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【决战期末·50道解答题专练】浙教版数学八年级上册期末总复习
1．一张折叠凳的结构如图所示，∠1=∠2，∠3=100°。求∠1的度数。
2．如图：已知∠B=40°，∠C=59°，∠DEC=47°求∠F的度数。
3．在平面直角坐标系中，已知点
（1）若轴且，求的值；
（2）若点在第一、三象限的角平分线上，求的值．
4．在数轴上表示下列不等式．
（1）0（2）x≤3且x≠0．
5．某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品，为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级.其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（kg）的函数关系如图所示.已知投放纸张超过10 kg后，奖励积分为25分/kg.
（1） 求投放8 kg塑料的奖励积分.
（2） 求a的值.
（3） 若投放m kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求m的值.
6． 在中，
（1）如图①所示，如果，和的平分线相交于点P，那么 ；
（2）如图②所示，和的平分线相交于点P，试说明；
（3）如图③所示，和的平分线相交于点P，猜想与的关系，直接写出答案，不用证明．
7．已知一次函数y=kx+4的图象过点(-1，7).
（1）求k的值，并画出该函数的图象.
（2）判断点(a，-3a+4)是否在该函数的图象上，并说明理由.
8．已知点P（2a-3，a+6），解答下列各题.
（1）点P在轴上，求出点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求a2003+2024的值.
9．宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：
（1）西宁与西安相距__________千米，两车出发后__________小时相遇；
（2）普通列车到达终点共需__________小时，它的速度是__________千米/小时；
（3）求动车的速度？
10．为了体验大学校园文化，小锋利用周末骑电动车从家出发去西安交通大学，当他骑了一段路时，想起要帮在该校读书的姐姐买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往西安交通大学，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小锋家距离西安交通大学______米，他在新华书店停留了______分钟；
（2）本次去西安交通大学的途中，小锋一共行驶了______米；
（3）小峰在前分骑车的平均速度是多少？买到书后，小锋从新华书店到西安交通大学骑车的平均速度是多少？
11．为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍。并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．
（1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
（2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？
12．如图，，，，与交于O．
（1）求证：．
（2）若，求的度数（用含x的代数式表示）．
13．如图，某两名同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝的同学的头顶与风筝的水平距离为.已知牵线放风筝的同学的身高为，放出的风筝线长度为（其中风筝本身的长宽忽略不计）.
（1）求此刻风筝离地面的高度；
（2）为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？
14．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知米，米，求两个排污口之间的水平距离．
15．在等腰中，，边上的中线把的周长分为和两部分．
（1）求和的长；
（2）若，且点到边的距离为，求点到边的距离．
16．对m．n定义一种新运算“※”，规定：m※n=am-bn+5（a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如3※4=3a-4b+5．已知2※3=1，3※（-1）=10．
（1）求a．b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
17．如图所示，在平面直角坐标系中，AB∥y轴，点M（3a-9，1+a）．
（1）当点在轴上时，______；若在直线上时，则点坐标是（______，______）
（2）若点到两坐标轴的距离相等，试求点坐标
（3）若点M在第二象限，试求a的取值范围，并写出所有符合条件的整数点．
18．2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元．
甲（万美元/台） 乙（万美元/台）
A型医疗器材 0.7 1
B型医疗器材 0.8 0.9
（1）求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台．
（2）现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元．
19．如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．如图，平分，且，则是怎样的特殊三角形，并说明理由，
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸再”.又到了放风筝的最佳时节.某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风箏的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风箏线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米.
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
22．已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？
23．大明湖上赛龙舟是泉城济南独有的端午民俗文化盛会.2024年6月16日，第二十三届明湖龙舟邀请赛隆重开幕，来自省内外的十余只参赛队伍展开激烈竞逐．若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（）之间满足的关系如图所示，根据图象信息，回答问题：
（1）甲队划行的速度为________米/分；当时，乙队划行的速度为________米/分；
（2）当________分钟时，甲、乙两队划行途中相遇；
（3）当划行多少分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米？
24．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
25．暑假期间小华从家出发乘地铁到昆明市图书馆看书，看完书后乘公交车回家，所用的时间与离家距离的关系．如图1，乘车、看书时间情况如图2．
（1）根据两幅图中的信息，把图2的信息补充完整．
（2）如果小明中午到家，他______时_______分离开图书馆．
26． 在直角坐标系中，已知一次函数的图象过M(3，2)，N(-1，-6)两点。
（1）求这个函数的表达式。
（2）画出这个函数的图象。
（3）试判断点P(2a，4a-4)是否在这个函数的图象上，并说明理由。
27．解不等式8(1-x)≤5(4-x)+1，把解表示在数轴上，并求满足不等式的最小整数解.
28．近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元．该公司以8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同．
（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元．
（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少于《希望的田野》集数的．完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，应该如何制作这两部文艺作品？
29．如图，中，是边上的高线，是的角平分线，与交于F，已知．求与的度数．
30．甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲、乙两人相距（米），甲行走的时间为（分），关于的函数图象的一部分如图所示.
（1）求甲行走的速度.
（2）在坐标系中，补画关于的函数图象的其余部分，并写出已画图象另一个端点的坐标.
（3）问甲、乙两人何时相距390米？
31．解不等式2（x-1）≥x-5，并把解集表示在数轴上．
32．如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
33．为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客.门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下(含m人)的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票.设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1(元)，节假日购票款为y2(元).y1与y2之间的函数图象如图所示.
（1）观察图象可知：
（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（3）某旅行社导游于5月1日带A团，5月20日(非节假日)带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A、B两个团队合计50人，求A、B两个团队各有多少人
34． 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本； 如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本. 这些书有多少本 共有多少名同学
35．已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求a的取值范围．
36．解不等式+1，并把解集在数轴上表示出来。
37． 如图①，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为FA、PB、PC，若有，则称点P为关于点C的勾股点.
（1） 如图②，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则，，，，这五个点中是关于点A的勾股点的有 (填“，，，，”)；
（2） 如图③，为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP为直角边作等腰直角(点A、P、D顺时针排列)，，连接DC，DB，求证：点P为关于点D的勾股点.
38．若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．
39．某商场文具部出售某种毛笔每支25元，书法练习本每本5元.为了促销，该商场制定了两种优惠方案.方案一：买一支毛笔就赠送一本练习本；方案二：按购买金额打九折销售.某校书法兴趣小组计划购买这种毛笔10支，书法练习本本.
（1）若按方案一购买，则需要 元；若按方案二购买，需要 元.（用含的代数式表示）
（2）购买多少本书法练习本时，按方案二付款更省钱？
40．等腰三角形的周长是16，求出底边长y与一腰长x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围？
41．如图，已知AC、BD相交于点O，AD＝BC，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，BE＝DF．求证：
（1）△ADE≌△CBF；
（2）OA＝OC．
42．如图所示的是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理.
（2）假设图中的直角三角形有若干个，你能运用图中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗 请画出拼后的示意图(不需要证明).
43． 如图， 在 中， 射线AD，AE的夹角为 过点B作 BF⊥AD于点 F， 直线BF交AE于点G， 连接CG.
（1）如图1， 射线AD， AE都在 的内部.
①设 则 ∠CAG= (用含有α的式子表示)；
②作点B关于直线AD 的对称点 则线段 与图1 中已有线段 的长度相等；
（2）如图2，射线AE在 的内部，射线AD在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段 BF，BG，CG之间的数量关系，并证明.
44．如图，O是内一点，，，．
（1）已知，为等边三角形．
①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：______°，可得结论：；
②如图2，若点C在边上，在①补充的条件下，结论是否仍成立？并说明理由；
（2）如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论仍然成立，并说明理由．
45．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若P为BC上的中点，求证：；
（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
46．如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于D点，E，F分别是 ， 上的动点，求 的最小值．
47．如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线AB交于点．
（1）求的值并直接写出正比例函数的解析式；
（2）如图②，点在线段OC上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段CB于点，点的横坐标为4．若是直线OC上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标．
48．如图，在直角△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，点F为直线AD上任意一点，过点A作直线AC⊥BF，垂足为点E，直线AC交直线BD于点C．过点F作FG∥BD，交直线AB于点G．
（1）如图1，点F在边AD上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是 ；
（2）如图2，点F在边AD的延长线上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是 ，证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，若DF=6，GF=10，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M，N两点，当FM=2时，求线段NG的长．
49．如图，在等腰中，，D，E分别为边，上的点，且．连接，，点P为的中点，连接．
（1）如图①，当时，求证：；
（2）如图②，若，请你探究线段与线段之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明．
50．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为．
（1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
（2）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值．
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【决战期末·50道解答题专练】浙教版数学八年级上册期末总复习
1．一张折叠凳的结构如图所示，∠1=∠2，∠3=100°。求∠1的度数。
【答案】解：∵
∴
【解析】【分析】利用三角形外角定理即可求。
2．如图：已知∠B=40°，∠C=59°，∠DEC=47°求∠F的度数。
【答案】解：可求∠FDC=74°后求∠F=34°
【解析】【分析】由 ∠B=40°，∠C=59° ，可得：∠FAE的度数，由 ∠DEC=47° ，可知：∠AEF的度数，根据三角形内角和定理，即可求出答案.
3．在平面直角坐标系中，已知点
（1）若轴且，求的值；
（2）若点在第一、三象限的角平分线上，求的值．
【答案】（1）解：∵且，，∴，
∴；
（2）解：∵点在第一、三象限的角平分线上，∴，
∴．
【解析】【分析】（）根据平行于x轴点的坐标的特点，结合，得到，求得m的值，即可得到答案；
（）根据在一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等，得到，求得m的值，即可得到答案.
（1）∵且，，
∴，
∴；
（2）∵点在第一、三象限的角平分线上，
∴，
∴．
4．在数轴上表示下列不等式．
（1）0（2）x≤3且x≠0．
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】在数轴上表示解集是要注意，大于向右，小于向左，大于等于（或小于等于）用实心，大于（或小于）用空心.
5．某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品，为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级.其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（kg）的函数关系如图所示.已知投放纸张超过10 kg后，奖励积分为25分/kg.
（1） 求投放8 kg塑料的奖励积分.
（2） 求a的值.
（3） 若投放m kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求m的值.
【答案】（1）解：投放塑料超过5kg后，奖励积分为(300-100)÷(10-5)=40(分/kg)，
100+40×(8--5)=220(分)。
答：投放8kg塑料的奖励积分为220分
（2）解：，
解得a=18
（3）解：①当时，，无解；
②当时，，
解得；
③当时，，
解得 ；
综上，或
【解析】【分析】(1)求出投放塑料超过5kg后每千克的奖励积分，从而计算投放8kg塑料的奖励积分即可；
(2)根据题意列关于a的方程并求解即可；
(3)按照m不同的取值范围，根据题意列关于m的方程并求解即可.
6． 在中，
（1）如图①所示，如果，和的平分线相交于点P，那么 ；
（2）如图②所示，和的平分线相交于点P，试说明；
（3）如图③所示，和的平分线相交于点P，猜想与的关系，直接写出答案，不用证明．
【答案】（1）
（2）解：∵BP是的角平分线，（6分）
∴．
又∵CP是的平分线，∴．
∵，，
∴．
（3）
【解析】【解答】解：解：(1)如图，
∵BP、CP分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∵∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，
∴∠A=180°-2(∠1+∠2)，
∴∠A=180°-2(180°-∠BPC)，
∴∠A=-180°+2∠BPC，
∴2∠BPC=180°+∠A，
∴∠BPC=90°+∠A=90°+×60°=120°.
故答案为：120°.
(3) .
理由：如图，
∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴∠3=∠CBD， ∠4=∠BCE，
∴∠3+∠4=∠CBD+∠BCE
=(∠CBD+∠BCE)
=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)
=(180°+∠A)，
∵∠BPC=180°-(∠3+∠4)
=180°-(180°+∠A)
=90°-∠A .
【分析】(1)利用角平分线的定义可得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形的内角和定理计算可求解；
(2)根据角平分线的定义可得∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，再利用三角形外角的性质进行证明；
(3)根据角平分线的定义可得∠3=∠CBD，∠4=∠BCE，再利用三角形的内角和定理及其推论和三角形的外角的性质进行证明.
7．已知一次函数y=kx+4的图象过点(-1，7).
（1）求k的值，并画出该函数的图象.
（2）判断点(a，-3a+4)是否在该函数的图象上，并说明理由.
【答案】（1）解：∵一次函数y=kx+4的图象过点(-1，7)，
∴7=-k+4，解得k=-3．
∴ 一次函数为y=-3x+4.
取x=0，则y=4，描出（0，4），（-1，7），并用直线连结，画了图象如图．
（2）解：把x=a代入y=-3x+4，得y=-3a+4，所以点（a，-3a+4）在该函数的图象上．
【解析】【分析】（1）将点（-1，7)代入一次函数解析式中，求出k的值，再取一次函数的图象上两点，画出函数图象；
（2）将点（a，-3a+4）代入函数解析式中，看是否能使等号成立，就可判断点是否在函数图象上.
8．已知点P（2a-3，a+6），解答下列各题.
（1）点P在轴上，求出点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求a2003+2024的值.
【答案】（1）解：∵点P（2a﹣3，a+6）在x轴上，
∴a+6＝0，
解得：a＝﹣6，
∴2a﹣3＝2×（﹣6）﹣3＝﹣15，
∴点P的坐标（﹣15，0）；
（2）解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴3﹣2a＝a+6，
解得：a＝﹣1，
∴a2023+2024＝（﹣1）2023+2024＝﹣1+2024＝2023．
【解析】【分析】（1）点在x轴上，该点的纵坐标为0，据此可求出P点坐标；
（2）由条件可知，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，又该点到轴、轴的距离相等，则，化简得3﹣2a＝a+6 ，解得a=-1，最后带入式子求出最后结果。
9．宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：
（1）西宁与西安相距__________千米，两车出发后__________小时相遇；
（2）普通列车到达终点共需__________小时，它的速度是__________千米/小时；
（3）求动车的速度？
【答案】（1）1260，3
（2）14，90
（3）（千米/小时）
即动车的速度为330千米/小时．
【解析】【解析】（1）解：由图象可知：西宁与西安相距1260千米，两车出发3小时相遇；
故答案为：1260，3；
（2）由图象可知，普通列车到达终点共需14小时，
普通列车的速度为：千米/小时；
故答案为：14，90；
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从图象中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）由图像可知，初始动车与普通列车的距离为1260，所以两地相聚1260km；3小时后两车距离为0，所以3小时后两车相遇；
（2）由图像可知，普通列车到达终点需要14个小时，所以速度为千米/小时；
（3）根据两车3小时相遇，所以两车的速度和为（千米/小时），再减去普通列车的速度，则动车的速度为330千米/小时．
（1）解：由图象可知：西宁与西安相距1260千米，两车出发3小时相遇；
故答案为：1260，3；
（2）由图象可知，普通列车到达终点共需14小时，
普通列车的速度为：千米/小时；
故答案为：14，90；
（3）（千米/小时）
即动车的速度为330千米/小时．
10．为了体验大学校园文化，小锋利用周末骑电动车从家出发去西安交通大学，当他骑了一段路时，想起要帮在该校读书的姐姐买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往西安交通大学，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小锋家距离西安交通大学______米，他在新华书店停留了______分钟；
（2）本次去西安交通大学的途中，小锋一共行驶了______米；
（3）小峰在前分骑车的平均速度是多少？买到书后，小锋从新华书店到西安交通大学骑车的平均速度是多少？
【答案】（1），
（2）
（3）解：由图象可知，小峰在前分行驶的路程为米，∴小峰在前分骑车的平均速度为：米/分；
买到书后，小锋从新华书店到西安交通大学行驶的路程为：米，所用的时间为：分钟，
∴从新华书店到西安交通大学的平均速度为：（米/分），
∴小锋从新华书店到西安交通大学骑车的平均速度是米/分．
【解析】【解答】解：（1）根据图象可知，小锋家距离西安交通大学米；
观察图像可知，当第分钟时，路程保持不变，
∴（分钟），
∴小锋在新华书店停留了分钟．
（2）由图象可知：本次去西安交通大学的途中，小锋一共行驶的路程为：（米）．
【分析】（1）根据函数图象中纵轴可得到小锋家到西安交通大学的距离，第分钟的路程没变，可得到他在新华书店停留的时间；
（2）根据函数图象可知，本次去西安交通大学的途中小锋一共行驶的路程和；
（3）根据小峰在前分的距离与所用的时间可求出小峰在前分的的平均速度，再根据买到书后，小锋从新华书店到西安交通大学的距离与所用的时间可求出小峰骑车的平均速度．
11．为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍。并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．
（1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
（2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？
【答案】（1）解：设《西游记》的单价是元，则《朝花夕拾》的单价是元，依题意得：
解得：
经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
（元），
答：《西游记》的单价是10元，《朝花夕拾》的单价是14元；
（2）解：设订购《朝花夕拾》本，则订购《西游记》（100-m）本，设总费用为元，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
.
，
，随的增大而增大，
当时，（元），
此时（本），
答：订购《朝花夕拾》30本，订购《西游记》70本时，总费用最低，为1120元．
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系： 《朝花夕拾》的单价=《西游记》的单价×1.4， 购进《朝花夕拾》的数量=购进《西游记》的数量+300，设《西游记》的单价为x元，根据等量关系列方程，求解即可.
（2）根据题意可得： 购进《朝花夕拾》的数量+购进《西游记》的数量=100，购进《朝花夕拾》的数量≥30， 购进《朝花夕拾》的费用=购进《西游记》的费用≤1200，设订购《朝花夕拾》本，根据题意列不等式方程，求出m的取值范围，然后表示出W，根据W的增减性求解即可.
12．如图，，，，与交于O．
（1）求证：．
（2）若，求的度数（用含x的代数式表示）．
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等量加等量和相等推出AF=BE，从而由“HL”证明Rt△AFD≌Rt△BEC，由全等三角形的对应边相等得出DF=CE；
（2）由全等三角形的对应角相等和三角形的内角和定理可得，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠C的度数.
（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
13．如图，某两名同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝的同学的头顶与风筝的水平距离为.已知牵线放风筝的同学的身高为，放出的风筝线长度为（其中风筝本身的长宽忽略不计）.
（1）求此刻风筝离地面的高度；
（2）为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？
【答案】（1）解：由题意，得， ，，.在中，由勾股定理，得，所以，
所以此刻风筝离地面的高度为.
（2）解：如图，设风筝沿方向下降至点，此时风筝线为，则，所以，所以.所以，所以放风筝的同学要使风筝沿方向下降，若该同学站在原地收线，他应收回.
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论.
14．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知米，米，求两个排污口之间的水平距离．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理，全等三角形判断定理及性质即可求出答案 .
15．在等腰中，，边上的中线把的周长分为和两部分．
（1）求和的长；
（2）若，且点到边的距离为，求点到边的距离．
【答案】（1）解：是边上的中线，，
，
当时，
，
解得，
底边，
，，能构成三角形，
的长为，的长为
当，
，
解得，
底边，
，，能构成三角形，
的长为，的长为
即的长为，的长为；或者的长为，的长为
（2）解：，
，，
是边上的中线，
，
设点到边的距离为，
点到边的距离为，
，
即，
解得，
点到边的距离是.
【解析】【分析】（1）分类讨论：①当时，求出，再求出即可；②当时，求出，再求出即可，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（2）设点到边的距离为，再根据，可得，再求出即可.
16．对m．n定义一种新运算“※”，规定：m※n=am-bn+5（a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如3※4=3a-4b+5．已知2※3=1，3※（-1）=10．
（1）求a．b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
【答案】（1）解：，，
，
解得：，；
（2）解：，且，，
，
，
即，
解得：，
关于的不等式组，有且只有一个整数解，
，
解得：，
即字母的取值范围是.
【解析】【分析】（1）根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于的不等式组，求出解集即可．
17．如图所示，在平面直角坐标系中，AB∥y轴，点M（3a-9，1+a）．
（1）当点在轴上时，______；若在直线上时，则点坐标是（______，______）
（2）若点到两坐标轴的距离相等，试求点坐标
（3）若点M在第二象限，试求a的取值范围，并写出所有符合条件的整数点．
【答案】（1）-1；3，5
（2）解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴|3a-9|=|1+a|
∴或，
解得：或，
∴或，
即或；
（3）解：∵点在第二象限，
∴，
解得：，
∴当为整数时，为整数点，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，或或．
【解析】【解答】（1）解：点，
∵当点在轴上时，
∴，
解得：；
若M在直线AB上时，∵直线AB经过点(3，0)且AB∥y轴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；，；
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0，得出的值；根据与y轴平行直线上所有点的横坐标相同，且直线AB过点（3，0），求得的值，进而得出M的坐标；
（2）根据一个点到x轴距离等于其纵坐标绝对值，到y轴距离等于其横坐标绝对值，从而结合题意列出方程|3a-9|=|1+a|，解方程即可求解；
（3）根据第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，列出不等式组，求得不等式组的整数解，即可求解．
18．2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元．
甲（万美元/台） 乙（万美元/台）
A型医疗器材 0.7 1
B型医疗器材 0.8 0.9
（1）求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台．
（2）现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元．
【答案】（1）解：设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，
根据题意得：，
解得：，
答：该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材．
（2）解：依题意得，运往甲仓库的B型医疗器材为台，运往乙仓库的A型为台，运往乙仓库的B型为x台，
∴，
整理得：，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y有最小值，最小值为，
答：y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元．
【解析】【分析】（1）设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，根据“ 公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元 ”列出方程组求解即可；
（2）利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，根据题意得：
，
解得：，
答：该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材．
（2）依题意得，运往甲仓库的B型医疗器材为台，运往乙仓库的A型为台，运往乙仓库的B型为x台，
∴，
整理得：，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y有最小值，最小值为，
答：y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元．
19．如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
在和中
，
，即；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得∠BAE，再根据全等三角形性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
20．如图，平分，且，则是怎样的特殊三角形，并说明理由，
【答案】解：是等腰三角形，
理由如下：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，再利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得，从而得证.
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸再”.又到了放风筝的最佳时节.某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风箏的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风箏线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米.
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
∴（负值舍去），
∴（米），
风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米.
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出CD的长，利用CE=CD+DE进行计算即可；
（2）由勾股定理求出BM的长，利用CB-BM进行计算即可.
22．已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？
【答案】（1）解：由是一次函数得，
解得．
故当时，是一次函数；
（2）解：由（1）可知．
当时，，解得．
故当时，y的值为3．
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义，明确一次函数中自变量的次数为1且一次项系数不为0这两个条件，建立关于m的方程和不等式来求解m的值；
（2）先根据（1）中求得的m值确定一次函数的具体表达式，再将y的值代入函数表达式，通过解方程求出对应的x值。
23．大明湖上赛龙舟是泉城济南独有的端午民俗文化盛会.2024年6月16日，第二十三届明湖龙舟邀请赛隆重开幕，来自省内外的十余只参赛队伍展开激烈竞逐．若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（）之间满足的关系如图所示，根据图象信息，回答问题：
（1）甲队划行的速度为________米/分；当时，乙队划行的速度为________米/分；
（2）当________分钟时，甲、乙两队划行途中相遇；
（3）当划行多少分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米？
【答案】（1）200；100
（2）4
（3）解：根据甲、乙的函数图象可知，
当，乙比甲快，在时，两者划行的路程相差最大为，
在存在一个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为，
则，
解得，符合题意；
当，由于在时，两者划行的路程相差为200米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在时，两者划行的路程相差为，
在存在两个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为，
则或
解得或，符合题意；
综上所述，即当，3或5分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米．
【解析】【解答】（1）解：由图象可知，甲队划行的速度为：（米分）；
当时，乙队划行的速度为：（米分）；
故答案为：200；100.
（2）解：设时间为时，甲、乙两队划行的路程相等，
由图象可知，在2分钟后，即划行600米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等，
，
解得，
即分钟时，甲、乙两队划行的路程相等；
故答案为：4.
【分析】（1）根据函数图象中的数据并利用“速度、时间和路程”的关系分析求解即可；（2）设时间为时，甲、乙两队划行的路程相等，列出方程，再求解即可；
（3）分类讨论：①当，乙比甲快，② 当， 再分别列出方程求解即可.
24．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△BCE和△CAD中，
∵∠BEC＝∠CDA＝90°，∠BCE＝∠DAC，AC＝BC，
∴△BEC≌△CDA（AAS），
∴BE＝CD，
∴BE＝CD＝CE﹣ED＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．
【解析】【分析】先利用角的运算求出∠BCE＝∠DAC，再利用“AAS”证出△BEC≌△CDA，可得BE=CD，再利用线段的和差及等量代换求出BE的长即可.
25．暑假期间小华从家出发乘地铁到昆明市图书馆看书，看完书后乘公交车回家，所用的时间与离家距离的关系．如图1，乘车、看书时间情况如图2．
（1）根据两幅图中的信息，把图2的信息补充完整．
（2）如果小明中午到家，他______时_______分离开图书馆．
【答案】（1）解：由图象可得：乘地铁的时间为分钟，到昆明市图书馆看书的时间为分钟；
∵乘地铁的时间占比，
∴总时间为：分钟，
∴乘公交车回家的时间为分钟；
∴乘公交的时间百分比为，看书的时间百分比为，
补全图形如下：
；
（2），
【解析】【解答】（2）解：小明中午到家，总时间为分钟，从图书馆回家用时分钟，
∴他11时15分离开图书馆．
【分析】（1）由函数图象分别求解乘地铁的时间为分钟，到昆明市图书馆看书的时间为分钟；乘公交车回家的时间为分钟；再进一步解答即可求出答案.
（2）由从图书馆回家用时分钟即可求出答案.
（1）解：由图象可得：乘地铁的时间为分钟，到昆明市图书馆看书的时间为分钟；
∵乘地铁的时间占比，
∴总时间为：分钟，
∴乘公交车回家的时间为分钟；
∴乘公交的时间百分比为，看书的时间百分比为，
补全图形如下：
；
（2）解：小明中午到家，总时间为分钟，从图书馆回家用时分钟，
∴他11时15分离开图书馆．
26． 在直角坐标系中，已知一次函数的图象过M(3，2)，N(-1，-6)两点。
（1）求这个函数的表达式。
（2）画出这个函数的图象。
（3）试判断点P(2a，4a-4)是否在这个函数的图象上，并说明理由。
【答案】（1）解：设函数的表达式为y= kx+b， 将M(3，2)，N(-1，-6)代入表达式
可得：
解得
即y=2x﹣4
（2）解：函数图象如下：
（3）解：在函数的图象上，理由如下：当x=2a时，y=2a-4，
即点P(2a，2a﹣4)在函数图象上
【解析】【分析】(1)设函数的表达式为y= kx+b， 将M(3，2)， N(-1，-6)代入表达式求解即可；
(2)先画直角坐标系， 标出M(3，2)， N(-1，-6)两点，最后画出图象即可；
(3)将点P(2a，4a﹣4)代入直线解析式， 查看是否成立即可.
27．解不等式8(1-x)≤5(4-x)+1，把解表示在数轴上，并求满足不等式的最小整数解.
【答案】解：8(1-x)≤5(4-x)+1
数轴表示如图．
满足不等式的最小整数解是-4．
【解析】【分析】解不等式，再数轴上表示不等式的解，结合不等式求出满足不等式的最小整数解.
28．近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元．该公司以8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同．
（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元．
（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少于《希望的田野》集数的．完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，应该如何制作这两部文艺作品？
【答案】（1）解：设制作《希望的田野》每集成本万元，
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．.
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：制作《希望的田野》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为万元，
则．
，
随的增大而增大．
又，
当时，取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
【解析】【分析】（1）设每集成本为x，依据两部作品集数相等的关系列分式方程，求解并检验得出每集成本，为后续收益问题奠定基础；
（2）设拍摄集数为m，根据集数限制条件列不等式求m范围，再比较两部作品单集收益，得出多制作收益高的作品可使总收益最大 。
29．如图，中，是边上的高线，是的角平分线，与交于F，已知．求与的度数．
【答案】解：∵是边上的高线，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
【解析】【分析】本题考查三角形中与角平分线、高线相关的角度计算问题，涉及等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及外角定理的应用.解题时需依据高线定义得到直角条件，利用等腰三角形性质得出底角相等，再结合角平分线条件将已知角与目标角建立联系，最后综合运用内角和与外角定理进行角度计算.
30．甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲、乙两人相距（米），甲行走的时间为（分），关于的函数图象的一部分如图所示.
（1）求甲行走的速度.
（2）在坐标系中，补画关于的函数图象的其余部分，并写出已画图象另一个端点的坐标.
（3）问甲、乙两人何时相距390米？
【答案】（1）解：由题意可得，
甲行走的速度是（米/分钟）
（2）解：甲到达图书馆用的时间为（分钟），
乙到达图书馆用的时间为（分钟），
乙追上甲用的时间为（分钟），
关于的函数图象的其余部分如下图所示，
已画图象另一个端点的坐标是.
（3）解：当时，设这段线段对应的函数表达式为，
解得
当时，这段线段对应的函数表达式为-250，
令，解得；
当时，设这段线段对应的函数表达式为，解得，
当时，这段线段对应的函数表达式为.
令，解得，
由上可得，甲行走32分钟或37分钟时，甲、乙两人相距390米.
【解析】【分析】(1)根据公式："时间=路程÷速度"再结合图像即可求出甲行走的速度.
(2)根据："时间=路程÷速度"这一公式先分别求出甲，乙到达图书馆所用的时间，然后求出乙追上甲所用的时间，根据以上信息补画关于的函数图象的其余部分，并写出已画图象另一个端点的坐标即可.
(3)分两种情况解决甲、乙两人何时相距390米这一问题，①当时，设这段线段对应的函数表达式为，联立方程组求出a，b的值，进而求出t的值②当时，设这段线段对应的函数表达式为，联立方程组求出c，d的值，进而求出t的值即可.
31．解不等式2（x-1）≥x-5，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：2（x-1）≥x-5，
去括号得：2x-2，
移项得：2x-x≥-5+2，
合并同类项得：x≥-3，
∴不等式解集为x≥-3．
解集在数轴上表示为：
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
32．如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠1+∠C=90°，把已知条件代入等式可求得∠1、∠C和∠2的度数，在直角三角形ABD中，用三角形的内角和等于180°计算即可求得∠B的度数.
33．为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客.门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下(含m人)的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票.设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1(元)，节假日购票款为y2(元).y1与y2之间的函数图象如图所示.
（1）观察图象可知：
（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（3）某旅行社导游于5月1日带A团，5月20日(非节假日)带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A、B两个团队合计50人，求A、B两个团队各有多少人
【答案】（1）解：由y1可得：当x=10时，元
未打折之前购票款为：50×10=500元
∴，即a=6
由y2可得：x=10时，y2=500元，未打折，即m=10
当x=20时，y2=900元，超出10人的购票款为：900-500=400元
∴，即b=8
综上所述，a=6，b=8，m=10
（2）y1=30x，
（3）解：设A团有n人，则B团有(50－n)人
当0≤n≤10时
50n+30(50－n)=1900，解得：n=20，不符合题意
当n>10时，
40n+100+30(50－n)=1900，解得：n=30，
则A团有30人，B团有50－30=20人
【解析】【解答】解：（2）设y1=kx，由图可得：
当x=10时，，代入可得：300=10x
解得：x=30
∴y1与x之间的函数关系式为：y1=30x
当0≤x≤10时，设y2=k1x
当x=10时，y2=500，代入可得：500=10x
解得：x=50
∴y2=50x
当x＞10时，设
将点（10，500），（20，900）代入可得：
，解得：
∴
综上所述，
故答案为：y1=30x，
【分析】（1）根据图象，结合实际票价与原票价即可求出答案.
（2）设y1=kx，根据待定系数法将x=10，代入解析式即可求出答案；y2分情况讨论：当0≤x≤10时，设y2=k1x，根据待定系数法将x=10，y2=500代入即可；当x＞10时，设，再根据待定系数法将点（10，500），（20，900）代入即可求出答案.
（3）设A团有n人，则B团有(50－n)人，分情况讨论：当0≤n≤10时，当n>10时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
34． 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本； 如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本. 这些书有多少本 共有多少名同学
【答案】解：设一共有x名同学，那么共有(3x+8)本书，根据题意得
，解得：5因为x为正整数，所以x=6，3x+8=3×6+8=26，
答：一共有26本书，6名同学.
【解析】【分析】设一共有x名同学，那么共有(3x+8)本书，根据题意建立不等式组，解不等式组并取其中的正整数值即可.
35．已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求a的取值范围．
【答案】解：，
①②，得：，即，
将代入①，得：，
解得：，
方程组的解为，
方程组的解满足不等式，
，
解得：．
故的取值范围是
【解析】【分析】由题意先用加减消元法解二元一次方程组，将x、y用含a的代数式表示出来，然后根据方程组的解满足不等式可得关于的不等式，解不等式即可求解．
36．解不等式+1，并把解集在数轴上表示出来。
【答案】解：3（2x+1）≥4（x-1）+12，
6x+3≥4x-4+12
6x-4x≥-4+12-3
2x≥5
x≥2.5
【解析】【分析】利用不等式的性质求出 x≥2.5 ，再将解集在数轴上表示即可。
37． 如图①，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为FA、PB、PC，若有，则称点P为关于点C的勾股点.
（1） 如图②，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则，，，，这五个点中是关于点A的勾股点的有 (填“，，，，”)；
（2） 如图③，为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP为直角边作等腰直角(点A、P、D顺时针排列)，，连接DC，DB，求证：点P为关于点D的勾股点.
【答案】（1），
（2）证明：∵和为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∵
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点P为关于点D的勾股点.
【解析】【解答】
（1） 是关于点A的勾股点 ，理由如下：
∵P3A2=12+32=10， P3B2=12+22=5， P3C2= PB2=5
∴
∴ 是关于点A的勾股点；
是关于点A的勾股点 ，理由如下：
∵P5A2= 32+32=18，P5B2=12+42=17， P5C2=1，
∴
∴ 是关于点A的勾股点；
故答案为：，.
【分析】(1)根据定义分别利用勾股定理计算即可解答；
（2）利用等腰直角三角形的性质可得，，，，计算可得，从而可利用SAS判定；利用全等三角形的性质计算即可解答.
38．若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c分别为三边的长，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【解析】【分析】将已知等式变形为(b+c)(a-b)=0，则a=b，据此可得三角形的形状.
39．某商场文具部出售某种毛笔每支25元，书法练习本每本5元.为了促销，该商场制定了两种优惠方案.方案一：买一支毛笔就赠送一本练习本；方案二：按购买金额打九折销售.某校书法兴趣小组计划购买这种毛笔10支，书法练习本本.
（1）若按方案一购买，则需要 元；若按方案二购买，需要 元.（用含的代数式表示）
（2）购买多少本书法练习本时，按方案二付款更省钱？
【答案】（1）；
（2）解：依题意可得，，解得.
答：购买超过50本书法练习本时，按方案二付款更省钱.
【解析】【解答】解：（1）方案一：价钱=毛笔总价钱+(x- 10)本练习本总价钱，则购买需要；
方案二：价钱=(毛笔总价钱+书法练习本总价钱)×九折，则购买需要
.
【分析】（1）方案一购买金额=毛笔总价钱+(x- 10)本书法练习本总价钱；方案二购买金额=(毛笔总价钱+书法练习本总价钱)×0.9，据此列出代数式即可；
（2）令（1）中方案一所付的费用大于方案二所付的费用列出不等式，求解即可.
40．等腰三角形的周长是16，求出底边长y与一腰长x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围？
【答案】解：∵等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为16，
∴y=16﹣2x，
∵，
解得：4＜x＜8．
答：底边长y与一腰长x的函数关系式为：y=16﹣2x（4＜x＜8）．
【解析】【分析】根据三角形的周长公式和等腰三角形的性质可得函数解析式y=16﹣2x，再求出x的取值范围即可。
41．如图，已知AC、BD相交于点O，AD＝BC，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，BE＝DF．求证：
（1）△ADE≌△CBF；
（2）OA＝OC．
【答案】（1）证明：∵BE＝DF
∴BE+EF＝DF+EF
∴BF＝DE，且AD＝BC
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）
（2）证明：∵Rt△ADE≌Rt△CBF
∴AE＝CF，且∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OA＝OC
【解析】【分析】(1)根据BE=DF可得BF=DE，再由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△CBF.
(2)由Rt△ADE≌Rt△CBF可得AE=CF，根据“AAS”可证△AOE≌△COF，可得OA=OC.
42．如图所示的是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理.
（2）假设图中的直角三角形有若干个，你能运用图中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗 请画出拼后的示意图(不需要证明).
【答案】（1）解：如图①所示(答案不唯一).
根据梯形的面积公式可知梯形的面积为
(a+b)(a+b).
由梯形的面积=三个三角形的面积，
得(a+b)(a+b)=ab+ab+c2.
化简，得a2+b2=c2.
（2）解：画边长为(a+b)的正方形，如图②所示，其中a，b为直角边，c为斜边(答案不唯一).
【解析】【分析】（1）根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此可画出示意图，并构成了一个梯形，根据梯形面积公式=三个三角形的面积，可列出等式， ，化简等式可得：a2+b2=c2 ，即可证明勾股定理；
（2）以 (a+b) 为边长画正方形， 其中a，b为直角边，c为斜边，即可画出满足要求的图形。
43． 如图， 在 中， 射线AD，AE的夹角为 过点B作 BF⊥AD于点 F， 直线BF交AE于点G， 连接CG.
（1）如图1， 射线AD， AE都在 的内部.
①设 则 ∠CAG= (用含有α的式子表示)；
②作点B关于直线AD 的对称点 则线段 与图1 中已有线段 的长度相等；
（2）如图2，射线AE在 的内部，射线AD在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段 BF，BG，CG之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）55°-α；CG
（2）解：CG=BG+2BF，
证明如下：
作点B关于直线AD的对称点P，连接AP，如下图，
由对称的性质可得AB=AP，∠BAD=∠PAD，BF=PF，
∵AB=AC，∴AP=AC，
设∠BAD=∠PAD=β，
∵DAG=55°，∴BAG=∠DAG-∠BAF=55°-β，
∴∠PAG=∠PAD+∠BAD+∠BAG=55°+β，
∵∠BAC=110°，∴∠CAG=∠BAC+∠BAF-∠DAG=55°+β，
∴∠CAG=∠PAG，
在△CAG和△PAG中，
∴△CAG≌△PAG（SAS)，∴CG=PG
∵PG=PF+BF+BG=2BF+BG，∴CG=BG+2BF.
【解析】【解答】解：（1）① ∠CAG =∠BAC-∠EAD-BAD=110°-55°-α=55°-α；
②连接AB'，
根据对称性可得：∠B'AD=∠BAD=α，
又∠EAD=55°，
∴∠GAB'=55°-α，
又由①知：∠CAG =55°-α，
∴∠GAB'=∠CAG，
在和中：∵AC=AB=AB'，∠GAB'=∠CAG，AG=AG，
∴≌，
∴B'G=CG；
故答案为：CG；
【分析】（1）①根据角度的和差进行计算，即可得出答案；
②根据对称性可得∠B'AD=∠BAD=α，结合结论①，可得出∠GAB'=∠CAG，然后根据SAS可证明≌，得出B'G=CG；，即可得出答案；
（2）CG=BG+2BF，作点B关于直线AD的对称点P，连接AP，设∠BAD=∠PAD=β，仿（1）①可得∠CAG=55°+β，然后根据SAS证明≌，得出CG=PG，进而根据线段的和及对称的性质，得出CG=BG+2BF。
44．如图，O是内一点，，，．
（1）已知，为等边三角形．
①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：______°，可得结论：；
②如图2，若点C在边上，在①补充的条件下，结论是否仍成立？并说明理由；
（2）如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论仍然成立，并说明理由．
【答案】（1）①120；
②依然成立，理由如下；
如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，
∵是等边三角形，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：当时，依然成立，
理由如下：如图，在上取点，使，
，
，
作于点于点，
，
，
在和中
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【解析】【解答】（1）解：①延长到点，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：；
【分析】（1）①延长到点，根据等边三角形性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质及角之间的关系即可求出答案.
②连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，根据等边三角形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理可得平分，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）在上取点，使，根据角之间的关系可得，作于点于点，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得，根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：①延长到点，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：；
②依然成立，理由如下；
如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，
∵是等边三角形，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：当时，依然成立，
理由如下：如图，在上取点，使，
，
，
作于点于点，
，
，
在和中
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
45．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若P为BC上的中点，求证：；
（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
【答案】（1）证明：连接AP，
∵AB＝AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP＝CP，
在Rt△ABP中，；
（2）解：成立． 理由如下：如图，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，，
同理，，
∴，
又∵BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，
∴BP CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝，
∴；
（3）解：．理由如下： 如图，P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ADP中，，
∴ ，
又∵BP＝BD＋DP，CP＝DP－CD＝DP－BD，
∴BP CP＝（BD＋DP）（DP－BD）＝，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得AP⊥BC，BP＝CP，在Rt△ABP中，利用勾股定理及等量替换即可得出结论；
（2）成立． 理由如下：如图，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，根据等腰三角形的三线合一得BD＝CD，根据勾股定理表示出AB2，AP2，然后求出AB2-AP2=BD2-DP2，继而根据线段间的和差可得BP CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝BD2-DP2，从而即可得出结论；
（3）AP2-AB2=PB×PC，理由如下： 如图，P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC于D，根据等腰三角形的三线合一得BD＝CD，根据勾股定理表示出AB2，AP2，然后求出AP2-AB2=PD2-DB2，继而根据线段间和差可得BP CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝PD2-BD2，从而即可得出结论.
46．如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于D点，E，F分别是 ， 上的动点，求 的最小值．
【答案】解：如图所示：在 上取点 ，使 ，过点 作 ，垂足为H．
在 中，依据勾股定理可知 ．
，
，
∴当C、E、 共线，且点 与H重合时， 的值最小，最小值为 ．
【解析】【分析】在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
47．如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线AB交于点．
（1）求的值并直接写出正比例函数的解析式；
（2）如图②，点在线段OC上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段CB于点，点的横坐标为4．若是直线OC上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：把 点 代入中得：
，解得m=6
∴点C的坐标为（6，3）
把（6，3）代入中得：6k=3，解得k=
∴.
（2）解：设点P的坐标为（x，x）
∵ 点的横坐标为4
把x=4代入直线y=x中得：y=2
∴点的坐标为(4，2)
同理：把x=4代入得：y=4
∴点F的坐标为(4，4)
∴DF=2
∵点C的坐标为（6，3）
∴点C到直线EF的距离h为2
∴
∵的面积为面积的3倍
∴的面积为6
∴
∴，解得x=10或x=-2
当x=10时，y=x=5
∴P的坐标为（10，5）
当x=-2时，y=x=-1
∴P的坐标为（-2，-1）
综上所述，点P的坐标为（10，5）或（-2，-1）.
【解析】【分析】（1）先把点 代入中得：，解得m=6，从而求出点C的坐标为（6，3），再把点C的坐标代入中得：6k=3，解得k=即可.
（2）设点P的坐标为（x，x），把x=4分别代入直线y=x，中得出点D，F的坐标，再根据三角形的面积公式求出，从而求出的面积为6，列出方程，解得x=10或x=-2，再分别求出当当x=10时，y=x=5，P的坐标为（10，5）当x=-2时，y=x=-1，P的坐标为（-2，-1）即可.
48．如图，在直角△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，点F为直线AD上任意一点，过点A作直线AC⊥BF，垂足为点E，直线AC交直线BD于点C．过点F作FG∥BD，交直线AB于点G．
（1）如图1，点F在边AD上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是 ；
（2）如图2，点F在边AD的延长线上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是 ，证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，若DF=6，GF=10，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M，N两点，当FM=2时，求线段NG的长．
【答案】解：（1）FG+DC=BD；理由：
∵∠ADB=90°，∠ABD=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=45°，
∴AD=BD，∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC，
∵FG∥BD，
∴∠AFG=∠ADB=90°，∠AGF=∠ABD=45°，
∴FG=AF，
∴FG+DC=AF+DF=AD=BD；
（2）FG=DC+BD；理由如下：
过点B作BH⊥GF于点H，如图2所示：
则四边形DFHB是矩形，
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，FG∥BD，
∴△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形，
∴AD=BD，AF=FG，
∵AC⊥BF，
∴∠CEB=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵∠C+∠DAC=90°，∠CBE=∠DBF，
∴∠DAC=∠DBF，∠ADB=90°，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DC=DF，
∴AF=DF+AD=DC+BD，
∴FG=DC+BD；
（3）作NP⊥AG于P，如图3所示：
则四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，
∴BH=DF=6，PG=PN，
设PG=PN=x，则NG=x，
∵∠G=45°，
∴GH=BH=6，BG=6，∠GBH=45°，
∵∠MBN=45°，
∴∠PBN=∠MBH，
∴tan∠PBN=tan∠MBH==，
∴BP=3PN=3x，
∴PG+BP=x+3x=4x=6，
解得：x=，
∴NG=×=3．
【解析】【分析】（1）先证明△BDF≌△ADC，得出DF=DC，再证明FG=AF，即可得出结论；
（2）过点B作BH⊥GF于点H，由△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形．得出AD=BD，AF=FG，再证明△ADC≌△BDF，得出DC=DF，即可得出结论；
（3）作NP⊥AG于P，由四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，得出BH=DF=6，PG=PN，设PG=PN=x，则NG=x，再证出∠PBN=∠MBH，得出tan∠PBN=tan∠MBH=，得BP=3PN=3x，列出方程x+3x=6，解方程即可得出结果．
49．如图，在等腰中，，D，E分别为边，上的点，且．连接，，点P为的中点，连接．
（1）如图①，当时，求证：；
（2）如图②，若，请你探究线段与线段之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明．
【答案】（1）证明：，，
又，
．
（2）证明：．理由如下：
过点D作交于点F，连接，
∵，且，
是等边三角形．
∴，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
又，
∴，
∴，
为的中点，
，
∵，，
∴
在和中，
，
，
，，
，P，F三点共线．
．
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据角和差可得；由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得，结合已知并根据等式的性质即可求解；
（2）过点D作交于点F，连接，由题意，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可证明是等边三角形，由有两个角为60度的 三角形是等边三角形可得是等边三角形，结合已知，用边角边可得△APE≌△FPD，△ADF≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等可求解.．
（1）证明：，，
又，
．
（2）证明：．证明如下，
过点D作交于点F，连接，
∵，且，
是等边三角形．
∴，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
又，
∴，
∴，
为的中点，
，
∵，，
∴
在和中，
，
，
，，
，P，F三点共线．
．
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
．
50．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为．
（1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
（2）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，的”变更方程”为，
∴联立方程组得，，
解得：，
∵，则，
∴，即，
∵是二元一次方程的一个解，
∴，则，
∴
.
（3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，则，
∵是整数，
∴．
【解析】【解答】（1）解：与它的“变更方程”为，
∴联立方程组为，
解得，，
故答案为：.
【分析】（1）利用“变更方程”的定义可得，再求解即可；
（2）先联立方程组求出方程组的解，再根据“是二元一次方程的一个解”可得，则，最后将其代入计算即可；
（3）先联立方程组求出方程组的解，再结合“”可得，求出，再结合，求解即可.
（1）解：与它的“变更方程”为，
∴联立方程组为，
解得，，
故答案为：；
（2）解：根据题意，的”变更方程”为，
∴联立方程组得，，
解得，，
∵，则，
∴，即，
∵是二元一次方程的一个解，
∴，则，
∴
；
（3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，则，
∵是整数，
∴．
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