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人教版2025—2026学年九年级上册期末考前抢分押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，函数和是常数，且在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C的坐标为（0，2）.以OA，OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐标为（ ）
A．（-4，-2） B．（-4， 2） C．（2， 4） D．（4， 2）
4．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如果二次函数 的最小值为 0 ， 那么 的值等于 ( )
A．2 B．4 C．-2 D．8
6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4
7．如图，正六边形被三条对角线分成六部分，其中两部分是阴影，阴影面积的和是20cm2，则正六边形的面积为（ ）.
A．40cm2 B．48cm2 C．52cm2 D．54cm2 E．60cm2
8．已知抛物线经过这两点与，若点在抛物线上，则可能的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，其对称轴为直线x=﹣1，给出下列结果：（1）b2＞4ac；（2）abc＞0；（3）2a+b=0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＜0．
则正确的结论是（ ）
A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（4）（5）
C．（2）（3）（4） D．（1）（4）（5）
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线X=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（ ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知扇形的圆心角为，弧长为，则它的面积为 ．
12．已知二次函数 的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③，其中正确的结论有 ．（填序号）
13．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上，则旋转角度为 ；连结，则 ．
14．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有30次摸到白球，估计这个口袋中有 个红球.
15．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2-4x+3向左平移n个单位，使平移后的抛物线经过原点，则n的值为 ．
16．如图，等腰直角 中， ，点 是 的中点，点 是 边上的一点，过 ， ， 三点的圆与 交于点 ，若 与 的面积之比为 ， ，则 的长为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列一元二次方程：
（1）x2+x＝0；
（2）x2﹣4x﹣7＝0．
18．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24 米（其中A，B为边界点），球场中心的球网OC高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
（3）运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为 ，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（ 含边界），求m的最大值．
19．综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD（规格：AB=40cm，BC=100cm），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒.小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示.
（1）若收纳盒高是10cm，则该收纳盒底面的边EF= cm，EH= cm；
（2）如图3，若收纳盒的底面积是350cm2，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒 （不考虑倾斜放入且要盖上盖子）
20．随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额－成本）
21． 二次函数的图象经过点(4， 3)，且对称轴为直线.
（1） 求这个二次函数的解析式.
（2） 若一个点的坐标满足(k， 2k)，我们将其这样的点定义为“倍值点”.
① 求这个函数“倍值点”的坐标；
② 若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求n的最大值与最小值的差.
22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若，求抛物线所对应的函数解析式；
（3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
23．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
24．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
25．如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 与 轴交于点 A 、 B， 与 轴交于点 ， 直线 经过点 A 、 C.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若点M（m，y1）、N（m+2，y2）分别是抛物线上两点，若当m>-1时，y1y2<0，则m的取值范围为
（3）点D是抛物线上一个动点，当∠DCA=∠BCO时，求点D的坐标.
（4） 若点 为抛物线上的点， 且点 的横坐标为 ， 已知点 ， ， 当点 在四边形 E F G H 的内部时，直接写出的取值范围.
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人教版2025—2026学年九年级上册期末考前抢分押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
2．如图，函数和是常数，且在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵y=-mx+m经过一、二、四象限，∴m＞0，∴抛物线开口向上，对称轴x=，与图象不符合，此选项不符合题意；
B、∵y=-mx+m经过一、二、四象限，∴m＞0，∴抛物线开口向上，对称轴x=，与图象符合，此选项符合题意；
C、∵y=-mx+m经过二、三、四象限，∴m＞0，且与x轴交点为（1，0），与图象不符合，此选项不符合题意；
D、∵y=-mx+m经过二、三、四象限，∴m＞0，且与x轴交点为（1，0），与图象不符合，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由直线所经过的象限可得m的符号，当二次项系数a＞0时，开口向上；当二次项系数a＜0时，开口向下；对称轴，与y轴的交点坐标为（0，c），结合各选项依次判断即可求解.
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C的坐标为（0，2）.以OA，OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐标为（ ）
A．（-4，-2） B．（-4， 2） C．（2， 4） D．（4， 2）
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为(-4，0)，点C的坐标为(0，2)，
∴OA=4，OC=2，
∵四边形 ABCO 是矩形，
∴BC=OA=4，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，
∴OC'=OC=2，B'C'=BC=4，
∴点B'的坐标为(2，4).
故答案为：C.
【分析】根据题意得到OA=4，OC=2，根据矩形的性质得到BC=OA=4，根据旋转的性质得到OC'=OC=2，B'C'=BC=4，进而即可求解.
4．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAE，
∴∠B=∠ADB=70°，∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE=∠BAD=180°-70°-70°=40°，
故答案为：C.
【分析】利用旋转的性质可证得AB=AD，∠BAC=∠DAE，利用等腰三角形的性质可推出∠B=∠ADB=70°，∠BAD=∠CAE，利用三角形的内角和定理求出结果.
5．如果二次函数 的最小值为 0 ， 那么 的值等于 ( )
A．2 B．4 C．-2 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：函数解析式可转化为
根据该图象开口向上，可知函数的最小值是
又由已知条件可知函数的最小值是0，可得：
解得
故答案为： B.
【分析】仔细观察二次函数的解析式，将其化为顶点式，可得到二次函数的最小值为 根据已知条件可得 据此可求出c的值，进而解答.
6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4
【答案】C
【解析】【解答】解：令y=0，得方程x2+4x﹣m=0，
∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，
∴方程x2+4x﹣m＝0有实数解，
∴，
解得：m≥﹣4，
故答案为：C．
【分析】令y=0，得方程x2+4x﹣m=0，由二次函数与x轴有公共点得一元二次方程有实数解，从而得根的判别式，进而得关于m的不等式，解不等式求出m的范围.
7．如图，正六边形被三条对角线分成六部分，其中两部分是阴影，阴影面积的和是20cm2，则正六边形的面积为（ ）.
A．40cm2 B．48cm2 C．52cm2 D．54cm2 E．60cm2
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，把正六边形分成12个全等的直角三角形，
∵阴影面积的和是20cm2
∴每个直角三角形面积为4cm2.
∴正六边形的面积为4×12=48cm2故答案为：B
【分析】根据正六边形性质把正六边形分成12个全等的直角三角形，再根据阴影部分面积可得每个直角三角形面积为4cm2，即可求出正六边形面积.
8．已知抛物线经过这两点与，若点在抛物线上，则可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线经过这两点与，
∴抛物线的对称轴为直线，所以，
∴，
已知点在抛物线上，所以，
∵抛物线经过这两点与，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，解得或（舍去），
∴，结合选项，故可能的值是.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的对称性得对称轴为直线，得，求出，由已知条件得方程有两个不相等的实数根，根据判别式得，从而得，即可得解.
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，其对称轴为直线x=﹣1，给出下列结果：（1）b2＞4ac；（2）abc＞0；（3）2a+b=0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＜0．
则正确的结论是（ ）
A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（4）（5）
C．（2）（3）（4） D．（1）（4）（5）
【答案】D
【解析】【解答】解：（1）如图所示，二次函数与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，则b2＞4ac．故（1）正确；（2）、（3）如图所示，∵抛物线开口向上，所以a＞0，抛物线与y轴交点在负半轴上，
∴c＜0．
又﹣ =﹣1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，2a﹣b＜0．
故（2）、（3）错误；（4）如图所示，由图象可知当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0．
故（4）正确；（5）由图象可知当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．
故（5）正确．
综上所述，正确的结论是（1）（4）（5）．
故答案为：D．
【分析】 抛物线开口与a有关，对称轴可判定ab的符号异同， 与x轴交点情况与b2﹣4ac有关，c可看与y轴交点，a+b+c与a﹣b+c.须数形结合，看抛物线上横坐标为1、-1的函数值是正或负.
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线X=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（ ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线X=2，
∴，即4a+b=0，故（1）正确；
由图像可知当x=-3时，9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，故（2）错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为( 1，0)，
∴a b+c=0
∵b= 4a，
∴a+4a+c=0，即c= 5a，
∴8a+7b+2c=8a 28a 10a= 30a，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴8a+7b+2c>0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为x=2，C(，y3)，
∴(，y3）
∵ 3< <，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1方程a(x+1)(x 5)=0的两根为x= 1或x=5，
过y= 3作x轴的平行线，直线y= 3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1< 1<5正确的有①③⑤
故答案为：B
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=2，则有4a+b=0，可对（1）作出判断；观察函数图象得到当x=-3时，函数值小于0，则9a-3b+c<0，即9a+c<3b，可对（2）作出判断；由于x=-1时，y=0，则a-b+c=0，易得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根据抛物线开口向下得a<0，可对（3）作出判断；利用抛物线的对称性得到（，y3），然后利用二次函数的增减性求解，就可得出y1、y2、y3的大小，可对（4）作出判断；过y= 3作x轴的平行线，直线y= 3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，然后依据函数图象进行判断，可对（5）作出判断，综上所述可得出答案。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知扇形的圆心角为，弧长为，则它的面积为 ．
【答案】27π
【解析】【解答】解：∵，
∴R=9，
∴S扇形=.
故答案为：.
【分析】根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式进行计算，即可得出答案.
12．已知二次函数 的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③，其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②
【解析】【解答】解：∵当x=1时y＜0，
∴a+b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，故②正确；
∵a＜0，对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，故③错误；
∴正确结论的序号为①②.
故答案为：①②.
【分析】观察函数图象，可知当x=1时y＜0，可对①作出判断；利用抛物线与x轴有两个不同的交点，可确定出b2-4ac的符号，可对②作出判断；利用抛物线的开口方向和对称轴的位置（左同右异），可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
13．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上，则旋转角度为 ；连结，则 ．
【答案】；
【解析】【解答】解：连结，如图所示：
由旋转得，，，
∵
∴为等边三角形，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】连结，根据旋转的性质得到，，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，，，从而得到，再根据含30°角的直角三角形的性质得到，根据勾股定理求出AC，从而即可求解。
14．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有30次摸到白球，估计这个口袋中有 个红球.
【答案】7
【解析】【解答】解：设这个口袋中有x个红球，则有(10-x)个白球.由题意得：
解得：x=7.
故答案为：7.
【分析】利用频率估计概率，根据概率公式可得方程，求解方程即可.
15．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2-4x+3向左平移n个单位，使平移后的抛物线经过原点，则n的值为 ．
【答案】1或3
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴平移后的函数解析式为y=（x-2+n）2-1，
∵使平移后的抛物线经过原点即（0，0），
∴（-2+n）2-1=0
解之：n1=3，n2=1.
故答案为：1或3
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，利用上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式，再将（0，0）代入函数解析式，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
16．如图，等腰直角 中， ，点 是 的中点，点 是 边上的一点，过 ， ， 三点的圆与 交于点 ，若 与 的面积之比为 ， ，则 的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DH A C，过点D作DG BC于G，连接CD，DF，
∴∠DGC=∠DHC=∠ACB=90°，即四边形DGCH为矩形，
∵ ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，
∴CD AB，CD=BD，∠B=∠DCF=45°，故 CDH也为等腰直角三角形，
∴CH=DH，故四边形DGCH为正方形，
∴DG=DH=CH，∠GDH=90°，
∵∠BCA=90°，∴EF为圆的直径（圆的直径所对应圆周角为直角），
且∠2+∠EDC=90°，∠1+∠EDC=90°，故∠1=∠2，
在 BDE和 CDF中，
∴ BDE≌ CDF（ASA），
∴ ，
设DH=2x，EC=3x，EG=EC-CG=EC-DH=x，
在 中， ，
解得： ，CE= ，
故答案为： .
【分析】需要添加辅助线，过点D作DH A C，过点D作DG BC于G，连接CD，DF，证明四边形DGCH为正方形，且利用圆周角定理及余角定理推得∠1=∠2，可证 BDE≌ CDF（ASA），结合已知条件可知DH与CE的比值，再结合勾股定理，便可得到CE的长度.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列一元二次方程：
（1）x2+x＝0；
（2）x2﹣4x﹣7＝0．
【答案】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，即，
，
，．
【解析】【分析】（1）根据因式分解法——提公因式法解方程即可；
（2）根据配方法解方程组即可.
18．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24 米（其中A，B为边界点），球场中心的球网OC高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
（3）运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为 ，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（ 含边界），求m的最大值．
【答案】（1）解：∵网球飞行过程中在点处达到最高，
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）解：是，理由如下：
∵，
∴当时，，
∴网球越过球网，
当时，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴网球落在对方区域；
综上：此次击球越过球网并落在对方区域内；
（3）解：把代入，得：，
∴，
由题意，得，当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
∴；
∴的最大值为：．
【解析】【分析】(1)本题考察用顶点式求二次函数解析式，抛物线的顶点式为，其中是顶点坐标。已知网球在点处达到最高，即顶点坐标为，因此设抛物线解析式为；又因为抛物线经过点，将点的坐标代入解析式，得到关于的方程，解方程求出，进而得出抛物线解析式。
(2)本题考察二次函数的求值与实际应用，判断是否越过球网，需计算球网位置（）时网球的高度，将代入抛物线解析式，计算得，因为，所以网球越过球网；判断是否落在对方区域，需计算网球落地时（）的横坐标，解方程，得、，已知（场地长24米，中心到的距离），因为，所以网球落在对方区域。
(3)本题考察二次函数的性质与不等式的应用，首先将点代入抛物线，得到，化简得。根据题意，网球在距球网右侧水平距离2米时（即），高度不低于4米，将代入解析式，得，解不等式得；同时网球落在对方区域内（含边界），即落地时横坐标，令，得，将代入得，解不等式得；综合两个不等式的解集，的最大值为。
（1）解：∵网球飞行过程中在点处达到最高，
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）是，理由如下：
∵，
∴当时，，
∴网球越过球网，
当时，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴网球落在对方区域；
综上：此次击球越过球网并落在对方区域内；
（3）把代入，得：
，
∴，
由题意，得，当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
∴；
∴的最大值为：．
19．综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD（规格：AB=40cm，BC=100cm），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒.小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示.
（1）若收纳盒高是10cm，则该收纳盒底面的边EF= cm，EH= cm；
（2）如图3，若收纳盒的底面积是350cm2，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒 （不考虑倾斜放入且要盖上盖子）
【答案】（1）20；40
（2）解：设收纳盒高为xcm，
根据题意得，，
∴x1=15，x2=55（舍去）
∴收纳盒长、宽、高分别为35cm、10cm、15cm，
∵10cm<15cm，
∴玩具机械狗不能放入该收纳盒
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
EF=40-2×10=20(cm)
(cm)
故答案为：20；40
【分析】根据长方体展开图的特征计算即可求出答案.
（2）设收纳盒高为xcm，根据题意建立方程，解方程可得x值，再比较大小即可求出答案.
20．随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额－成本）
【答案】（1）解：依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
得
解得
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝－x＋40.
（2）解：依题意，设每日利润为w元，
得，
，
∵a=－1＜0，
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
【解析】【分析】（1）根据题意设一次函数表达式，代入两组数值，即可求出k和b的值，从而可得函数关系式；
（2）设每日利润为w元，表示出w关于x的二次函数并化成顶点式，根据a=-1<0知道在顶点处取得最大值.
21． 二次函数的图象经过点(4， 3)，且对称轴为直线.
（1） 求这个二次函数的解析式.
（2） 若一个点的坐标满足(k， 2k)，我们将其这样的点定义为“倍值点”.
① 求这个函数“倍值点”的坐标；
② 若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求n的最大值与最小值的差.
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为
（2）解：①将（k，2k）代入二次函数y=x2-2x-5得：k2-2k-5=2k，
解得：k1=5，k2=-1，
∴这个函数“倍值点”的坐标为（5，10）或（-1，-2）；
②由题意得P（m，n）是该二次函数图象上（-1，-2）与（5，10）之间的点，
∴-1≤m≤5，
∵二次函数y=x2-2x-5的开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当-1≤m≤5时，m=1时，n取最小值，为n=12-2-5=-6，
当m=5时，n取最大值，为n=52-2×5-5=10，
∴n的最大值与最小值的差为10-（-6）=16
【解析】【分析】（1）根据点（4，3）和对称轴，利用待定系数法求解析式即可；
（2）①将（k，2k）代入函数表达式，求k即可；
②根据①可知m的取值范围，再根据二次函数的开口方向和对称轴，确定在自变量m的取值范围内二次函数的最大值和最小值即为n的最大值和最小值，进而得到n的最大值与最小值的差．
22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若，求抛物线所对应的函数解析式；
（3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）解：直线；
（2）解：抛物线与轴交于点，，轴，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
，
当时，抛物线所对应的函数解析式为，
当时，抛物线所对应的函数解析式为，
抛物线所对应的函数解析式为或；
（3）解：
当时，抛物线过点时，则，解得，
，
此时，抛物线与线段有一个公共点．
当时，抛物线过点时，，解得，
此时，，抛物线与线段有一个公共点；
综上所述，当或时，抛物线与线段恰有一个公共点．
【解析】【解答】解：（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线；
【分析】（1）对y=ax2+bx+c，对称轴x=；
（2）此处需要注意，因题目没有条件限制，点B可在第一象限或第二象限，需要分开讨论；
（3）因点Q必然在抛物线之内，所以解题的核心在于，点P要在抛物线之外，这样才能保证PQ与抛物线有一个交点.
23．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，解得，
抛物线的函数解析式为：
（2）解：由题意易得点的纵坐标为，
将代入得，
解得，（舍），
的横坐标为1，
四边形是正方形，
的横坐标为，
点的横坐标为，
（3）解：如图，取最右侧光线与抛物线切点为，
设直线的解析式为，将点及点代入，
得，
解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
由得，即，
抛物线与直线相切，
该方程有两个相等的实数根，
，
解得，
直线的解析式为：，
令直线中的得，
即，
【解析】【分析】（1）由题意得到：抛物线的顶点坐标为，且经过点，设抛物线的解析式为，然后将点代入解析式即可求解；
（2）由题意易得点的纵坐标为，根据点R在抛物线上即可求出点R的坐标，然后根据正方形的性质即可得到点S和点M的横坐标，进而即可求出GM的长度；
（3）取最右侧光线与抛物线切点为，设直线的解析式为，将点及点代入，即可得到直线AC的解析式，然后根据，即可设直线的解析式为：，联立直线FK的解析式和抛物线得到方程：，根据"抛物线与直线相切"，据此得到该方程有两个相等的实数根，根据根的判别式即可求出m的值，即可得到直线FK的解析式，进而即可求解.
24．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
【答案】（1）①
（2）解：由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和，
，
解得；
经检验，符合题意，
的值为18；
（3）解：由得，，
是“倍根方程”，
或，即或，
当时，；
当时，；
代数式的值为或．
【解析】【解答】解：（1）的根为，，
，
是“倍根方程”；
的根为，，
，
不是“倍根方程”；
故答案为：①；
【分析】（1）分别求出两个方程的根，再根据“倍根方程”的定义进行判断即可求出答案.
（2）设的两个根为和，根据二次方程根与系数的关系建立方程组，解方程即可求出答案.
（3）求出方程的根，根据“倍根方程”的定义可得或，即或，再代入代数式即可求出答案.
（1）的根为，，
，
是“倍根方程”；
的根为，，
，
不是“倍根方程”；
故答案为：①；
（2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和，
，
解得；
经检验，符合题意，
的值为18；
（3）由得，，
是“倍根方程”，
或，即或，
当时，；
当时，；
代数式的值为或．
25．如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 与 轴交于点 A 、 B， 与 轴交于点 ， 直线 经过点 A 、 C.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若点M（m，y1）、N（m+2，y2）分别是抛物线上两点，若当m>-1时，y1y2<0，则m的取值范围为
（3）点D是抛物线上一个动点，当∠DCA=∠BCO时，求点D的坐标.
（4） 若点 为抛物线上的点， 且点 的横坐标为 ， 已知点 ， ， 当点 在四边形 E F G H 的内部时，直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：当x=0时，y=2，
：.C(0，2)，
当y=0时，x=4，
：.A（4，0)，
将 A 、 C 点代入 ，
，
解得
捁物线的解析式为
（2）
（3）解：当 时， ，
解得x=4或x=-1，
∴A(-1，0)，
∵OA=1，OC=2，BO=4，
是直角三角形，
，
，
，
当 轴时， ， 此时 ；在 O A 上截取， 则 ，
∴D点在直线CP上，
在 Rt 中， ，
解得
设直线CP的解析式为y=kx+2，
解得 ，
直线 C P 的解析式为 ，
当 时， 解得 或 ，
综上所述： 点坐标为 或 .
（4）解： 或
【解析】【解答】解： （2）∵点M（m，y1）、N（m+2，y2）分别是抛物线上两点，
∴y1=-m2+m+2=-（m+1）（m-4），y2=-（m+2）2+（m+2）+2=-（m+3）（m-2），
∵y1y2＜0，
∴-（m+1）（m-4）×[-（m+3）（m-2）]＜0，
∴（m+1）（m-4）×（m+3）（m-2）＜0，
∵m＞-1，
∴m+1＞0，m+3＞0，
∴（m-4）（m-2）＜0，
∴2＜m＜4；
故答案为：2＜m＜4；
（4）∵E（m-1，1），F（1-m，1），
∴EF∥x轴，EF=|m-2|，
∵G（3-m，-2），H（m+1，-2），
∴GH∥x轴，GH=|m-2|，
∴EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-m2+m+2），
当P点在EF上时，-m2+m+2=1，解得m=或m=，
当P点在GH上时，-m2+m+2=-2，解得m=或，
设EH的直线解析式为y=k'x+b'，
∴(m 1)k′+b′＝1，(m+1)k′+b′＝ 2，解得k′＝ ，b′＝m ，
∴直线EH的解析式为y=-x+m-，
当P点在EH上时，-m+m-=-m2+m+2，解得m=或m=，
∴当＜m＜或＜m＜时，点P在四边形EFGH的内部．
【分析】（1）首先根据 直线 经过点 A 、 C ，可求得点A、C的坐标，然后根据待定系数法即可求得 抛物线的解析式；
（2）首先根据点M（m，y1）、N（m+2，y2） 分别求得y1和y2，然后根据 y1y2<0， 可得出（m+1）（m-4）×（m+3）（m-2）＜0，再结合 m>-1 ，即可求得m的取值范围；
（3）首先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，从而得出 ， 故而可得 ， 故而可分为两种情况：①当 轴时， 可得 ；②在 O A 上截取， 可得D； 综上所述： 点坐标为 或 ；
（4）首先根据E，F，G，H的坐标，可以判断得出四边形EFGH是平行四边形，然后求出当P点在EF上时，m=或m=，当P点在GH上时，m=或；当P点在EH上时，解得m=或m=，故而得出当＜m＜或＜m＜时，点P在四边形EFGH的内部．
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