中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期末·50道解答题专练】北师大版数学八年级上册期末总复习
1．如图，在中，平分，；
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，且，求的度数．
2．现有四个实数：①，②，③，④
（1）将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）．
有理数：_________；无理数：__________．
（2）请在数轴上近似表示出以上四个实数．
（3）请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接．
________________________
3．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD=45°，求∠COE的度数．
4．如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°。
（1）AD与BC平行吗 为什么
（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗 如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行。
5．2023年第19届亚运会将在杭州举行，某校举办了“迎亚运，展风采”知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数，为了解学生对亚运
知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩，结果如下：
七年级10名学生的竞赛成绩：94，83，94，85，96，94，88，95，87，84．
八年级10名学生的竞赛成绩：83，95，86，84，95，82，89，95，91，100．
对上述两个年级各10名学生的竞赛成绩做如下分析：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 90 b 91 d
八年级 a 95 c 34.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请直接写出a，b，c，d的值．
（2）你认为上述七、八年级各10名学生的竞赛成绩哪个年级好？为什么？
（3）圆圆说：“由样本数据可以估计本次竞赛七年级学生中肯定没有同学得满分”．你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由．
6．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE.
（1）求证：DE∥AC；
（2）若∠BED=60°，试判断△AEF的形状，并说明理由.
7．如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．求图中阴影部分的面积．
8．爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解答的：
，
，即，
，
．
请你根据小明的思维方法，解决如下问题：
（1）计算：；
（2）已知：，求的值；
（3）计算：___________．
9．已知关于 a、b的方程组 中，a为负数，b为非正数.
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
10． 快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．
（1）甲乙两地之间的路程为 km；快车的速度为 km/h；慢车的速度为 km/h；
（2）出发 h，快慢两车距各自出发地的路程相等；
（3）快慢两车出发 h相距150km．
11．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F。
（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是 ；
（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明；
（3）在(2)的条件下，如图3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接，若∠AHB=∠GHC，EF=CF=6，EH=2FH，S ABH：SAGH=4：1，求GH的长.
12．某服装店用6200元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3300元．这两种服装的进价、标价见下表．
单价（元/件） A种 B种
进价 200 320
标价 300 500
（1）这两种服装各购进多少件？
（2）如果A种服装按标价的8折售出、B种服装按标价的7.5折售出，那么这批服装全售完后，服装店比按标价售出收入减少多少元？
13．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
（1）求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
（2）假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
14．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）.
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点B.
第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作BC，用皮尺测出BC的长度；
第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出BD的长度.
测量数据 测量项目 数值（单位：米）
图①中BC的长度 1
图②中BD的长度 5
…… ……
（1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆AB的高度.
（2）如图③，第三次操作：某同学从点D前行至点F处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离EF的长度为1米，求该同学前进的距离DF的长度.（≈1.73，结果精确到0.1）
15．一个正数的两个平方根为 ，求 的值和这个正数.
16．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的倒数等于它本身，求 +(a+b)m-m的立方根．
17．如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，∠EOF=90°，∠AOC=36°，求∠BOF的度数
18．一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．
（1）求所在直线的表达式．
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离．
19．若最简二次根式和是同类二次根式，求、平方和的算术平方根．
20．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，，线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？
21．某公司共有25名员工，下表是他们月收入的资料。
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 4 800 3 400 3 000 2 200
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
（1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元；
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6 276元。你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个统计量反映该公司全体员工月收入水平较为合适？请说明理由。
22．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数.已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20m；这种树的胸径为0.28m时，树高为22m.
（1）求y与x之间的函数表达式.
（2）当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少
23．如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数.
24．如图，用两个边长为的小正方形纸片沿中间对角线剪开，拼成一个大正方形．
（1）大正方形的边长是 ．
（2）丽丽同学想用这块大正方形纸片裁剪出一块面积为且长和宽之比为的长方形纸片，她能裁出来吗？请说明理由．
25．在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数．某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm．写出y与x之间的函数关系式，并求出所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度．
26．美宜佳超市为了让顾客感觉服务很温馨，在超市门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4米及2.4米以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临美宜佳”的语音.如图，一个身高1.6米的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等，请你计算迎宾门铃距离地面多少米？
27．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简：．
28．观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组
解
（1）通过归纳未知数的系数与解的关系，直接写出 的解.
（2）已知关于 x，y的 二元一 次 方 程组 （a≠b，a+b≠0）
①猜想该方程组的解；
②将你猜想的解代入方程组检验，并写出过程.
29．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
30．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，求出甲和乙的速度各为多少？（单位：米/分钟）
（2）求线段AB所在的直线的函数表达式；
（3）在整个过程中，请通过计算，t为何值时两人相距400米？
31．已知方程 的一个解是 ， ．如果 比 的 3 倍还多 1 ， 求 的值．
32．已知：直角三角形ABC的三边长为a，b，c，且b的平方根分别为 与 ，求c的值.
33．如图，已知 ， ， ， .AB与DE平行吗？为什么？
34． 在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）若轴，求点A的坐标；
（2）若轴，求线段的长；
（3）若点B到两坐标轴的距离相等，求a的值；
（4）若点，的面积为8，求点C的坐标．
35．打折前，买50件A商品和20件B商品用了1300元，买30件A商品和10件B商品用了750元．打折后，买100件A商品和100件B商品用了2800元，问比不打折少花了多少钱？
36．前段时间某中学为了做好学校体育室的建设工作，去“李宁体育用品”店购进一批篮球和足球．已知2个足球和3个篮球共需410元，5个足球和2个篮球共需530元．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）现在“李宁体育用品”店为了促销开展促销活动，店里所有商品按照同样的折扣打折销售，现在购买5个足球和5个篮球只需要680元，该店商品按照原价的几折销售？
37．如图，AD∥BC，FC⊥CD，∠1＝∠2，∠B＝60°．
（1）求∠BCF的度数；（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
38．为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间(单位：min)，并对数据进行整理.
（1）填空：
统计量 平均数/min 中位数/min 众数/min 方差
A 70 69.5 ① ②
B 72 ③ 69 14
（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势 请说明
理由.
39．如图所示，图①是由边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中正方形顶点A，B在围成的正方体中的距离的平方是多少？
40．已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标．
（1）若点P在y轴上，则点P的坐标为 ．
（2）若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为 ．
（3）若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为 ．
41．如图四边形中，，，，，，求四边形的面积．
42．小明和小丽两人同时到一家水果店买水果，小明买了1kg苹果和2kg香蕉，共花了20元；小丽买了3kg苹果和1kg香蕉，共花了30元.苹果和香蕉的价格各为多少
43．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（1，b），a，b满足，连接AB交y轴于C．
（1）直接写出a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，点P是x轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图2，直线BD交x轴于D（4，0），将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点Q（x，y）在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
44．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）（Ⅰ）填表
离开学校的时间/
离学校的距离/
（2）填空：
①书店到陈列馆的距离为 ；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 ；
④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为 h．
（3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
45．已知一次函数．当时，；当时，．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求该函数的图象与坐标轴围成的图形的面积．
46．一个三角形的三边长分别为 、 、 .
①求它的周长（要求结果化简）；
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
47．先阅读再解答：
（1）如图1，，试说明：；
（2）已知：如图2，，求证：；
（3）已知：如图3，，．求证：．
48．在平面直角坐标系中，对于点P和点A，若存在点Q，使得，且，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”．
（1）如图1，
①若点A的坐标为，则点A关于点O的“链垂点”坐标为______；
②若点为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，试求点C的坐标；
（2）如图2，图形G是端点为和的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D为图形G上的动点，对于点，存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出t的取值范围．
49．两位同学在解方程组 时，甲正确地解出方程组为 ，乙因为把c写错了而解得的解为 ，已知乙没有再发生其他错误，请确定a，b，c的值．
50．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
（1）若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点P2的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期末·50道解答题专练】北师大版数学八年级上册期末总复习
1．如图，在中，平分，；
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，且，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵平分，
．
由三角形内角和的性质可得：
又，
，
，
．
（2）解：，
．
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再由 可得，利用平行线的判定得结论；
（2）先利用平行线的判定与性质得出，从而得到，利用邻补角求出即可．
（1）解：与平行．
理由：∵平分，
．
，
，
，
，
．
（2）解：，
．
，
，
，
，
．
2．现有四个实数：①，②，③，④
（1）将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）．
有理数：_________；无理数：__________．
（2）请在数轴上近似表示出以上四个实数．
（3）请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接．
________________________
【答案】（1）①④，②③；
（2）解：各数在数轴上表示如下图所示：
（3），，，
【解析】【解答】解：（1），
有理数为：①④，无理数为：②③，
故答案为：①④，②③；
（3）由（2）得，
故答案为：，，，．
【分析】（1）根据有理数和无理数的概念进行求解即可；
（2）根据数轴的特点把数据表示在数轴上即可；
（3）利用数轴比较各数的大小即可.
（1）解：，
有理数是①④；无理数是②③；
故答案为：①④；②③；
（2）各数在数轴上表示如下：
（3）各数用“”连接为：，
故答案为：，，，．
3．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD=45°，求∠COE的度数．
【答案】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=∠BOD=45°，
∴∠COE=∠AOE+∠AOC=90°+45°=135°
【解析】【分析】根据垂直定义求出∠AOE，根据对顶角求出∠AOC，相加即可．
4．如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°。
（1）AD与BC平行吗 为什么
（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗 如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行。
【答案】（1）AD与BC平行。因为，所以。
因为，
所以（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）不能。当时，（答案不唯一）。
【解析】【分析】根据平行线的判定定理，即可得出结论.
5．2023年第19届亚运会将在杭州举行，某校举办了“迎亚运，展风采”知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数，为了解学生对亚运
知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩，结果如下：
七年级10名学生的竞赛成绩：94，83，94，85，96，94，88，95，87，84．
八年级10名学生的竞赛成绩：83，95，86，84，95，82，89，95，91，100．
对上述两个年级各10名学生的竞赛成绩做如下分析：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 90 b 91 d
八年级 a 95 c 34.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请直接写出a，b，c，d的值．
（2）你认为上述七、八年级各10名学生的竞赛成绩哪个年级好？为什么？
（3）圆圆说：“由样本数据可以估计本次竞赛七年级学生中肯定没有同学得满分”．你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）解：a=90，b=94，c=90，d=23.2；
（2）解：七年级10名学生掌握的相关知识较好，理由如下：虽然七、八年级竞赛成绩的平均数、但是七年级的竞赛成绩的中位数比八年级的高，方差比八年级的小，因此七年级学生掌握的相关知识较好；
（3）解：圆圆的说法错误，因为样本只代表部分数据，并不能表示七年级学生中没有同学得满分.
【解析】【解答（1）解：；
七年级10名学生的竞赛成绩中，94出现的次数最多，故众数b=94；
把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是89，91，故中位数；
故a=90，b=94，c=90，d=23.2；
【分析】 （1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案；
（2）通过比较平均数、中位数及方差即可得出答案；
（3）根据抽样调查的意义解答即可.
6．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE.
（1）求证：DE∥AC；
（2）若∠BED=60°，试判断△AEF的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠DAF，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EDA=∠EAD，
∴∠DAF=∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）解：△AEF是等边三角形，理由如下：
∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°，
由（1）知：∠OAE=∠OAF，
∴∠AEO=∠AFO，
又AO=AO，
∴ △ AOE △ AOF
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵DE∥AC，
∴∠EAF=∠BED=60°，
∴△AEF是等边三角形.
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的定义可得出 ∠EAD=∠DAF， 再根据垂直平分线的性质可得出AE=DE，进而得出∠EDA=∠EAD，所以∠DAF=∠EDA，根据平行线的判定可得出DE∥AC；
（2）△AEF是等边三角形。首先根据ASA可证得△ AOE △ AOF，进而得出AE=AF，再根据平行线的性质得出∠EAF=∠BED=60°，即可得出 △AEF是等边三角形。
7．如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．求图中阴影部分的面积．
【答案】解：∵如图所示：
由题意得：四边形ABGE，四边形CGFH，四边形EFMN都是正方形，且四边形ABGE的面积为24，四边形EFMN的面积为3，
∴，，FG=FH.
∴.
∴.
∴
【解析】【分析】先标出字母，由题意表示出①和③两个正方形的边长，利用大正方形边长－小正方形边长，即可得到阴影部分的正方形②的边长，进而可得阴影部分的长和宽，最后利用长方形的面积公式计算即可.
8．爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解答的：
，
，即，
，
．
请你根据小明的思维方法，解决如下问题：
（1）计算：；
（2）已知：，求的值；
（3）计算：___________．
【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）9
【解析】【解答】（3）解：，
∴
故答案为：（3）9；
【分析】（1）仿照题意，利用平方差公式将分母有理化，然后结合分式的性质“分子分母同时乘以同一个不为0的数或式子，分数值不变”，列式计算即可；
（2）根据（1）所求，变形得到，再将变形得到，最后代入计算即可；
（3）先计算得出，再把所求式子的每一项按照这种形式分母有理化后计算求解即可．
（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
∴
．
9．已知关于 a、b的方程组 中，a为负数，b为非正数.
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
【答案】（1）解：
(①+②)÷2得：a=m-3③，
将③代入②得：-3+m+b=-7-m
解得：b=-2m-4
∴方程组的解为
∵a为负数，b为非正数
∴
解得：-2≤m<3
∴m的取值范围为-2≤m<3
（2）解：∵2mx +x<2m+1
∴(2m+1)x<2m+1
∵不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1
∴2m+2<0
∴
∵-2≤m<3
∴-2≤m<-2
∴m=-1或m=-2
∴当m为-2或-1时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
【解析】【分析】(1)由方程组的解及a为负数，b为非正数，列出关于m的一元一次不等式组；
(2)由不等式 2mx+x<2m+1的解集为x>1及-2≤m<3，确定m的取值范围.
10． 快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．
（1）甲乙两地之间的路程为 km；快车的速度为 km/h；慢车的速度为 km/h；
（2）出发 h，快慢两车距各自出发地的路程相等；
（3）快慢两车出发 h相距150km．
【答案】（1）420；140；70
（2）
（3）
【解析】【解答】解：（1）由图象可知，甲乙两地之间的路程为420km，快车的速度为：慢车的速度为：
故答案为：第1空420；第2空140；第3空70；
（2）由图象和（1）可得，A的坐标为B的坐标为由图可知：快慢两车返程时，两车距各自出发地的路程相等，设出发x小时后，距各自出发地的路程相等，由题意得：
，
解得：
答： 出发 h，快慢两车距各自出发地的路程相等.
（3）由题意可得，分三种情况讨论，
第一种情形：没有相遇前， 相距150km ，
则由题意得
第二种情形：相遇后但快车没到乙地前，相距150km ，由题意得
第三种情形：快车从乙往甲返回，相距150km，
则由题意得
由上可得，出发相距150km．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，利用速度公式解答即可；
（2）根据函数图象中的数据和（1）可得，A的坐标为B的坐标为再根据快慢两车返程时，两车距各自出发地的路程相等列出关系式，求解即可解出本题；
（3）根据题意，分三种情况，第一种情形：没有相遇前；第二种情形：相遇后但快车没到乙地前；第三种情形：快车从乙往甲返回，利用分类讨论的方法，可以求得出发几小时快慢两车相距150km.
11．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F。
（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是 ；
（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明；
（3）在(2)的条件下，如图3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接，若∠AHB=∠GHC，EF=CF=6，EH=2FH，S ABH：SAGH=4：1，求GH的长.
【答案】（1）BE=EF+CF
（2）结论：BE=EF+CF
理由：∵∠BAC=90°
∴∠CAF+∠BAE=90°
又∵BEAF，CFAF
∴∠BEA=∠AFC=90°，∠ABE+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF
又∵AB=AC
∴在△ABE和△ACF中
∴△ABE△CAF(AAS)
∴AE=CF，BE=AF
∵AF=AE+EF
（3）解：根据（2）可知：BE=CF+EF=6+6=12
解得：EG=3
∴GH=
因此，GH的长为5.
【解析】【解答】（1）解：∵BEEF，CFEF
∴BE∥CF，∠ABE+∠BAE=90°，∠ACF+∠CAF=90°
∴∠EBC+∠FCB=180°
又∵∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠ABC+∠ACB=90°
∴（∠EBC-∠ABC）+（∠FCB-∠ACB）=90°
即∠ABE+∠ACF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°，∠ABE+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF，∠ACF=∠BAE
又∵AB=AC
∴在△ABE和△ACF中
∴△ABE△CAF（ASA）
∴AE=CF，AF=BE
∵EF=AF+AE
∴EF=BE+CF
故答案为：EF=BE+CF.
【分析】（1）首先通过(ASA或AAS)证明出△ABE△CAF，进而得出AE=CF，BE=AF，从而得出EF=AE+AF，由此即可得出结论：EF=BE+CF.
(2)首先，根据问题和图像可知，要想求证BE=EF+CF，只需求证BE=AF，AE=CF，由此只需求证：
△ABE△CAF，要想求证△ABE△CAF，已知：AB=AC，∠AEB=∠CFA=90°，只需证明∠ABE=∠CAF即可，根据∠BAC=90°可得：∠BAE+∠CAF=90°，又已知∠AEB=90°，即可得到∠ABE+∠BAE=90°，所以即可得出∠ABE=∠CAF，根据以上条件可通过(AAS)证明△ABE△CAF.
(3)先求出BE的长，根据BE=CF+EF=6+6=12，然后根据S△AGH和S△ABH的比值求出EG的长，最后根据勾股定理求出GH的长.
12．某服装店用6200元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3300元．这两种服装的进价、标价见下表．
单价（元/件） A种 B种
进价 200 320
标价 300 500
（1）这两种服装各购进多少件？
（2）如果A种服装按标价的8折售出、B种服装按标价的7.5折售出，那么这批服装全售完后，服装店比按标价售出收入减少多少元？
【答案】（1）解：设购进A种服装x件，B种服装y件，
依题意得：
解得：
答：购进A种服装15件，B种服装10件．
（2）解：300×（1-0.8）×15+500×（1-0.75）×10
=300×0.2×15+500×0.25×10
=900+1250
=2150（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2150元．
【解析】【分析】（1）由已知条件中与销售有关的数量关系列出方程组，求解即可。
（2）A种服饰8折售出，每件衣服较原标价减少60元，B种服饰7.5折售出，每件衣服较原标价减少125元，再结合第（1）题中已经求得的A、B两种服装的数量，即可求得打折售出比按标价售出收入减少的值。
13．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
（1）求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
（2）假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】（1）解：设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）解：（年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【解析】【分析】(1) 本题考察二元一次方程组在年龄问题中的应用，设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁。根据“爸爸和妹妹的年龄差 + 爷爷和小明的年龄差 = 95”，爸爸与妹妹的年龄差为，爷爷与小明的年龄差为，可列方程；根据“爸爸的年龄比爷爷小40岁”，可列方程；将两个方程联立，解得，，即爸爸36岁，爷爷76岁。
(2) 本题考察年份的计算，毕业年份 = 现在年份 - 今年年龄 + 毕业时的年龄。爸爸的毕业年份为年，爷爷的毕业年份为年。
（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）（年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
14．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）.
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点B.
第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作BC，用皮尺测出BC的长度；
第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出BD的长度.
测量数据 测量项目 数值（单位：米）
图①中BC的长度 1
图②中BD的长度 5
…… ……
（1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆AB的高度.
（2）如图③，第三次操作：某同学从点D前行至点F处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离EF的长度为1米，求该同学前进的距离DF的长度.（≈1.73，结果精确到0.1）
【答案】（1）解：设旗杆AB的高度为x米，根据题意可得：AD=x+1，
则在直角三角形ABD中 (图②)，根据勾股定理可
得：
即
解得： x=12，
所以旗杆AB的高度为12米.
（2）解： 作EG⊥AB于点G， 如图，
又∵AB⊥BF，EF⊥BF，
∴四边形BFEG是矩形， AE = AD= 13，
∴BG=EF=1，GE=BF，
∴AG=AB-BG=11，
则在直角三角形AEG中，根据勾股定理得：
即
解得： 即BF=6.92，
∴DF=6.92-5=1.92≈1.9；
该同学前进的距离DF的长约为1.9米.
【解析】【分析】(1)设旗杆AB的高度为x米，根据题意可得：AD=x+1(米)，则在直角三角形ABD中，根据勾股定理构建方程求解即可；
(2)作EG⊥AB于点G，如图，则由题意可得四边形BFEG是矩形， AE= AD=13米， 在直角三角形AEG中，根据勾股定理求出EG，即BF的长度即可解决问题.
15．一个正数的两个平方根为 ，求 的值和这个正数.
【答案】解：∵正数的两个平方根为 ，
∴（2a-6）+（3a+1）=0，
解得：a=1，即正数的平方根为-4和4，
则这个正数为16．
【解析】【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数求出a的值，即可确定出这个正数．
16．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的倒数等于它本身，求 +(a+b)m-m的立方根．
【答案】解：因为a，b互为相反数，所以a+b=0．因为c，d互为倒数，所以cd=1．因为m的倒数等于它本身，所以m=±1．
①当m=1时， +(a+b)m- m=1+0-1=0，所以 +(a+b)m-m的立方根为0；
②当m=-1时， +(a+b)m- m=1+0+1=2，所以 +(a+b)m-m的立方根为了2．
综上所述， +(a+b)m-m的立方根是0或 ．
【解析】【分析】由互为相反数的性质得出a+b=0，由互为倒数的性质得出cd=1， m的倒数等于它本身得出m=±1，然后分两种情况讨论：即m=1或m=-1，分别对原式计算求值，最后根据立方根的定义解答即可.
17．如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，∠EOF=90°，∠AOC=36°，求∠BOF的度数
【答案】解：因为∠AOC=36°（已知）
所以∠BOD=∠AOC=36°（对顶角相等）
因为OE平分∠BOD（已知）
所以∠BOE=∠BOD=（角平分线定义）
因为∠EOF=90°（已知）
所以∠BOF=∠EOF==72°（余角性质）
【解析】【分析】根据对顶角、角平分线以及余角的定义就能求出答案
18．一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．
（1）求所在直线的表达式．
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离．
【答案】（1）解：∵，
∴所在直线的表达式为．
（2）解：设所在直线的表达式为，
∵，
∴解得
∴．
甲、乙机器人相遇时，即，解得，
∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．
（3）解：设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离，
则乙机器人分钟后到地，地与地距离，
由，得．
∴．
答：两地间的距离为600米．
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的性质，即可求解；
（2）待定系数法求得 所在直线的表达式为，联立AO，求得交点的横坐标，即可求解；
（3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离，则乙机器人分钟后到地，地与地距离，联立解方程，即可求解．
19．若最简二次根式和是同类二次根式，求、平方和的算术平方根．
【答案】解：最简二次根式和是同类二次根式，
，，
即
解得，
、的平方和为，
、平方和的算术平方根为．
【解析】【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，则这几个二次根式就是同类二次根式，据此列列出方程组，求解得出x、y的值，进而再求出x、y的平方和，最后根据算术平方根的定义求出结果.
20．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，，线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？
【答案】解：当为斜边上的高时，最短，从而水渠造价最低，
，米，米，
米，
，即，
米，
元，
答：当水渠的造价最低时，长为米，最低造价是元．
【解析】【分析】当CD垂直AB即CD为斜边上的高时，CD最短，再利用三角形面积公式即可求出CD长，继而求出最低造价。
21．某公司共有25名员工，下表是他们月收入的资料。
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 4 800 3 400 3 000 2 200
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
（1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元；
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6 276元。你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个统计量反映该公司全体员工月收入水平较为合适？请说明理由。
【答案】（1）3400；3000
（2）解：用中位数或众数来描述更为恰当.
理由：平均数受极端值 45000元的影响，只有3个人的工资达到了6276元，不恰当.（答案不唯一）
【解析】【解答】解：(1)共有25名员工，中位数是第13名员工的月收入，
则中位数是3400元；
3000元出现了11次，出现的次数最多，则众数是 3000元.
故答案为：3400，3000.
【分析】(1)根据中位数的定义把这组数据按从小到大的顺序排列起来，找出最中间的一个数即可；根据众数的定义找出现次数最多的数据即可；
(2)根据平均数、中位数和众数的意义回答.
22．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数.已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20m；这种树的胸径为0.28m时，树高为22m.
（1）求y与x之间的函数表达式.
（2）当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少
【答案】（1）解： 设y与x函数解析式为，
把代入解析式得，解得，
y与x函数解析式为y=25x+15.
（2）解：y=25x+15，当x=0.3时，
答： 这种树的胸径为0.3m时，其树高是22.5m.
【解析】【分析】（1） 设y与x函数解析式为，把代入，可得y与x函数解析式为y=25x+15；
（2）由（1）得y=25x+15，把x=0.3代入，计算求解即可.
23．如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数.
【答案】∵ AB//CD，∠1=54°，
∴ ∠ABC=∠1=54°，
∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠ABD=2∠ABC =2×54°=108°，
∵ AB//CD，
∴ ∠ABD+∠CDB=180°，
∴ ∠CDB=180°-∠ABD=72°，
∵ ∠2=∠CDB，
∴ ∠2=72°.
【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠ABC=54°，再根据角平分线的定义可求得∠ABD=108°，再由平行线的性质可求得 ∠CDB=72°，根据对顶角相等即可求得∠2=72°.
24．如图，用两个边长为的小正方形纸片沿中间对角线剪开，拼成一个大正方形．
（1）大正方形的边长是 ．
（2）丽丽同学想用这块大正方形纸片裁剪出一块面积为且长和宽之比为的长方形纸片，她能裁出来吗？请说明理由．
【答案】（1）4
（2）解：设长方形纸片的长为，宽为：，
∴，解得，
∴，
∴不能使裁下的长方形纸片的长宽之比为：，且面积为．
【解析】【解答】解：（1）两个正方形的面积之和为：，
∴拼成的大正方形的面积为：，
∴大正方形的边长为：，
故答案为：4；
【分析】（1）已知两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；
（2）先设长方形纸片的长为，宽为：，根据面积公式列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长进行比较即可判断．
25．在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数．某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm．写出y与x之间的函数关系式，并求出所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度．
【答案】解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，由题意得：14.5=b，16= 3k+b，
解得k=0.5．
故y与x之间的关系式为y=0.5x+14.5；
当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5．
答：当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度为16.5 cm．
【解析】【分析】设y与x的函数关系式为y=kx+b，利用已知条件可知此函数图象经过（0，14.5）和（3，16），将这两点坐标分别代入函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，由此可得到函数解析式；再将x=4代入可求出对应的y的值.
26．美宜佳超市为了让顾客感觉服务很温馨，在超市门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4米及2.4米以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临美宜佳”的语音.如图，一个身高1.6米的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等，请你计算迎宾门铃距离地面多少米？
【答案】解：作于点，
设迎宾门铃距离地面米，则，，，，
在中，由勾股定理得：，，解得：.
答：迎宾门铃距离地面2.6米.
【解析】【分析】过点B作BE⊥DC于点E，设CD=BD=x米，则DE可用含x的式子表示，在Rt△DBE中，由勾股定理得出方程求解x的值即可.
27．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】解：由数轴得：，，
，
．
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简可得，再结合数轴，利用特殊值法去掉绝对值，最后合并同类项即可。
28．观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组
解
（1）通过归纳未知数的系数与解的关系，直接写出 的解.
（2）已知关于 x，y的 二元一 次 方 程组 （a≠b，a+b≠0）
①猜想该方程组的解；
②将你猜想的解代入方程组检验，并写出过程.
【答案】（1）
（2）①猜想该方程组的解为
②将 代入 ax+ by=m的左边，得左边 右边；
将 代入 bx + ay = m 的左边，
得左边 右边，∴是方程组 的解
【解析】【解答】解：（1）观察表格中二元一次方程组系数和解的特点：方程组①式和②式未知数的系数交换存在的，两个方程等号右边的常数相同，得到两个方程的解相同，均为常数除两个未知数系数的和；
故可知 的解为：，
即：，
故答案为：.
【分析】（1）观察表格中，可以发现二元一次方程组未知数的系数互换且等号右侧结合相同，解的形式为x，y相等，等于右侧常数项除x，y系数的和，进而写出解即可.
（2）①根据表格和第一问对方程组解的确定方法进行猜想；
②根据猜想的结果，将方程组的解代入方程进行验证即可.
29．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
【答案】（1）解：设大、小两种垃圾桶的价格分别为x元、y元，由题意得
2x+4y=600
6x+8y=1560
解得x=180，y=60
故大、小两种垃圾桶的价格为180元和60元.
（2）解：由(1)得总价为180×8+60×60=1800元.
【解析】【分析】(1)设大、小桶的价格分别为x、y，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)由(1)中的结果直接计算总价即可.
30．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，求出甲和乙的速度各为多少？（单位：米/分钟）
（2）求线段AB所在的直线的函数表达式；
（3）在整个过程中，请通过计算，t为何值时两人相距400米？
【答案】（1）解：根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60＝40（米/分钟）．
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，
∴乙的速度为100﹣40＝60（米/分钟）．
答：甲的速度为40米/分钟；乙的速度为60米/分钟；
（2）解：乙从图书馆回学校的时间为2400÷60＝40（分钟），
40×40＝1600，
∴A点的坐标为（40，1600）．
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b，
∵A（40，1600），B（60，2400），
∴，
解得，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t；
（3）解：两种情况：①迎面：（2400﹣400）÷100＝20（分钟），
②走过：（2400+400）÷100＝28（分钟），
∴在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米．
【解析】【分析】（1）结合图象信息，当t=24分钟时两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；
（2）首先求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，再运用待定系数法求解即可；
（3）分相遇前后两种情况解答即可．
31．已知方程 的一个解是 ， ．如果 比 的 3 倍还多 1 ， 求 的值．
【答案】解：∵方程 的一个解是 ，
，
∵b比a的3倍还多1 ，
，
，
解得 ．
【解析】【分析】将代入方程可得，再结合“b比a的3倍还多1”可得，最后求出a的值即可.
32．已知：直角三角形ABC的三边长为a，b，c，且b的平方根分别为 与 ，求c的值.
【答案】解：∵b的平方根分别为 与 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当c为直角三角形的斜边时，由勾股定理得： ；
当c为直角三角形的直角边时，由勾股定理得： ；
综上所述，c的值为5或 .
【解析】【分析】 由一个正数的两个平方根互为相反数可得，据此求出a、b值，分两种情况： 当c为直角三角形的斜边时或当c为直角三角形的直角边时，利用勾股定理分别计算即可.
33．如图，已知 ， ， ， .AB与DE平行吗？为什么？
【答案】解：平行，理由如下：
证明：∵CF∥DE，
∴∠DCF=180°-∠CDE
=180°-150°
=30°，
∴∠BCF=∠BCD+∠DCF
=55°+30°
=85°，
∴∠BCF=∠ABC，
∴AB∥DE.
【解析】【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出∠DCF的度数，根据∠BCF=∠BCD+∠DCF求出∠BCF的度数，进而得出∠BCF=∠ABC，依据内错角相等两直线平行即可得出结论
34． 在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）若轴，求点A的坐标；
（2）若轴，求线段的长；
（3）若点B到两坐标轴的距离相等，求a的值；
（4）若点，的面积为8，求点C的坐标．
【答案】（1）解：∵，点，
∴
∴
∴
∴点A的坐标为
（2）解：∵，点，
∴
∴
∴，
∴
（3）解：∵点B到两坐标轴的距离相等
∴
∴或
解得或
（4）解：∵，
∴点B和点C都在y轴右侧，且横坐标相等
∴轴
∴
∵，
∴
∴点A在y轴左侧
∵的面积为8，
∴
解得
∴
∴点C的坐标为．
【解析】【分析】（1）根据两直线平行得到，进而即可得到点A的坐标；
（2）根据两直线平行得到，据此求出a的值，进而即可求出AB的长度；
（3）根据点B到两坐标轴的距离相等得到，解此等式即可求解；
（4）根据点的坐标可得到：点B和点C都在y轴右侧，且横坐标相等，进而得到BC的长度且点A在y轴左侧，最后根据三角形面积计算公式即可得到a的值，进而得到点C的坐标.
35．打折前，买50件A商品和20件B商品用了1300元，买30件A商品和10件B商品用了750元．打折后，买100件A商品和100件B商品用了2800元，问比不打折少花了多少钱？
【答案】解：设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，
由题意，可得，
解方程组，得．
打折前买100件A商品和100件B商品需用（元）．
打折后比不打折少花（元）．
答：比不打折少花了700元．
【解析】【分析】设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，根据买50件A商品和20件B商品用了1300元可得50x+20y=1300；根据买30件A商品和10件B商品用了750元可得30x+10y=750，联立求出x、y的值，然后求出打折前买100件A商品和100件B商品的费用，再减去打折后的费用即可.
36．前段时间某中学为了做好学校体育室的建设工作，去“李宁体育用品”店购进一批篮球和足球．已知2个足球和3个篮球共需410元，5个足球和2个篮球共需530元．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）现在“李宁体育用品”店为了促销开展促销活动，店里所有商品按照同样的折扣打折销售，现在购买5个足球和5个篮球只需要680元，该店商品按照原价的几折销售？
【答案】（1）解：设足球的单价是元，篮球的单价是元，
根据题意得，
解得，
答：足球的单价是元，篮球的单价是元．
（2）设该店商品按照原价的折销售，
根据题意得：，
解得：．
答：该店商品按照原价的八五折销售．
【解析】【分析】（1）设足球的单价是x元，篮球的单价是y元，根据题意可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设该店商品按照原价的a折销售，根据题中的相等关系“ 购买5个足球和5个篮球只需要680元”可列关于a的方程，解方程可求解.
37．如图，AD∥BC，FC⊥CD，∠1＝∠2，∠B＝60°．
（1）求∠BCF的度数；（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
【答案】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B＝60°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝60°，
又∵FC⊥CD，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°；
（2）DE∥AB，理由如下：
证明：∵AD∥BC，∠2＝60°，
∴∠ADC＝120°，
又∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝60°，
又∵∠1＝60°，
∴∠1＝∠ADE，
∴DE∥AB．
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等和已知求出∠2＝∠1＝∠B=60°，根据垂直定义及角的构成可求出∠BCF的度数；
（2）由二直线平行，同旁内角互补求出∠ADC=120°，由角平分线的定义求出∠ADE=60°，即可得出∠1＝∠ADE=60°，根据相等，两直线平行，得出DE∥AB.
38．为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间(单位：min)，并对数据进行整理.
（1）填空：
统计量 平均数/min 中位数/min 众数/min 方差
A 70 69.5 ① ②
B 72 ③ 69 14
（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势 请说明
理由.
【答案】（1）72；17.8；71
（2）解：B款无人机运行时间更有优势.理由如下：
因为B款无人机运行时间的平均数大于A款无人机，
所以B款无人机运行时间更有优势.(答案不唯一，合理即可)
【解析】【解答】解：(1)A组数据为64，66，67，68，69，70，72，72，72，80，
则其众数为72，方差为×[(64-70)2+(66-70)2+(67-70)2+(68-70)2+(69-70)2+(70-70)2+3×(72-70)2+(80-70)2]=17.8.
B组数据为68，69，69，69，70，72，72，74，77，80，
所以其中位数为=71，
故答案为：①72，②17.8，③71.
【分析】(1)根据众数、方差及中位数的定义求解即可；
(2)根据平均数、中位数、方差的意义求解即可.
39．如图所示，图①是由边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中正方形顶点A，B在围成的正方体中的距离的平方是多少？
【答案】解：如图所示，连接AB，
根据题意，得∠ACB= 90°，
由勾股定理，得AB2= BC2+AC2=12+12=2．
【解析】【分析】 连接AB， 由展开图到正方体可知∠ACB=90°，利用勾股定理求AB长即可.
40．已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标．
（1）若点P在y轴上，则点P的坐标为 ．
（2）若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为 ．
（3）若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为 ．
【答案】（1）（0，-3）
（2）（1，-1）
（3）（3，3）
【解析】【解答】解：（1）∵点P在y轴上，
∴m=0，
∴2m-3=2×0-3=-3，
∴点P的坐标为（0，-3）；
故答案为：（0，-3）.
（2）∵点P的纵坐标与横坐标互为相反数，
∴m+(2m-3)=0，解得：m=1，
∴点P的坐标为（1，-1）；
故答案为：（1，-1）.
（3）∵ 点P在一、三象限角平分线所在直线上，
∴m=(2m-3)，解得：m=3，
∴点P的坐标为（3，3）.
故答案为：（3，3）.
【分析】（1）根据y轴上的点的坐标特征“横坐标为0”可求得m的值，把求得的m的值代入点P的坐标计算即可求解；
（2）根据互为相反数的性质“鱼尾相反数的两个数的和为0”可得关于m的方程，解方程求出m的值，把求得的m的值代入点P的坐标计算即可求解；
（3）根据一三象限角平分线上的点的坐标的性质“横纵坐标都相等”可得关于m的方程，解方程求出m的值，把求得的m的值代入点P的坐标计算即可求解.
41．如图四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】解：∵，，∴，
∵，
∴根据勾股定理得：，
又，
∴根据勾股定理得：，
则．
【解析】【分析】在直角三角形中，根据勾股定理得到长，然后根据勾股定理得到长，然后利用解答即可．
42．小明和小丽两人同时到一家水果店买水果，小明买了1kg苹果和2kg香蕉，共花了20元；小丽买了3kg苹果和1kg香蕉，共花了30元.苹果和香蕉的价格各为多少
【答案】解：设1kg苹果x元，1kg香蕉y元，由题意得：
，
解之得： ，
∴苹果的价格是8元，香蕉的价格是6元.
【解析】【分析】根据题意，设1kg苹果x元，1kg香蕉y元，列出方程，解方程即可.
43．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（1，b），a，b满足，连接AB交y轴于C．
（1）直接写出a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，点P是x轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图2，直线BD交x轴于D（4，0），将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点Q（x，y）在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
【答案】（1）﹣3；4
（2）过点B作BM⊥x轴于M，如图1，设P（p，0），
由（1）知B（1，4），
∴BM＝4，
∵三角形ABP的面积为12，
∴AP BM＝12，
∴AP＝6，
∵A（﹣3，0），
∴|p+3|＝6，
∴p＝﹣9或3，
∴点P的坐标为（﹣9，0）或（3，0）；
（3）设点B向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，则点D平移后的对应点恰好是点E（0，﹣4）．连接DQ，过点Q作QR⊥x轴，如图2，
∵AE∥BD，
∴三角形ADQ的面积＝三角形ABQ的面积，
当三角形ABQ的面积＝三角形ABD的面积时，QR＝yB＝.
当Q在第三象限时， Q点纵坐标为.
∵A（-3，0）、E（0，-4），
∴设AE所在直线的函数解析是为y=kx+b，代入A、E点，得，即解析是为：
代入到，解得：x=-2.
当点Q在第二象限时， Q点纵坐标为.
代入到中，解得x=-4.
∴当三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的时，点Q的横坐标x的取值范围是﹣4≤x≤﹣2，且x≠﹣3．
【解析】【解答】解：（1）、∵ ，而，
∴.
∴.
∴解得a=-3，b=4；
【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性求出a，b；
（2）因为对△ABP而言，以AP为底的高BM固定，则决定其面积大小的就是AP的长. 结合已知条件，三角形面积公式等不难计算出AP的长. 但需要注意P点可以在A点的左侧或右侧，因此有两个取值；
（3）解题的关键在于作辅助线QD，如此一来相当于将△ABQ“挪”到了△ADQ的位置，面积不变，而△ADQ与△ABD等底，因此△ADQ与△ABD的面积之比就等于高之比，也就能计算出Q的纵坐标. 至于其Q的横坐标，则根据其所在象限（第二、或第三）分情况讨论，但不论那种情况，Q点必须在AE上，则就需要求出AE所在直线的解析式，代入Q的纵坐标求解.
44．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）（Ⅰ）填表
离开学校的时间/
离学校的距离/
（2）填空：
①书店到陈列馆的距离为 ；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 ；
④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为 h．
（3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（1）解：∵当时，函数关系式为∴当x=0.5时，．故第一空为10．
当时，．故第二空为12．
当时，．故第三空为20．
（2）8；3；28；或
（3）解：当时，；当时，；当时，．
【解析】【解答】解：（Ⅱ）①李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆．由图象可知书店到陈列馆的距离；
②李华在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校．由图象可知李华在陈列馆参观学习的时间；
③当时，函数关系式为，所以李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28；
④当李华离学校的距离为时，或
由上对图象的分析可知：
当时，函数关系式为
令，解得
当时，函数关系式为
令，解得
∴当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为或．
（Ⅲ）由上对图象的分析可知：
当时，；
当时，；
当时，．
【分析】（Ⅰ）根据函数图象中的数据直接求解即可；
（Ⅱ）根据函数图象中的数据，再结合“速度、时间和路程”的关系求解即可；
（Ⅲ）结合函数图象中的数据，再利用待定系数法求出函数解析式即可.
45．已知一次函数．当时，；当时，．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求该函数的图象与坐标轴围成的图形的面积．
【答案】（1）解：由当时，；当时，可得，解得，，
该一次函数的表达式为；
（2）解：如图，设函数图象与轴、轴分别交于点、，
当时，；
即点坐标为
当时，；即点坐标为
．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式.把，，代入，解方程组即可得出答案；
（2）根据（1）得出的一次函数的解析式，求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标.利用交点坐标即可求出图形的面积.
46．一个三角形的三边长分别为 、 、 .
①求它的周长（要求结果化简）；
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
【答案】【解答】① + + = + + × = + + = ．②根式内取偶数的完全平方数，如3x=36时，x=12，此时三角形的周长C=15.
【解析】【分析】会计算根式的加法，并能够根据题意求出适当的x值满足题目要求，x值不唯一．
47．先阅读再解答：
（1）如图1，，试说明：；
（2）已知：如图2，，求证：；
（3）已知：如图3，，．求证：．
【答案】（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：延长和反向延长相交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥EF∥CD，然后根据二直线平行，内错角相等得∠B=∠BEF，∠FED=∠D，最后根据角的和差及等量代换可得答案；
（2）过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥EF∥CD，然后根据二直线平行，同旁内角互补得∠B+∠BEF=180°，∠FED+∠D=180°，进而将两个等式相加并结合角的和差可得结论；
（3）延长BF和反向延长CD相交于点G，根据二直线平行，内错角相等得∠ABF=∠G，结合∠ABF=∠DCE可得∠G=∠DCE，由同位角相等，两直线平行，得BG∥CE，最后再根据根据二直线平行，内错角相等得∠BFE=∠FEC.
48．在平面直角坐标系中，对于点P和点A，若存在点Q，使得，且，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”．
（1）如图1，
①若点A的坐标为，则点A关于点O的“链垂点”坐标为______；
②若点为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，试求点C的坐标；
（2）如图2，图形G是端点为和的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D为图形G上的动点，对于点，存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）解：①，.
②如图，
过点C且与x轴平行的直线，交y轴于点M，过点B作于点N，于点Q，
∵，
∴，，
设点，则，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，解得，
∴点C的坐标为.
（2）
【解析】【解答】（1）解：如图，
设点E、F为点A关于点O的“链垂点”，
∵点A的坐标为，
∴，，
∵点E、F为点A关于点O的“链垂点”，
∴，，
∴将顺时针转得到，将逆时针转得到，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：如图，
过点D作轴于点K，过点E作，交图形H的边于点M（M在第三象限），则，
设端点为、的线段的直线的解析式为，
∴，解得，
∴端点为、的线段的直线的解析式为，
∵点D为图形G上，
，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点D作轴于点K，过点E作，交图形H的边于点M（M在第四象限），则，如图，
则，，，，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，t的取值范围为．
【分析】（1）①由“链垂点”的定义可得，，证得，可得，，即可求解；②设点，则，，证明可得，，从而可得，，再求解即可.
（2）过点D作轴于点K，过点E作，交图形H的边于点M（M在第三象限），则，利用待定系数法求得端点为、的线段的直线的解析式为，证明得，即，，即可求解；
过点D作轴于点K，过点E作，交图形H的边于点M（M在第四象限），则，同理可证，，得，即，即可求解．
（1）解：由题意得，点E、F为点A关于点O的“链垂点”，如图，
∵点A的坐标为，
∴，，
∵点E、F为点A关于点O的“链垂点”，
∴，，
∴将顺时针转得到，将逆时针转得到，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
②点为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，如图，
过点C且与x轴平行的直线，交y轴于点M，过点B作于点N，于点Q，
∵，
∴，，
设点，则，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴点C的坐标为；
（2）解：点D为图形G上的动点，对于点，存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，如图，
过点D作轴于点K，过点E作，交图形H的边于点M（M在第三象限），则，
设端点为、的线段的直线的解析式为，
∴，
解得，
∴端点为、的线段的直线的解析式为，
∵点D为图形G上，
，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点D作轴于点K，过点E作，交图形H的边于点M（M在第四象限），则，如图，
则，，，，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，t的取值范围为．
49．两位同学在解方程组 时，甲正确地解出方程组为 ，乙因为把c写错了而解得的解为 ，已知乙没有再发生其他错误，请确定a，b，c的值．
【答案】解：由题意可知： 是cx﹣7y=8的解，
∴3c+14=8，
∴c=﹣2
由题意可知： 和 是ax+by=2的解，
∴
解得：
【解析】【分析】根据题意可知 和 是ax+by=2的解，从而可求出a与b的值，由因为 是cx﹣7y=8的解，所以可求出c的值．
50．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
（1）若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点P2的坐标．
【答案】（1）
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点
∴点
∴的“阶派生点”为：
即
当点在x轴上
，
解得：；
此时；
当点在y轴上
，
解得：；
此时；
∴点的坐标或．
【解析】【解答】（1）根据“a阶派生点”的定义可知，“3阶派生点”时，a=3
则点P（-1，5）的“3阶派生点”的横坐标=3×（-1）+5=2，
则点P（-1，5）的“3阶派生点”的纵坐标=-1+3×5=14，
∴点P（-1，5）的“3阶派生点”的坐标是（2，14）
【分析】本题考查二元一次方程组、坐标轴上的点的特征、点的平移规律。（1）根据“a阶派生点”的定义通过计算，可得点的坐标；（2）根据“a阶派生点”的定义列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可；（3）掌握点的平移规律和坐标轴上的点特征，即可求解。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
