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【决战期末·50道解答题专练】人教版数学八年级上册期末总复习
1．如图，在中，CD是的角平分线，点E在AC上，，若，，求的度数．
2．小华解分式方程： 的过程如下：
解：方程两边同乘最简公分母（5-x）（5+x），去分母，得x（5-x）-5+x=（5-x）（5+x）， ①去括号，得 ②移项、合并同类项，得（6x=30， ③系数化为1，得x=5， ④检验：当x=5时，（5-x）（5+x）=0，∴此分式方程无解.
（1）以上步骤，开始出错的步骤是 （填序号），错误的原因是 ；
（2）请写出正确解方程的过程.
3． 如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点。试判断DE与CE是否相等，并给出证明。
4．已知分式 （a，b为常数）满足表格中的信息：
x的取值 2 1
分式的值 无意义 0
（1）a的值是 ，b的值是 ；
（2）当 时，求分式的值.
5．某校组织师生去距离学校的纪念馆开展研学活动．骑行爱好者张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．设张老师骑自行车的速度为．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）用含有的代数式填空：
①汽车的速度为________；
②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为_________；
③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为_________；
（2）求张老师骑自行车的速度．
6．上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地．
（1）求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时）
（2）地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
7．在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如 ，当 时， ， ， ，则密码018162或180162等.对于多项式 ，取 ，用上述方法产生密码是什么？
8． 中， ， ，求三角形中各角的度数．
9．某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加.如果开放一个检票口，则要20分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则8分钟队伍就消失.设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失
10．（1）化简：；
（2）已知，求代数式的值；
（3）化简求值：，其中．
11．已知：如图，AD、BC相交于点O，AB=CD，AD=CB.
（1）求证：△ABD≌△CDB.
（2）若OB =4，BD=6时，求△OBD中 BD边上的高.
12．如图， 在正方形 中， 是对角线 上的一点 （与点 不重合）， 分别为垂足． 连结 ， 并延长 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）判断 与 是否垂直，并说明理由
13．阅读：已知a - b＝ -4，ab＝3，求a2+b2的值．小明的解法如下：
解：因为a - b＝ -4，ab＝3，
所以a2 +b2＝（a - b）2+ 2ab＝（- 4）2+ 2×3＝22．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
已知a - b＝ -5，ab＝2，求a2+ b2- ab的值．
14．某工程队修建一条长1200米的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．求这个工程队原计划每天修道路多少米．
15．先化简，再求值： ，其中 .
16．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC．E、F为垂足，BE＝CF．求证：
（1）DE＝DF；
（2）连接AD，这时AD平分∠BAC吗？请说明理由．
17．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，利用图2的两种不同的面积表示法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求一张C型长方形纸板的面积．
（3）你能用1张A型纸板，2张B型纸板和3张C型纸板，拼成一个大的长方形吗，如果能，请画出示意图．
18．
（1）因式分解：(x-y)(3x-y)+2x(3x-y)。
（2）设 y= kx，是否存在实数k，使得(1)中的结果为x2 若存在，求出所有满足条件的 k的值；若不存在，请说明理由。
19．从珠海到深圳的距离大约160千米，工作日与周末由于车流量不同，所以导致行驶的平均速度和所用的时间不同.工作日与周末的行驶速度比为3：2，周末所用的时间比工作日多用了50分钟.求周末从珠海到深圳的平均行驶速度是多少？
20．如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的周长．
21．如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，并交AC于点E，其中∠A=∠D=40°．求∠B和∠ACD的度数．
22．某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
23．甲、乙两公司为“2019东台西溪·国际半程马拉松比赛”各制作6400个相同的纪念牌，已知甲公司的人数比乙公司人数少20%，乙公司比甲公司人均少做20个，甲、乙两公司各有多少人？
24．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.
（1）若则a>b.
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
（3）若ab=0，则a=0.
25．一位沙漠吉普爱好者驾车从甲站到乙站与大部队汇合，出发2小时后车子出了点故障，修车用去半小时时间，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达，已知甲、乙两站相距100千米，求他原来的行驶速度．
26．变换M：在平面直角坐标系中，先将点A向左平移5个单位，再将所得的点作关于y轴的对称点.若点A经过变换M后得到的点A'与点A重合，我们称点A为不动点.
（1）判断点A1（2，-5），A2（2.5，0）是否为不动点.
（2）已知点A（a，3）为不动点，求a的值.
27．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
28．先化简，再求值：，其中．
29．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线．求∠EAD的度数．
30． 如图，把一段铁丝分成相等的三段，可围成边长为的等边三角形.若把这段铁丝分成相等的四段，则可围成边长为的正方形.求该段铁丝的长.
31． 如图1，CD是的高，.
（1）证明：是直角三角形.
（2）如图2，若AE是角平分线，AE与CD相交于点F.请判断是否为等腰三角形，并说明理由.
32．如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从岛看A，C两岛的视角是多少度？从岛看两岛的视角呢？
33．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
34．先化简，再求值：（），其中x＝8．
35．先化简 然后在1、2、﹣2三个数中选取一个你喜欢的数作为a的值代入计算．
36．我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；
；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
（1）已知，请把a，b，c用“”连接起来；
（2）若，求的值；
（3）化简：．
37．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
38．已知．
（1）化简T；
（2）若是抛物线的顶点坐标，请求出T的值．
39．阅读下面的解题过程．
计算：
解：因为
所以原式，
根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题：
（1）根据发现的规律，填空： ．
（2）利用发现的规律，计算：．
（3）类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值．
40．宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸）
（1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？
（2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？
41．（1）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长．
（2）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，若，，求的长．
42．某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了25%。因此，按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟。前后两种收费标准每分钟收费各是多少
43．扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量
44．如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以每秒9°的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠AEM的度数；
②当直线EM与直线PN平行时，求t的值．
45．【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系．
【应用】（1）如图，，A，B分别在，上，平分交于点C．
①如图1，D为B点右侧的直线上一点，平分交于点E．当，，求和的度数；
②如图2，若点D在射线上运动，平分交于点E．过点E作，垂足为F，请求出与的数量关系．
【拓展】（2）如图3，，连接，且，射线自顺时针旋转至便立即回转，射线自顺时针旋转至便立即回转，两条射线不停交叉．射线转动的速度是4度/秒，射线转动的速度是12度/秒，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当射线第一次从转至的过程中，与互相垂直时，请求出此时t的值．
46．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的长．
47． 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，．
问题：
（1）求的值；
（2）求的值．
48．如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）的度数；
（2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论．
49．如图，已知为的外角，平分，且，过点作于点，交于点，为边上一点，平分．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
50．已知：在中，平分，、相交于点，
（1）如图①，若，，，求的大小.
（2）如图②，若平分，且，求的大小.
（3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系.
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【决战期末·50道解答题专练】人教版数学八年级上册期末总复习
1．如图，在中，CD是的角平分线，点E在AC上，，若，，求的度数．
【答案】解：在中，，，
，
是的平分线，
，
，
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，结合平行线的性质，即可求出的度数．
2．小华解分式方程： 的过程如下：
解：方程两边同乘最简公分母（5-x）（5+x），去分母，得x（5-x）-5+x=（5-x）（5+x）， ①去括号，得 ②移项、合并同类项，得（6x=30， ③系数化为1，得x=5， ④检验：当x=5时，（5-x）（5+x）=0，∴此分式方程无解.
（1）以上步骤，开始出错的步骤是 （填序号），错误的原因是 ；
（2）请写出正确解方程的过程.
【答案】（1）①；去分母时没有将分子作为整体带括号
（2）解：方程两边同乘最简公分母(5-x)(5+x)，
去分母，得x(5-x)-(5+x)=(5-x)(5+x)，
去括号，得
移项，合并同类项，得4x=30，
系数化为1，得
检验，当 时，(5-x)(5+x)≠0，
是原分式方程的解.
【解析】【分析】（1）根据分式的性质进行判断即可求出答案.
（2）去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
3． 如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点。试判断DE与CE是否相等，并给出证明。
【答案】解：DE=CE，理由如下：
∵ AD⊥BD，AC⊥BC，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵E为AB的中点，
∴在Rt△ADB中，DE为斜边上的中线，
∴，
同理可知在Rt△ACB中，，
∴DE=CE.
【解析】【分析】两次使用直角三角形斜边上中线的性质即可说明.
4．已知分式 （a，b为常数）满足表格中的信息：
x的取值 2 1
分式的值 无意义 0
（1）a的值是 ，b的值是 ；
（2）当 时，求分式的值.
【答案】（1）-3；2
（2）解：由(1)知分式为
∴当 时，分式的值为
∴当 时，分式的值为1
【解析】【解答】解：(1)对于分式 (a，b为常数)，
当x=2时无意义，即x-b=0，
∴2-b=0，
∴b=2，
当x=1时，分式
∴3x+a=0，
∴3×1+a=0，
∴a=-3；
故答案为：-3；2
【分析】将分别将x=2，x=1代入分式，结合分式无意义的条件，分式值为0的条件即可求出答案.
（2）由(1)知分式为 将代入分式计算即可求出答案.
5．某校组织师生去距离学校的纪念馆开展研学活动．骑行爱好者张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．设张老师骑自行车的速度为．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）用含有的代数式填空：
①汽车的速度为________；
②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为_________；
③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为_________；
（2）求张老师骑自行车的速度．
【答案】（1）①；②；③
（2）解：根据题意得，，
解得，，，
检验：当时，原分式方程分母为0，不符合题意，舍去，
当时，原分式方程有意义，符合题意，
∴张老师骑自行车的速度为．
【解析】【解答】解：（1）解：①设张老师骑自行车的速度为，
∴汽车的速度为，
故答案为：；
②去距离学校的纪念馆开展研学活动，设张老师骑自行车的速度为，
∴张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为，
故答案为：；
③去距离学校的纪念馆开展研学活动，汽车的速度为，
∴其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为，
故答案为：；
【分析】（1）①根据汽车速度是张老师速度的3倍列式即可；
②根据时间=路程÷速度，列式即可；
③根据时间=路程÷速度，列式计算即可；
（2）根据所用时间相等，列分式方程即可求得．
（1）解：①设张老师骑自行车的速度为，
∴汽车的速度为，
故答案为：；
②去距离学校的纪念馆开展研学活动，设张老师骑自行车的速度为，
∴张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为，
故答案为：；
③去距离学校的纪念馆开展研学活动，汽车的速度为，
∴其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为，
故答案为：；
（2）解：根据题意列式得，，
解得，，，
检验，当时，原分式方程分母为0，不符合题意，舍去，
当时，原分式方程有意义，符合题意，
∴张老师骑自行车的速度为．
6．上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地．
（1）求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时）
（2）地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
【答案】（1）解：设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时，
根据题意得：，解得，
经检验是原方程的解，
∴小唐的车速为，
答：小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时；
（2）解：设小唐的行驶速度提高千米小时，
由题意得：，
解得：，
答：小唐的行驶速度至少提高千米小时．
【解析】【分析】（1）设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时，进而根据“小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地”即可列出分式方程，从而即可求解；
（2）设小唐的行驶速度提高千米小时，根据题意即可列出不等式，进而即可求解。
7．在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如 ，当 时， ， ， ，则密码018162或180162等.对于多项式 ，取 ，用上述方法产生密码是什么？
【答案】解：
∵ ，
∴ ，
∴密码为101030或103010或301010
【解析】【分析】首先提取公因式x，然后利用平方差公式分解可得4x3-xy2=x(2x+y)(2x-y)，然后令x=10，y=10，分别求出2x+y、2x-y的值，据此解答.
8． 中， ， ，求三角形中各角的度数．
【答案】解：设∠A=4x，∠B=5x，
则∠C=180°-4x-5x=180°-9x，
∵∠B+∠C=2∠A，
∴5x+180°-9x=2×4x，
解得x=15°，
∴∠A=4×15°=60°，∠B=5×15°=75°，∠C=180°-60°-75°=45°，
综上所述，三角形中各角的度数为∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°．
【解析】【分析】设∠A=4x，∠B=5x，则∠C=180°-4x-5x=180°-9x，根据，列出方程求解即可。
9．某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加.如果开放一个检票口，则要20分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则8分钟队伍就消失.设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失
【答案】解：设检票开始时，等候检票的队伍有a人，每个检票口每分钟检票x人，队伍每分钟增加y人，则
消去a，得20(x-y)=8(2x-y)，x=3y.
故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是： (分钟).
答：同时开放三个检票口，队伍要5分钟就消失.
【解析】【分析】 通过设初始排队人数、检票速度、新增人数，建立不同检票口数量下 “已有人数 = 检票总量 - 新增人数” 的等式，联立求解出速度关系，再代入三个检票口的情况计算时间.
10．（1）化简：；
（2）已知，求代数式的值；
（3）化简求值：，其中．
【答案】解：（1）．
（2）∵，
∴，
∴．
（3）
；
当时，原式．
【解析】【分析】（1）先运用平方差公式将变为，同时计算多项式除以单项式，即 ，然后去括号并进行同类项合并计算即可；
（2）先将变形得到，再运用完全平方公式、多项式乘以多项式以及整式的混合运算法则进行化简变形，最后将整体代入求值即可；
（3）先运用整式的混合运算法则将原式化简得到8ab-3，然后将代入计算即可。
11．已知：如图，AD、BC相交于点O，AB=CD，AD=CB.
（1）求证：△ABD≌△CDB.
（2）若OB =4，BD=6时，求△OBD中 BD边上的高.
【答案】（1）证明：∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB，
∴ △ABD≌△CDB.
（2）解：如图，过点O作OE⊥BD于点E，
∵△ABD≌△CDB，
∴∠CBD=∠ADB，
∴OB=OD，
∴BE=DE=3，
∴.
【解析】【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，根据全等三角形的对应角相等得到∠CBD=∠ADB，即可得到OB=OD，然后根据勾股定理求出OE长即可.
12．如图， 在正方形 中， 是对角线 上的一点 （与点 不重合）， 分别为垂足． 连结 ， 并延长 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）判断 与 是否垂直，并说明理由
【答案】（1）证明： 在正方形 中， ，
；
（2）解：， 理由如下 ． 连结 交 于点 ， 如图．
为正方形 的对角线，
，AD=CD，∠BCD=90°，
又
(SAS)，
．
BC ，
∴∠GFC=∠FCE=∠CEG=90°，
∴四边形 为矩形，
，
．
由（1）得
，
= ，
．
【解析】【分析】（1）由正方形及垂直的定义得∠ADE=∠GEC=90°，由同位角相等，两直线平行得AD∥GE，再由两直线平行，同位角相等得∠DAG=∠EGH；
（2）AH⊥EF，理由如下：连接GC交EF于点O，由正方形的性质得∠ADG=∠CDG=45°，AD=CD，从而由SAS判断出△ADG≌△CDG，得∠DAG=∠DCG，由三个角是直角的四边形是矩形易得四边形FCEG是矩形，由矩形的对角线相等且互相平分得OE=OC，由等边对等角得∠OEC=∠OCE，从而可推出∠EGH=∠OEC，进而根据角的构成、等量代换及三角形的内角和定理可推出∠GHE=90°，从而根据垂直的定义得出结论.
13．阅读：已知a - b＝ -4，ab＝3，求a2+b2的值．小明的解法如下：
解：因为a - b＝ -4，ab＝3，
所以a2 +b2＝（a - b）2+ 2ab＝（- 4）2+ 2×3＝22．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
已知a - b＝ -5，ab＝2，求a2+ b2- ab的值．
【答案】解：∵a - b＝ -5，ab＝2，
∴a2+ b2-ab
＝a2+b2-2ab+ab
＝（a -b）2+ ab
＝（-5）2+ 2
＝27
【解析】【分析】利用完全平方公式，结合 a - b＝ -5，ab＝2， 计算求解即可。
14．某工程队修建一条长1200米的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．求这个工程队原计划每天修道路多少米．
【答案】解：设原计划每天修建道路x米，
可得： = +4，
解得：x=100，
经检验x=100是原方程的解，
答：原计划每天修建道路100米．
【解析】【分析】"提前4天完成任务"就是原计划时间减去新方式后的时间=4，构建分式方程.
15．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式
∵ ，
∴ ，
∴原式 .
【解析】【分析】通分计算括号内异分母分式的减法，进而将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，接着约分化简，最后整体代值计算即可.
16．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC．E、F为垂足，BE＝CF．求证：
（1）DE＝DF；
（2）连接AD，这时AD平分∠BAC吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF；
（2）解：AD平分∠BAC．
理由如下：∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【解析】【分析】（1）先利用中点的性质可得BD=CD，再利用“HL”证出Rt△BED≌Rt△CFD，可得DE=DF；
（2）利用角平分线的判定方法分析求解即可.
17．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，利用图2的两种不同的面积表示法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求一张C型长方形纸板的面积．
（3）你能用1张A型纸板，2张B型纸板和3张C型纸板，拼成一个大的长方形吗，如果能，请画出示意图．
【答案】（1）
（2）解：∵已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，∴，，
∴，
∴，
故一张C型长方形纸板的面积为12
（3）解：能拼出一个大长方形，如下图．
【解析】【解答】(1)解：由题意可得，；
故答案为：；
(3)
所拼得的长方形的边长分别为和
如图所示：
【分析】（1）可直接利用正方形的面积求出大正方形的面积，也可用大正方形内部各个四边形的面积表示，再建立等式即可；
（2）直接利用（1）中的结论计算即可；
（3）可利用（1）中的等式，把换成再展开，即，此时有1个边长为的正方形，3个边长分别为和的长方形，2个边长为的正方形，即可拼出所需的图形．
18．
（1）因式分解：(x-y)(3x-y)+2x(3x-y)。
（2）设 y= kx，是否存在实数k，使得(1)中的结果为x2 若存在，求出所有满足条件的 k的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：原式
（2）解： 将y=kx代入上式，得
令
则3-k=±1，
解得k=4或2.
【解析】【分析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
(2) 把y=kx代入 (1)结果化简，令 系数为1求出k的值即可。
19．从珠海到深圳的距离大约160千米，工作日与周末由于车流量不同，所以导致行驶的平均速度和所用的时间不同.工作日与周末的行驶速度比为3：2，周末所用的时间比工作日多用了50分钟.求周末从珠海到深圳的平均行驶速度是多少？
【答案】解：设周末从珠海到深圳的平均行驶速度为，则工作日速度，
解得：
经检验得，是原方程的解.
答：周末从珠海到深圳的平均行驶速度是64千米/时
【解析】【分析】设周末从珠海到深圳的平均行驶速度为，则工作日速度，根据“从珠海到深圳的距离大约160千米，工作日与周末的行驶速度比为3：2，周末所用的时间比工作日多用了50分钟”即可列出分式方程，解分式方程，进而检验即可求解。
20．如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
≌，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
【解析】【分析】（1）连接，，根据SSS证明△BEG≌△BFG，可得∠FBG=∠EBG，继而得出结论；
（2）由三角形内角和求出∠A=30°，利用角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=30°，即∠A=∠ABD，利用等角对等边可得AD=BD=4，利用含30°角的直角三角形的性质可得，由勾股定理求出BC的长，继而求出△BCD的周长即可.
21．如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，并交AC于点E，其中∠A=∠D=40°．求∠B和∠ACD的度数．
【答案】解：∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠B+∠D=90°，
∵∠D=40°，
∴∠B=90°-∠D=90°-40°=50°；
∴∠ACD=∠A+∠B=40°+50°=90°．
【解析】【分析】先利用角的运算求出∠B=90°-∠D=90°-40°=50°，再利用三角形外角的性质求出∠ACD=∠A+∠B=40°+50°=90°即可．
22．某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
【答案】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，
可得： ，
解得：x=15，
经检验x=15是原方程的解，
2x=2×15=30，
答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km
【解析】【分析】设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，根据题目中的语句：“一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，列出方程解方程即可．
23．甲、乙两公司为“2019东台西溪·国际半程马拉松比赛”各制作6400个相同的纪念牌，已知甲公司的人数比乙公司人数少20%，乙公司比甲公司人均少做20个，甲、乙两公司各有多少人？
【答案】解：设乙公司有x人，则甲公司有（1-20%）x人，
依题意得
解得x=80，
经检验x=80是原方程的解，
故乙公司有80人，则甲公司有60人.
【解析】【分析】 设乙公司有x人，则甲公司有（1-20%）x人， 则乙公司平均每个人所做的个数为个，则乙公司平均每个人所做的个数为 个，根据 乙公司比甲公司人均少做20个 ，即可列出方程求解并检验即可。
24．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.
（1）若则a>b.
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
（3）若ab=0，则a=0.
【答案】（1）解：若a>b，则逆命题是假命题
（2）解：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．逆命题是真命题．
（3）解：若a=0，则ab=0．逆命题是真命题
【解析】【分析】（1）先写出原命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可；
（2）先写出原命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可；
（3）先写出原命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可.
25．一位沙漠吉普爱好者驾车从甲站到乙站与大部队汇合，出发2小时后车子出了点故障，修车用去半小时时间，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达，已知甲、乙两站相距100千米，求他原来的行驶速度．
【答案】解：设这个人原来行驶的速度为xkm/h，根据题意得，
解得
经检验是原方程的解
答：他原来的行驶速度为30km/h．
【解析】【分析】 设这个人原来行驶的速度为xkm/h ，根据按时到达的时间=行驶2小时+修车的时间+提速后行驶的时间，列出方程并解之即可.
26．变换M：在平面直角坐标系中，先将点A向左平移5个单位，再将所得的点作关于y轴的对称点.若点A经过变换M后得到的点A'与点A重合，我们称点A为不动点.
（1）判断点A1（2，-5），A2（2.5，0）是否为不动点.
（2）已知点A（a，3）为不动点，求a的值.
【答案】（1）解：（1）把A1（2，﹣5）向左平移5个单位，对应点坐标为（﹣3，﹣5）；
∵（﹣3，﹣5）关于y轴的对称点的坐标为：（3，﹣5），
∴A1（2，﹣5）与（3，﹣5）不重合，不是不动点，
把A2（2.5，0）向左平移5个单位，对应点坐标为（﹣2.5，0）；
∵（﹣2.5，0）关于y轴的对称点的坐标为：（2.5，0），
∴A2（2.5，0）与（2.5，0）重合，是不动点
（2）解：点A（a，3）向左平移5个单位，对应点坐标为（a﹣5，3），
∵点A（a，3）为不动点，
∴a＝5﹣a，
解得：a＝2.5
【解析】【分析】（1）根据新定义的含义得到A1（2，﹣5）变换后的点的坐标为（3，﹣5），结合新定义可得答案，同理可判断A2是不是不动点；
（2）根据新定义的含义得到A（a，3）变换后的点的坐标为（5﹣a，3），结合新定义建立方程可得答案.
27．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
【解析】【分析】掌握全等三角形SAS的判定方法。
28．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】【分析】先化简分式，再将m的值代入计算求解即可。
29．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线．求∠EAD的度数．
【答案】解：∵∠B=40°，∠C=62°，
∴∠BAC=180°-62°-40°=78°，
∵AE为∠BAC角平分线，
∴∠CAE=78°÷2=39°，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=90°-62°=28°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=39°-28°=11°，
即∠EAD的度数是11°．
【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数，然后根据AE为角平分线，求出∠BAE的度数，最后在Rt△DAC中，求出∠DAC的度数，即可求出∠EAD的度数．
30． 如图，把一段铁丝分成相等的三段，可围成边长为的等边三角形.若把这段铁丝分成相等的四段，则可围成边长为的正方形.求该段铁丝的长.
【答案】解：由已知可得：3（）=4（），
∴a2+13=6a+4，
a2-6a+9=0，
（a-3）2=0，
a=3.
∴3（）=3×（×9+）=22.
∴该段铁丝的长为22cm.
【解析】【分析】由已知可得等边三角形的周长和正方形的周长相等，据此列出方程，求解可得a的值，进而可以求出该铁丝的长.
31． 如图1，CD是的高，.
（1）证明：是直角三角形.
（2）如图2，若AE是角平分线，AE与CD相交于点F.请判断是否为等腰三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵CD是的高，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴是直角三角形.
（2）解：是等腰三角形.
理由：∵AE是角平分线，∴.
∵，
∴在中，，在中，，
∴.
∵，∴，
∴，∴是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）根据CD是 的高，可得∠ADC=90°，进而可知∠A+∠ACD=90°，在根据 ，可得∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，因此△ABC为直角三角形。
（2）根据AE是角平分线得到 ，再根据Rt△ADF与Rt△ACE的关系可得，最后根据对顶角相等即可证明。
32．如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从岛看A，C两岛的视角是多少度？从岛看两岛的视角呢？
【答案】解：由题意，C岛在A岛的北偏东，B岛在A岛的北偏东，C岛在B岛的北偏西，∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，
答：从岛看，两岛的视角，从岛看，两岛的视角是
【解析】【分析】先根据方向角确定∠CAD，∠BAD，∠EBC的度数，再利用两直线平行，同旁内角互补求出就∠ABE的度数，同时可求出∠BAC，∠ABC的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠ACB的度数.
33．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
∴，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为：
【解析】【分析】先解不等式组中的两个不等式得到由①得：；由②得：，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．
34．先化简，再求值：（），其中x＝8．
【答案】解：原式=
=
=-（x-3）
=-x+3，
当x=8时，原式=-8+3=-5.
【解析】【分析】先对括号内的分式进行分式的加减法运算，然后把分式的除法运算转化为乘法运算、将各分式的分子和分母分解因式，再进行分式的乘法运算，即可将分式化简，最后代值计算即可.
35．先化简 然后在1、2、﹣2三个数中选取一个你喜欢的数作为a的值代入计算．
【答案】解：原式=
=
= ，
∵当a=2和-2时，所给代数式无意义，
∴a=1，
∴原式= .
【解析】【分析】先根据分式混合运算的顺序把所给代数式化简，然后从1、2、﹣2三个数中选取一个使所给代数式有意义的数代入计算即可.
36．我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；
；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
（1）已知，请把a，b，c用“”连接起来；
（2）若，求的值；
（3）化简：．
【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：，∵，
∴原式；
（3）解：
．
【解析】【分析】（1）根据题意，利用逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小，即可得到答案；
（2）根据题意，利用逆用同底数幂和幂的乘方运算法则，化简得到进，将， 代入代数式，进行计算，即可求解；
（3）根据题意，利用逆用积的乘方运算法则，先计算乘方，结合乘法的结合律，进行计算，即可求解．
（1）解：∵
∴
（2）解：，
∵，
∴原式；
（3）解：
．
37．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
【答案】解：设该工厂原来平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产(x+50)台机器．
根据题意得，解得x=150．
经检验知x=150是原方程的根．
答：该工厂原来平均每天生产150台机器．
【解析】【分析】找出等量关系式， 现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同 ，列方程 解得x=150 。
38．已知．
（1）化简T；
（2）若是抛物线的顶点坐标，请求出T的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
代入（1）中化简后的代数式得：原式．
【解析】【分析】
（1）由题意，先将各分式的分母分解因式并约分，然后根据同分母的分式加减法则“同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减”即可求解；
（2）将抛物线的一般形式化为顶点式可确定顶点坐标，然后代入（1）中化简后的代数式计算即可求解．
（1）解：
；
（2），
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
代入（1）中结果得：原式．
39．阅读下面的解题过程．
计算：
解：因为
所以原式，
根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题：
（1）根据发现的规律，填空： ．
（2）利用发现的规律，计算：．
（3）类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）解：
，
．
（3）解：
，
∵，
∴，
原式
【解析】【解答】（1）由
可得．
【分析】（1）根据前3个等式的变换，总结规律，即可求出答案.
（2）添括号化简，再根据（1）中规律化简，再根据分式的加减即可求出答案.
（3）根据（1）中规律化简，由题意可得，再整体代入即可求出答案.
（1）由
可得．
（2）
，
．
（3）
，
∵，
∴，
原式
40．宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸）
（1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？
（2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？
【答案】（1）解：设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣张，由题意得：．
解得．
检验，是原分式方程的解，且符合题意．
∴．
答：该工厂的工人平均每天生产熟宣500张，该工厂的工人平均每天生产生宣1000张．
（2）解：设最多生产熟宣a张．由题意得：．
解得．
∴最多生产熟宣2000张．
答：最多生产熟宣2000张．
【解析】【分析】（1）设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣张，根据生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天，可列出方程．并进行求解、检验即可；
（2）设最多生产熟宣a张，根据 生产工期不超过12天 ，列出不等式．求解即可．
（1）解：设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣张，
由题意得：．
解得．
检验，是原分式方程的解，且符合题意．
∴．
答：该工厂的工人平均每天生产熟宣500张，该工厂的工人平均每天生产生宣1000张．
（2）解：设最多生产熟宣a张．
由题意得：．
解得．
∴最多生产熟宣2000张．
答：最多生产熟宣2000张．
41．（1）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长．
（2）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，若，，求的长．
【答案】解：（1）、c满足，a为方程的解，
又，，，
，，或（不满足三角形三边关系，舍去），
，，，
的周长；
（2），点B、F、C、E在同一条直线上，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出b和c的值，解绝对值方程，求出a的值，根据三角形两边的和大于第三边，由三角形两边的和大于第三边可推出三角形两边的差小于第三边确定a、b、c的值，即可求得的周长；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，再根据可得到的长，从而得到的长．
42．某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了25%。因此，按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟。前后两种收费标准每分钟收费各是多少
【答案】解：设原来的收费标准为元／分，则调低后的收费标准为元／分。
由题意，得，解得。
经检验，是所列方程的根，且符合题意。
（元／分）。
答：原来的收费标准为0.2元／分，调低后的收费标准为0.15元／分。
【解析】【分析】设调费前每分钟收费x元，则调费费后每分钟收费（1-25%）x元，根据“ 按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟 ”，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论.
43．扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量
【答案】解：设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本
由题意列方程，得
解得 x=20，
经检验x=20是方程的解.
答：卓玛平均每分钟清点图书的数量为20本
【解析】【分析】设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本，则扎西平均每分钟清点图书的数量为（x+10）本，根据卓玛清点完200本图书所用的时间与扎西清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可.
44．如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以每秒9°的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠AEM的度数；
②当直线EM与直线PN平行时，求t的值．
【答案】（1）解：∠AEP＝150°；
（2）解：①当PN平分∠EPF时，求得运动时间t的值为3秒，9秒，15秒.
∠AEM＝3×9°＝27° 或∠AEM＝9×9°＝81° 或∠AEM＝15×9°＝135°
②
【解析】【解答】解：（1）∵ PF⊥CD，∠FPE=60°，
∴ ∠PEB=30°，
∴ ∠AEP=150°；
（2）②当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，又∵0≤∠EPN≤60°，
∴ ∠MEP=150°-9t，且，
当150°-9t=10°（12-t），无解；
当，150°-9t=10（t-12），解得，t=；
故t=.
【分析】（1）根据垂线的定义和三角形的内角和定理即可求得；
（2）①根据角平分线的定义，先求出t的值，再计算∠AEM即可；
②根据平行线的性质可得∠MEP=∠EPN，再根据∠EPN的取值范围求得t的取值范围，再分两种情况：当时和当时，根据∠MEP=∠EPN列出关于t的方程，即可求得.
45．【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系．
【应用】（1）如图，，A，B分别在，上，平分交于点C．
①如图1，D为B点右侧的直线上一点，平分交于点E．当，，求和的度数；
②如图2，若点D在射线上运动，平分交于点E．过点E作，垂足为F，请求出与的数量关系．
【拓展】（2）如图3，，连接，且，射线自顺时针旋转至便立即回转，射线自顺时针旋转至便立即回转，两条射线不停交叉．射线转动的速度是4度/秒，射线转动的速度是12度/秒，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当射线第一次从转至的过程中，与互相垂直时，请求出此时t的值．
【答案】解：（1）①，
，
，
平分，
．．
，
又平分，
；
②如图所示，当点D在线段上时，设，，，
∵平分，平分．
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，即；
如图所示，当点D在延长线上时，
平分，平分．
，
设，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
，
，
；
综上所述，或；
（）①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
与互相垂直，
，
∴，
解得：；
②如图所示，当返回时，则，
同理可得，
与互相垂直，
，
解得：；
③当第次从出发，与垂直时，如图所示，
∵，
∴，
∵，
，
解得：
综上所述，或或时，与互相垂直．
【解析】【分析】（1）①根据两直线平行，内错角相等得到，，即可得到，然后利用角平分线的定义得到，再根据平角的定义解答即可；
②分点D在线段上和的延长线上，两种情况根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质列等式计算解题；
（2）分三种情况讨论，①当，未相遇，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据平行线的性质和垂直的定义列一元一次方程解题即可．
46．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的长．
【答案】（1）解：证明：如图，连接．
，点M、点N分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵N是的中点，
∴是的垂直平分线，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
∴cm，
答：的长是．
【解析】【分析】（1）连接．根据直角三角形斜边上中线的性质可得，根据线段垂直平分线的判定即可证明结果；
（2）由及可得，再由得，在中，根据含30度角直角三角形的性质即可求得的长．
47． 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，．
问题：
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：令①
将等式两边同时乘2得
②
②①得
（2）解：令4T=，
则T=，①
将等式两边同时乘3得
则3T=，②
由②-①得，
2T=，
则=4T=.
【解析】【分析】(1)类比参考材料解题思路，通过构造新的数，使得与原数相减消除中间项；
(2)此处需注意为形成材料中的结构需先对每一项提因数4，后同材料处理方式形成错位相减即可计算出结果；
48．如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）的度数；
（2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论．
【答案】解：（1）∵AP是∠DAB的角平分线，CP是∠DCB的角平分线，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
∵∠PNB=∠P+∠PAB，∠PNB=∠B+∠PCB，∠PMD=∠P+∠PCD，∠PMD=∠D+∠DAP，
∴∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP
∴2∠P=∠B+∠D
∵∠B=28°，∠D=38°
∴∠P=33°
（2）．
【解析】【解答】解：（2） ∠P=，理由如下：
∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P
∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB
∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D
∵，
∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP）
∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)
∵，
∴∠P=
【分析】（1）根据角平分线可以得到∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，利用三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP，然后根据等式性质得出得出2∠P=∠B+∠D，结合题目给出的已知条件即可求解；
（2） 利用三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠PCD-∠DAP=∠D-∠P，∠DAB-∠DCB=∠B-∠DB，结合题目中的已知条件得∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP），从而整体代入得出∠P和∠D、∠B之间存在的数量关系．
49．如图，已知为的外角，平分，且，过点作于点，交于点，为边上一点，平分．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：在中
，
是的外角
，
平分
，
，
，
（2）解：
于
，
，
在中
，
，
平分
，
，
，
，
【解析】【分析】 （1）根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠ACB，再利用三角形的外角求出∠CAD=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，最后根据角平分线以及平行线的判定方法证明求解即可；
（2）根据垂直求出∠EFC=90°，再根据角平分线求出 ，最后根据平行线的性质计算求解即可。
50．已知：在中，平分，、相交于点，
（1）如图①，若，，，求的大小.
（2）如图②，若平分，且，求的大小.
（3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系.
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）∵CO⊥ BC，
∴∠ BCO=90° ，
∵∠ BOC=50° ，
∴∠ OBC=180° -∠ BCO-∠ BOC=180° -90° -50° =40° ，
又∵BO平分∠ ABC，
∴，
∴∠ A=180° -∠ ABC-∠ ACB=180° -80° -42° =58° ；
（2）在△ ABC中，∠ ABC+∠ ACB=180° -∠ A，
∵BO平分∠ ABC，CO平分∠ ACB，
∴，，
∴，
∴，
又∵∠BOC=3∠A，
∴，
解得：∠A=36° ；
（3）∵∠ACM是△ ABC的外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
又∵∠ACO：∠OCM=1：3，
∴，
∵BO平分∠ ABC，
∴，
又∵∠ACB=180° -∠A-∠ABC，，
∴∠ACB+∠ACO+∠BOC+∠OBC=180° ，
即180° -∠A-∠ABC+( ∠A+∠ABC)+∠A+∠ABC=180° ，
解得：∠A=5∠ABC．
【分析】1）根据直角三角形的两锐角互余求出∠OBC的度数，然后根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）先利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理得求解；
（3）利用三角形的外角和角平分线的定义求解，关键是用∠A表示其它的角。
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