皖东南四校联2025-2026学年考九年级上学期数学期末模拟练习卷（含答案）

2025-2026学年度第一学期九年级期末模拟练习
数 学
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各组中的四条线段能组成比例的是（ ）
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
3. 有下列二次函数：①；②；③。在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ②①③
4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符。实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音。若，且敲击时发出音符“”的声音，则为（ ）
A. B.
C. D.
5. 关于反比例函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A. 该反比例函数图象经过点
B. 随的增大而增大
C. 该反比例函数图象经过第一、三象限
D. 该反比例函数图象关于原点对称
6. 将一副三角板按图叠放，则与的面积之比为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，点是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知公式，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知，抛物线的对称轴为轴，将此函数图象向下平移3个单位，若点为新图象在部分上任意一点，为坐标原点，连接，则长度的最小值是（ ）
A. B.2
C. D.
10. 如右图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点，在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 已知（），的值是 ______________.
12. 抛物线的对称轴为直线 _________.
13. 如右图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值是______.
14. 已知二次函数（是常数，且）.
（1）若该函数图象经过点，则的值为 ________；
（2）已知该二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的值为 ______________.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 已知二次函数图象过、、三点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，直接写出的取值范围.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如右图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为A(，1)，B(，1)，C(0，3).
(1)画出关于y轴对称的 B C ；
(2)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形 B C ，与 B C 的位似比为1：2.
18.如右图，在正三角形ABC中，D是边BC上任意一点，且°.
(1)求证：∽；
(2)若A，，求AE的长.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如右图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A(，3)，B(m，)两点.
（1）求，对应的函数解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集.
20.现有一台红外线理疗灯(如图1所示)，该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为，DE与l的夹角为．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，°，°.
(1)填空：∠1= ______ °，∠2= ______ °；
（2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：，，，）
六、（本题满分12分）
21. “大美广德 康养名城”，随着 “广德三件套” 在全网爆火，全国各地旅客纷纷来广德打卡.绥安路某商店销售一款 “广德三件套” 文创纪念品，每件成本为30元，规定销售单价不低于成本且不高于54元.销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
七、（本题满分12分）
22.已知和有公共的顶点A，，，且.AC与DE相交于点G，连接BE，CD.
(1)若点B，E，D在一条直线上，如图1，求证：；
（2）将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，DE的延长线交BC于点F，如图2.
①证明：；
②若∠AE°，求的值.
八、（本题满分14分）
23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线()经过点A(0，2)和点B(，).
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N.
①若a=1，，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点C（3a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大.直接写出a的取值范围.
皖东南四校联考九年级期末模拟练习答案（数学）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C D B D A C D
二、填空题（共4题，每小题5分，满分20分）
11.
12.
13.2
14. -1，或
三、
15. 解：
=3-1+1+2-3 4分
=2 8分
16. 解：设二次函数解析式为，
根据题意得{4a+2b+c= 2c=216a+4b+c=2， 2分
解得.
所以二次函数解析式为
y=x2-4x+2 5分
（2）-2≤y≤2 8分
四、17.
（1）如图所示 4分
（2）如图所示 8分
18.（1）证明：
是等边三角形，
，
又∵∠AD°，
°，
，
∽；………………………………………………………………4分
(2)解：是等边三角形，，，
，，
由(1)知∽，
∴，即，∴，
∴．…………………………………………………8分
五、19.解：（1）由条件可得，
解得：，
则双曲线函数解析式为，………………………………………………2分
∵点B(m，)在双曲线上，
∴，解得：，即B(3，)．
由条件可知，
解得：，，
∴．………………………………………………………………………4分
综上，，；
（2）设直线与x轴交于点C，
令，则，
解得x=1，即C（1，0）．……………………………………………………………5分
的面积=，
(，3)、B(3，)、C(1，0)，
∴，
，
的面积. 7分
（3）或. 10分
20.（1）64，53；4分
（2）如图，延长交于点，延长交于点，
，，
，
在中，，，
（），
（），
，
（），
（），
在中，，，
（），
答：此时伸缩杆的长度约为. 10分
六、21.解：（1）设与的函数关系式为（），
把（35，90）和（40，80）代入（），得，
解得：，
与x的函数关系式为()；…………………………4分
（2）设每天所获利润为元，
根据题意，…………………7分
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元．……………12分
七、22.（1）证明：∵，
∴，即．
又，，
∴（），
∴．
在和中，，，
∴，即；………………………………………………4分
（2）①证明：∵和都是等腰三角形，
，，
∵， ∴，
又， ∴，
∴，即，
又，
∴；……………………………………………………………………8分
②解：如图，连接，
由（1）得，
∴．
由①，得△ADG∽，
，，
又∠AGF，∽，
，
°°，即°，
又△ABC是等腰直角三角形，，
∴，……………………………………12分
八、23.(1)∵抛物线()，经过点A(0，2)和点B(，)，
∴c=2，
∴，
∴；………………………………………………………………………4分
（2）①如图，
当a=1时，，
∴抛物线表达式为，直线表达式为，
∵点P（t，0），
作x轴的垂线，，
∴当时，，即M(2，10)，
，即N（2，19），
∴；…………………………………………………………………9分
②，……………………………………………………………………14分