九年级数学上册试题 22.3 实际问题与二次函数 期末小节复习题 --人教版（含答案）

22.3《实际问题与二次函数》期末小节复习题
题型1：图形问题（实际问题与二次函数）
1．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米．
(1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长；
(2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由．
2．《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，设垂直于墙的篱笆边长为米．
(1)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米；
(2)求垂直于墙的篱笆边长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？
3．如图，在周长为18的矩形中，点E，F分别在边上（均不与顶点重合），，设，梯形的面积为S．
(1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围．
(2)当时，对应的梯形的面积分别为，比较的大小，并说明理由．
(3)求S的最大值．
4．如图，在菱形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为S，点P运动时间为t（秒）．
(1)当点M与点B重合时，_______秒；
(2)当t为何值时，与全等；
(3)求S与t的函数关系式．
题型2：图形运动问题（实际问题与二次函数）
5．如图，在中，，，，点P沿方向以的速度从点C向点A运动，同时点Q沿方向以的速度从点B向点C运动，当点Q运动到点C时，点P也停止运动．
(1)当运动时间为时，则_____，____．
(2)当t为何值时，的面积为？
(3)求四边形面积的最小值．
6．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．
7．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，
即的最小值是-10．
即无论取何实数，的值总是不小于实数．
问题：
(1)已知，则有___________（最大或最小）值为___________
知识迁移：
(2)如图，在Rt中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
8．如图，在中，，，动点P，Q同时从点出发，分别沿射线和射线的方向均以的速度匀速运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形与重叠部分的面积为．（注：无重叠时，重叠部分面积看作）
(1)当点落在线段上时，求的值．
(2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
题型3：拱桥问题（实际问题与二次函数)
9．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．
(1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式．
(2)水面下降，水面宽度增加多少？
10．某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽 200的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家的建议，以二次函数的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32处各设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60，求河面距公路桥的最大高度 ．
11．如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系．
(1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式；
(2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：．
①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度；
②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由．
12．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．如图，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
(3)如图2，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度．
①平移后的函数图象与直线没有交点，结合函数图象，直接写出的取值范围__________．
②直接写出当__________时，平移后的函数图象与直线有三个交点．
参考公式：
题型4：销售问题（实际问题与二次函数)
13．端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变）
(1)若每盒礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出、与x之间的函数关系式；
(2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？
14．综合与实践
【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5米－6.5米．
【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为元．
【建立模型】（1）当车库区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准
（2）若该小区区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元
【拓展应用】
（3）由于租金过高，车位租出个数相应减少，小区物业决定将车位月租金上涨金额控制在不低于5元且不高于15元，则当区域每个停车位月租金上涨多少元时，该区域的月租金收入最大 最大值是多少元
15．某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍．
(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？
16．项目化学习
项目主题：大同黄花的最优销售单价
项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系．
研究步骤：
（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
（3）数据分析，得出结论．
收集数据：
黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 …
每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 …
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
(1)根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量y（千克）是黄花的销售单价x（元/千克）的______函数（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式为______．
(2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？
(3)若要使每月销售黄花获得的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润．
题型5：投球问题（实际问题与二次函数)
17．苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米．
18．如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为．
(1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度；
(2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分；
(3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论．
19．如图，轴上依次有六个点，且，从点处向右上方沿抛物线发出一个发光的点．
(1)在图中补画出轴；
(2)当点与上述六个点中的某个点重合时，重合的这个点就会发光，则发光的点是___________；
(3)在轴上从左到右有两点，且，从点向上作垂直轴，且，在沿轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点能落在（包括端点）上，请写出点横坐标的最大值与最小值．
20．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围．
题型6：喷水问题（实际问题与二次函数)
21．某广场有一个喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为2米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间近似满足函数关系，下面是水流高度和水平距离之间的几组数据：
/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
/米 2 2.625 3 3.125 3 2.625 2
(1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足条件的函数关系式；
(2)由于调整了水压，水流喷出高度与水平距离之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则____________．（填“”，“＝”或“”）．
22．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米．
(1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度；
(2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离；
(3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？
23．【项目式学习】
项目主题：无人机灌溉研究．
项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化．
驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉．
建立模型：如图1，设无人机控制中心为点，两个喷水口分别为点，且点在同一条水平直线上，．如图2，以为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷水口点和点到点的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，．
（1）求点所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置，如图3，要使宽度为的田埂（高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应下降的高度．
（3）如图4，在直线上再增加2个喷水口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，求此时喷洒水覆盖区域宽度的长．
24．综合与实践
【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离．
【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为．
【问题解决】
(1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长．
(2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数
题型7：增长率问题（实际问题与二次函数）
25．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
26．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
27．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
28．丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为 元．
题型8：其他问题（实际问题与二次函数)
29．【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据：任务一：记录的数据如下：
运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．．
运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．．
滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．．
(1)任务二：数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现与的函数关系为一次函数关系，与的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出与的函数关系式和与的函数关系式：（不必写出自变量的取值范围．）
(2)任务三：当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离；
(3)当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，请判断小球与电动小车是否会发生碰撞，若会，请求出在第几秒发生碰撞；若不会，请求出小球与电动小车之间的最小距离．
30．某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间
刹车后行驶的距离
发现：①开始刹车后行驶的距离y(单位：)与刹车后行驶的时间t(单位：)之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)若汽车刹车后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
31．野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据：
水平距离x/ 0 1 2
竖直高度y/ 0 0
(1)根据上述数据，求抛物线的表达式；
(2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由．
32．青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长；
参考答案
题型1：图形问题（实际问题与二次函数）
1．（1）解：设栅栏长为米，
米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为米；
（2）解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下：
设矩形围栏面积为，
根据题意得，，
，
，
，
当时，即米时，有最大值．
2．（1）解：∵篱笆的总长为米，设垂直于墙的篱笆边长为米，
则米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
当时，围成的菜地面积为平方米；
（2）解：设围成菜地的面积为平方米，
∵墙的最大可用长度为米，
，即，
解得，
根据题意得：，
∵，且对称轴为，
∴当时随x的增大而减小，
∴当时，有最大值，最大值为105，
∴垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米．
3．（1）解：∵矩形周长为18，
∴，
即．
∵，
∴．
∵矩形对边相等，
∴，
∴，
∴．
∵梯形的上底，下底，高，
∴．
∵点E，F分别在边上（均不与顶点重合），
∴，
解得．
∴S关于x的函数表达式为，x的取值范围是．
（2）解：当时，，
当时，．
∵，
∴．
（3）解：对于二次函数，其中，
∴该函数图像开口向下，对称轴为．
∵对称轴在的取值范围内，
∴当时，S有最大值．
将代入，可得．
∴S的最大值为9．
4．（1）解：如图1：当M与B重合时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）解：分以下两种情况讨论：
①当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，t的值为或4；
（3）解：由题意得，
分以下两种情况讨论：
①时，如图2，
在中，，，，
∴，
∴，
同理在中，，
∴，
∴与菱形重叠部分图形的面积为；
②当时，如图3，
在中，，，，
∴，
∴，
同理在中，，
∴，，
∵菱形，且，
∴，，，
∴，，
∴，
由①得，
∴与菱形重叠部分图形的面积为，
∴．
题型2：图形运动问题（实际问题与二次函数）
5．（1）解：在中，，，，
∴，
由题意得 ，
．
（2）解：∵的面积为， ，
，
∴ ，
即 ，
解得 或 ，
∴当 或2时， 的面积等于 ．
（3）解：由（2）得 的面积，
∴四边形面积
，
故当时，四边形面积最小，最小值是．
6．A
解：当时，向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为轴；
当时，重合部分是一个四边形，面积等于的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为．
综上，选项A的图象符合题意，
故选：A．
7．（1）解：∵
∴，
∴，
∴有最大值，为4．
故答案为：最大；4；
（2）解：根据题意得，，
∴，
∴
∵
∴，
∴,
即：当时，有最大值为3．
8．（1）
∵在中，，，
∴，
当点M落在线段上时，四边形是正方形，
根据题意得，
在等腰直角三角形中，
由题意可得和、是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
，
∵，
∴，
∴；
（2）①当时，正方形完全在内部，此时重叠部分面积就是正方形的面积，
∴正方形面积；
②当时，
设与交于点E，与交于点F，
此时正方形与重叠部分为矩形，
和为等腰直角三角形，即，，
∵，
∴，
在中由勾股定理得，
即，
∴，
∴矩形面积；
③当时，正方形与无重叠，所以；
综上所述，当时，；当时，；当时，．
题型3：拱桥问题（实际问题与二次函数)
9．（1）以拱顶为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系
则抛物线的顶点在原点，设其解析式为
当拱顶离水面时，水面宽
即当时，
将代入解析式得：
解得：
所以函数解析式为：
（2）当水面下降时，此时拱顶离水面，即
代入解析式得：
解得：
此时水面宽度为
原水面宽
所以水面宽度增加：
10．解：如图，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，
由题知，二次函数过点，
，
解得，
二次函数解析式为，
，
故答案为：．
11．（1）解：由图象可知，顶点C的坐标．
设（），
代入点，得，
解得，
所以解析式为．
（2）①∵
∴抛物线的顶点，
∴．
②将E点横坐标代入，得，
则，
当水面宽为时，
将代入，得，
因为，所以点E在水平面上方．
12．（1）解：由题意得：水面宽度是20米，高是4米，
结合函数图象可知，顶点 ，点,
设二次函数表达式为，
将代入函数表达式得，
解得：
二次函数表达式为
即
（2）当时，即
解得：，
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10米．
（3）①由题可知倒影函数图象与原函数图象关于轴对称，
倒影函数解析式为：
平移后的原抛物线解析式为：
，当时，
直线经过，要使直线与倒影函数图象没有交点，则
要使直线与平移后的原抛物线没有交点，
则无解
整理得：
，即
解得：
综上所述
②倒影函数平移后的解析式为：
平移后的函数图象与直线有三个交点
则倒影函数平移后与直线相切
即有两个相等实数根
整理得：
，即
题型4：销售问题（实际问题与二次函数)
13．（1）解：由题意可得
，
；
（2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，由题意得：
∴
，
∴当时，W取得最大值，为6984元，
即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元．
14．解：（1）先将图形平移，如图，
因为停车位占地面积为，则
，
解得或（不符合实际，舍去），
因为，所以车道宽度符合标准；
（2）设每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，根据题意得，
整理得，
解得，
所以，每个车位月租金上涨25元；
（3）设月租金收入为元，根据题意得，
，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为（元）
所以，每个车位月租金上涨15元时，月租金收入最大，最大值是10105元．
15．（1）解：设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元，
解得，
经检验，是原方程的根，
，
答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元．
（2）解：设降价元，该超市的利润最大，利润为．
时，利润取得最大值，且最大值为2000元．
答：降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元．
16．（1）解：观察表格可知黄花每月的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数．
设一次函数关系式为，
将点代入，得
，
解得，
一次函数关系式为．
故答案为：一次函数，；
（2）解：根据题意知，月销售利润为：
，
∵月销售利润达到24000元，
∴，
解得，
当时，
销售成本为，
不符合题意舍去；
当时，
销售成本为，
符合题意；
故销售单价应定为140元；
（3）解：根据题意，得，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当时，，
答：当黄花的单价为130元/千克，最大利润为25000元．
题型5：投球问题（实际问题与二次函数)
17．4
解：由题意，将代入抛物线得：，
解得或，
抛物线的对称轴为直线，
∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且，
∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米，
故答案为：4．
18．（1）解：当时，，
∴小普把球脱手时，球的高度是米；
（2）解：当时，，
整理得，
解得，（舍），
∵铅球扔出10米的得分为100分，
∴小普得分100分；
（3）解：变小，可以不变（答案不唯一），
假设落地距离为米，保持，
将代入，
则，
解得，此时
作图如图：
19．（1）解：当时，，
∴抛物线与y轴交于点，
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∵，
∴点B的坐标为，
图形如图所示，
（2）解：由（1）得：抛物线与x轴的另一个交点为，点B为坐标原点，
∵，
∴，
∴点E的坐标为，
∴发光的点是点E；
故答案为：E
（3）解：当点M与点重合时，点N的横坐标最大，
∵，
∴此时点N的横坐标的最大值为8；
当时，，
解得：，
∴抛物线经过点，
∴当点G与重合时，点N的横坐标最小，最小值为；
综上所述，点横坐标的最大值为8，最小值为．
20．（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米，
∴，
∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米，
∴，
把代入，
得：，
解得，
所以抛物线的解析式为；
②∵墙高为6米，
∴当时，，
解得（舍去）或，
∵，
∴，
∴，
∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且，
∴石块能飞越防御墙；
（2）由题意，得，
把，代入解析式，
得：，解得：，
把，代入解析式，
得：，解得：，
∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则．
题型6：喷水问题（实际问题与二次函数)
21．（1）解： 由表格可得抛物线对称轴为直线，
∴水流喷出的最大高度为米，
由题意可得，抛物线经过点，，，
将上述三个点坐标代入中，得
，
解得 ，
∴函数关系式为；
（2）解：对于，当，则，
解得：或（舍），
∴，
对于，当，则，
或（舍），
∴，
∴，
故答案为：．
22．（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米，
将点B的坐标代入中，
得
解得，
∴．
令，得，
∴水管的长度为米；
（2）解：由题意得，令
解得，（舍去），
∴顶端F的横坐标为，
∴景观射灯与池中心的水平距离为7米；
（3）解：设水管要升高h米，
∴升高后的抛物线的解析式为．
当时，，
∴
，
∴，
答：水管要升高米．
23．解：（1），点与点到点的距离相等，
，
点的坐标为．
，
点的坐标为．
设点所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得．
解得．
点所在抛物线的函数表达式为．
（2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，
喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点和点关于轴对称，
可以设点的坐标为．
将点代入，
得．
点的坐标为．
此时无人机喷水口距离地面的高度为．
．
答∶ 无人机应该下降的高度为．
（3） ∵，点坐标为，
∴点坐标为 ．
∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同，
∴所在抛物线表达式为，
∵无人机高度为，
∴点P的纵坐标为，
把代入中，得
．
解得， ．
，
关于y轴对称，
，
长．
24．（1）解：平面直角坐标系如下：
，抛物线顶点在y轴，
∴设抛物线解析式为，
的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，
由题可知
将A，C代入抛物线解析式，得，
解得，
函数解析式为：
∴顶点为
故；
（2）解：当时，代入抛物线表达式
解得
最大宽度为
他们能站的最大宽度为才不会被水淋到．
题型7：增长率问题（实际问题与二次函数）
25．A
解：第二个月投放单车数量，
第三个月投放单车数量．
故选A．
26．（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
27．（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）
∴依题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
28．设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件，
根据题意可得：0.9x×（a+2）+1.2×（27﹣x）×a＝xa+（27﹣x）（a+2）+8，
∴x＝，
∵a≥3，a+2≥3，a+a+2≤25，x，a均为整数，
∴a＝10，x＝10
∴小明购买两种商品实际花费＝9×12+1.2×10×17＝312元，
故答案为：312.
题型8：其他问题（实际问题与二次函数)
29．（1）解：设，将点代入，得：
解得，
∴；
设，将点，代入得，
，
解得，
∴；
（2）解：时，
解得：，
将代入得：．
∴当小球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离；
（3）解：设运动时间为t秒，
小球的滑行距离，电动小车的行驶距离为,且电动小车在A点前方处，
则小球与电动小车的距离 ，
对于二次函数，其中，函数图象开口向上，有最小值，
根据二次函数顶点公式得，
将代入，得，
因为，
所以小球与电动小车不会发生碰撞，最小距离为．
30．（1）设．
将，，代入，
．
．
．
（2）当时， ．
答：汽车刹车后，行驶了．
（3），
当时，，即汽车停下时，行驶了．
，
该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
31．（1）解：由题意可知，当和时，，
∴对称轴为直线，
由表格知，抛物线经过，
设野兔某次跳跃的抛物线为，
把代入可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
∵，
∴野兔此次跳跃不能跃过篱笆．
32．（1）解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线的函数解析式为：，
∵图象过原点，
∴，解：，
∴；
（2）∵抛物线的形状不变，点，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，（舍去）；
故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为．