甘肃省武威第六教育集团2025～2026学年度高二第一学期期末测试数学试题(含解析)

武威第六中学教育集团2025～2026学年度第一学期期末测试
高二年级数学试卷
考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册，选择性必修第二册第1章第1节～第2节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为
A.14
B.17
C.90
D.144
已知函数，则从1到的平均变化率为
A.
B.2
C.
D.
若抛物线的焦点在直线上，则
A.1
B.2
C.4
D.6
以，为直径的两个端点的圆的方程为
A.
B.
C.
D.
甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利80周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有
A.120种
B.48种
C.24种
D.12种
过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为，，当直线，关于对称时，线段的长为
A.
B.2
C.
D.
7. 已知，为椭圆的左、右焦点，以为边作正三角形，若正三角形的另两条边的中点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
8. 已知为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为
A. 第项　　　　　　　　
B. 第项
C. 第项　　　　　　　
D. 第项和第项
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9. 下列求导数运算正确的是
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
10.2025年国庆假期，小张、小李、小王、小刘四人计划去南京旅游。现有玄武湖、明孝陵、牛首山、银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则
A. 每个景点都有人去的情况共有种
B. 有景点没人去的情况共有种
C. 恰有个景点没人去的情况共有种
D. 人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有种
11. 已知双曲线的左、右顶点分别是，，左、右焦点分别是，，是双曲线上异于，的任意一点，则
A.
B. 直线，的斜率之积等于定值
C. 使得为等腰三角形的点有且仅有个
D. 的面积为
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12. 过点且与直线垂直的直线的方程为________。
13. 已知函数，则________。
14. 已知数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，例如，，则。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知函数（），且。
（1） 求的值；
（2） 求曲线在处的切线方程。
16.（本小题满分15分）
已知圆：。
（1） 若点是圆上的一点，求的取值范围；
（2） 过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程。
17.（本小题满分15分）
已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为。
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程。
18.（本小题满分17分）
已知数列的前项和为，，是公比为的等比数列.
（1）求与；
（2）设，求数列的前项和；
（3）判断是否存在正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，写出，，的一组值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
已知双曲线的左顶点为，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点.当时，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若的面积为，求直线的方程；
（3）证明：存在实数，使得恒成立.
武威第六中学教育集团2025～2026学年度第一学期期末测试·高二年级数学试卷
参考答案、提示及评分细则
1.B按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为 . 故选B.
2.A函数 从 到 的平均变化率为 . 故选A.
3.B由题知，抛物线 的焦点为 ， 代入 得 ， 解得 . 故选B.
4.D易知该圆圆心为 ， 的中点 ， 半径 ， 所以该圆的方程为： . 故选D.
5.C甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有 种排法，甲、乙相邻且在两端有 种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有 （种）. 故选C.
6.D如图所示，圆心 ， 连接 ， 因为直线 ， 关于直线 对称，所以 垂直于直线 ， 故 ， 而 ， 则 . 故选D.
7.C设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是 ，， 易得 ， ， ， ， . 故选C.
8.A因为 ， 所以 ， 所以 ， 则 ， 显然 为正整数， 所以 能被9整除， 又 且 能被9整除， 所以 能被9整除， 所以 （）， 则 （）， 又 ， 所以 ， 所以 ， 所以在 的展开式中， 二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又 的展开式的通项公式为 （， ）， 因为第6项的系数为负数， 第7项的系数为正数， 所以第6项的系数最小， 第7项的系数最大. 故选A.
9.BCD对于A， ， 故A错误； 对于B， 由指数函数求导公式可得 ， 故B正确； 对于C， ， 故C正确； 对于D， ， 故D正确. 故选BCD.
10.ACD对于A， 每个景点都有人员选择去的情况数为 ， 故A正确； 对于B，4人选择四个景点， 每人只能去一个的总的情况数为 ， 则有景点没人去的情况数为 ， 故B错误； 对于C， 恰有1个景点没人去的情况数为 ， 故C正确； 对于D，4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为，故D正确.故选ACD.
11.BC在中，两边之差小于第三边，即，A错误；设，则，即，，，则，，，B正确；不妨设在第一象限，根据双曲线的定义可知，若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一，若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一，根据双曲线的对称性可知，使得为等腰三角形的点有且仅有8个，C正确；不妨设在第一象限，则，，，。又，所以D错误.故选BC.
12. 设所求直线的斜率为，直线可化为，斜率为，所以，解得，又直线过点，所以直线方程为，整理得.
13. ，令，可得，解得，所以，即，所以，所以.
14.18 214当时，，，每组共有个，，，故，设，则，相减得到，整理得到，故.
15.解：(1)由，得，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 分
16．解：（1）设 ，则直线 与圆 有公共点，所以 分
解得 ，所以 的取值范围是 分
（2）因为 ，所以点 到直线 的距离 分
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
所以，……………………………………………………………………… 10分
解得，所以直线的方程为．……………………………………………………………… 11分
综上，直线的方程为或．……………………………………………………………………… 15分
17. 解：（1）由椭圆的定义知，，，
又椭圆的离心率，，……………………………………………………………………… 2分
，
椭圆的标准方程为．……………………………………………………………………… 5分
（2）为椭圆内一点，直线与椭圆必交于，两点．…………………………………… 6分
设，，当时，不合题意，故，
为线段的中点，………………………………………………… 8分
又，均在椭圆上，……………………………………………………………………… 9分
两式相减，得，即，………………………… 11分
，，即，………………………………………………… 13分
直线的方程为，即．……………………………………………………………… 15分
18. 解：（1）因为是公比为的等比数列，且，
所以，………………………………………………………………………………………… 2分
当时，，……………………………………………………………………… 4分
所以 ……………………………………………………………………………… 6分
（2）因为，
所以 ……………………………………………………………………………… 8分
当时，是公比为的等比数列， ……………………………………………………………………………… 9分
因为，所以．……………………………………………………………… 11分
（3）假设存在，，，使得，，成等差数列， ………………………………………………………………………… 12分
若，则，
是奇数，是偶数，与假设矛盾； ………………………………………………………………………… 14分
若，则，
两边同时除以，得，
因为，所以，与假设矛盾， ………………………………………… 16分
所以不存在正整数，，，使得，，成等差数列．……………………………………………………………………… 17分
19.（1） 解： 由题意得 解得
故双曲线C的标准方程为x2-y23=1 3分
（2） 解： 由（1）知， 设直线的方程为，
由直线与双曲线的右支交于，两点知.
联立整理得，
由韦达定理得{y1+y2= 12t3t2 1,y1y2=93t2 1, 6分
故
，
又点到直线距离，
故S APQ=12·6(t2+1)1-3t2·3t2+1=9t2+11-3t2=9102， 即t2+11-3t2=102， 8分
， 即，
，
解得或（舍去），
故.
故直线l的方程为x=±13y+2， 即y=3x-6或y=-3x+6 10分
（3） 证明： 由题意，， 设，
当时，， 解得，
不妨取， 则，
， 所以， 满足，
故如果存在实数λ， 使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立， 则λ=2； 13分
当时， 则；
所以， ，
则，
所以tan2∠PAF2=tan∠PF2A, 16分
又， ， 故，
所以.
综上所述， 存在实数λ=2， 使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立 17分