（旋转特殊角）
48．问题情境：
如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
解决问题：(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图，若，，求的长；
(3)如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
49．（1）如图1，在中，，，以为边作等边三角形，将斜边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接并延长交于点F．则的度数为______；
（2）如果将等腰直角三角形改为任意直角三角形（如图2），其他条件不变，猜想的度数，并加以证明．
50．如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到．
(1)求点P与点D之间的距离；
(2)求线段的长．
51．如图，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针方向旋转得到．
(1)连接交于点．若点、、三点共线，求的度数；
(2)若，，，求的长．
52．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长．
(1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程；
(2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量知道：，，，请直接写出线段的长．
重难点五 对应点不在边上（旋转一般角）
53．如图①，现有三张形状大小完全相同的三角形纸片叠合到一起，其中，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题，通过小组合作探究，提出问题一展示一集体谈论，解决问题．
(1)“希望“小组提出问题：
将图1中的以点C为旋转中心，顺时针旋转角度，得到，再将以点A为旋转中心，逆时针旋转角度，得到，连接DG，得到图②，则四边形的形状是______；
(2)“善学”小组提出问题：
将图①中的以点C为旋转中心，顺时针旋转，得到，再将以点A为旋转中心，逆时针旋转，得到，连接AE，DF，DG，得到图③．请判断四边形的形状，并说明理由；
(3)老师根据“善学”小组的探究提出问题：如图③，若， ，请求出四边形的面积．
54．综合与探究
问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究，已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时A，B，D三点恰好共线，点A，D在点B异侧．
初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图2，判断的数量关系并说明理由；
深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图3，判断，的数量关系并说明理由；
拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点A，B，C分别与点D，F，E重合，保持不动，绕点B按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为______．
55．“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．
【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：．
聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程．
【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________．
【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由．
56．数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬．
【问题展示】
如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：．
小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下：
【经验分享】
小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系；
小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系；
请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程．
【能力提升】
如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当．
求证：．
参考答案
题型1 利用旋转的性质求角度
重难点一 旋转后共线
1．
解：由旋转的性质，得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
2．
解：在中，，，
，
绕点旋转得到，
，，
，
在中，，
旋转角的度数为，
故答案为：．
3．
解：根据旋转可得，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
4．
解：∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
重难点二 旋转后平行
5．或或
解：如图所示，，
∴，
∴，
∴；
如图所示，，
∴，
∴，
∴；
如图所示，，
∴；
综上所述，的度数为：或或，
故答案为：或或 ．
6．
解：由旋转的性质可得：，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
7．55
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点C逆时针旋转得到，
∴旋转角的度数即为的度数，为；
故答案为：55．
8．
解：∵，
∴，
∵将绕点A旋转到的位置，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
重难点三 旋转后垂直
9．
解：∵将绕点逆时针旋转得到，，
∴，,
∴，
∴
延长交于点，
∵，
∴
∴
∴，
故答案为：．
10．
解：由旋转可得，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．或
解：当时，
∵，
即
∴，
分以下两种情况：如图1所示，
，
；
如图2所示，
，，
，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或，
根据答案为：或．
12．
解；由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
重难点四 旋转和多解
13．或
解：∵，，，
∴，
当在直线的上方时，如图，
∵，
∴，
∴，
即三角板旋转的度数为，
当在直线的下方时，如图，
∵，
∴，
即三角板旋转的度数为，
三角板旋转的度数为或，
故答案为：或．
14． 64 或或
解：（1）连接，如图所示：
在中，，是的中点
，
，
又，
，
，
又绕着点逆时针旋转角度，
，
，
；
故答案为：64；
（2）由（1）得：，
，
，
为等腰三角形，所以有三种情况：
①时，
，
，
；
②时，
，
，
；
③时，
，
，
；
综上所述当为等腰三角形时，的度数为，或．
故答案为：或或．
15．或
解：如图所示，当点在上方时，延长交于点D，
∵直线直线，
∴，
由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，当点在下方时，
同理可得
∴
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
题型2 利用旋转的性质求线段长
重难点一 旋转后共线
16．
解：将绕点A顺时针旋转得到，如图，连接，
∴，
∴，，
∵C，D，E三点在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
答案为：．
17．
解：过A作于H，如图：
∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
故答案为：．
18．
解：如图，过点作于点，
由旋转的性质得，，，，
∵，，，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
19．
解：在中，∵，
∴，
∴，
设， 则，
根据题意得：，
由旋转的性质得：，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
重难点二 旋转后平行
20．或
解：情形1：当在点右侧时，
∵中，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
如图：过A作，
∵，即，解得：，
如图：当时，过C作，则四边形是矩形，
∴，
∵将绕点旋转，得到，其中的对应点为点，连接，
∴，
∴，，
∴．
情形2：当在点左侧时，
同理可得，，，
，
综上，或，
故答案为：或．
21．
解：四边形是正方形
，
逆时针旋转得到
，，
又
、、三点共线
在和中
设
，
在中，由勾股定理得， 即
解得：
故答案为：．
22．5或
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线交于点F．
当点D在外部时，如图1．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
当点D在内部时，如图2．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的长为5或．
故答案为：5或．
重难点三 旋转后垂直
23．3
解：∵在中，，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴．
过点D作于点M，
则，
由旋转的性质得，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：3．
24．
解：∵，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，，，
作于点，作交的延长线于点，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴；
故答案为：．
25．
解：如图，连接．
由旋转的性质得，．
∴是等边三角形．
∴，，
∵
∴，
∴垂直平分，
∴，
由旋转的性质得，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
由旋转可得：，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
重难点四 旋转和轴对称
26．
与关于所在的直线对称，
,
将按顺时针方向绕点旋转90°得到，
．
，
．
．
，
四边形是正方形，
，
，
,
在中，
．
．
故答案为 ．
27．5
解：∵△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，
∴△AEM ≌△ADM，
∴AE=AD=AB=4，
连接BM，如图，
∵△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴△ABF≌△ADM，
∴AF=AM,∠FAB=∠MAD，
∴∠FAB=∠MAE，
∴∠FAB+∠BAE=∠MAE+∠BAE，
∴∠FAE=∠MAB，
∴△FAE≌△MAB(SAS)，
∴EF=BM，
在正方形ABCD中，
∴BC=CD=AB=4，
∵DM=1
∴CM=3
在Rt△BCM中，
BM=，
∴EF=5，
故答案为：5.
28．②③
解：如图，连接，
与关于所在的直线对称，
，
按顺时针方向绕点旋转得到，
，
，
，
，
故①错误；
当时，有最小值，此时，
，
，
三点共线，
即有最小值时，点在对角线上，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
在和中，
，
（SAS），
，
∵四边形是正方形，
．
，
，
在Rt中， ，
，
故③正确；
当为中点时，，
，
又，
，
点不在的垂直平分线上，
所在直线不会垂直平分，
故④错误；
故答案为：②③．
重难点五 旋转和多解
29．或
解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
根据旋转可知：，
当点在点B的左侧时，过点A作于点E，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
当点在点B的右侧时，过点B作于点E，过点作于点F，如图所示：
则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
综上分析可知：或．
故答案为：或．
30．10或
解：∵，
∴根据勾股定理可得：
∵，
∴ ，
∵将绕点D顺时针旋转α度（）得到，
∴ ，
∵点D为的中点，
∴ ，
①当时，
∵，
∴，
∴ ；
②当时，
在中， ，
在中， ，
综上：的长为10或．
故答案为：10或．
31．，或
解∵中，，，分别是，的中点，
∴为直角三角形

∵
∴，，
∴
若点到直线的距离为1，则可分四种情况进行讨论，
①当点在直线的右侧，点在上方时，如图（1）过点作，
∵点到直线的距离为1，
∴，三点共线，
∵，
∴四边形是矩形
∴，，
∴
∴；
②当点在直线的左侧，点在上方时，如图（2）过点作交延长线于点，过点作，则
∵点到直线的距离为1，
∴
∴
由题意可得：四边形为矩形
∴，
∴
∴；
③当点在直线的左侧，点在下方时，如图（3）
∵点到直线的距离为1，
∴
∴四边形为矩形，
∴，三点共线
∴；
④如图（4）当点在直线的右侧，点在下方时，
，，点到直线的距离为1
可以确定点在线段上，且
则
综上，的长为，或,
故答案为：，或
重难点六 旋转后求坐标
32．
解：如下图所示，过点作，过点作，
，
点的坐标是，
，，
由旋转可知，，
，，
在和中，，
，
，，
点的坐标为．
故答案为：．
33．
解：（1）如图，
由旋转的性质得，，，
∴是等腰直角三角形，，
∵在y轴上，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由图可得，在y轴的负半轴上，
∴；
故答案为：；
（2）设，过点作轴于点H，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，长度最小，此时，
∴．
故答案为：．
34．
解：一次函数的图像与轴、轴交于点，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，
则,，
则，， ，
作，
则，
，
故，
过点A作于点E，
则，，
故，
故，
故，
，
故点坐标为．
35． 或或
解：（1）当时，；当时，；
∴，
∴，，
如图：过点C作轴于M，
∵将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
设时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
如图：当为平行四边形的一边且点P在x轴上方时，根据平行四边形的对角线相互平分可得：
，解得：，即；
如图：当为平行四边形的一边且点P在x轴下方时，根据平行四边形的对角线相互平分可得：
，解得：，即；
如图：当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线相互平分可得：
，解得：，即．
综上，点P的坐标为或或．
故答案为：或或．
题型3 旋转作图找旋转中心
重难点一 明确对应点，旋转中心唯一
36． 点
解：连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点，
则绕点顺时针旋转得到，
旋转中心是点，旋转角是．
故答案为：点；．
37．C点
解，连接，分别作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点在点，如图所示：
故点C为旋转中心，
故答案为：C点
38．
如图所示．
点P的坐标是．
故答案为：．
重难点二 分类讨论找对应点
39． 6 6 或
解：（1）观察图象可知，点D的坐标为，
故答案未：6，6；
（2）当点A与C对应，点B与D对应时，如图：

此时旋转中心P的坐标为，到原点的距离是：；
当点A与D对应，点B与C对应时，如图：

此时旋转中心P的坐标为，到原点的距离是：；
故答案为：或．
40．或
解：延长交于，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
即，
可以看作线段绕一点旋转得到线段，
如图，作和的垂直平分线交点为，得，
如图，作和的垂直平分线交点为，得
故答案为：或．
41． 或
解：（1）如图可知：．
故答案为：．
（2）如图：旋转中心或．
故答案为：或．
题型4 关于旋转的证明和计算
重难点一 对应点在边上（旋转特殊角）
42．（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，，
则即为所求．
（2）．
理由：由旋转得，，，，
，，，
．
，
，
，
即．
43．（1）解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵点F是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，和为等边三角形，
∴，，
∵点F为的边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
44．（1）∵将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E．
∴，
∴，
∴
（2）∵F为的中点，在中，，将绕点C顺时针旋转一个角度得到，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
由旋转可知， ，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（3）由旋转可知， ， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
过点A作交于点P，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴是的中点，
∴，
∴
重难点二 对应点在边上（旋转一般角）
45．（）证明：由旋转的性质可知，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即；
（）解：．
理由：∵是边的中点，，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，
∴；
（）解：过点作于点，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
由勾股定理得，，
∴．
重难点三 对应点在边的延长线上（旋转特殊角）
46．解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到，
，，
又，
是等边三角形，
，
是等边三角形．
47．（1）解：四边形是正方形，
∴，
由旋转的性质可得：为旋转角，所以旋转角为；
（2）解：根据旋转的性质可得，，，
∴
（3）解：延长交于点，如图：
由旋转的性质可得：
又∵
∴
∴
重难点四 对应点不在边上（旋转特殊角）
48．（1）解：四边形是正方形，理由：
由旋转可知：，，，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：由（）知，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴的长为；
（3）解：，
证明：如图，过点作，垂足为，
则，，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
49．解：（1）∵等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
设交于点，
∵，
∴；
（2），证明如下：
∵等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
设交于点，
∵，
∴；
50．（1）解：如图，连接．
是等边三角形，
．
是绕点B逆时针旋转得到的，
，
．
，
是等边三角形．
，即点P与点D之间的距离是12．
（2），是等边三角形．
，
是直角三角形，
，
，
．
由（1）知．
．
51．（1）解：当点、、三点共线，如图，
将绕点逆时针方向旋转，使与重合，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
点、、三点共线，
，
；
（2）解：过作于，如图，
∵，，
∴
∵
∴，
∴，
，
，
，
，
∵
．
52．（1）解：由旋转可知：，
是等边三角形，
，
，
是直角三角形，
；
（2）解：，理由如下：
如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转可知：，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
∴在中，，即，
；
（3）解：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，
由旋转可知：
，
是等腰直角三角形，
，，
∵，
∴点在线段上，
，
是直角三角形，
，
的长为．
重难点五 对应点不在边上（旋转一般角）
53．（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
旋转，
，，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
旋转，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
（3）解：连接，
，
，
旋转，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
过E作于H，
，
，，
，
，
过E作于M，
，
四边形的面积
54．解：（1），理由如下：
连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图：连接，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）如图，当经过点时，过点作，交的延长线于点，则，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
当所在直线经过点时，如图：
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或．
55．解：理解模型：将绕点A逆时针旋转到，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
三点在同一直线上，
是等边三角形，
，
；
变式迁移：将绕点A逆时顺旋转到，
，
，
，
，
三点在同一直线上，
，
是等腰直角三角形，
，
；
构造模型：，，
是等边三角形，
将绕点C顺时针旋转到，连接，
，
是等边三角形，
，
，
．
56．【经验分享】：
小刚解法：
，，，
．
．
．
，．
，
，．
为中点，
．
．
，．
．即．
．
依题知，
．
．
即．
小强解法：
，为中点，
，，．
，，
．
．即．
，，
．
，，
．
．
．
，．
．
依题知，
。
．
即．
【能力提升】延长到点，使，连接，
依题知，，，
．
为中点，
．
，，
．
，．
．
．
，，
．
，．
．
．即．
，
．
垂直平分．
，．
，．
．即．
．