九年级数学上册试题 第22章 二次函数 期末单元复习卷 --人教版（含答案）

第22章《二次函数》期末单元复习卷
考点01：根据二次函数的定义求参数
已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式．
2．若函数是关于的二次函数．则常数的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
考点02：y=ax 的图象和性质
3．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.在同一平面直角坐标系中作出、和的图象．
考点03：y=ax +k的图象和性质
5．已知抛物线（如图所示）．

(1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______；
(2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标．
6．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
考点04：y=a (x-h） 的图象和性质
7．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．下列图像是二次函数的图像的是（　　）
A． B．
C． D．
考点05：y=a (x-h) +k的图象和性质
9．已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ．
10．已知点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（ ）
A． B． C．2 D．5
考点06：y=ax +bx+c的图象与性质
11．已知二次函数经过点，对称轴是直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
12．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点07：二次函数图象与各项系数符号
13．二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
若时，则
若方程有四个根，且四个根和为，则
已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是
其中结论正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
考点08：根据二次函数的图象判断式子符号
15．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④（其中为任意实数）
A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④
考点09：y=ax +bx+c的最值
17．二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
18．平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①直接写出抛物线的解析式；
②求抛物线的顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请分别求出变换后新二次函数的最大值与最小值．
(3)已知，为抛物线上的两点，若，，，试判断与的大小，并说明理由．
考点10：利用二次函数对称性求最短路径
19．已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
20.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ．
考点11：待定系数法求二次凼数解析式
21．已知抛物线为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段最大值与最小值的差为，求的最大值与最小值．
22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
(3)在直线l上是否存在点M，使得以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出所有符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
考点12：抛物线与x轴的交点问题
23．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 3 5 …
y … 16 0 …
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值
C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下
24．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若，为函数图像上的两点，则，其中正确的是（　　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况
25．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．对于函数，下列说法正确的有（　　）个
①图象关于轴对称；
②有最小值；
③当方程有两个不相等的实数根时，；
④直线与的图象有三个交点时，
A．1 B．2 C．3 D．4
考点14：图象法解一元二次不等式
27．已知二次函数，其图像与轴的交点记为C．
(1)当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积
(2)已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围．
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
28．如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点15：利用不等式求自变量或函数值的范围
29．已知二次函数，一次函数
(1)求函数与的交点坐标；
(2)自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
30．已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论：
①；
②若，两点均在此函数图象上，则；
③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
④．
其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号）
考点16：根据交点确定不等式的解集
31.已知二次函数．
(1)将配方得_____；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）；
(3)当x为 时，；
(4)时，直接写出y的取值范围是 ；
(5)当时，函数y的取值范围为，则a的值为 ．
32．如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴．
(3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0．
考点17：图形问题（实际问题与二次函数）
33．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
34．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设，．
(1)求y与x的关系式，并写出x的取值范围；
(2)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值．
考点18：图形运动问题（实际问题与二次函数）
35．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的长度等于？
(2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
36．如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点C、E重合．现将在直线上向右移动，直至点B与F重合时，停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随着x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
考点19：拱桥问题（实际问题与二次函数）
37．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长．
38．如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系．
(1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式；
(2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：．
①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度；
②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由．
考点20：销售问题（实际问题与二次函数）
39．某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式．
(1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式；
(2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？
(3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
40．某超市销售一种文具，进价为元/件．售价为元/件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按元的倍数上涨），当天销售利润为元．
(1)求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围；
(3)若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元 并求出最大利润．
考点21：投球问题（实际问题与二次函数）
41．［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
42．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围．
考点22：喷水问题（实际问题与二次函数）
43．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为 ．
44．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和．
(1)求喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？
考点23：增长率问题（实际问题与二次函数）
45．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
46．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
考点24：其他问题（实际问题与二次函数）
47．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体的水平距离为2米，且点P离地面的高度为米．
(1)求该抛物线的解析式，并写出点D坐标；
(2)写出直线的解析式；
(3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段三部分组成，其中点E，G在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点F、H，且（在左侧）．当F、H间的水平距离为3米时，求的长；
(4)为了节约成本，支架调整为线段两部分组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
48．急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为．
(1)若骑行速度为，则_______，_______；
(2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式；
(3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，）
考点25：面积问题（二次函数综合)
49．如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，已知抛物线经过三点、、（为原点）
(1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如果点是该抛物线上轴上方的一个动点，那么是否有最大面积，若有，求出此时点的坐标及的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果保留根号）
50．已知直线分别交轴、轴于两点，抛物线经过点，和轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是抛物线上的动点，且在第三象限，求面积的最大值；
(3)如图，经过点的直线交抛物线于点，连接分别交轴于点，求的值．
考点26：线段周长问题（二次函数综合）
51．如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，且点B的坐标是，与y轴交于点D，且点D的坐标是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)与抛物线的对称轴交于点E，点P在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，点F是的中点，直接写出的值．
52．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)求线段长度的最大值．
考点27：角度问题（二次函数综合)
53.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点．当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程．
54．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标；
(3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标．
考点28：特殊三角形问题（二次函数综合）
55．如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由．
56．小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答：
(1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式；
(2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值；
(3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点29：特殊四边形（二次函数综合）
57．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；
(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由．
58．如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标．
参考答案
考点01：根据二次函数的定义求参数
1．解：由题意，得：，，
解方程，可得，
解不等式，可得，
综上所述，可知，
∴．
2．B
解： 是关于的二次函数，
，
解得：．
故选：B．
考点02：y=ax 的图象和性质
3．D
解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大，
故选：D．
4．解：观察三个函数表达式可知，三个函数图象都以y轴为对称轴，都以坐标原点为顶点．
函数图象如图所示：
考点03：y=ax +k的图象和性质
5．（1）解：抛物线的顶点为，对称轴为y轴．
故答案为：0，1；y轴．
（2）解：设．
∵轴，垂足为B，
∴．
∵点，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴．
∴ ，
解得，．
∴
∴点P的坐标为或．

6．B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间，
观察四个选项，只有B项的图象符合条件．
故选：B．
考点04：y=a (x-h） 的图象和性质
7．A
解：∵点，在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
故选：A．
8．C
解：函数，
，
抛物线开口向下，
选项A、B不符合题意，
抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴，
符合条件的是选项C，
故答案为：C．
考点05：y=a (x-h) +k的图象和性质
9．
解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为，
∵，
∴，
故答案为：．
10．D
解：如图，
当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上，
此时对称轴为直线，
由对称性可知此时点D的坐标为，
当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度，
所以点D也向右平移3个单位长度，
此时点D坐标为，横坐标最大，
故选：D.
考点06：y=ax +bx+c的图象与性质
11．（1）解：∵二次函数经过点，对称轴是直线，
∴，，
解得，，
∴，
（2）解：由（1）得，
∵，对称轴是直线，
∴二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而增大．
12．C
解：∵二次函数开口向下，
∴，
∵二次函数的对称轴是直线，
∴，，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，
∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为，
由函数图象可得时，，
∴，故②正确；
时，，
，
，即，故③错误；
∵对称轴是直线，
∴若，即时，故④正确．
综上所述，正确的选项是①②④，共3个．
故选： C．
考点07：二次函数图象与各项系数符号
13．D
解：①，，，
，错误；
②由图象可知：对称轴为直线，且，
，正确；
③由图象可知：当时，
，
又当时，，
；
与相加得，
，正确；
④，
，
又，
，正确．
综上，正确结论的序号是②③④．
故选：D．
14．A
解：∵过，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，故正确；
当时，抛物线为，
∴，，
∴，故错误；
∵方程有四个根，
∴，各有两个根，
∴每个方程的根的和为，
∴四个根总和，
由抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴点在对称轴处，即顶点，
∴为最大值，故且，
要满足，由，则需比离对称轴更近，
∴，解得，故错误；
综上，正确结论为，
故选：．
考点08：根据二次函数的图象判断式子符号
15．A
解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，
故①错误；
抛物线与轴有2个交点，
，
②正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
，
③正确；
点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上，
，
故④错误；
，
，
故⑤错误．
综上所述，正确的有②③，一共2个．
故选：A．
16．D
解：①由图象可知，抛物线开口向下，即，
对称轴为，
，
且，
抛物线与轴交于正半轴，
，
故①错误，②正确；
③，
，
故③正确；
④抛物线的对称轴为，
当时，函数的最大值，且为，
（为任意实数）
（为任意实数），
故④正确；
综上所述，正确的是②③④，
故选：D．
考点09：y=ax +bx+c的最值
17．A
解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与轴交于正半轴，则
∴，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线,
∴当时，取得最大值，最大值为
∴（m为任意实数）
即，故②正确；
∵时，,
即
∵
∴
即
∴，故③正确；
当，，，故④正确；
∵、是抛物线上不同的两个点，
∴关于对称，
∴即，故⑤不正确，
正确的有②③④，
故选：A．
18．（1）解：①当时，抛物线的解析式为；
②∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：关于y轴对称的点是，
∴原抛物线关于y轴对称的解析式为，
∵，对称轴为直线，，
∴，，
∴，；
（3）解：，理由如下：
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，
∵，，，
当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
∴，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴，
当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
∴，
∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
∴，
综上所述，．
考点10：利用二次函数对称性求最短路径
19．（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在，当时，，
，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
关于对称轴对称，
，
，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点P为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
，
∴，，
∴．
20．②③④
解：由图象和题意可知：，当时，，
∴，
∴，；故①错误，
当时，函数取得最小值为：，
∴对于任意实数m，，
∴的值不小于2，故②正确；
作点关于对称轴的对称点，连接，
则：，
∴当点在上时，的值最小为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为；故③正确；
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点在抛物线上，满足且，
∴，
∴点离对称轴远，
∴；故④正确；
故答案为：②③④．
考点11：待定系数法求二次凼数解析式
21．（1）解：把代入，
得：，
解得：；
（2）解：由（1）知：，
对称轴为直线，
点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，
，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，
又点为线段的中点，
，即
由对称性知，
，
代入，
得：，
；
（3）解，
抛物线的顶点坐标，
∵，
∴抛物线的一段的最小值取在顶点处取得，
即当，，
∵抛物线的一段最大值与最小值的差为，
∴，
当时，代入得：
，
解得：，
由题意可知，需满足，，且或，
当，时，取得最大值；
当时，或当时，取得最小值，
故的最大值为8，最小值为4．
22．（1）解：∵直线：过点，
，
又，
将点、的坐标代入抛物线表达式可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图：
设点，
轴，轴，
则，，
∵点在直线上方的抛物线上，
，，
，
∴当时，取得最大值，最大值为；
（3）解：存在，理由如下：
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵是所求平行四边形的一边，
，
设点，则，
由题意知：，即，
化简得：或，
解得：（舍去），，，，
则符合条件的点有三个：
，，
考点12：抛物线与x轴的交点问题
23．C
解：设二次函数的解析式为,
由题意知
，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴函数的图象开口向上，顶点为，
∴顶点在第四象限，函数有最小值，
令，则，
∴或，
∴图象与x轴的一个交点是和，
故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意．
故选：C．
24．A
解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴是直线，开口向下，
∴当时，的值最大，即，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线，开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，故④错误；
综上，正确的是①②③，
故选：．
考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况
25．C
解：∵二次函数开口向下，
∴，
∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上，
∴；
∵对称轴为直线，
∴,
∴,
∴,
故①正确；
根据抛物线的图象得，直线与抛物线的交点在第一象限，
∴，
∴,
故②正确；
设抛物线与x轴的另一个交点为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
故的两个根分别是，
故多项式可因式分解为，
故③不正确；
根据题意，得，即，
根据题意，当时，抛物线有最大值，且为，
故当时，在抛物线顶点的上方，
故关于的方程无实数根．
故④正确；
故选：C．
26．B
解：当时，，
当时，，
∴当时和当时，对应的函数值相等，
∴图象关于轴对称，故①正确；
当时，，
∴当时，y有最小值，
当时，，
∴当时，y有最小值，
综上所述，函数有最小值，故②正确；
画出函数图象如图，
观察图象得：当或时，函数的图象与直线有两个交点，
即当方程有两个不相等的实数根时，或，故③错误；
∵直线与的图象有三个交点，
∴有三个不相等的实数根，
设，
当时，，
当时，，
画出函数图象如下：
观察图象得：当或时，函数的图象与直线有三个交点，故④错误；
故选：B
考点14：图象法解一元二次不等式
27．（1）解：当 时，函数为 ．
当时，，解得，
所以，点 ， ，
∴
当时， ，所以 ．
（2）∵点 ， ，
∴直线 函数解析式为 ．
联立二次函数 与直线 ：，得
整理得：，
∵线段与二次函数有两个不同的交点，
∴函数，与x轴有两个交点，且和3中间．如图：
∴当时，，即
，
解得：
当时，，
当时，，即
∴，
综上所述： 的取值范围为
（3）∵当 时， 恒成立，
∴当 时，，
∵的图象开口向下，对称轴是，如图：
此时最大值为
当 时，即 ．
解得：，
当 时，即 ．
，不等式组无解；
当 时，即 ．
，不等式组无解；
综上， 的取值范围为 ．
28．D
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，①正确；
∵对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴②不正确；
∵图象过点，
∴图象与x轴左侧的交点为，
将代入得：
，③正确；
由图象知顶点在x轴下方，
∴，即，
而开口向上，，
∴，
∴，④正确；
∵抛物线与x轴两个交点分别为，，且开口向上，
∴时，，⑤正确；
∴正确的有①③④⑤，
故选：D．
考点15：利用不等式求自变量或函数值的范围
29．（1）解：联立与，
，
整理可得：，解得：，，
当时，代入，可得，
当时，代入，可得，
函数与的交点坐标为和；
（2）要使一次函数的值大于二次函数的值，即，
可得不等式，
整理得：，
可得，
解得：，
当时，一次函数的值大于二次函数的值．
30．①②④
解：根据函数图象可得，
∴方程的两个根为和，
又∵当时，，
设，当时，，
∴，，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，故①正确；
∵的函数图象的对称轴为直线，
又，关于直线对称，
∴若，两点均在此函数图象上，则，故②正确；
如图
与无交点，
∴关于的一元二次方程无实数根，故③不正确；
∵方程的两个根为和，
∴
∴
∵，，
∴
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
考点16：根据交点确定不等式的解集
31．（1）解：，
故答案为：．
（2）解：如图所示，
（3）解：根据函数图象可得，当时，，
故答案为：．
（4）解：根据函数图象可得当时，，
当时，取得最大值为，
∴当，y的取值范围是；
故答案为：．
（5）解：∵当时，函数y的取值范围为，
当时，，
当时，，
当时，
解得：或（舍去）
则a的值为，
故答案为：．
32．（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，．
（3）∵抛物线与轴交于，两点，
∴当时，函数值大于0．
考点17：图形问题（实际问题与二次函数）
33．（1）解：∵，，为抛物线的顶点，
∴，∴顶点的坐标为，，
设抛物线的解析式为：，
代入，得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：，即；
（2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下：
方案一：∵，，
∴，，
当时，，即，
当时，，即，
∴方案一内部支架材料长度为：；
方案二：∵，，
∴，，，
当时，，即，
当时，，即，
∴方案二内部支架材料长度为：；
∵，
∴方案二的内部支架节省材料．
34．（1）解：设，，
∴，
∵外墙长且，
∴，
解得：；
∴y与x的关系式为；
（2）解：由题意得：
，
∵，
∴当时，S最大，此时，，
∴当，时矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为．
考点18：图形运动问题（实际问题与二次函数）
35．（1）解：由题意，得：，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴当时，，
解得：或；
（2）存在，理由如下：
∵五边形的面积，
∴当五边形的面积等于时，，
解得：或，
∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，
∴当点到达点时，，
∴，
∴当时，五边形的面积等于；
（3）存在，
∵，
∵，
∴当时，的面积最大为．
36．A
考点19：拱桥问题（实际问题与二次函数）
37．（1）解：依题意，，
故设该抛物线的函数表达式为，
∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，
即，
把代入，得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵该抛物线的函数表达式为，
∴设，
则，
∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，
∴，
∴灯带总长度，
∵，
∴当时，灯带总长度有最大值，
即，
故的长为．
38．（1）解：由图象可知，顶点C的坐标．
设（），
代入点，得，
解得，
所以解析式为．
（2）①∵
∴抛物线的顶点，
∴．
②将E点横坐标代入，得，
则，
当水面宽为时，
将代入，得，
因为，所以点E在水平面上方．
考点20：销售问题（实际问题与二次函数）
39．（1）解：根据利润单件利润销售量，
可得：；
（2）解：当时，
可得：，
解得：，
该产品第一年的售价是元/件．
（3）解：公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件，
，
解得：，
，
第二年的利润，
抛物线的对称轴为直线，开口向下，且，
当时，有最小值，最小值为万元，
答：该公司第二年的利润至少为万元．
40．（1）解：，
故与的函数关系式为：；
（2）要使当天利润不低于元，，
∴，
解得，，
∵，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为；
（3）∵每件文具利润不超过，
∴，
得，
又∵且是的倍数，
∴且是的倍数，
对于二次函数，
其对称轴为
∵函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，而，
∴当(是的倍数且最接近)时，取得最大值；
当时，取得最大值，此时，
即每件文具售价为元时，最大利润为元．
考点21：投球问题（实际问题与二次函数）
41．解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，，
设直线的解析式为，
，
，
扣杀球击球路线的函数表达式为；
设网前吊球击球路线的函数表达式为，
，
，
网前吊球击球路线的函数表达式为；
（2）令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（3）对于，令，则，
，
，
，
，
扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，
（秒
，
乙不能接到扣杀球的击球．
从点击球，击球点是抛物线的最高点，
，
，
，
，
乙能接到网前吊球的击球．
42．（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米，
∴，
∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米，
∴，
把代入，
得：，
解得，
所以抛物线的解析式为；
②∵墙高为6米，
∴当时，，
解得（舍去）或，
∵，
∴，
∴，
∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且，
∴石块能飞越防御墙；
（2）由题意，得，
把，代入解析式，
得：，解得：，
把，代入解析式，
得：，解得：，
∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则．
考点22：喷水问题（实际问题与二次函数）
43．解：∵，，，，
∴点，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为，
∴，
即的长为．
故答案为：
44．（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和．
∴，
令，易得，
令，得，
可求得，
因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；
函数的对称轴为直线，
把代入，得
因此A喷头喷出的水流的最大高度是；
（2）解：依题意，函数，
令，得，
因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
考点23：增长率问题（实际问题与二次函数）
45．C
解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长．
第一年（年）：市场规模增长到．
第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即．
因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为，
对应选项C．
其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除．
故选：C．
46．D
解：由题意得，与的函数解析式为，
故选：D ．
考点24：其他问题（实际问题与二次函数）
47．（1）解：由题意可得，
∴设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
∴抛物线的解析式为；
当时，，
；
（2）已知，设直线的解析式为，
解得
∴直线的解析式为；
（3）设点的横坐标为，
∵在抛物线上，在直线上，
∴点纵坐标为，点纵坐标为．
∴ ，
∵间的水平距离为3米，且在左侧，
∴点的横坐标为，
同理，点纵坐标为
点纵坐标为，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
（4）已知，，
设点的横坐标为，
由（3）得．
在中，，
∴函数图象开口向下，存在最大值，
其对称轴为，
∴ ，
∵支架长度为，
∴支架所需铝合金材料的最大长度为：．
48．（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为，
∴，，
∵当骑行速度为时，反应距离为，
∴，
解得：，
∴，
当时，
∴，
∵当骑行速度为时，刹车距离为，
∴，
解得：，
∴，
当时，．
（2）解：设骑行速度为，而，，
∴y关于x的函数表达式为．
（3）解：∵当刹车距离为时，
∴，
解得：，（舍去），
∴
∴停车距离约为．
考点25：面积问题（二次函数综合)
49．（1）解：∵抛物线经过三点、、，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴该抛物线图像的对称轴为：，顶点坐标为；
（2）存在．理由如下：
如图所示，
∵抛物线的对称轴为，，，，
∴点与关于对称轴对称，
∵点在对称轴上，
∴，
∴，
当、、三点共线时取“”，即点为直线与抛物线对称轴的交点时，取得最小值，即周长的最小值为，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴当的坐标为时，的周长最小；
（3）∵点是该抛物线上轴上方的一个动点，设，
∴①，
如图所示，过点作轴于点，轴于点，过点作于点，过点作于点，则，，
∴，，，，
∴四边形、是平行四边形，
∴四边形、是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是梯形，
∴
②，
将①代入②得：
，
∴当时，的面积最大，最大值为，此时，
∴，
∴的面积有最大值，最大值为，此时点的坐标为．
50．（1）解：把代入得，解得，
∴，
把点的坐标代入，得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴，交于点，
设，，
∴，
∴当时，最大，最大值为，
此时 面积最大，最大值为；
（3）解：把代入，得，解得，，
∴，
设直线的解析式为，的解析式为，
∴，
解得：或，
∴，
同理：，
设直线的解析式为，把代入，得
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
又∵，，
∴．
考点26：线段周长问题（二次函数综合）
51．（1）解：把点，点代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图所示，作轴交于点Q，
设直线的解析式为：，
代入，．
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，对称轴为直线，
当时，，
∴，
∵在抛物线上，
∴，点，
∴，
∴
∴时，的面积最大，最大值为；
（3）解：由（2）可得，
则，
∴，
∵F是的中点，．
∴，即，
∵，
∴．
52．（1）解：为二次函数的顶点，
，
解得，
二次函数表达式为；
（2）解：∵正比例函数经过点，
，
，
正比例函数表达式为，
设，则，
∴，
，
∵．
当时，线段的长度取得最大值；
考点27：角度问题（二次函数综合)
53．（1）∵抛物线
∴当时，
∴，即
∵
∴
∴
∴将，代入得
解得
∴；
（2）∵P是直线上方抛物线上的一动点，
∴设
∵，
设直线表达式为
则，解得
∴直线表达式为
∵过点P作轴交直线于点M，
∴设
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∵轴
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴当时，取得最大值
∴此时，
∴此时点M和点C重合，如图所示， 取点关于轴对称点，连接、、，
∴，
又∵点、是关于抛物线对称轴的对称点，
∴，
∴，当、、、四点共线时，最小，
∵
∴的最小值为；
（3）∵，，
∴，
∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线，
∴点移动到的中点，
∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∵
∴平移后的新抛物线表达式为，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴当点Q在x轴上方时，如图所示，延长交抛物线于点，
∴，
∴，
∵，
∴可得直线表达式为
设直线表达式为，
∵，
∴，即，
∴设直线表达式为，
联立得，，解得：，（不合题意舍去）
∴点坐标为，
当点Q在x轴下方时，如图所示，在轴负半轴上取点，连接并延长交抛物线于点，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴可得直线表达式为
联立得，，解得：（不合题意舍去），
∴点坐标为，
综上所述，点Q的坐标为，，
54．（1）解：直线与x轴交于点，
∴可有，解得，
∴点，
∵抛物线经过点，
∴将点代入，可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如下图，过点作交于点，
∵抛物线与轴的交点为，
当时，可有，
解得，
∴点，
设点，则点，
∴，
∵四边形面积，
∴当时，四边形面积有最大值，
此时点；
（3）如下图，当点在上方时，设交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点，
设直线解析式为，将点，点代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点，
当点在下方时，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为．
综上所述，点坐标为或．
考点28：特殊三角形问题（二次函数综合）
55．解：（1）由题意得抛物线的表达式为，
∴，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，
则，
解得，
故直线的表达式为
设点，则点，
，
∴
，
∴当时，面积的最大值为，此时点；
（3）存在，理由：
由（2）知，若设点，
则点，，且知点，
①当时，则点C在的中垂线上，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
故点；
②当时，由，易得，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
故点．
综上，点P的坐标为或．
56．（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
设抛物线解析式为，将代入得：
解得
抛物线解析式为
即；
（2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，
，
则直线的解析式为
设，则
当时，最大，最大值为；
（3）解：存在，理由如下：
，，
，
，
，
抛物线的对称轴为，
设，
则，，
①当时，，解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
②时，，解得：或（不合题意，舍去）；
∴
③当时，，解得：；
∴；
综上：或或．
考点29：特殊四边形（二次函数综合）
57．（1）解：抛物线与轴交于点，．
将，代入，
得解得
抛物线的表达式为，
，
顶点的坐标为；
（2）存在．
如图，设．
①以为对角线．
此时，，，
，
即，解得．
，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得，
平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度．
②以为对角线．
，点在轴上， ，则，
平移的方向为向左平移1个单位长度．
③以为对角线时，矩形不存在．
综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时，
原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；
当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度．
58．（1）解：把，代入，得：
，解得：，
∴；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，设，，
∵，
∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）；
∴；
当以为对角线时，，解得：或，
∴或；
当以为对角线时，，解得：或（舍去）；
∴；
综上：或或或．