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【决战期末·50道解答题专练】浙教版数学九年级上册期末总复习
1．如图，在中，，把绕点逆时针旋转，得到，点在上，若，，求及的长．
2．袋中装有3红1白除颜色外一样的球，一次随机取出两只球，请用列表或画树状图的方法求摸出两球是一红一白的概率．
3．抛物线与轴交于，两点，与轴交于，求的面积．
4．如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长．
5．为全面实现“乡村振兴”，某“枇杷合作社”带动村民大量栽种枇杷.现阶段枇杷陆续成熟， “枇杷合作社”为解决果农后顾之忧，于是邀请部分网络平台实现网络销售，每箱枇杷的成本是40元.某平台经过调查发现，当每箱枇杷的售价是80元时，每天可售出100箱.如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱.
（1）若该平台某天销售枇杷的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱枇杷的售价；
（2）这批枇杷在市场一售而空，该平台又以同样的价格购进一批枇杷，当每箱枇杷的售价为多少元时，每天可以获得最大利润 最大利润为多少元
6．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
（1）上表中的________，________；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）；
（3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球．
7．盒中有2枚白色棋子和2枚黑色棋子，这四枚棋子除颜色外无其他差别，从中一次，摸出两枚棋子，用树状图（或列表法）求摸出的两枚棋子一黑一白的概率．
8．在平面直角坐标系中，点A(6，0)，P是平面内的一动点，将点 A 绕点 P 顺时针旋转90°到点 B 处，点 B 恰好落在直线y=-2x 上.当点 P 的坐标为 时，点P 到点 A 的距离最小，并求其最小值.
9．已知：如图，△ABC中， ， cm， cm，CM是中线，以C为圆心，以 cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？
10．已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
11．为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对，，，四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了两幅不完整的统计图.
(1)抽查厂家的零件为______件，扇形统计图中厂家对应的圆心角为______.
(2)抽查厂家的合格零件为_______件.
(3)若要从，，，四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用列表法或画树状图的方法求出，两个厂家同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果.
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；
（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．
13．根据以下素材，探索完成任务
如何设计纸盒
素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒.
素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。
问题解决
任务1 初步探究：折一个底面积为无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由
14．
（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
15．如图，点B是的边上的定点，点C是边上的动点，将绕点B逆时针旋转得到，且点A对应点D恰好落在边上，连接．点F是上一点，连接，且点F到的距离等于点F到的距离．当时．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求度数．
16．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
17．如图，甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜．请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同．
18．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．
（1）分别求出y与x，W与x之间的函数关系式；
（2）当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；
（3）求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
19．已知，二次函数．
（1）用含的代数式表示抛物线图象的顶点坐标．
（2）若这个二次函数的图象经过点，
①当，求的取值范围．
②当时，时，结合函数图象，求出的取值范围．
20．如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，求CD的长．
21．某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得28分的人数所对圆心角为90°，回答下列问题：
（1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数，
（2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩．
（3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆；②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率．
22．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求△ADE与四边形DBCE的面积比．
23．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，点A为光源位置，若AE=20cm，EC=40cm，幻灯片中图形ED高为6cm，求屏幕上图形BC的高度．
24．
（1）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球根据上述数据，估计口袋中的白球大约有多少个？
（2）如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．若BP＝3cm，求线段PE的长．
25．有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
26．经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天之间的关系如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5
销售价格p（元/只） 2 3 4 5 6
销量q（只） 70 75 80 85 90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只。据统计，该药店从第6天起销量q（只）关于第x天的函数表达式为-200（6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只。
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p和销量q关于x的函数表达式。
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）关于x的函数表达式，并判断第几天的利润最大。
（3）物价部门为了进一步对市场进行整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款。若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围是 .
27．从-2，-1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，用列表法或画树状图求该点在第三象限的概率．
28．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级 成绩（） 人数
A 15
B
C 18
D 7
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中 ；扇形统计图中，C等级所占的百分比是 ；D等级对应的扇形圆心角为 度；若全校共有1600名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有 人；
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
29．某商场购进甲种商品60箱，乙种商品40箱．全部售完后，甲、乙两种商品共盈利1300元，甲种商品比乙种商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱，如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，设每箱商品降价a元，商场所获利润为w元，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
30．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
31．教室里有4排日光灯，每排灯各由一个开关控制，但灯的排数序号与开关序号不一定对应，其中控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮）．
（1）将4个开关都闭合时，教室里所有灯都亮起的概率是 ；
（2）在4个开关都闭合的情况下，不知情的雷老师准备做光学实验，由于灯光太强，他需要关掉部分灯，于是随机将4个开关中的2个断开，请用列表或画树状图的方法，求恰好关掉第一排与第三排灯的概率．
32．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套．
（1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则_______（用含x的代数式表示）
（2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？
33．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若点E在上，求∠E的度数．
34．某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20个口罩．设增加条生产线（为正整数），每条生产线每天可生产口罩个．
（1）请直接写出与之间的函数关系式和自变量取值范围；
（2）设该厂每天可以生产的口罩个，请求出与的函数关系式，并求出当为多少时，每天生产的口罩数量最多？最多为多少个？
35．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查发现：每件涨价1元，每星期要少卖出10件.已知商品的进价为每件40元，如何涨价才能使利润最大？最大利润是多少？
36．如图，在四张质地，大小相同的卡片上分别写上1，-2，4，-8，从中任意抽取一张卡片，记下上面的数字作为点的横坐标；把卡片放回去搅匀，再任意抽取一张卡片，记下上面的数字作为点的纵坐标.用列表或画树状图的方法求这个点一定在反比例函数y=- ，的图象上的概率。
37．已知二次函数y＝x2+k的图象经过点（-2，3），求二次函数的解析式．
38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．
39．如图，在△ABC和△ACD中，在什么条件下，△ABC和△ACD相似 并说明理由.
40．已知拋物线．
（1）若抛物线经过点，求该拋物线的对称轴．
（2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该拋物线上，求该抛物线的解析式．
（3）若抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上，求证：．
41．某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍.试销中发现这种商品每天的销售量，（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：
x 300 32 34 36
y 40 36 32 28
（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出了与x之间的关系式；
（2）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润
42．某商店将进价为100元的某商品按120元的价格出售，可卖出300个；若商店在120元的基础上每涨价1元，就要少卖10个，而每降价1元，就可多卖30个．
（1）求所获利润y （元）与售价x（元）之间的函数关系式；
（2）为获利最大，商店应将价格定为多少元？
（3）为了让利顾客，且获利最大，商店应将价格定为多少元？
43．如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h，k+），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m，垂足为E、D．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．
（1）直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标以及直径的长．
（2）求抛物线y＝（x-3）2+2的焦点坐标以及直径的长．
（3）已知抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的直径为，求a的值．
（4）①已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．
②直接写出抛物线y＝（x-3）2+2的焦点矩形与抛物线y＝x2-2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围．
44．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；
（3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上 若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
45．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
46．如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，S△ABC=6，点P为第一象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠PCB=45°，求点P的坐标；
（3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ，当PC= AQ时，求点P的坐标以及△PCQ的面积．
47．如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；
②若CF=DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图2，若AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF的长．
48． 已知二次函数 (b， c为常数).
（1） 若该二次函数的图象经过点 (3， 0)， (0， -3).
① 求该二次函数的表达式；
② 将该二次函数的图象向左平移 个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线 上，求 m 的值.
（2） 若二次函数 的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当 时，该二次函数的最大值是2，求 b 的值.
49．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是1．
（1）函数是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界；
（2）如果以10为上确界的有上界函数，求的值；
（3）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．
50．如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与横梁相互垂直，且，．
（1）建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2）若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且，求的长；
（3）根据（1）中求解得到的函数表达式，若当时，函数的最大值与最小值的差为1，求的值．
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【决战期末·50道解答题专练】浙教版数学九年级上册期末总复习
1．如图，在中，，把绕点逆时针旋转，得到，点在上，若，，求及的长．
【答案】解：，，，
，
把绕着点逆时针旋转，得到，
，．
【解析】【分析】由勾股定理可求AB的长，由旋转的性质可得DE=AC=6，AB=AD=10.
2．袋中装有3红1白除颜色外一样的球，一次随机取出两只球，请用列表或画树状图的方法求摸出两球是一红一白的概率．
【答案】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出两球是一红一白的结果数为6，
所以摸出两球是一红一白的概率＝ ＝
【解析】【分析】画树状图展示所有种等可能的结果数，再找摸出两球是一红一白的结果数，然后根据概率公式求解．
3．抛物线与轴交于，两点，与轴交于，求的面积．
【答案】解：当时，，解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点求法及三角形面积计算，解题需先求关键点坐标，再用面积公式计算。首先求抛物线与x轴交点A、B：令y=0，解方程，得x1=-1、x2=3，故AB的长度为；再求抛物线与y轴交点C：令x=0，得y=3，即C(0，3)；最后根据三角形面积公式，以AB为底（长4），C点纵坐标的绝对值为高（长3），代入计算得面积为。
4．如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长．
【答案】解：∵，
∴，即，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据可得，代入数值求出，进而即可求解．
5．为全面实现“乡村振兴”，某“枇杷合作社”带动村民大量栽种枇杷.现阶段枇杷陆续成熟， “枇杷合作社”为解决果农后顾之忧，于是邀请部分网络平台实现网络销售，每箱枇杷的成本是40元.某平台经过调查发现，当每箱枇杷的售价是80元时，每天可售出100箱.如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱.
（1）若该平台某天销售枇杷的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱枇杷的售价；
（2）这批枇杷在市场一售而空，该平台又以同样的价格购进一批枇杷，当每箱枇杷的售价为多少元时，每天可以获得最大利润 最大利润为多少元
【答案】（1）解：设每箱枇杷的售价为x元，
根据题意，得[[100+10×(80-x)](x-40)=6000， 整理得
解得x1=60，x2=70
∵要使顾客得到最大优惠，60<70，
∴x=60，
答：每箱枇杷的售价为60元.
（2）解：设每箱枇杷的售价为a元，销售利润为w元，
依题意得，
∵-10<0，
∴当a=65时，w有最大值，w最大=6250，
答：当每箱的售价为65元时，每天可以获得最大利润，最大利润为6250元.
【解析】【分析】（1）先写出售价和利润之间的函数关系式，变形化简得到一个一元二次方程，求出x的两个值之后，取最小的x值，就是答案；
（2）列出W和a之间的函数关系式，然后判断该函数的图象，此时即可判断出当a=65时，W取最大值。
6．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
（1）上表中的________，________；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）；
（3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球．
【答案】（1），
（2）
（3）8
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，，
解得：，
故答案为：，；
（2）根据题意，得摸到白球的的概率的估计值是，
故答案为：；
（3）设其他颜色的球为个，
根据题意，得，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴除了白球外，还有大约个其它颜色的小球，
故答案为：8.
【分析】（1）根据频率=频数÷数据总数，即可求解；
（2）用频率估算概率，大量重复实验时，事件发生的频率固定在某个位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，则可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此即可求解；
（3）设其他颜色的球为个，结合（2）的结论即可列出关于的分式方程，解方程即可求解.
7．盒中有2枚白色棋子和2枚黑色棋子，这四枚棋子除颜色外无其他差别，从中一次，摸出两枚棋子，用树状图（或列表法）求摸出的两枚棋子一黑一白的概率．
【答案】解：根据题意画树状图如下：
∵本题共有12种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子是一黑一白的结果有6种结果
∴P(摸出的两枚棋子一黑一白)．
故摸出的两枚棋子一黑一白的概率是．
【解析】【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
8．在平面直角坐标系中，点A(6，0)，P是平面内的一动点，将点 A 绕点 P 顺时针旋转90°到点 B 处，点 B 恰好落在直线y=-2x 上.当点 P 的坐标为 时，点P 到点 A 的距离最小，并求其最小值.
【答案】解：如图，
∵将点A绕点P逆时针旋转 到点B时，点B恰好在落在直线y=2x，
BP，
是等腰直角三角形，
设点B(x，2x)，
∵点A(6，0)，
∴抛物线开口向上，
∴当 时， 取得最小值
∴PA的最小值为
【解析】【分析】证明 是等腰直角三角形，设点B(x，2x)，得到 根据二次函数的性质得到当 时， 取得最小值，即可得到PA的最小值.
9．已知：如图，△ABC中， ， cm， cm，CM是中线，以C为圆心，以 cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？
【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， （cm）；∵ cm cm，∴点A在⊙O内；∵ cm cm，∴点B在⊙C外；∵ ，CM斜边上的是中线，∴ cm∴M点在⊙C上．
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的长，由点到圆心的距离即可判断点A在⊙O内；点B在⊙C外；M点在⊙C上．
10．已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
【答案】解：∵是x的二次函数，
∴，解得m=3或m=﹣1，
∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【解析】【分析】先根据二次函数的定义求出m的值，再把m的值代入函数的解析式即可．
11．为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对，，，四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了两幅不完整的统计图.
(1)抽查厂家的零件为______件，扇形统计图中厂家对应的圆心角为______.
(2)抽查厂家的合格零件为_______件.
(3)若要从，，，四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用列表法或画树状图的方法求出，两个厂家同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果.
【答案】(1)500，；
(2)380；
(3)解：根据题意画出树状图，如图所示
共有12种等可能的情况：.
其中两个厂家同时被选中的情况有两种.
.
【解析】【解答】解：（1）抽查D厂家的零件为2000（1-35%-20%-20%）=500（件），扇形统计图中D厂家对应的圆心角=×360°=90°；
（2）抽查C厂家的合格零件=2000×95%×20%=380（件），
条形统计图补充为：
（3）
【分析】
（1）根据频数=样本容量×百分比可求得D厂家的零件数；根据圆心角=360°×D所占的百分比可求得扇形统计图中D厂家对应的圆心角；
（2）根据频数=样本容量×百分比可求得C厂家的零件数，然后即可补全条形统计图；
（3）由题意，画出树状图，根据树状图可得，所有12种等可能的结果数，其中C、D两个厂家同时被选中的结果数，然后根据概率公式计算即可求解．
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；
（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：将抛物线解析式化为顶点式可得．
所以对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（3）
【解析】【解答】（3）根据题意可得：对称轴为，，开口向上，分两种情况进行讨论：
①当时，
∵，
∴可得：，
不等式组无解；
②当时，可得：
，
解得：，
综合可得：．
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，利用对称轴的方程可直接得出；
（2）根据题意抛物线的顶点恰好在x轴上及（1）中结论可得，求解然后代入抛物线解析式即可得；
（3）由（1）中结论对称轴为，，开口向上，考虑，分两种情况进行讨论：①当时；②当时；根据距离抛物线对称轴越远，函数值越大，列出不等式求解即可得．
（1）解：由题意得．
对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（3）解：根据题意可得：对称轴为，，开口向上，
分两种情况进行讨论：
①当时，
∵，
∴可得：，
不等式组无解；
②当时，可得：
，
解得：，
综合可得：．
13．根据以下素材，探索完成任务
如何设计纸盒
素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒.
素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。
问题解决
任务1 初步探究：折一个底面积为无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由
【答案】解：任务1：设剪掉的正方形的边长为，
则，即，
解得（不合题意，舍去），，
答：剪掉的正方形的边长为.
任务2：侧面积有最大值.
理由如下：
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，
即，
即，
∴时，.
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为.
【解析】【分析】（1）任务1： 设剪掉的正方形的边长为， 则无盖长方体盒子的底面边长为（40-2x）cm，根据正方形面积等于边长的平方建立方程，求解并检验即可求出答案；
（2）任务2： 侧面积有最大值 ，理由如下： 设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为 ycm2，根据长方形的面积等于长乘宽及长方体的侧面计算方法可得y关于x的函数解析式，进而根据所得函数的性质即可得出答案.
14．
（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
【答案】（1）解：∵c是a，b的比例中项，
∴c2=ab=4.5×2=9，
解得：c1=3，c2=-3，
∴c为3或-3.
（2）解：∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=4，
∴.
【解析】【分析】（1）根据c是a，b的比例中项，得到c2=ab，代入即可求解；
（2）根据把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中，即可求解.
15．如图，点B是的边上的定点，点C是边上的动点，将绕点B逆时针旋转得到，且点A对应点D恰好落在边上，连接．点F是上一点，连接，且点F到的距离等于点F到的距离．当时．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵绕点B逆时针旋转得到．
∴，
∴， ，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵点F到的距离等于点F到的距离，
∴平分，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）利用等边对等角可证得∠BAC=∠ABC，利用三角形的外角的性质可证得∠BCD=2∠BAC，利用旋转的性质可推出∠BAC=∠BCE，由此可推出∠ECD=∠BAC=∠BEC，利用平行线的判定定理可证得AB∥CE，AC∥BE，利用有两组对应分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用角平分线的判定定理可证得AF平分∠BAC，即可求出∠BAF的度数.
16．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接．
是圆的直径，
，
即．
又，
是边上的中线，
；
（2）解：，
．
又，，
，
的长为：．
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，即，再根据等腰三角形的性质（三线合一）得到是边上的中线，从而即可求解；
（2）下根据题意求出∠AOD的度数，进而根据弧长的计算公式即可求解。
17．如图，甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜．请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同．
【答案】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，甲抽到的牌面数字比乙大的有5种情况，小于等于乙的有7种情况，
∴P（甲胜）= ，P（乙胜）= ，
∴甲、乙获胜的机会不相同．
【解析】【分析】先根据题意画出树状图，求出所有等可能的结果和甲抽到的牌面数字比乙大的情况、小于等于乙的情况，由概率公式求出各自的概率，比较概率的大小可得.
18．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．
（1）分别求出y与x，W与x之间的函数关系式；
（2）当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；
（3）求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得，（，且x为整数）
．
（2）解：由题意得，
∴，
解得，，
∵民宿尽最大可能让利游客，，
∴每个房间的定价为（元）．
答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元．
（3），
∵，
∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）．
答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元．
【解析】【分析】（1）根据题意，房间总量为20，无人居住房间为x，有游客居住的房间数为y，即可得出：，（，且x为整数）；再根据利润=每个房间的利润×房间数量，即可得出．；
（2）由（1）得：中，先求出当w=9600时的x的值，再进一步求得（500+50x）即可；
（3）由（1）得：，首先转化成顶点式，根据二次函数的性质，即可得出当时，W有最大值为9800元，进一步求得（500+50x）即可。
（1）解：由题意得，（，且x为整数）
．
（2）由题意得，
∴，
解得，，
∵民宿尽最大可能让利游客，，
∴每个房间的定价为（元）．
答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元．
（3），
∵，
∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）．
答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元．
19．已知，二次函数．
（1）用含的代数式表示抛物线图象的顶点坐标．
（2）若这个二次函数的图象经过点，
①当，求的取值范围．
②当时，时，结合函数图象，求出的取值范围．
【答案】（1）解：，
∴顶点坐标为，
故答案为：；
（2）解：①把代入y=x2+2bx+b2-2（b>0）得b2-2=-1，
解得b=1，或b=-1（舍去），
∴b=1，
∴解析式为：y=x2+2x-1，
∴图象开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为，
∴x=3时，y=14，
当-2②当y=7时，x2+2x-1=7，
解得x=-4或2，
∵图象开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为，
∴当k≤x≤2时，-2≤y≤7，k的取值范围为-4≤k≤-1.
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．
（1）将抛物线的表达式进行配方，转化为顶点式，即可进行解答；
（2）①先将点B的坐标代入抛物线的表达式，求出b的值，再根据二次函数的增减性即可进行解答；②先求出符合条件的x的取值范围，在结合图象，根据函数的增减性即可进行解答．
20．如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，求CD的长．
【答案】解：∵ ∠B=60°，
∴∠C=90°- 60°=30°．
设AB=x，则BC=2x，由勾股定理得AB2+AC2= BC2．
∵AC= ，
解得AB=1，
∴BC=2AB=2．
由旋转的性质得AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC- BD=2-1=1．
【解析】【分析】先根据已知条件求出∠C的度数，进而设AB=x，则BC=2x，根据勾股定理即可求出AB，从而得到BC，再根据旋转的性质得到AB=AD，从而根据等边三角形的判定与性质即可得到BD=AB=1，再结合题意即可求解。
21．某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得28分的人数所对圆心角为90°，回答下列问题：
（1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数，
（2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩．
（3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆；②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率．
【答案】（1）解：由题意知，调查总人数为（人），
∴得分分的人数为（人），
∵，，
∴中位数为第位数的平均数，即（分），
众数为分；
∴得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分
（2）解：∵中位数变大了，
∴该名同学的补测成绩为分或分；
（3）解：由题意画树状图如下；
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一项目共有3种等可能的结果，
∵，
∴小明和小亮选择同一项目的概率为．
【解析】【分析】（1）先根据题意求出总人数，进而用总人数减去其余人数即可得到得分27分的人数，从而根据中位数，众数的定义即可求解；
（2）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（3）先根据题意画出树状图，进而得到共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一项目共有3种等可能的结果，再根据等可能事件的概率即可求解。
22．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求△ADE与四边形DBCE的面积比．
【答案】（1）证明：∵，
∵
∴
（2）解：∵
∴
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为：4：9.
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可求证；
（2）根据相似三角形的性质得到 进而即可求解.
23．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，点A为光源位置，若AE=20cm，EC=40cm，幻灯片中图形ED高为6cm，求屏幕上图形BC的高度．
【答案】解：由题意可知DE// BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AE=20cm，EC=40cm，
∴AC= 60cm，
设屏幕上的图形高BC=xcm，
则，
解得：x=18cm，且符合题意，
答：屏幕上图形BC的高度为18cm．
【解析】【分析】先求出 △ADE∽△ABC， 再利用相似三角形的性质计算求解即可。
24．
（1）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球根据上述数据，估计口袋中的白球大约有多少个？
（2）如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．若BP＝3cm，求线段PE的长．
【答案】（1）解：由题可得出摸到黑球的概率是：＝，
因此摸到白球概率是1﹣＝，
设口袋中约有x个白球，由题可得＝，
解得：x＝12，
答：估计口袋中的白球大约有12个；
（2）解：∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，
∴BP＝BE＝3cm，∠PBE＝∠ABC＝90°，
∴PE＝＝3（cm），
答：线段PE的长为3cm．
【解析】【分析】（1）先利用概率公式求出摸到黑球的概率，进而得到摸到白球的概率，设口袋中约有x个白球， 利用频率估算概率即可求解；
（2）根据旋转的性质得到BP＝BE＝3cm，∠PBE＝∠ABC＝90°， 利用勾股定理即可求解.
25．有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
【答案】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为
（2）解：这个游戏不公平，对小明有利，理由如下：
小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
【解析】【解答】（1）解：∵小丽从正面分别写上、、的三种卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果数，而能抽到的只有1种等可能的结果数，
∴小丽取出的卡片恰好是的概率为．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）采用列表法列举出所有等可能的结果数，由表可知共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，然后根据概率公式分别求得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可．
（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为．
（2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
26．经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天之间的关系如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5
销售价格p（元/只） 2 3 4 5 6
销量q（只） 70 75 80 85 90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只。据统计，该药店从第6天起销量q（只）关于第x天的函数表达式为-200（6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只。
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p和销量q关于x的函数表达式。
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）关于x的函数表达式，并判断第几天的利润最大。
（3）物价部门为了进一步对市场进行整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款。若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围是 .
【答案】（1）解：
解：观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数，
设p=k1x+b1，
将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证p=x+1符合题意，
所以，且x为整数；
设q=k2x+b2，
将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证符合题意，
所以，且x为整数；
∴p=x+1，1≤x≤5，且x为整数；q=5x+65，1≤x≤5，且x为整数。
（2）解：当且x为整数时，
；
当且x为整数时，
；
即有；
当且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当时，（元）
当且x为整数时，
故当时，（元）；
由，可知第5天时利润最大．
（3）
【解析】【解答】（3）根据题意，
前5天的销售数量为：（只），
∴前5天多赚的利润为：
（元），
∴，
∴；
∴的取值范围为．
故答案为：．
【分析】（1）根据表格数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求出解析式即可；
（2）根据题意，求出利润w与x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值．
（3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m的取值范围．
27．从-2，-1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，用列表法或画树状图求该点在第三象限的概率．
【答案】解：画树状图如下，
共有6种等可能情况，分别为
，，，，，．
该点在第三象限的情况有和这2种结果．
∴该点在第三象限的概率．
【解析】【分析】此题是抽取不放回类型，首先画出树状图，然后找出总情况数以及点在第三象限的情况数（第三象限的点的横纵坐标都是负数），然后利用概率公式进行计算.
28．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级 成绩（） 人数
A 15
B
C 18
D 7
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中 ；扇形统计图中，C等级所占的百分比是 ；D等级对应的扇形圆心角为 度；若全校共有1600名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有 人；
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
【答案】（1）20；30%；42；400
（2）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 甲乙 乙丙 乙丁
丙 甲丙 乙丙 丙丁
丁 甲丁 乙丁 丙丁
共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，
∴P(甲、乙两人至少有1人被选中)．
【解析】【解答】（1）解：总人数为人，
∴，
C等级所占的百分比，
D等级对应的扇形圆心角，
若全校共有1600名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有人；
故答案为：2，30%，42，400.
【分析】(1)由A等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，在用总人数减去其它组人数求出a的值，运用C等级的人数除以总人数乘以100%求出C等级所占百分比，用360°乘以D组的占比求出圆心角即可用总人数1600乘以A等级的学生的占比求出人数即可；
(2)列表得到共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，再由概率公式求解即可.
29．某商场购进甲种商品60箱，乙种商品40箱．全部售完后，甲、乙两种商品共盈利1300元，甲种商品比乙种商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱，如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，设每箱商品降价a元，商场所获利润为w元，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设乙种商品每箱可盈利x元，则甲种商品每箱可盈利（x+5）元，
根据题意，得：60（x+5）+40x＝1300，
解得：x＝10，
∴x+5＝15，
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）解：甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，
由题意得：w＝（15-a）（100+20a）＝-20a2+200a+1500＝-20（a-5）2+2000，
当a＝5时，函数有最大值，最大值是2000元．
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【解析】【分析】(1)设乙种商品每箱可盈利x元，则甲种商品每箱可盈利(x+5)元，根据题意列出一元一次方程求解即可；
(2)甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，根据题意列出函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可.
30．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
【答案】解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC.
∵∠B=70°，
∴∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO=55°，
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在Rt△ABC中，BC=．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得∠ACB=90°，即可得到∠CAB的度数，然后根据等边对等角得到∠DAO的度数，再根据角的和差求出∠CAD解题.
（2）先证明OE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理得到OE长，解题即可．
31．教室里有4排日光灯，每排灯各由一个开关控制，但灯的排数序号与开关序号不一定对应，其中控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮）．
（1）将4个开关都闭合时，教室里所有灯都亮起的概率是 ；
（2）在4个开关都闭合的情况下，不知情的雷老师准备做光学实验，由于灯光太强，他需要关掉部分灯，于是随机将4个开关中的2个断开，请用列表或画树状图的方法，求恰好关掉第一排与第三排灯的概率．
【答案】（1）0
（2）解：用1、2、3、4分别表示第一排、第二排、第三排和第四排灯，画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好关掉第一排与第三排灯的结果数为2，所以恰好关掉第一排与第三排灯的概率．
【解析】【解答】（1）因为控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮，所以将4个开关都闭合时，所以教室里所有灯都亮起的概率是0；
故答案为：0；
【分析】（1）由于控制第二排灯的开关已坏，所以所有灯都亮起为不可能事件，根据不可能事件概率为零即可得出答案；
（2）此题是抽取不放回类型，用1、2、3、4分别表示第一排、第二排、第三排和第四排灯，根据题意画出画树状图展示所有等可能的结果数，由图可知共有12种等可能的结果数，其中恰好关掉第一排与第三排灯的结果数为2，然后根据概率公式求解．
（1）因为控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮，所以将4个开关都闭合时，所以教室里所有灯都亮起的概率是0；
故答案为0；
（2）用1、2、3、4分别表示第一排、第二排、第三排和第四排灯，画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好关掉第一排与第三排灯的结果数为2，所以恰好关掉第一排与第三排灯的概率．
32．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套．
（1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则_______（用含x的代数式表示）
（2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：由题意，∵日销售量为，
∴销售该文具的日利润为，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为2250．
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元．
【解析】【解答】
（1）
解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为，即，
故答案为：；
【分析】
（1）由“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可；
（2）先根据题意可得w是关于x的二次函数，由于二次项系数为负，则w有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
（1）解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为，即，
故答案为：；
（2）解：由题意，∵日销售量为，
∴销售该文具的日利润为，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为2250．
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元．
33．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若点E在上，求∠E的度数．
【答案】解：连接BD，
∵∠C+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°﹣110°=70°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=（180°﹣70°）=55°，
∵四边形ABDE为圆的内接四边形，
∴∠E+∠ABD=180°，
∴∠E=180°﹣55°=125°．
【解析】【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD=180°﹣∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．
34．某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20个口罩．设增加条生产线（为正整数），每条生产线每天可生产口罩个．
（1）请直接写出与之间的函数关系式和自变量取值范围；
（2）设该厂每天可以生产的口罩个，请求出与的函数关系式，并求出当为多少时，每天生产的口罩数量最多？最多为多少个？
【答案】（1）解：由已知可得，（，且为正整数）.
（2）解：由已知可得，
∴顶点横坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴顶点为最高点，顶点纵坐标为w的最大值，
∵x为整数，
∴当时，，
当时，，
综上所述：当或时，每天生产的口罩数量最多，最多为6120个．
【解析】【分析】（1）根据已知条件，列出关系式即可得出答案；
（2）根据已知条件列出关系式，先利用二次函数的图象和性质即可得出答案．
（1）解：设增加条生产线（为正整数），每条生产线每天可生产口罩个，根据题意得，
，（，且为正整数）；
（2）解：设该厂每天可以生产的口罩个，根据题意得，
，
∵，
∴抛物线开口向下，顶点为最到点，顶点纵坐标为最大值，
∴顶点横坐标为，
根据题意得，当时，；
当时，；
当或时，每天生产的口罩数量最多，最多为6120个．
35．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查发现：每件涨价1元，每星期要少卖出10件.已知商品的进价为每件40元，如何涨价才能使利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：设每件涨价 元，每星期售出商品的利润为 元
当涨价 元时，每星期少卖 件，实际卖出 件，
则销售额为 元，
由于买进商品需付 元.
因此，所得利润
即：
配方得：
∵-10＜0
∴当x=5时，y有最大值为6250
可知，涨价 元时，即定价 元，利润最大，最大利润 元.
【解析】【分析】设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，用含x的代数式表示出实际卖出的件数及销售额，然后根据利润=售价-进价，列出y与x之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
36．如图，在四张质地，大小相同的卡片上分别写上1，-2，4，-8，从中任意抽取一张卡片，记下上面的数字作为点的横坐标；把卡片放回去搅匀，再任意抽取一张卡片，记下上面的数字作为点的纵坐标.用列表或画树状图的方法求这个点一定在反比例函数y=- ，的图象上的概率。
【答案】解：列表如下：
（x，y） 1 -2 4 -8
1 （1，1） （-2，1） （4，1） （-8，1）
-2 （1，-2） （-2，-2） （4，-2） （-8，-2）
4 （1，4） （-2，4） （4，4） （-8，4）
-8 （1，-8） （-2，-8） （4，-8） （-8，-8）
或画树状图如下：
所有可能出现的结果共有16种，且每种结果出现的可能性相等，满足一定在反比例函数y=- 的图象上的点有（-8，1），（4，-2），（-2，4），（1，-8），共4个
所以P（点一定在反比例函数y=- 的图象上）=
【解析】【分析】根据题意，将所有情况利用列表法或树状进行表示，根据概率公式进行计算得到答案即可。
37．已知二次函数y＝x2+k的图象经过点（-2，3），求二次函数的解析式．
【答案】解：把点（-2，3）代入y＝x2+k得：3＝（-2）2+k，
解得：k＝-1，
∴二次函数的解析式为y＝x2-1．
【解析】【分析】利用待定系数法求解，把点（-2，3）代入y＝x2+k，求出k的值，即可得出答案.
38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．
【答案】解：连接，如图所示：
为的直径，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【解析】【分析】连接OC，先利用勾股定理求出CE的长，再根据垂径定理可得CD=2CE=8。
39．如图，在△ABC和△ACD中，在什么条件下，△ABC和△ACD相似 并说明理由.
【答案】解：可添加∠ACD=∠B，或∠ACB=∠ADC，即可证明△ABC和△ACD相似.证明：∵∠A为公共角，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD.
【解析】【分析】∠A为其公共角，要使两三角形相似，只需再有一对角对应相等，便可证明其相似．此题答案不唯一．
40．已知拋物线．
（1）若抛物线经过点，求该拋物线的对称轴．
（2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该拋物线上，求该抛物线的解析式．
（3）若抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上，求证：．
【答案】（1）解：36a-6b+4=4，∴ b=6a，
∴ 对称轴为直线；
（2）解：点 先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后为点（-1，-1），
将（-1，-1）和（-3，-5）代入，
得解得，
∴
（3）解：∵，∴a，
∴，
将（-1，p），(2，q)分别代入抛物线解析式
【解析】【分析】（1）将点（-6，4）代入解析式，再求对称轴即可；
（2）先确定平移后的点坐标为（-1，-1），将点（-1，-1）和（-3，-5）代入解析式，求得a和b的值即可；
（3）根据对称轴求得b=-3a，再将代入解析式，求得p和q，再计算pq的乘积即可求得.
41．某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍.试销中发现这种商品每天的销售量，（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：
x 300 32 34 36
y 40 36 32 28
（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出了与x之间的关系式；
（2）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润
【答案】（1）解：设该函数的表达式为 根据题意得：
，解得
∴y与x之间的关系式为
（2）解：
根据题意，得
∴当 时， w的值最大， 为450元，
∴当销售单价为35元时，获得利润最大.最大利润为450元.
【解析】【分析】(1)待定系数法求解一次函数解析式即可；
(2)根据题意得 计算求出满足要求的解即可.
42．某商店将进价为100元的某商品按120元的价格出售，可卖出300个；若商店在120元的基础上每涨价1元，就要少卖10个，而每降价1元，就可多卖30个．
（1）求所获利润y （元）与售价x（元）之间的函数关系式；
（2）为获利最大，商店应将价格定为多少元？
（3）为了让利顾客，且获利最大，商店应将价格定为多少元？
【答案】解：（1）当x＞120时，
y1=﹣10x2+2500x﹣150000；
当100＜x＜120时，y2=﹣30x2+6900x﹣390000；
（2）y1=﹣10x2+2500x﹣150000=﹣10（x﹣125）2+6250；
y2=﹣30x2+6900x﹣390000=﹣30（x﹣115）2+6750；
6750＞6250，
所以当售价定为115元获得最大为6750元；
（3）当涨价x=5（元）时，所获利润y1的最大值=6250（元）；
当降价x=5（元）时，所获利润y2的最大值=6750（元）．
∴为获利最大，应降价5元，即将价格定为115元．
【解析】【分析】（1）以120元为基础，当涨价时，大于120元，当降价时，小于120元，利用每个商品的利润×卖出数量=总利润分别写出函数关系式；
（2）利用配方法求得两个函数解析式的最大值，比较得出答案；
（3）分别求出函数最值进而得出答案．
43．如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h，k+），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m，垂足为E、D．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．
（1）直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标以及直径的长．
（2）求抛物线y＝（x-3）2+2的焦点坐标以及直径的长．
（3）已知抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的直径为，求a的值．
（4）①已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．
②直接写出抛物线y＝（x-3）2+2的焦点矩形与抛物线y＝x2-2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2，
∴此抛物线焦点的横坐标是0，纵坐标是：0+＝1，
∴抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，1），
将y＝1代入y＝x2，得x1＝-2，x2＝2，
∴此抛物线的直径是：2-（-2）＝4；
（2）解：∵y＝（x-3）2+2，
∴此抛物线的焦点的横坐标是：3，纵坐标是：2+＝3，
∴焦点坐标为（3，3），
将y＝3代入y＝（x-3）2+2，得，
3＝（x-3）2+2，
解得，x1＝5，x2＝1，
∴此抛物线的直径时5-1＝4；
（3）解：∵焦点A（h，k+），
∴k+＝a（x-h）2+k，
解得x1＝h+，x2＝h-，
∴直径为：h+-（h-）＝＝，
解得，a＝±，
即a的值是±；
（4）解：①由（3）得，BC＝，
又CD＝A'A＝，
所以，S＝BC CD＝×＝＝2，
解得，a＝±；
②当1-＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点，
理由：由（2）知抛物线y＝（x-3）2+2的焦点矩形顶点坐标分别为：
B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1），
当y＝x2-2mx+m2+1＝（x-m）2+1过B（1，3）时，m＝1-或m＝1+（舍去），
过C（5，3）时，m＝5-（舍去）或，m＝5+，
∴当m＝1-或m＝5+，时，1个公共点；
当1-＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点．
由图可知，公共点个数随m的变化关系为：
当m＜1-时，无公共点；
当m＝1-时，1个公共点；
当1-＜m≤1时，2个公共点；
当1＜m＜5时，3个公共点；
当5≤m＜5+时，2个公共点；
当m＝5+时，1个公共点；
当m＞5+时，无公共点；
由上可得，当1-＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点．
【解析】【分析】（1）根据题意可求得抛物线y＝x2， 的焦点坐标以及直径的长；
（2）根据题意可求得抛物线 y＝（x-3）2+2， 的焦点坐标以及直径的长：
（3）根据抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的直径为，且焦点A，可求得a的值：
（4）①利用矩形的性质和抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，即可求得a的值；
②当1-＜m≤1或5≤m＜5+时， 根据（2）的结果和图形可得抛物线 y＝（x-3）2+2的焦点矩形 与抛物线 y＝x2-2mx+m2+1 有两个公共点时，即可求得m的取值范围.
44．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；
（3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上 若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）存在 ，理由如下：
解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上可得，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可把代入，求出值，即可求得反比例函数的解析式；把代入，求出值，即可求得一次函数的解析式；
由题意分两种情况求解：①将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；
②将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数；
根据等和点的定义和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标．
（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
45．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
【答案】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′与△BOD′中， ，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
图3结论：BD′= AC′，AC′⊥BD’
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB= OA，OD= OC，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴ = ，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴ = = ，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′= AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′．
【解析】【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；
图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB= OA，OD= OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′= AC′，于是得到结论．
46．如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，S△ABC=6，点P为第一象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠PCB=45°，求点P的坐标；
（3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ，当PC= AQ时，求点P的坐标以及△PCQ的面积．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x+1）（x﹣3），
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），
∴AB=4，OC=|﹣3a|=|3a|，
∵S△ABC=6，
∴ AB OC=6，
∴ ×4×|3a|=6，
∴a=﹣1或a=1（舍），
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3a），∴C（0，3），∴OB=3，OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵点P为第一象限内抛物线上的一点，且∠PCB=45°，
∴PC∥OB，∴P点的纵坐标为3，
由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
令y=3，∴﹣x2+2x+3=3，∴x=0（舍）或x=2，∴P（2，3）
（3）解：如图2，过点P作PD⊥x轴交CQ于D，设P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；∵C（0，3），∴PC2=（3﹣m）2+（﹣m2+4m﹣3）2=（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]，∵点Q的横坐标比点P的横坐标大1，∴Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），∵A（﹣1，0）．∴AQ2=（4﹣m+1）2+（﹣m2+6m﹣5）2=（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]∵PC= AQ，∴81PC2=25AQ2，∴81（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]=25（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]，∵0＜m＜1，∴[（m﹣1）2+1]≠0，∴81（m﹣3）2=25（m﹣5）2，∴9（m﹣3）=±5（m﹣5），∴m= 或m= （舍），∴P（ ， ），Q（ ，﹣ ），∵C（0，3），∴直线CQ的解析式为y=﹣ x+3，∵P（ ， ），∴D（ ，﹣ ），∴PD= + = ，
∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD== PD×xP+= PD×（xQ﹣xP）== PD×xQ== × × = ．
【解析】【分析】（1）根据抛物线与坐标的交点，表示出三角形的面积，解出a的值即可。
（2）根据题意得知△OBC是等腰直角三角形，由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，解出P点坐标。
（3）根据p点在抛物线上，设出P点坐标以及Q点坐标，根据81PC2=25AQ2，得出m的值，表示出CQ的解析式，求得S△PCQ的面积。
47．如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；
②若CF=DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图2，若AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF的长．
【答案】（1）解：①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EBH=∠ECF，∠EHB=∠EFC，
∵E是边BC中点，
∴BE=CE，
∴△BEH≌△CEF(AAS)
∴EH=EF，∠H=∠CFE，
∵AE=EF，
∴AE=EH，
∴∠H=∠BAE，
∴∠BAE=∠CFE；
②解：如图所示，延长BF，AD交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF
，
∴BF=MF，BC=DM，
∵E是边BC中点，
∴BC=2CE=2BE，
设CE=BE=m，则BC=DM=2m，
∴AM=AD+DM=4m
，
，
设，则，，
；
（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD=AB=3，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠AEB=∠AFE=∠EFC，
∴∠EFA=∠EAD，
又∵∠AEF=∠MEA，
∴△AEF∽△MEA，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=180。∠AEB=∠EFC，
∴∠AEF=∠FCE，
∴△AEF∽△ECF，
∵AD//BC，
∴△ECF∽△MDF，
∴
∵CF=1，
∴DF=CD-CF=2，
设CE=s，FE=t，
∵△AEF∽△ECF，
即
.
即
，
，
，
即
解得或，
∴.
【解析】【分析】(1)①延长FE，AB交于H，可证明△BEH≌△CEF(AAS)，得到EH=EF，∠H=∠CFE，则可证明AE=EH，得到∠H=∠BAE，即可得出结论；
②如图所示，延长BF，AD交于M，由平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，证明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到 则BF=MF，BC=DM；设CE=BE=m，则BC=DM=2m，AM=AD+DM=4m，进而即可得到结论；
(2)延长AD，EF交于M，由平行四边形的性质可得AD//BC，CD=AB=3，证明△AEF∽△MEA，再证明△ECF∽△MDF，得到，求出DF=CD-CF=2，设CE=s，FE=t，则由相似三角形的性质可得AE=st，AF=t2，DM=2s，FM=2t，进而可得AM=AD+DM=5+2s；再由△AEF∽△MEA，列出方程，解之即可得出结论.
48． 已知二次函数 (b， c为常数).
（1） 若该二次函数的图象经过点 (3， 0)， (0， -3).
① 求该二次函数的表达式；
② 将该二次函数的图象向左平移 个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线 上，求 m 的值.
（2） 若二次函数 的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当 时，该二次函数的最大值是2，求 b 的值.
【答案】（1）解：①因为二次函数的图象经过点(3，0)，(0，-3)
所以，
解得
.所以二次函数的表达式：
②，
顶点坐标为(2，1).
由题意可得平移后的顶点坐标为(2-m，1)，
平移后顶点恰好落在直线上，
，解得.
（2）解： 二次函数图像上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，
，
，
，
，
对称轴为直线，
，
函数图象开口向下，
①当时，即，
当时，y随x的增大而减小，
当时函数值最大，
，解得（舍去）；
②当时，当时函数值最大，
，
；
③当时，
当时，y随x的增大而增大，
当时函数值最大，
，解得，（舍去），
综上所述，b的值为3和.
【解析】【分析】(1)①将点(3，0)，(0，-3)代入解析式，利用待定系数法求得b、c的值，进而求得二次函数解析式.
② 将函数解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据题意可得平移后的顶点坐标为(2-m，1)，进而得到，解得.
(2)由题意可得，利用根的判别式可得，进而求得函数对称轴为直线，对对称轴的位置进行分类讨论，再利用函数的性质求得B的值.
49．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是1．
（1）函数是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界；
（2）如果以10为上确界的有上界函数，求的值；
（3）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．
【答案】（1）解：∵函数，
∴ 函数是有上界函数，它的上确界为0；
（2）解：∵，
∴，
∵以10为上确界的有上界函数，
∴，
解得：，
∴b的值为1；
（3）解：函数，
∴抛物线的对称轴为直线，
①当，即时，有时，的最大值为，
为上确界，
，
解得：或（舍去）；
②当，即时，有时，的最大值为，
∵为上确界，
，
解得：或（舍去）；
③当，即时，有时，的最大值为，
为上确界，
∴，
∴，
∴无解，
综上所述，的值为或．
【解析】【分析】（1）将函数转化为顶点式，然后根据上确界的定义，结合二次函数的性质即可求解；
（2）根据上确界的定义，结合已知条件得，解方程即可求出b的值；
（3）先求出抛物线的对称轴，然后分情况讨论：①当，即时，有时，的最大值；②当，即时，有时，的最大值；③当，即时，有时，的最大值；根据上确界的定义，即可求解.
（1）解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标，
有上确界，上确界为0；
（2）解：∵，
∴随值的增大而增大，
∵以10为上确界的有上界函数，
∴，
∴；
（3）解：的对称轴为直线，开口向下，
当时，则，
的最大值为，
为上确界，
，
解得：或（舍去）；
当时，则，
的最大值为，
∵为上确界，
，
解得：或（舍去）；
当时，则，
的最大值为，
为上确界，
∴，
∴，
∴无解．
综上所述：的值为或．
50．如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与横梁相互垂直，且，．
（1）建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2）若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且，求的长；
（3）根据（1）中求解得到的函数表达式，若当时，函数的最大值与最小值的差为1，求的值．
【答案】（1）解：，，
，，，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
抛物线的函数表达式为.
（2）解：四边形是矩形，
，
，
设，，
，
把代入得，
解得或a=-5（舍去），
.
（3）解：，对称轴为直线，
当时，随着的增大而增大，
当，
当时，随着的增大而增大，
函数的最大值，函数最小值，
函数的最大值与最小值的差为1，
，
；
当时，随着的增大而减小，
当，
当时，随着的增大而减小，
函数的最小值，函数最小值，
函数的最大值与最小值的差为1，
，
，
综上所述，的值为或2．
【解析】【分析】（1）先求得A、B、C的坐标，设抛物线的函数表达式为，把B点坐标代入求得抛物线的函数表达式；
（2）设，先用a表示出EF，再用a表示出F，然后把代入抛物线解析式中求得EF；
（3），对称轴为直线，当时，随着的增大而增大，当，当时，随着的增大而减小，当，根据题意列方程即可得到结论．
（1）解：，，
，，，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
设，，
，
把代入得，
解得（负值舍去），
；
（3）解：，对称轴为直线，
当时，随着的增大而增大，
当，
当时，随着的增大而增大，
函数的最大值，函数最小值，
函数的最大值与最小值的差为1，
，
；
当时，随着的增大而减小，
当，
当时，随着的增大而减小，
函数的最小值，函数最小值，
函数的最大值与最小值的差为1，
，
，
综上所述，的值为或2．
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