辽宁名校联考2025-2026学年上学期高三期末数学试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 辽宁名校联考2025-2026学年上学期高三期末数学试卷(含解析) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 101.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-15 22:43:48 | ||
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文档简介
高三年级上学期期末质量检测
数学科目
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.已知i为虚数单位，则=
A. -5i B..5i D.5
2.已知集合}，}，则=
A.{，..{.{}
3.已知向量，满足，，，则=
A.1 B.
C. D.2
4.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则=
A. B.
C. D.
5.已知奇函数的定义域为，且3为的一个周期，，则=
A. -4 B..2
D.4
6.若直线与曲线相切，则m的值为
A. -5 B..3 D.5
7.5G信号随传输距离的增加而变弱.传输距离 （单位：km）与5G信号 （单位：W）的关系为 ，其中 为发射器发出的5G初始信号， 为衰弱系数（常数）.已知某5G信号的传输距离为50 km时该信号减弱为5G初始信号的一半.若在某处测得的信号为5G初始信号的 ，则传输距离为
A.100 km B.150 km C.200 km D.250 km
8. 已知 ， 为正实数， 为自然对数的底数，则 的最大值为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，其面积为 ，已知 ，，，则
A.
B.
C.
D. 的外接圆的半径为2
10. 已知 是抛物线 的焦点，点 在 上，过点 且以 为圆心的圆与 的准线 相交， 为其中一个交点且 。设 与 轴的交点为 ，线段 与 轴的交点为 ，则
A.
B. 为等边三角形
C.
D. 四边形 的面积为
11. 如图，在圆台 中，上、下底面的半径分别为1和2，， 是圆台 的两条母线，且 ，。 为 的中点，则下列说法正确的是
A.
B. 圆台 的体积为
C. 直线 与平面 所成角的正弦值为
D. 三棱锥 外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设 为等比数列 的前 项积，若 ，则 。
13. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为 ，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，，，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为 。
14. 已知 为椭圆 的左焦点，过 且斜率为 的直线与 在第四象限相交于点 ，设 为坐标原点，若 为等腰三角形，则 的离心率为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知等差数列满足，。
（1）求的通项公式；
（2）设。求数列的前项和。
16.(15分)
近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表：
满意 不满意 合计
男性用户 400 400 800
女性用户 800 400 1200
合计 1200 800 2000
（1）根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？
（2）已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望。
附：，。
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
17.(15分)
如图，在梯形中，，，，点在上，，，将沿翻折，使点至点的位置，连接，，，其中。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值。
18.(17分)
已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为。
（1）求双曲线的方程；
（2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点。
（i）若点，均在的右支上，且的面积是面积的倍，求；
（ii）证明：不存在直线，使得。
19.(17分)
已知函数。
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时。
（i）证明：；
（ii）当时，，求实数的取值范围。
参考答案及解析
一、选择题
1.A【解析】. 故选A项.
2.D【解析】因为，，所以. 故选D项.
3.B【解析】由，得，又，则，所以. 故选B项.
4.A【解析】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 故选A项.
5.B【解析】由，得，即，所以，则. 故选B项.
6.D【解析】设直线与曲线相切于点，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，解得. 故选D项.
7.C【解析】由题意可知，解得，所以，将代入，得. 故选C项.
8.C【解析】因为，为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立. 设，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，当，即时，取得最大值为，则的最大值为. 故选C项.
二、选择题
9.AC【解析】由三角形的面积公式得，A项正确；由余弦定理得，所以，B项错误；由正弦定理得，C项正确；设的外接圆的半径为，所以，则，D项错误. 故选AC项.
10.BCD【解析】如图，因为的准线，所以，解得，A项错误；因为，所以根据抛物线的定义可知，又，所以，所以为等边三角形，B项正确；因为，且为的中点，所以为的中位线，则为的中点，又为等边三角形，所以平分，又，所以，C项正确；由A项知，不妨设点在第一象限，则直线的方程为，代入得，解得，，结合图形可知，所以，又，所以四边形的面积为，D项正确. 故选BCD项.
11.ABD【解析】延长，交于一点，因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，A项正确. 易求得圆台的高为，所以圆台的体积
7π，B项正确.作垂直，交的延长线于点，连接，因为，所以，又，所以，. 易知平面，所以点到平面的距离为，且为与平面所成角，连接，在中，，则，故，C项错误. 三棱锥的外接球，即为三棱锥的外接球，设其半径为，设的外接圆半径为，在中，由余弦定理得，即，由正弦定理得，解得，故，则该球的表面积，D项正确. 故选ABD项.
三、填空题
12.8 【解析】.
13. 【解析】设“选取苹果”，“选取香蕉”，“选取猕猴桃”，“选取的一个水果新鲜”，则，，，，，，根据全概率公式可知.
14. 【解析】由直线的斜率为，得，所以，因为为等腰三角形，点在第四象限，所以，又，所以由余弦定理得，则，如图，设的右焦点为，连接，则，，所以在中，由余弦定理得，则，由椭圆的定义可知，即，解得，故的离心率为.
定理得，则，如图，设的右焦点为，连接，
则，，所以在中，由余弦定理得，则，由椭圆的定义可知，即，解得，故的离心率为.
四、解答题
15. 解：（1）设等差数列的公差为，
由已知得
解得，，
故.
（2）由（1）可知，
所以.
16. 解：（1）零假设为：满意度与用户性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以满意度与用户性别有关.
（2）由题意知的可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为
（12分）
则.
（15分）
17.（1）证明：因为，，
所以四边形为平行四边形，
（1分）
又，所以四边形为矩形，
则，，即，，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
（3分）
因为，所以，
（4分）
由，，得，
又，，所以，
所以，
（6分）
又，，平面，
所以平面.
（7分）
（2）解：以为坐标原点，以，，所在直线分
别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
（8分）
设平面的法向量为，
则 取，则.
（10分）
设平面的法向量为，
则 取，则.
（13分）
所以，，
（14分）
故平面与平面夹角的正弦值为.（15分）
18.（1）解：由题意得的渐近线方程为，
由的渐近线方程为，得，
（1分）
又，所以，
（2分）
所以，
（3分）
故双曲线的方程为.
（4分）
（2）（i）解：由（1）可知，
由题意得，直线的斜率存在且不为，
（5分）
设直线的方程为，，，
联立 整理得，
（7分）
则，即，
，
，，①
（8分）
由，得，②
由①②得，
（10分）
故
.
（12分）
（ii）证明：当直线的斜率为时，，为的两顶点，
此时.
（13分）
当直线的斜率不为时，设直线的方程为
，，，
由（i）知，，
则
，
（14分）
因为
，
（15分）
所以与不垂直，即无论取何值，都有
成立.
（16分）
综上，不存在直线，使得.
（17分）
19.（1） 解： 当 时， ，
令 ， 解得 ， （2分）
令 ， 解得 ， （4分）
所以 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 . （5分）
（2）（i） 证明： 设 ，
则
， （6分）
因为 ， 所以 ，， 所以 ， （7分）
所以 ， （8分）
所以 在 内单调递增，
则 ， （9分）
故 . （10分）
（ii） 解： 当 时， 符合题意； （11分）
当 时， ，
令 ，
则 ， （12分）
令 ，
则 ，
令 ， 则 ，
当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减. （13分）
因为 ，，
，
所以存在 ， 使得 ，
当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减. （14分）
又 ，， 所以当 时， ， 所以 单调递增，
所以当 时， ， 则 . （15分）
当 时， 设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
此时 ，
故当 时， ， 则 . （16分）
综上， 实数 的取值范围为 . （17分）
数学科目
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.已知i为虚数单位，则=
A. -5i B..5i D.5
2.已知集合}，}，则=
A.{，..{.{}
3.已知向量，满足，，，则=
A.1 B.
C. D.2
4.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则=
A. B.
C. D.
5.已知奇函数的定义域为，且3为的一个周期，，则=
A. -4 B..2
D.4
6.若直线与曲线相切，则m的值为
A. -5 B..3 D.5
7.5G信号随传输距离的增加而变弱.传输距离 （单位：km）与5G信号 （单位：W）的关系为 ，其中 为发射器发出的5G初始信号， 为衰弱系数（常数）.已知某5G信号的传输距离为50 km时该信号减弱为5G初始信号的一半.若在某处测得的信号为5G初始信号的 ，则传输距离为
A.100 km B.150 km C.200 km D.250 km
8. 已知 ， 为正实数， 为自然对数的底数，则 的最大值为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，其面积为 ，已知 ，，，则
A.
B.
C.
D. 的外接圆的半径为2
10. 已知 是抛物线 的焦点，点 在 上，过点 且以 为圆心的圆与 的准线 相交， 为其中一个交点且 。设 与 轴的交点为 ，线段 与 轴的交点为 ，则
A.
B. 为等边三角形
C.
D. 四边形 的面积为
11. 如图，在圆台 中，上、下底面的半径分别为1和2，， 是圆台 的两条母线，且 ，。 为 的中点，则下列说法正确的是
A.
B. 圆台 的体积为
C. 直线 与平面 所成角的正弦值为
D. 三棱锥 外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设 为等比数列 的前 项积，若 ，则 。
13. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为 ，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，，，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为 。
14. 已知 为椭圆 的左焦点，过 且斜率为 的直线与 在第四象限相交于点 ，设 为坐标原点，若 为等腰三角形，则 的离心率为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知等差数列满足，。
（1）求的通项公式；
（2）设。求数列的前项和。
16.(15分)
近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表：
满意 不满意 合计
男性用户 400 400 800
女性用户 800 400 1200
合计 1200 800 2000
（1）根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？
（2）已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望。
附：，。
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
17.(15分)
如图，在梯形中，，，，点在上，，，将沿翻折，使点至点的位置，连接，，，其中。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值。
18.(17分)
已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为。
（1）求双曲线的方程；
（2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点。
（i）若点，均在的右支上，且的面积是面积的倍，求；
（ii）证明：不存在直线，使得。
19.(17分)
已知函数。
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时。
（i）证明：；
（ii）当时，，求实数的取值范围。
参考答案及解析
一、选择题
1.A【解析】. 故选A项.
2.D【解析】因为，，所以. 故选D项.
3.B【解析】由，得，又，则，所以. 故选B项.
4.A【解析】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 故选A项.
5.B【解析】由，得，即，所以，则. 故选B项.
6.D【解析】设直线与曲线相切于点，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，解得. 故选D项.
7.C【解析】由题意可知，解得，所以，将代入，得. 故选C项.
8.C【解析】因为，为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立. 设，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，当，即时，取得最大值为，则的最大值为. 故选C项.
二、选择题
9.AC【解析】由三角形的面积公式得，A项正确；由余弦定理得，所以，B项错误；由正弦定理得，C项正确；设的外接圆的半径为，所以，则，D项错误. 故选AC项.
10.BCD【解析】如图，因为的准线，所以，解得，A项错误；因为，所以根据抛物线的定义可知，又，所以，所以为等边三角形，B项正确；因为，且为的中点，所以为的中位线，则为的中点，又为等边三角形，所以平分，又，所以，C项正确；由A项知，不妨设点在第一象限，则直线的方程为，代入得，解得，，结合图形可知，所以，又，所以四边形的面积为，D项正确. 故选BCD项.
11.ABD【解析】延长，交于一点，因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，A项正确. 易求得圆台的高为，所以圆台的体积
7π，B项正确.作垂直，交的延长线于点，连接，因为，所以，又，所以，. 易知平面，所以点到平面的距离为，且为与平面所成角，连接，在中，，则，故，C项错误. 三棱锥的外接球，即为三棱锥的外接球，设其半径为，设的外接圆半径为，在中，由余弦定理得，即，由正弦定理得，解得，故，则该球的表面积，D项正确. 故选ABD项.
三、填空题
12.8 【解析】.
13. 【解析】设“选取苹果”，“选取香蕉”，“选取猕猴桃”，“选取的一个水果新鲜”，则，，，，，，根据全概率公式可知.
14. 【解析】由直线的斜率为，得，所以，因为为等腰三角形，点在第四象限，所以，又，所以由余弦定理得，则，如图，设的右焦点为，连接，则，，所以在中，由余弦定理得，则，由椭圆的定义可知，即，解得，故的离心率为.
定理得，则，如图，设的右焦点为，连接，
则，，所以在中，由余弦定理得，则，由椭圆的定义可知，即，解得，故的离心率为.
四、解答题
15. 解：（1）设等差数列的公差为，
由已知得
解得，，
故.
（2）由（1）可知，
所以.
16. 解：（1）零假设为：满意度与用户性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以满意度与用户性别有关.
（2）由题意知的可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为
（12分）
则.
（15分）
17.（1）证明：因为，，
所以四边形为平行四边形，
（1分）
又，所以四边形为矩形，
则，，即，，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
（3分）
因为，所以，
（4分）
由，，得，
又，，所以，
所以，
（6分）
又，，平面，
所以平面.
（7分）
（2）解：以为坐标原点，以，，所在直线分
别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
（8分）
设平面的法向量为，
则 取，则.
（10分）
设平面的法向量为，
则 取，则.
（13分）
所以，，
（14分）
故平面与平面夹角的正弦值为.（15分）
18.（1）解：由题意得的渐近线方程为，
由的渐近线方程为，得，
（1分）
又，所以，
（2分）
所以，
（3分）
故双曲线的方程为.
（4分）
（2）（i）解：由（1）可知，
由题意得，直线的斜率存在且不为，
（5分）
设直线的方程为，，，
联立 整理得，
（7分）
则，即，
，
，，①
（8分）
由，得，②
由①②得，
（10分）
故
.
（12分）
（ii）证明：当直线的斜率为时，，为的两顶点，
此时.
（13分）
当直线的斜率不为时，设直线的方程为
，，，
由（i）知，，
则
，
（14分）
因为
，
（15分）
所以与不垂直，即无论取何值，都有
成立.
（16分）
综上，不存在直线，使得.
（17分）
19.（1） 解： 当 时， ，
令 ， 解得 ， （2分）
令 ， 解得 ， （4分）
所以 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 . （5分）
（2）（i） 证明： 设 ，
则
， （6分）
因为 ， 所以 ，， 所以 ， （7分）
所以 ， （8分）
所以 在 内单调递增，
则 ， （9分）
故 . （10分）
（ii） 解： 当 时， 符合题意； （11分）
当 时， ，
令 ，
则 ， （12分）
令 ，
则 ，
令 ， 则 ，
当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减. （13分）
因为 ，，
，
所以存在 ， 使得 ，
当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减. （14分）
又 ，， 所以当 时， ， 所以 单调递增，
所以当 时， ， 则 . （15分）
当 时， 设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
此时 ，
故当 时， ， 则 . （16分）
综上， 实数 的取值范围为 . （17分）
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