甘肃省九师联盟2025-2026学年上学期高一1月联考数学试卷(含解析)

高一数学
考生注意：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围：湘教版必修第一册第1章~第5章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
2. 命题“”的否定为
A. B.
C. D.
3. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为
A. B.
C. D.
4. 已知实数，满足，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设，，，则
A.
B.
C.
D.
6. 已知，则的值是
A. B.
C. D.
7. 如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心 距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动12分钟后点 距离地面
A.40米
B.110米
C. 米
D. 米
8. 已知幂函数 在 上单调递增，若实数 ， 满足 ，则 的最小值为
A. B.
C.1 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的有
A.
B.
C. 小于 的角一定是锐角
D.
10. 已知函数 ，则
A. 当 时， 的单调递增区间为
B. 当 时， 的单调递减区间为
C. 的图象关于 轴对称
D. 当 时， 的定义域为
11. 已知函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知角 的终边经过点 ，且 ，则 的值是 ________。
13. 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，，则关于 的不等式 的解集为 ________。
14. 已知函数 ，则 ________， 在区间 上的最大值与最小值之和为 ________。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
求下列各式的值：
（1） ；
（2） 。
16.（本小题满分15分）
（1） 已知 ，，求 和 的值；
（2） 已知 ，求 和 的值。
17.（本小题满分15分）
已知函数 的部分图象如图所示。
（1） 求函数 的解析式；
（2） 求 在 上的单调递增区间；
（3） 将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象经过点 ，求 的最小值。
18.（本小题满分17分）
已知函数是奇函数，且。
（1）求和的值；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式。
19.（本小题满分17分）
已知函数。
（1）若，求的值域；
（2）若，函数，且，求的零点的个数，并证明；
（3）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围。
高一数学参考答案、提示及评分细则
1.D 根据并集的定义得，故选D.
2.D 由题意命题“”的否定为. 故选D.
3.C 设扇形的半径为，因为扇形的弧长为，圆心角为，可得，可得，由扇形的面积公式，可得. 故选C.
4.A 因为，若，则，故，所以“”是“”的充分条件；若，，满足，但是，故“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选A.
5.B 由题意知，，，又在上单调递增，所以，所以，又，故. 故选B.
6.C 由于，所以. 故选C.
7.A 设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意得：，，，，又，即，故. 所以，所以，即摩天轮转动12分钟后点距离地面40米. 故选A.
8.C 由题意知，解得或，当时，，此时在上单调递减，不符合题意；当时，，此时在上单调递增，符合题意. 故，所以，显然当时，等式不成立，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为1. 故选C.
9.ABD ，故A正确；，故B正确；根据角的定义，小于的角不一定是锐角，可以是负角，故C错误；由的终边位于第二象限，所以，所以D正确. 故选ABD.
10.BC 当时，，令，解得或，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，故A错误，B正确；令，所以，所以的图象关于轴对称，故C正确；当时，，
的定义域为，故D错误.故选BC.
11.ABC易得在上单调递减，又，，由零点存在定理可知，故A正确；因为，又在上单调递增，，所以，即，故B正确；又，所以，故，故C正确；，当且仅当时等号成立，又，故等号取不到，故D错误.故选ABC.
12. 根据任意角的三角函数定义，，解得.
13. 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增，由，得，所以，解得或，即关于的不等式的解集为.
14. （2分）1（3分） 由题意知，所以.令，所以，所以是奇函数，所以在区间上的最大值和最小值互为相反数，所以，即在区间上的最大值与最小值之和为1.
15. 解：（1）
. ……………………………………… 6分
（2）
. ………………………………………………………………… 13分
16. 解：（1）因为，，所以， ………… 3分
. ………………………………………………………………………… 5分
（2）因为，所以， ………………………………………………………………………… 7分
所以cos(4π-α)+3sinα-7π2sin(3π-α)-cos(α-5π)=cosα-3sinαsinα+cosα=1-3tanαtanα+1=1-3×22+1=-53 11分
3sin2α-4sinαcosα=3sin2α-4sinαcosαsin2α+cos2α=3tan2α-4tanαtan2α+1=3×22-4×222+1=45 15分
17.解：（1）由题意知函数f(x)的最大值为2，最小值为-2，故A=2， 1分
函数f(x)的最小正周期T=27π12-π12=π，又T=2πω，所以ω=2， 2分
由，所以，解得，又，得，
4分
所以f(x)=2sin2x+π3 5分
（2）令，解得，因为，所以令，得
，又，所以；令，得，
又，所以，
所以函数f(x)在[-π,0]上的单调递增区间为-π,-11π12和-5π12,0 10分
（3）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到，
12分
又图象经过点5π9,0，所以2×5π9-2t+π3=nπ,n∈Z， 13分
解得t=13π18-nπ2,n∈Z，所以tmin=13π18-π2=2π9，即t的最小值是2π9 15分
18.解：（1）因为函数是奇函数，所以，
即1-ma-x+1+1-max+1=0，整理得2-m=0， 2分
解得m=2, 3分
所以f(x)=1-2ax+1，所以f(1)=1-2a+1=12，解得a=3 5分
(2)f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 6分
证明：任取，且，
f(x1)-f(x2)=1-23x1+1-1+23x2+1=2(3x1-3x2)(3x1+1)(3x2+1)， 8分
又0<3x1<3x2，所以f(x1) f(x2)<0，即f(x1)（3）因为，所以，
又是奇函数，所以，
由（2）知在上单调递增，所以，13分
所以，15分
解得，即不等式的解集为。17分
19. 解：（1） 若，则，又，
所以，，即的值域是。3分
（2） 若，则，所以，4分
又，可知，又在上单调递增，在上单调递增，故在
上单调递增，5分
又当时，，，
故在上有唯一零点；7分
又当时，，，所以，
即在上无零点。9分
综上，的零点的个数为1。10分
（3） 由题意得对任意恒成立，所以，解得。12分
关于的不等式对任意的恒成立，即，所以
，令，因为，所以，所以，恒成立，13分
令，可得即 14分
由于函数为上的减函数，且，所以不等式的解为；
由于函数为上的减函数，所以当时，恒成立，
所以的解为。16分
综上，的取值范围为。17分