【决战期末·50道解答题专练】沪科版数学八年级上册期末总复习（原卷版 解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期末·50道解答题专练】沪科版数学八年级上册期末总复习
1．如图，ACFE，∠1+∠3＝180°．
（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝78°，求∠BCD的度数．
2．小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 米；
（2）小明在文具店停留了 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 米；
（4）交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过250米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？
3．在中，已知第三边c的长是偶数，求c的长。
4．如图，已知△ABC，请作一个三角形，使它的面积是△ABC面积的2倍．
5．汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 80 100
乙 100 200
若设甲汉服的数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为元.
（1）求与之间的函数关系式，写出自变量范围；
（2）若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。
6．某商场销售A，B两种智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：
型号 A B
进价（元/部） 4400 2000
售价（元/部） 5000 2500
该商场计划购进这两种手机若干部，共需14.8万元，预计全部销售后可获毛利润共2.7万元．提示：毛利润=（售价一进价） ×销售量．
（1）该商场计划购进A，B两种手机各多少部？
（2）经过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A型手机的购进数量，增加B型手机的购进数量．已知B型手机增加的数量是A型手机减少的数量的3倍，并且用于购进这两种手机的总资金不超过15.6万元．问：该商场应该怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？求最大毛利润．
7．如图，在四边形中，，M，N分别是BD，AC的中点，
（1）求证：
（2）若，，求的长.
8．小明骑自行车上学，某天他从家出发骑行了一段路程，想起要买一本书，于是折回到他刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他在本次上学离家的距离与所用的时间的关系示意图，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）小明在书店停留了 分钟；
（2）本次上学途中，小明骑行的路程一共是 米；
（3）小明骑行过程中哪个时间段的速度最快，最快的速度是多少？
9．如图，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC．
（1）若BC=10cm，试求出△PAO的周长；
（2）若AB=AC，∠BAC=110°，试求∠PAO的度数；
（3）在（2）中，若无AB=AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由．
10．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小在驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米／时，汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示.
（1）求a的值；
（2）当时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速。（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米／时）
11．如图
（1）如图，在长方形ABCD中，长为3m，宽为ym.除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为xm.
①求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）；
②分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积：
③若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由。
（2）如图1，梯形上底AD的长为6cm，高CD=8cm，动点P以2cm/s的速度从A
点出发，以A-B-C-D的路径运动，记△PAD的面积为ycm2，y与运动时间（单位：s）的关系如图2所示，
①求BC的长：
②求图2中m，n的值；
③求点P在线段CD上运动时y与t的关系式.
12．有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．△ABC中，∠A=50°，求∠DBA+∠DCA的度数．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，求线段AE的长．
14．如图，AB=CD，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，且AE=DF．判断BF和CE的数量关系．并说明理由．
15．如图，点C在线段上，平分．
（1）证明：；
（2）若，求的面积．
16．已知O为坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△ABO=4，求k的值．
17．在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 与 的图象，并指出随着x值的增大，y的值分别如何变化.
18．随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当 0≤t≤0.2 和 t＞0.2 时，s 与 t 之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
19．如图，在Rt中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．
（1）求∠AOE得度数；
（2）求证：AC=AE+CD．
20．已知y
-2与x成正比,且当x=1时,y= -6.求y与x之间的函数关系式
21．下面是有关海拔与空气含氧量的一组数据：
海拔/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
空气含氧量/(g/m3) 299.30 265.50 234.80 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系 其中，哪个是自变量，哪个是因变量
（2）在海拔0m的地方空气含氧量是多少 在海拔4000m的地方空气含氧量是多少
（3）你估计在海拔5500m的地方空气含氧量是多少
22．如图，已知在中，，，是过点A的一条直线，于点D，于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求DE的长．
23．如图：，，，，
（1）图中、有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接，求证：平分．
24．如图，在中，，平分，于，连接，交于点．
（1）求证：是线段的垂直平分线；
（2）若，，求的长．
25．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于 AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
请判断四边形AFDE的形状，并说明理由．
26． 如图，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.
⑴在图1中作，使得与关于x轴对称.
⑵在图2中作AB边上的高CD.
27．在如图所示的方格纸中．
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移变换得到的？
（3）若点A在直角坐标系中的坐标为（﹣1，3），试写出A1、B1、C2坐标．
28．如图，一架直升机上午8时从A地出发，以200千米/时的速度向正北方向飞行，9时到达B处．据机场导航传来的信息，在C处有一座高山，因受天气影响，高山周围80千米能见度低，飞机飞行将会遇到危险．经测量，，．求：
（1）的长是多少？
（2）则该直升机继续向正北方向飞行有无危险？
29．如图，△ABC中，①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD，③BD＝CD，④AD⊥BC.请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理.
30．如图，峰峰先在一家白纸上用直尺画出了相等的线段AB和AC，然后用量角器作出了度数都为30°的∠ABD和∠ACD，最后连接AD，此时他就断定AD是∠BAC的平分线，你同意他的结论吗？如果同意，请证明；如果不同意，请说明理由．
31．将直角三角板的直角顶点O放在直线上，过点O作射线，使．
（1）如图1，当三角板的一边与射线重合时，直接写出的度数；
（2）将三角板绕点O逆时针转动，
①如图2，当平分时，求的度数；
②如图3，当时，求的度数．
32．某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资万元，到乙地耗资万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资万元，到乙地耗资万元，设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．
（1）用含x的代数式填写下表：
运往甲地（单位：台） 运往乙地（单位：台）
A省 　
B省 　 　
运往甲地耗资（单位：万元） 运往乙地耗资（单位：万元）
A省 　
B省 　 　
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）若总耗资不超过万元，共有哪几种调运方案
33．“健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球.若购买3个篮球和1个排球共需360元；若购买5个篮球和3个排球共需680元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？
（2）该学校计划购进篮球和排球共100个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用.
34．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE＝ （AD+AB）．请你猜想∠1和∠2有什么数量关系？并证明你的猜想．
解：猜想：．
证明：
35．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E.若BC=13cm，则△ADE周长是多少？
36．如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘。德国心理学家艾宾浩斯(HermannEbbinghaus，1850——1909)最早研究了记忆遗忘规律。他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线(如图所示)，这就是艾宾浩斯遗忘曲线。
观察图象，回答下列问题：
（1）经过2h，记忆保持了多少
（2）图中A点表示什么 在哪个时间段内遗忘的速度最快
（3）有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98%。根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样 由此，你有什么感悟
37．已知：OP平分∠MON，点A， B分别在边OM， ON上，且∠OAP+∠OBP= 180° .
（1）如图1，当∠OAP=90°时，求证： OA=OB；
（2）如图2，当∠OAP<90°时，作PC⊥OM于点C.求证：
①PA=PB；
②请直接写出OA，OB，AC之间的数量关系 ．
38． 某文具商店购买了两种类型文具A 和文具B销售，若购A文具5个，B文具3个，需要105元；若购进A文具8个，B文具6个，需要186元.
（1）求文具A，文具B的进价分别是多少元
（2）若每个文具A的售价为20元，每个文具B的售价为21元。结合市场需求，该商店决定购进文具A和文具B共80个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的且文具A和文具B全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案。
39．有五个足球队A，B，C，D，E分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线.小组赛结束后，如果A队的积分为9分，讨论：
（1）A队的战绩是几胜，几平，几负
（2）如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，A队能否出线
（3）如果小组赛中有一个队的积分为10分，A队能否出线
40．如图，△ABC中，AB＝AC，且AC上的中线BD把这个三角形的周长分成了12cm和6cm的两部分，求这个三角形的腰长和底边的长.
41．如图，在中，，，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且，连接AE、DE、DC.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
42．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数，x的图象向下平移1个单位得到.
（1）求这个一次函数的表达式.
（2）当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围.
43．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．
（1）填空：　 　　 　　 　；
（2）动点从点开始沿着射线方向运动，连接，若和的面积比为，求点的坐标．
44．如图，在中，，平分，于，若，求的度数．
45．一题多设问：如图①，在 中， AC，AB=DB，E是DB上一点，BE=BC，连接AE 并延长交CD于点 F.
图①
（1）求证：
（2）如图②，若 AF 为 的角平分线.
图②
求证： 为等腰三角形；
（3）如图③，连接FB，求证：
图③
（4）如图④，已知M为线段AE 上一点，N为线段CD上一点.
①若M，N分别是 AE，CD 的中点，试探究MB，NB 之间的数量关系，并说明理由；
②若M，N分别是AE，CD 上任意一点，MB⊥NB，①中的结论是否成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由
46．如图，一条直线分别交△ABC的边及延长线于D、E、F． ∠A=20°， ∠CED=100°， ∠ADF=35°．求 ∠B的大小．
47．如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线AB上，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且OE平分，OF平分，如图2．
（1）如图2，当时，
①求和的度数；
②求的度数．
（2）在直角三角尺旋转过程中，设，若，则
①求和的度数（用含的代数式表示）；
②的度数是否发生变化，请通过计算说明理由．
48．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，c的坐标分别为A(0，m)，B(-5，0)，C(n，0)，且(n-3) + =0．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线B0匀速运动，设点P运动的时间为ts．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）连接PA，若 PAB为等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当点P在线段B0上运动时间t= ▲ s时，使△AOP≌△AOC (请直接写出t的值，不需说明理由)
49．如图，已知中，，点D、E在直线BC上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点D向下作，交AB的延长线于点F，若，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FD、EA交于点G，连接BG，若，求四边形ACBG的面积．
50．已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．
（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．
①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期末·50道解答题专练】沪科版数学八年级上册期末总复习
1．如图，ACFE，∠1+∠3＝180°．
（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝78°，求∠BCD的度数．
【答案】解：（1）∠FAB＝∠4，理由如下：
∵ACEF，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴FACD，
∴∠FAB＝∠4。
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠2＝∠CAD，
∵∠2＝∠3，
∴∠CAD＝∠3，
∵∠4＝∠3+∠CAD，
∴，
∵EF⊥BE，ACEF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°．
【解析】【分析】此题主要考查平行线的判定与性质证明，解题的关键是熟知三角形的外角定理、垂直的定义．（1）利用“两直线平行、同旁内角互补”和“同旁内角互补、两直线平行”，可以推出FACD，最后利用“两直线平行、同位角相等”即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质及外角定理求出∠3，再根据垂直的定义列式计算即可求解．
2．小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 米；
（2）小明在文具店停留了 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 米；
（4）交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过250米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？
【答案】（1）1800
（2）3
（3）3000
（4）解：当时间在分钟内时，速度为：(米/分)，
当时间在分钟内时，速度为：(米/分)，
当时间在分钟内时，速度为：(米/分)，
15千米/时米/分，
∴在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内．
【解析】【解答】（1）解：由图象可得，小明家到学校的路程是1800米，
故答案为：1800；
（2）小明在书店停留了(分钟)，
故答案为：3；
（3）本次上学途中，小明一共行驶了：
(米)，
故答案为：3000；
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间；
（2）根据函数图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间；
（3）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程；
（4）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题．
（1）解：由图象可得，小明家到学校的路程是1800米，
故答案为：1800；
（2）小明在书店停留了(分钟)，
故答案为：3；
（3）本次上学途中，小明一共行驶了：
(米)，
故答案为：3000；
（4）当时间在分钟内时，速度为：(米/分)，
当时间在分钟内时，速度为：(米/分)，
当时间在分钟内时，速度为：(米/分)，
15千米/时米/分，
∴在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内．
3．在中，已知第三边c的长是偶数，求c的长。
【答案】解：∵三角形的两边长a、b分别为4和2，
∴4-2＜c＜4+2，
即2＜c＜6.
∵2＜c＜6 c为偶数，
∴c=4，即第三边的长为4
【解析】【分析】根据三角形的三边关系（第三边小于任意两边之和，大于两边之差）即可求出c的取值范围，再根据偶数结合题意即可求解。
4．如图，已知△ABC，请作一个三角形，使它的面积是△ABC面积的2倍．
【答案】解：如图，延长BC到D，使CD=BC，
则BD=2BC，
设点A到BC的距离为h，
则S△ABD= BD h= 2BC h=2 BC h=2S△ABC，
所以，△ABD即为所求作的三角形．
【解析】【分析】延长BC到D，使CD=BC，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比即可得解．
5．汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 80 100
乙 100 200
若设甲汉服的数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为元.
（1）求与之间的函数关系式，写出自变量范围；
（2）若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。
【答案】（1）解：由于甲汉服的数量为件，则乙汉服的数量为（120－x）件，
由题意得：
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：由题意得：
解得：，
由（1）知，，
∵一次项系数，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，y最大，
答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为元．
【解析】【分析】（1）总利润=甲服装的利润+乙服装的利润，据此列出函数解析式即可；
（2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，两种汉服共120件（2种服装都要） ，得出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出最大值．
（1）解：由题意得
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：∵乙的数量不能超过甲的数量的2倍，
∴
解得，
∴，
由（1）知，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，y最大，
答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两 种汉服获利最多，最大利润为元．
6．某商场销售A，B两种智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：
型号 A B
进价（元/部） 4400 2000
售价（元/部） 5000 2500
该商场计划购进这两种手机若干部，共需14.8万元，预计全部销售后可获毛利润共2.7万元．提示：毛利润=（售价一进价） ×销售量．
（1）该商场计划购进A，B两种手机各多少部？
（2）经过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A型手机的购进数量，增加B型手机的购进数量．已知B型手机增加的数量是A型手机减少的数量的3倍，并且用于购进这两种手机的总资金不超过15.6万元．问：该商场应该怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？求最大毛利润．
【答案】（1）解：设商场计划购进A 型手机x 部，B 型手机y 部，
则，解得
（2）解：设减少A 型手机a部，则增加B型手机3a部，由0.44（20-a）+0.2（30+3a）≤15.6，解得a≤5.设全部销售后获得毛利润为 w 万元，由题意，得 w= 0.06（20-a）+0.05（30+3a）=0.09a+2.7.当a=5时，w 最大，为3.15 万元.所以该商场购进A 型手机15部，B 型手机45部，全部销售后获得毛 利润最大，为3.15万元。
【解析】【分析】 （1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为14.8万元和两种手机的销售利润为2.7万元得出两个等量关系式，即可列出方程组求解即可解答；
（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加3a部，根据总资金部超过15.6万元列出不等式从而可求出a的取值范围，然后表示出用含a的式子表示总利润为W元，根据一次函数的性质可以求出最大利润及进货的方案．
7．如图，在四边形中，，M，N分别是BD，AC的中点，
（1）求证：
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：∵，点M为中点， ∴，即，
∵点N为中点，
∴；
（2）解：∵点M为中点，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵点N为中点，
∴．
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质．
（1）根据，点M为中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，进而推出，再根据等腰三角形“三线合一”可得：即可求证；
（2）根据题意可得：，根据“等边对等角”可得：，由结合四边形的内角和可得，即，则，使用勾股定理可求出：勾股定理可求出：，再根据点N为中点，即可求出答案．
8．小明骑自行车上学，某天他从家出发骑行了一段路程，想起要买一本书，于是折回到他刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他在本次上学离家的距离与所用的时间的关系示意图，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）小明在书店停留了 分钟；
（2）本次上学途中，小明骑行的路程一共是 米；
（3）小明骑行过程中哪个时间段的速度最快，最快的速度是多少？
【答案】（1）4
（2）2700
（3）解：当时，速度为（米/分钟），
当时，速度为（米/分钟），
当时，速度为0，
当时，速度为（米/分钟），
由上可得，小明骑行过程中，这个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是450米/分钟．
【解析】【解答】
解：（1）由图象可得，小明在书店停留了（分钟）；
故答案为：4.
（2）本次上学途中，小明骑行的路程一共：
（米）；
故答案为：2700.
【分析】
本题考查了根据函数图图象决问题，解答本题的关键是根据题意结合函数图象，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象可知：小明在书店停留时，路程不变，因而图象为8-12一段，计算可以解答本题；
（2）根据函数图象可知求出0-6，6-8，12-14三段路程的和，即可解答本题；
（3）根据题意要求速度最快： 可以分别计算各时间段的平均速度，比较即可．
（1）解：由图象可得，小明在书店停留了（分钟），
故答案为：4；
（2）解：本次上学途中，小明骑行的路程一共是（米），
故答案为：2700；
（3）解：当时，速度为（米/分钟），
当时，速度为（米/分钟），
当时，速度为0，
当时，速度为（米/分钟），
由上可得，小明骑行过程中，这个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是450米/分钟．
9．如图，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC．
（1）若BC=10cm，试求出△PAO的周长；
（2）若AB=AC，∠BAC=110°，试求∠PAO的度数；
（3）在（2）中，若无AB=AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：分别垂直平分．
的周长为．
的周长为．
（2）解：，
（3）解：能．理由如下：
．
由（1）知．
．
【解析】【解答】解： (1)分别垂直平分．
的周长为．
的周长为．
(2)，
∴，
分别垂直平分．
∴，
∴，
∴ ∠PAO =40°
【分析】 (1)、根据 分别垂直平分得出，求出的周长为，即可求出.
(2)、求出的度数，根据垂直平分线的性质求出即可求出.
(3)、因为 ∠BAC=110° 求出 ， 由（1）知，求出 ∠PAO的度数即可.
10．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小在驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米／时，汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示.
（1）求a的值；
（2）当时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速。（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米／时）
【答案】（1）解：根据题意，得100a=20，
解得：a=0.2
（2）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将代入关系式，得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为
（3）解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为（千米/小时），
∵114<120，
∴该辆汽车减速未超速
【解析】【分析】（1）根据平均速度=总路程÷总时间，即可得a的值；
（2）结合函数图象，直接利用待定系数法进行求解即可；
（3）先求出减速前行驶的路程，从而得减速前行驶的速度，再进行比较即可.
11．如图
（1）如图，在长方形ABCD中，长为3m，宽为ym.除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为xm.
①求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）；
②分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积：
③若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由。
（2）如图1，梯形上底AD的长为6cm，高CD=8cm，动点P以2cm/s的速度从A
点出发，以A-B-C-D的路径运动，记△PAD的面积为ycm2，y与运动时间（单位：s）的关系如图2所示，
①求BC的长：
②求图2中m，n的值；
③求点P在线段CD上运动时y与t的关系式.
【答案】（1）解：①：大长方形的长为3m，小长方形的宽是xm，
∴每个小长方形的长为3-3x（m)
②由题意可得，阴影M的长为3xm，宽是y-3+3x(m)，
∴SM=3x(y-3+3x)=3xy-9x+9x2(m2)；
∵阴影N的长为3-3x(m)，宽是y-2x(m)，
∴SN=(3-3x)(y-2x)=3y-6x-3xy+6x2(m2)
③∵SM-SN=3xy-9x+9x2-(3y-6x-3x+6x2)，
=6xy-3x+3x2-3y
=(6x-3)y-3x+3x2
当6x-3=0时，阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化
解得x=
（2）解：①由图2可知，点P从B-C的运动时间为11-5=6(s)，
∴BC=2×6=12(cm)
②根据题意得：m=S△PAD=AD×CD=×6×8=24(cm2)
n=(AB+BC+CD)÷2
=(2×5+12+8)÷2=15(s)
∴图2中m的值为24cm2，n的值为15s.
③由图2可知，点P在线段CD上运动时，11≤t≤15，
∴y=×6×[8-2(t-11)]=-6t+90，
即y=-6t+90(11≤t≤15).
【解析】【分析】
（1）①观察图形，大长方形的长为3m，小长方形的宽是xm，可以计算出每个小长方形的长；
②根据①分别表示出M的长和宽，N的长和宽，再根据长方形的面积公式计算；
③根据②用SM-SN表示出代数式，再根据 阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化 ，y的系数应该为零，这样可以计算出x的值；
（2）①根据图2，可以计算出点p从B-C的运动时间运动时间，根据速度×时间=距离，这样可以计算出BC的值；
②根据图2，可以确定m的值，只有点P在B的时候，△PAD的值最大，这个时候高的值是8值梯形的最大值，n的值通过点P总共走过的距离÷点P速度可得；
③根据图2，可以设11≤t≤15，在根据y与t关系，也就是S △PAD的面积与CD之间的关系，计算出y与t的关系式.
12．有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．△ABC中，∠A=50°，求∠DBA+∠DCA的度数．
【答案】解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠DBA+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）
=130°﹣90°
=40°
【解析】【分析】先根据∠A=50°，得到∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，再根据∠D=90°，可得∠DBC+∠DCB=90°，最后根据∠DBA+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）进行计算即可．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，求线段AE的长．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＋∠BCD＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°.
∴∠ECF＝∠B.
在△ABC和△FCE中，
∠B＝∠ECF，BC＝CE，∠ACB＝∠FEC＝90°，
∴△ABC≌△FCE(ASA)．
∴AC＝FE.
∵EC＝BC＝2 cm，EF＝5 cm，
∴AE＝AC－CE＝FE－BC＝5－2＝3(cm)
【解析】【分析】 根据同角的余角相等得∠ECF＝∠B，由全等三角形判定ASA得△ABC≌△FCE，由全等三角形性质得AC＝FE，由AE＝AC－CE＝FE－BC计算即可得出答案.
14．如图，AB=CD，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，且AE=DF．判断BF和CE的数量关系．并说明理由．
【答案】解：BF = CE．
理由如下：∵AE上BC，DF⊥BC．
∴∠AEB=∠DFC=90°．
在Rt△ABE和Rt△DCF中，AE=DF，AB=DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴BE=CF．∴BE+EF=CF+EF．∴BF=CE．
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理可得Rt△ABE≌Rt△DCF，则BE=CF，再进行边之间的转换即可求出答案.
15．如图，点C在线段上，平分．
（1）证明：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
又∵平分，
∴，
∴垂直平分，
∵．
∴，
∴，
即的面积是12．
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据角平分线性质可得，由垂直平分线性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
又∵平分，
∴，
∴垂直平分，
∵．
∴，
∴，
即的面积是12．
16．已知O为坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△ABO=4，求k的值．
【答案】把y＝0代入y＝kx＋b得kx＋b＝0，解得x＝ ，
所以B点坐标为（ ，0）；
把A（1，2）代入y＝kx＋b得k＋b＝2，则b＝2 k，
∵S△AOB＝4，
∴ ×| |×2＝4，即| |＝4，
∴| |＝4，
解得k＝ 或 ．
∴k＝ 或 ．
【解析】【分析】先表示出B点坐标为（ ，0）；再把A（1，2）代入y＝kx＋b得k＋b＝2，则b＝2 k，然后根据三角形面积公式得到 ×| |×2＝4，即| |＝4，所以| |＝4，然后解方程即可．
17．在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 与 的图象，并指出随着x值的增大，y的值分别如何变化.
【答案】解：列表得：
x ... 0 1 2 3 ...
... 0 1 ...
... 0 -1 ...
描点、连线得到图象：
中，y随x的增大而增大；
与中，y随x的增大而减小.
【解析】【分析】按照列表、描点、连线的步骤画出图象，再分析x，y的变化情况.
18．随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当 0≤t≤0.2 和 t＞0.2 时，s 与 t 之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
【答案】（1）解：s 与 t 之间的函数表达式为s=
（2）解： 由（1）可知0≤t≤0.2时，乙骑行的速度为15km/h，而甲的速度为18km/h，则甲在乙前面；
当t＞0.2时，乙骑行的速度为20km/h，甲的速度为18km/h，
设t小时后，乙骑行在甲的前面，
则18t＜20t-1，
解得：t＞0.5，
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
【解析】【分析】(1)根据图象分两段设出函数解析式，在用待定系数法即可求出函数解析式.
(2)分两种情况考虑： 0≤t≤0.2时和 t＞0.2时，再根据乙的路程大于甲的路程即可求解.
19．如图，在Rt中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．
（1）求∠AOE得度数；
（2）求证：AC=AE+CD．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵是的外角，
∴；
（2）解：证明：在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得 ，， 再利用三角形外角的性质可得；
（2）在上截取，连接，先证出，可得，再利用角平分线的定义可得，再利用“ASA”证出，可得，再结合，利用等量代换可得.
20．已知y
-2与x成正比,且当x=1时,y= -6.求y与x之间的函数关系式
【答案】解：由题意可设y-2=kx，
∵当x=1时，y=-6，
∴-6-2=k，即k=-8，
∴y-2=-8x，
∴y=-8x+2，
即：y与x之间的函数关系式是：y=-8x+2.
【解析】【分析】设y-2=kx，将x=1时,y= -6，代入解析式中，求出k值即得结论.
21．下面是有关海拔与空气含氧量的一组数据：
海拔/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
空气含氧量/(g/m3) 299.30 265.50 234.80 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系 其中，哪个是自变量，哪个是因变量
（2）在海拔0m的地方空气含氧量是多少 在海拔4000m的地方空气含氧量是多少
（3）你估计在海拔5500m的地方空气含氧量是多少
【答案】（1）上表反映了海拔和空气含氧量这两个变量之间的关系，其中，海拔是自变量，空气含氧量是因变量。
（2）在海拔0m的地方空气含氧量是299.30g/m3，在海拔4000m的地方空气含氧量是182.08g/m3。
（3）解：设估计在海拔5500m的地方空气含氧量是xg/m3。
解得x=150.7
∴估计在海拔5500m的地方空气含氧量是150.7g/m3。
【解析】【分析】（1）题结合数据表可以发现，海拔的升高导致空气含氧量的下降，因此上表反映了海拔和空气含氧量这两个变量之间的关系，其中，海拔是自变量，空气含氧量是因变量。（2）题从图中查找对应数据即可；（3）题首先假设在海拔5500m的地方空气含氧量是xg/m3。因为海拔5500m在数据表的海拔5000-6000之间，因此x也在141.69到159.71之间，列式计算即可。
22．如图，已知在中，，，是过点A的一条直线，于点D，于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求DE的长．
【答案】（1）解：∵，
∴.
∵，
∴.
在和中，
∴
（2）解：∵
∴，．
∵，，
∴，．
∴．
【解析】【分析】（1）由余角的性质可得，根据AAS可证；
（2） 由全等三角形的性质可得=3，=8， 利用DE=AE-AD即可求解.
23．如图：，，，，
（1）图中、有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接，求证：平分．
【答案】（1）解：结论：，．
理由：，，
，
，
．
在和中，
≌，
，，
，
，
．
，．
（2）证明：作于，于，连结，
≌，
全等三角形对应边上的高相等．
于，于，
平分．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出 ≌，可得，再利用角的运算和等量代换求出，可得，从而得解；
（2）作于，于，连结，利用全等三角形的性质可得AP=AQ，再利用角平分线的判定可得 平分．
24．如图，在中，，平分，于，连接，交于点．
（1）求证：是线段的垂直平分线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
是线段的垂直平分线.
（2）解：平分，，
，
在中，，，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
的长为．
【解析】【分析】（1）根据可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用全等三角形的判定定理可证，从而利用全等三角形的性质可得，，利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可证得是线段的垂直平分线 ；
（2）利用角平分线的定义可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，进而可得，最后利用含30度角的直角三角形的性质即可求出的长 ．
（1）证明：，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
是线段的垂直平分线；
（2）解：平分，，
，
在中，，，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
的长为．
25．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于 AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
请判断四边形AFDE的形状，并说明理由．
【答案】解：四边形AFDE是菱形，理由如下：
由题意可得MN垂直平分AD，
∴ ，
∴ ，
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵ ，
∴四边形AFDE是菱形．
【解析】【分析】根据题意，即可得到MN为线段AD的垂直平分线，即可得到DE∥AC，同理得到DF∥AE，求出答案即可。
26． 如图，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.
⑴在图1中作，使得与关于x轴对称.
⑵在图2中作AB边上的高CD.
【答案】解：⑴如图1，为所求.
⑵如图2，线段CD为所求.
【解析】【分析】（1）先过三角形各点作X轴的垂线并延长，再根据△ABC各个点到x轴距离等于三角形 各点到x轴距离相等且对应点在一条垂线上作图即可。
（2）过C点作AB的垂线即是AB边的高。
27．在如图所示的方格纸中．
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移变换得到的？
（3）若点A在直角坐标系中的坐标为（﹣1，3），试写出A1、B1、C2坐标．
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）△A2B2C2是由△A1B1C1向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）；
（3）如图所示：A1（﹣1，﹣3），B1（﹣5，﹣1）C2（4，﹣3）．
【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质结合图形解答；
（3）利用已知A点坐标进而建立坐标系，进而求出各点坐标．
28．如图，一架直升机上午8时从A地出发，以200千米/时的速度向正北方向飞行，9时到达B处．据机场导航传来的信息，在C处有一座高山，因受天气影响，高山周围80千米能见度低，飞机飞行将会遇到危险．经测量，，．求：
（1）的长是多少？
（2）则该直升机继续向正北方向飞行有无危险？
【答案】（1）解：直升机上午8时从A地出发，以200千米/时的速度向正北方向飞行，9时到达B处，
（千米）
，
又，，
，
（千米）；
故的长是200千米；
（2）如图，过点C作于D，
，
又，
，
答：该直升机继续向正北方向飞行无危险．
【解析】【分析】本题 考查直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形的外角的性质.
（1）已知，，利用三角形的外角的性质可求出∠ACB=15°，进而可推出：∠ACB=∠NAC，再利用等角对等边可推出AB=BC=200米，据此可求出答案；
（2）过点C作于D，据此可得，又知，利用的直角三角形的性质得出的长，再与80千米进行比较，可作出判断．
（1）解：直升机上午8时从A地出发，以200千米/时的速度向正北方向飞行，9时到达B处，
（千米）
，
又，，
，
（千米）；
故的长是200千米；
（2）解：如图，过点C作于D，
，
又，
，
答：该直升机继续向正北方向飞行无危险．
29．如图，△ABC中，①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD，③BD＝CD，④AD⊥BC.请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理.
【答案】解：已知：①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD.
求证：③BD＝CD，④AD⊥BC.
证明：在△ABD与△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD＝CD，AD⊥BC.
【解析】【分析】根据题意写出已知，求证，再利用SAS证明△ABD≌△ACD，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
30．如图，峰峰先在一家白纸上用直尺画出了相等的线段AB和AC，然后用量角器作出了度数都为30°的∠ABD和∠ACD，最后连接AD，此时他就断定AD是∠BAC的平分线，你同意他的结论吗？如果同意，请证明；如果不同意，请说明理由．
【答案】解：同意。
证明：连接BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DBC=∠DCB．
∴BD=CD．
在△ADB和△ADC中， ，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
即AD是∠BAC的平分线．
【解析】【分析】连接BC，由AB=AC得到∠ABC=∠ACB，已知∠ABD=∠ACD，从而得出∠DBC=∠DCB，即BD=CD，又因为AB=AC，AD=AD，利用SSS判定△ABD≌△ACD，全等三角形的对应角相等即∠BAD=∠CAD，所以AD是∠BAC的平分线．
31．将直角三角板的直角顶点O放在直线上，过点O作射线，使．
（1）如图1，当三角板的一边与射线重合时，直接写出的度数；
（2）将三角板绕点O逆时针转动，
①如图2，当平分时，求的度数；
②如图3，当时，求的度数．
【答案】（1）28°
（2）①，是的角平分线，
，
；
②，，，
，
，
．
【解析】【解答】（1）解：，，
；
【分析】（1）根据和，结合，即可求得的度数，得到答案；
（2）①根据是的角平分线和，求得的度数，再由，结合，即可求得的度数；
②根据平角的定义，求得，，进而求得，结合，进而得到的度数，得到答案.
（1）解：，，
；
（2）①，是的角平分线，
，
；
②，，，
，
，
．
32．某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资万元，到乙地耗资万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资万元，到乙地耗资万元，设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．
（1）用含x的代数式填写下表：
运往甲地（单位：台） 运往乙地（单位：台）
A省 　
B省 　 　
运往甲地耗资（单位：万元） 运往乙地耗资（单位：万元）
A省 　
B省 　 　
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）若总耗资不超过万元，共有哪几种调运方案
【答案】（1）解：从A调往甲地台挖掘机，甲地需要27台，则从省调台到甲地；因为省共28台挖掘机，已经调往甲地台挖掘机，则还剩台调往乙地，乙地需要25台，已经从省调台到乙地，省共24台挖掘机，从省调台到甲地后还剩台调往乙地；从A省向甲地需耗资万元，到乙地耗资万元；从B省向甲地需耗资万元，到乙地耗资万元，
则填表如下：
运往甲地（单位：台） 运往乙地（单位：台）
A省
B省
运往甲地耗资（单位：万元） 运往乙地耗资（单位：万元）
A省
B省
（2）解：由（1）可知，则
由题意得：
即：，
故与之间的函数关系式为：．
（3）解：依题意得：解得：
又且为整数，
或27．
要使总耗资不超过万元，有如下两种调运方案：
方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从省往甲地调运1台，往乙地调运23台，
方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从省往甲地调运0台，往乙地调运24台，
．
调运方案二的总耗资最少．
【解析】【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出函数解析式即可；
（3）根据题意列出不等式求出x的值，再求解即可.
33．“健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球.若购买3个篮球和1个排球共需360元；若购买5个篮球和3个排球共需680元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？
（2）该学校计划购进篮球和排球共100个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用.
【答案】（1）解：设篮球x元/个，排球y元/个，
依题意，得：，解得
答：设篮球100元/个，排球60元/个．
（2）解：设购进篮球m本，则购进排球本，设总费用为w元，
∵购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，
∴，∴．
依题意，得：，
∵，∴w随m值的增大而增大，（这里必须要说明）
∴当学校购买进篮球75本，购进排球25本，总费用最少，最少费用是9000元．
【解析】【分析】（1） 设篮球x元/个，排球y元/个， 根据 购买3个篮球和1个排球共需360元；若购买5个篮球和3个排球共需680元 ，列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2） 设购进篮球m本，则购进排球本，设总费用为w元， 根据购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，得到关于m的不等式，再根据总费用=购进篮球的费用+购进排球的费用得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质进而求解.
34．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE＝ （AD+AB）．请你猜想∠1和∠2有什么数量关系？并证明你的猜想．
解：猜想：．
证明：
【答案】解：猜想：∠1+∠2=180°
证明：过C点作CF⊥AD延长线于点F，
∵CE⊥AB，AC平分∠DAB，
∴CB=CF，
∠CEB=∠CFD=90°，
在Rt△CEA和Rt△CFA中
∵
∴Rt△CEA≌Rt△CFA（HL），
∴AE=AF，
∵ ，
AE+AF=AF－FD+AE+BE，
∴FD=BE，
在△CEB和△CFD中
∵
∴△CEB≌△CFD（SAS），
∴∠2=∠CDF，
∵∠CDF+∠1=180°，
∴∠1+∠2=180°.
【解析】【分析】 过C点作CF⊥AD延长线于点F ，结合题意，由角平分线的性质即可证明直角三角形CEA≌直角三角形CFA，根据三角形全等的性质计算得到△CEB≌△CFD，即可得到答案。
35．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E.若BC=13cm，则△ADE周长是多少？
【答案】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴△ADE 的周长= AD+DE+AE =BD+DE+CE= BC =13cm.
【解析】【分析】直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论.
36．如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘。德国心理学家艾宾浩斯(HermannEbbinghaus，1850——1909)最早研究了记忆遗忘规律。他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线(如图所示)，这就是艾宾浩斯遗忘曲线。
观察图象，回答下列问题：
（1）经过2h，记忆保持了多少
（2）图中A点表示什么 在哪个时间段内遗忘的速度最快
（3）有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98%。根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样 由此，你有什么感悟
【答案】（1）解：大约保持了40%
（2）解：点A表示15h后，记忆保持量约为36%，大约在刚刚记忆的1h内遗忘的速度最快
（3）解：如果不复习，记忆只能保持35%左右，所以应及时复习
【解析】【分析】(1)从图象中可得2h后，记忆保持量的百分数即可得出答案；
(2)从图象中可得A的坐标，从而可得答案；
(3)根据图象，结合及时复习，一天后能保持98%，可得答案.
37．已知：OP平分∠MON，点A， B分别在边OM， ON上，且∠OAP+∠OBP= 180° .
（1）如图1，当∠OAP=90°时，求证： OA=OB；
（2）如图2，当∠OAP<90°时，作PC⊥OM于点C.求证：
①PA=PB；
②请直接写出OA，OB，AC之间的数量关系 ．
【答案】（1）证明：，且，
，
平分，
，
，
，
；
（2）证明：①如图，作于点，
于点，
，，
，，
，
在和中，
，
，
；
②
【解析】【解答】解：(2)②在和中，
∠OCP=∠ODP
∠COP=∠DOP
OP=OP
∴，
∴OC=OD，
∴OA-AC=OB+BD，
∵AC=BD，
∴OA-OB=AC+BD=2AC.
【分析】（1）根据全等三角形的判定AAS可证三角形全等.
（2）通过作辅助线，再根据全等三角形的判定AAS，证明，可得PA=PB.
（3）首先运用全等三角形的判定AAS证明，再通过等量代换即可得到OA-OB=2AC.
38． 某文具商店购买了两种类型文具A 和文具B销售，若购A文具5个，B文具3个，需要105元；若购进A文具8个，B文具6个，需要186元.
（1）求文具A，文具B的进价分别是多少元
（2）若每个文具A的售价为20元，每个文具B的售价为21元。结合市场需求，该商店决定购进文具A和文具B共80个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的且文具A和文具B全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案。
【答案】（1）解：（1）设文具A，文具B的进价分别是x元，y元，由题意，得：
，
解得：，
故文具A，文具B的进价分别是12元和15元；
（2）解：设购进文具A的数量为a个，则购进文具B（80-a）个，由题意，得：
，
解得：a≤48，
设总利润为w，由题意，得：w=（20-12）a+（21-15）（80-a）=2a+480，
∴w随a的增大而增大，
∵a≤48，
∴当a=48时，此时80-a=32，w有最大值为576；
故当购进文具A的数量为48个，文具B的数量为32个时，利润最大为576元.
【解析】【分析】（1）设文具A，文具B的进价分别是x元，y元，根据购A文具5个，B文具3个，需要105元：若购进A文具8个，B文具6个，需要186元，列出方程组进行求解即可；
（2）是购买文具A的数量为a个，则购进文具B（80-a）个，由购进文具B的数量不少于文具A的数量的列出不等式求出a的取值范围，设总利润为w，根据销售a个A文具的利润+销售(80-a)个B文具的利润=总利润列出一次函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可.
39．有五个足球队A，B，C，D，E分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线.小组赛结束后，如果A队的积分为9分，讨论：
（1）A队的战绩是几胜，几平，几负
（2）如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，A队能否出线
（3）如果小组赛中有一个队的积分为10分，A队能否出线
【答案】（1）解：因为5个队进行单循环足球比赛，
所以每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次，
设A队x胜，y平，
x+y≤4.
3x+y=9，
得：x=3，y=0，故A队的战绩是3胜0平1负.
（2）解：因为小组赛中有一个队的战绩为全胜，A队的积分为9分，
所以其他队最多可以胜2场比赛，故最多可得6分，
所以A队能出线；
（3）解：假设是B队的战绩为10分.它就是3胜1平0负.
可以看出，A队只负给了B队.就是说，C，D，E都负给A队了.
3队里有1队和B队平了1次，其他2队都负给B队.
C，D，E3队里积分最高的是2胜1平1负.有7分.
所以A队能出线.
【解析】【分析】(1)五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，A队的积分为9分，就可以得到A队的胜负情况；
(2)利用A队的胜负以及另一队战绩为全胜情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断；
(3)利用A队的胜负以及另一队战绩为积分10分情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断.
40．如图，△ABC中，AB＝AC，且AC上的中线BD把这个三角形的周长分成了12cm和6cm的两部分，求这个三角形的腰长和底边的长.
【答案】解：设AD=CD=x，AB=AC=2x，BC=y，
当AB+AD=12时， ，解得 ；
当AB+AD=6时， ，解得 ，此时2+2<10，不合题意，舍去，
答：这个三角形的腰长是8，底边长是2.
【解析】【分析】设AD=CD=x，AB=AC=2x，BC=y，分当AB+AD=12时与当AB+AD=6时两种情况进行讨论即可得.
41．如图，在中，，，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且，连接AE、DE、DC.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：∵，D为AB延长线上一点∴，
在和中，
∴
（2）解：∵；，
∴，又∵，
∴.
∵，
∴.
∴，
又∵，，
∴，∴.
【解析】【分析】（1）根据题意已知条件∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，然后得到∠ABE=∠CBD=90°，然后利用三角形全等的判定SAS既可以证明出答案；
（2）根据题意已知AB=CB，∠ABC=90°，所以△ABC为等腰三角形，所以∠CAB=45°，然后因为题意已知∠CAE的度数，则可以求出∠BAE=15°，根据题（1）可知△ABE≌△CBD，然后可以得到∠BCD=∠BAE=15°。
42．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数，x的图象向下平移1个单位得到.
（1）求这个一次函数的表达式.
（2）当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围.
【答案】（1）解：函数y=x的图象向下平移2个单位长度得到y=x-2，∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=x的图象向下平移2个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y=x-2．
（2）.
【解析】【解答】解：（2）把x=-4代入y=x-2，求得y=-4，
∴函数y=mx（m≠0）与一次函数y=x-2的交点为（-4，-4），
把点（-4，-4）代入y=mx，
求得m=1，
如图：
当x＞-4时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=x-2的值，
∴≤m≤1．
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系．
（1）已知函数y=x的图象向下平移2个单位长度，根据函数平移“上加，下减”可得平移后的函数y=x-2，进而得出一次函数的表达式；
（2）把x=-4代入y=x-2，可得y=-4，所以函数y=mx（m≠0）与一次函数y=x-2的交点为（-4，-4），（-4，-4）代入y=mx，求得m=1，在同一坐标系中作出函数y=mx和函数y=x-2的图象，结合图象可得出答案．
43．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．
（1）填空：　 　　 　　 　；
（2）动点从点开始沿着射线方向运动，连接，若和的面积比为，求点的坐标．
【答案】（1）；4；2
（2）解：点在射线上从点开始运动，直线，直线，
当时，，，
当时，由得，，
当时，由得，，
，
，
设，
分两种情况：①点P在线段DC上，
和的面积比为，
和的面积比为，
∴，则，
解得，
的坐标
②点在线段的延长线上，
和的面积比为，
和的面积比为，
∴，则，
解得，
的坐标
综上：存在的值，使和的面积比为，点P的坐标或．
【解析】【解答】解：（1）将A（-1，5）代入y=-x+b，得5=1+b，解得b=4，
则直线，当x=2时，y=m=2，故点C（2，2），
将点C的坐标代入y=kx+1，得2=2k+1，解得.
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，将A（-1，5）代入y=-x+b，得到b=4，由于直线，当x=2时，y=m，得到点C（2，2），将点C的坐标代入y=kx+1，解得；
（2）分两种情况：①点P在线段DC上；②点P在线段DC的延长线上，分别求解即可.
44．如图，在中，，平分，于，若，求的度数．
【答案】解：如图：延长交于点，
，
．
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，．
，
，
，
．
，
是等边三角形，
，
．
．
【解析】【分析】延长BE交AC于点F，利用垂直的定义可证得∠AEB=∠AEF，利用角平分线的定义可证得∠BAE=∠FAE，利用ASA可证得△ABE≌△AFE，利用全等三角形的性质可知∠ABF=∠AFB，AB=AF，BE=EF，由此可推出∠CBF=∠C，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得到△ABF是等边三角形，即可求出∠AFB、∠FBC的度数；然后利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠ADB的度数.
45．一题多设问：如图①，在 中， AC，AB=DB，E是DB上一点，BE=BC，连接AE 并延长交CD于点 F.
图①
（1）求证：
（2）如图②，若 AF 为 的角平分线.
图②
求证： 为等腰三角形；
（3）如图③，连接FB，求证：
图③
（4）如图④，已知M为线段AE 上一点，N为线段CD上一点.
①若M，N分别是 AE，CD 的中点，试探究MB，NB 之间的数量关系，并说明理由；
②若M，N分别是AE，CD 上任意一点，MB⊥NB，①中的结论是否成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由
【答案】（1）证明：∵DB⊥AC，
∴∠ABE=∠DBC=90°，
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC(SAS)；
（2）证明：由(1)知，△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠C，
∵∠AEB=∠DEF，
∴∠C=∠DEF，
∵∠BDC+∠C=90°，
∴∠BDC+∠DEF=90°，
∴∠DFA=∠CFA=90°.
∵AF 为△ACD的角平分线，
∴∠DAF=∠CAF，
在△AFD 和△AFC中，
∴△AFD≌△AFC(ASA)，
∴AD=AC，
即△ACD 为等腰三角形
（3）证明：如图，过点 B 分别作 BG⊥AF 于点 G，BH⊥CD于点 H.
由(1)知△ABE≌△DBC，
∴BG=BH，
在 Rt△BGF 和 Rt△BHF中，
∴Rt△BGF≌Rt△BHF(HL)，
∴∠BFG=∠BFH，即∠BFC=∠AFB；
（4）解：①MB=NB.理由如下：
由(1)知，△ABE≌△DBC，
∴AE=DC，∠MAB=∠NDB，AB=DB，
∵M，N分别为AE，CD的中点，
∴AM=DN，
在△AMB和△DNB中，
∴△AMB≌△DNB(SAS)，
∴MB=NB；
②成立.证明如下：
由(1)知，△ABE≌△DBC，
∴∠MAB=∠NDB，AB=DB，
∵MB⊥NB，
∴∠MBD+∠DBN=90°，
又∵BD⊥AC，
∴∠ABM+∠MBD=90°，
∴∠ABM=∠DBN，
在△AMB和△DNB中，
∴△AMB≌△DNB(ASA)，
∴MB=NB.
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠AEB=∠C，则∠C=∠DEF，再根据角平分线定义可得∠DAF=∠CAF，再根据全等三角形判定定理可得△AFD≌△AFC(ASA)，则AD=AC，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（3）过点 B 分别作 BG⊥AF 于点 G，BH⊥CD于点 H，根据三角形面积可得，再根据全等三角形性质可得再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（4）①根据全等三角形性质可得AE=DC，∠MAB=∠NDB，AB=DB，再根据线段中点可得AM=DN，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据全等三角形性质可得∠MAB=∠NDB，AB=DB，根据角之间的关系可得∠ABM=∠DBN，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
46．如图，一条直线分别交△ABC的边及延长线于D、E、F． ∠A=20°， ∠CED=100°， ∠ADF=35°．求 ∠B的大小．
【答案】解：∵∠BFD是△ADF的一个外角，
∴∠BFD=∠A+∠ADF，
又∵∠A=20°， ∠ADF=35°，
∴∠BFD=20°+35°=55°，
∵∠CED=100°，
∴∠BEF=100°，
在△BEF中，∠BEF+∠BFD+∠B=180°，
∴∠B=180°-100°-55°=25°，
【解析】【分析】根据三角形的外角性质可得∠BFD=55°，再由对顶角相等得∠BEF=100°，在△BEF中，根据三角形内角和定理得∠B度数.
47．如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线AB上，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且OE平分，OF平分，如图2．
（1）如图2，当时，
①求和的度数；
②求的度数．
（2）在直角三角尺旋转过程中，设，若，则
①求和的度数（用含的代数式表示）；
②的度数是否发生变化，请通过计算说明理由．
【答案】（1）解：①解：如图1，
因为，
所以．
又因为，
所以．
②如图2，
因为OE平分，
所以．
因为OF平分，
所以．
所以．
（2）解：分两种情况讨论①②的问题
设为．
情况一：如图3，因为
又因为，
所以
．
所以．
的度数不发生变化，．
如图3，因为OE平分，
所以．
因为OF平分，
所以
所以．
情况二：如图4．
因为，
所以．
又因为，
所以．
因为OE平分，
所以．
因为OF平分．
所以．
所以．
【解析】【分析】（1）①先根据题意得到∠BOC，进而根据平角即可求解；
②先根据角平分线的性质得到，，进而根据即可求解；
（2）分两种情况讨论①②的问题，设为，情况一：如图3，先根据题意得到∠DOB，进而得到的度数不发生变化，，再根据角平分线的性质得到，，从而即可求解；情况二：如图4，先根据题意得到，，进而根据角平分线的性质得到，，从而结合题意即可求解。
48．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，c的坐标分别为A(0，m)，B(-5，0)，C(n，0)，且(n-3) + =0．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线B0匀速运动，设点P运动的时间为ts．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）连接PA，若 PAB为等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当点P在线段B0上运动时间t= ▲ s时，使△AOP≌△AOC (请直接写出t的值，不需说明理由)
【答案】（1）解：∵（n-3）2+=0，∴n-3=0，3m-12=0，解得n=3，m=4，
∴点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（3，0）
（2）解：ΔPAB为等腰三角形时有三种情况：
①当PA=PB时，设点P的坐标为（a，0），由勾股定理得BP=AP=，即(-a)2+16=(5+a)2，解得a=-0.9，所以点P的坐标为（-0.9，0）；
②当AB=PB时，由勾股定理得AB=，∴PB=AB=，所以点P的坐标为（，0）；
③当AB=PA时，点P与点B关于y轴对称，所以点P的坐标为（5，0）。
（3）解： t=1。
【解析】【分析】（1）由偶次幂的非负性和算术平方根的非负性可知n-3=0，3m-12=0，分别求出m和n的值，即可写出A，C两点的坐标；
（2）由题意可知，ΔPAB为等腰三角形时有三种情况，①AB为底边，点P位于AB的垂直平分线上，AP，PO与AO构成直角三角形，利用勾股定理可求出点P的坐标；②当PB与AB为等腰三角形的腰时，PB与AB相等，由勾股定理求得AB的长就可以知道PB的长，再求出点P的坐标即可；③当PA与AB为等腰三角形的腰时，PA与AB相等，此时点P与点B关于y轴对称，即可直接写出点P的坐标。
（3）由ΔAOP≌ΔAOC可知OP=OC，由（1）得点C的坐标为（3，0），所以OC=OP=3，即点P的坐标为（-3，0），即BP=2，点P的速度为每秒2单位长度，所以t=1。
49．如图，已知中，，点D、E在直线BC上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点D向下作，交AB的延长线于点F，若，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FD、EA交于点G，连接BG，若，求四边形ACBG的面积．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD与△ACE中，
∵AB=AC，∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠D=∠E；
（2）证明：如图2，过点A作AH⊥DE于点H，
∵∠DAE+∠E+∠ADE=180°，∠DAE=4∠E，∠E=∠ADE，
∴∠E=30°，
∵AH⊥DE，
∴∠AHD=∠AHE=90°，
∴AE=2AH，
∵DF⊥DE，
∴∠FDB=∠AHD=90°，
在△AHB与△FDB中，
∵∠FDB=∠AHD=90°，∠ABH=∠FBD，AB=FB，
∴△AHB≌△FDB（AAS），
∴AH=DF，
∴AE=2DF；
（3）解：如图3，作AH⊥DC于点H，BN⊥GE于点N，
∵∠E=∠ADE=30°，∠GDE=90°，
∴∠DGA=∠GDA=60°，
∴AG=AD=AE，
∵S△ABG=AG×BN，S△ABE=AE×BN，
∴S△ABG=S△ABE，
∵△FDB≌△AHB，
∴BD=BH，
∵AB=AC，AD=AE，AH⊥DE，
∵BH=HC，HD=HE，
∴BD=BH=HC=CE，
∴S△ABD=S△ABH=S△ACE=S△ACH=，
∴S△ABG=S△ABE=，
∴S四边形ACBG=S△BGE-S△ACE=.
【解析】【分析】（1），由等边对等角得∠ABC=∠ACB，由邻补角定义及等角的补角相等得∠ABD=∠ACE，进而用SAS证△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应角相等得∠D=∠E；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，由三角形的内角和定理、已知及（1）的结论可得∠E=30°，由由垂直得∠AHD=∠AHE=90°，由含30°角直角三角形的性质得AE=2AH，从而用AAS判断出△AHB≌△FDB，得AH=DF，从而利用等量代换即可得出结论；
（3）作AH⊥DC于点H，BN⊥GE于点N，由等角的余角相等可得∠DGA=∠GDA=60°，由等角对等边得AG=AD=AE，由等底同高三角形面积相等得S△ABG=S△ABE，由全等三角形对应边相等得BD=BH，由等腰三角形的三线合一推出BD=BH=HC=CE，再根据等底同高三角形面积相等得S△ABD=S△ABH=S△ACE=S△ACH=，进而根据S四边形ACBG=S△BGE-S△ACE即可算出答案.
50．已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．
（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．
①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
【答案】（1）证明：①∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC=∠ACE=60°，CE=AC=AE，且AB=AC
∴AB=AE
∴∠ABF=∠AEF
∵AB=AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC，且AF=AF，AB=AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF=∠ACF
∴∠ACF=∠AEF
②EF=FD+AD
延长AD使DP=AD，连接CP
∵AD=DP，∠ADC=∠PDC，CD=CD
∴△ADC≌△PDC（SAS）
∴AC=CP=CE，∠ACD=∠PCD
∵∠ACF=∠AEF，且∠AMC=∠FME
∴∠EFC=∠EAC=60°
∵BF=CF，且∠EFC=60°
∴∠FCD=30°
∵∠FCA=∠FCD-∠ACD
∴∠FCA=30°-∠ACD
∵∠ECF=∠ECA-∠FCA
∴∠ECF=30°+∠ACD
∵∠FCP=∠FCD+∠DCP
∴∠FCP=30°+∠ACD
∴∠ECF=∠FCP，且FC=FC，CP=CE
∴△ECF≌△FCP（SAS）
∴EF=FP
∴EF=FD+AD
（2）解：连接CF，延长AD使FD=DP，连接CP．
∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC=∠ACE=60°，CE=AC=AE，且AB=AC
∴AB=AE
∴∠ABF=∠AEF
∵AB=AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC，且AF=AF，AB=AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF=∠ACF
∴∠ACF=∠AEF且∠AME=∠CMF
∴∠EAC=∠EFC=60°
∵BF=CF，∠EFC=60°
∴∠FCB=30°
∵FD=DP，∠FDC=∠PDC，CD=CD
∴△FDC≌△PDC（SAS）
∴FC=CP，∠FCD=∠PCD=30°
∴∠FCP=60°=∠ACE
∴∠ACP=∠FCE且CF=CP，AC=CE
∴△ACP≌△ECF（SAS）
∴EF=AP
∴EF=AD+DP=AD+DF.
【解析】【分析】（1）①利用AB=AC以及等边三角形ACE可得出∠ABF=∠AEF，再通过SSS证出△ABF≌△ACF，得到∠ABF=∠ACF，从而证出∠ACF=∠AEF；
②先得到∠EFC=∠EAC=60°，从而判断出∠FCD=30°，进而得出∠ECF=∠FCP，再利用SAS证明出△ECF≌△FCP，即可证出EF=FD+AD；
（2）先通过等边对等角与等边三角形得出∠ABF=∠AEF，再通过△ABF≌△ACF得出∠ABF=∠ACF，得出∠ACF=∠AEF，从而得出∠EAC=∠EFC，再通过△FDC≌△PDC得出FC=CP，∠FCD=∠PCD，最后通过SAS证出△ACP≌△ECF得到EF=AP，即可求证。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)