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沪科版2025—2026学年九年级上册期末模拟质量检测卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（ ）
A．俯角67°方向 B．俯角23°方向
C．仰角67°方向 D．仰角23°方向
2．函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（1，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，，过点A作，以点B为圆心，为半径画弧交于点D，连接交于点E，下列四个结论：①平分；②；③；④.则其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则sin∠BAC等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，P 是△ABC的重心，D 是边 AC的中点，PE∥AC 交 BC于点E，DF∥BC交EP 延长线于点 F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( )
A．12 B．14 C．18 D．24
8．已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线经过点，，，若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．点必在该抛物线上
10．二次函数 图象的一部分如图所示，顶点坐标为 ，与 轴的一个交点的坐标为(-3，0)，给出以下结论：① ；② ；③若 、 为函数图象上的两点，则 ；④当 时方程 有实数根，则 的取值范围是 ．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在与中，，连接、，若，则为 .
12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+3k与x轴，y轴，反比例函数的图象分别交于点A，点B，点C，若AC=3BC，则k的值为 .
13．如图，在中，点在上，交于点，若，且，则 ．
14．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，那么它们的对应中线之比为 .
15．在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF位似，位似中心是原点O．已知A与D是对应顶点．且A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为 ．
16．如图，锐角内接于，，在，上，，，过，分别作，的垂线交于点，连结，若的半径为，那么的长是 用含的代数式表示．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算： .
18．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，矩形在第一象限内，平行于x轴，且，点A的坐标为
（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移m个单位，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点？并求m的值和反比例函数的表达式．
20．如图，已知△ADE∽△ABC，AB=15cm，AD=9cm，BC=12cm，∠BAC=65°，∠ABC=40°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
21．如图，矩形 的对角线 相交于点 ， ．
（1）求矩形对角线的长．
（2） 过点 作 于点 ， 连结 ． 记 ， 求 的值．
22．如图，丹山白塔位于雁江区丹山镇，始建于唐朝，有着美丽的传说.在一次综合实践活动中，小明和小组同学想要测量丹山白塔的高度.小明和同学在斜坡P处测得塔顶B的仰角为，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP行走了13米，在坡顶A处又测得塔顶B的仰角为
（1）求坡顶A到地面PO的距离；
（2）求塔高BC的长.（参考数据：）
23．已知二次函数
（1）求该函数图象的开口方向，对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标；
（2）画出该函数的大致图象；
（3）当-224．综合与实践：如何拍出大长腿的效果
【数学眼光】如图（a），低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条.
（1）【数学思维】针孔相机的成像原理：如图（b），由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成像分别在A'，B'处，线段AB的像是线段A'B'，AB上点C的像是点C'.若求证：
（2）【数学语言】如图（c），小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高AB的像为A'B'，腿部AC的像为A'C'.试说明能拍出大长腿效果的理由.
25．已知抛物线与轴交于点，顶点为，与直线交于，两点，其中点坐标为．
（1）求抛物线和直线解析式；
（2）直接写出抛物线关于对称的抛物线的解析式；
（3）求的面积．
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沪科版2025—2026学年九年级上册期末模拟质量检测卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（ ）
A．俯角67°方向 B．俯角23°方向
C．仰角67°方向 D．仰角23°方向
【答案】D
【解析】【解答】∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故答案为：D.
【分析】求出∠BAC＝23°，即可得出答案.
2．函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（1，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【答案】C
【解析】【解答】解：令x=0，
y＝x2+x﹣2=-2
即函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（0，-2）
故答案为：C．
【分析】将x=0代入y＝x2+x﹣2求解即可。
3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，故A符合题意；B不符合题意
∴，故D，C不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用平行线分线段成比例定理，对各选项逐一判断.
4．如图，中，，，过点A作，以点B为圆心，为半径画弧交于点D，连接交于点E，下列四个结论：①平分；②；③；④.则其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；故①符合题意；
如图，以为圆心，为半径画圆，延长，交于，连接，，延长交于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，过圆心，
∴，，
∴，，，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，故②符合题意；
∴，，
∵，
∴，而，
∴，故③符合题意；
∵，而，
∴，
∴，
∴，故④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④；
故答案为：D.
【分析】①由平行线的性质及等腰三角形的性质可推出∠BCD=∠BDC=∠CDF，即可判断；②如图，以为圆心，为半径画圆，延长，交于，连接，，延长交于，利用等腰直角三角形及平行线的性质可得，利用垂径定理及平行线的性质可得，从而得出，即得，利用特殊角三角函数值可得，由①结论及平角的定义可求出∠BDC=75°，即可判断；证，结合，可证，即可判断；④证，可得，即可判断.
5．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴点A、B在第三象限的图象上，点C在第一象限的图象上，
∴，
即．
故答案为：D．
【分析】根据，得到反比函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，然后根据点的位置解答即可．
6．如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则sin∠BAC等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得：，，
∵△ABC的面积=，
∴AB DC=BC AE，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：C．
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，利用等面积法求出，再利用正弦的定义可得。
7．如图，P 是△ABC的重心，D 是边 AC的中点，PE∥AC 交 BC于点E，DF∥BC交EP 延长线于点 F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( )
A．12 B．14 C．18 D．24
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AE， BD，
∵ D是AC中点， P是△ABC的重心，
∴B、P、D共线，
∴BP：PD=2：1，
∵EF∥AC，
∴BE：EC = BP： PD = 2：1，
∵D是AC中点，
∵PE∥AC，DF∥BC，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴△ABC的面积= 6×3 = 18.
故答案为： 18.
【分析】连接AE，BD， 由三角形重心的性质推出BP：PD=2：1， 由平行线分线段成比例定理推出BE：EC=BP：PD=2：1， 得到 由D是AC中点， 因此 由平行四边形的性质推出 即可求出△ABC的面积.
8．已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，且a＞0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
即抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，
∵A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，
其到坐标轴的距离分别是1-（-1）=2，2-1=1，4-1=3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小，分别求出点A，B，C到对称轴的距离，即可根据二次函数的性质推得函数值的大小.
9．如图，抛物线经过点，，，若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．点必在该抛物线上
【答案】C
【解析】【解答】解：A.抛物线开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右边，
，，，
，
，故A正确，不符合题意，A错误；
B.，抛物线的顶点在第一象限，经过点，对称轴为直线，
，
，
，故B正确，不符合题意，B错误；
C.抛物线经过点，
，
，
，
，
，故C错误，符合题意，C正确；
D.抛物线经过点，，，
对称轴为直线，
，
和关于对称轴对称，
点必在该抛物线上，故D正确，不符合题意，D错误；
故答案为：C
【分析】本题考查了由二次函数的图象判断系数的符号，二次函数的对称性，把二次函数化为顶点式.根据抛物线开口向下，可得，再根据与轴交于负半轴，可得：，再根据对称轴在轴右边，利用对称轴计算公式可推出，据此可判断A选项；将抛物线化为顶点式，由顶点在第一象限得到，再根据，通过变形可得：， 据此可判断B选项；根据点在抛物线上，可得，再由，据此可得：，据此可判断C选项；利用抛物线的对称性可得：和关于对称轴对称，进而可推出点必在该抛物线，据此可判断D选项.
10．二次函数 图象的一部分如图所示，顶点坐标为 ，与 轴的一个交点的坐标为(-3，0)，给出以下结论：① ；② ；③若 、 为函数图象上的两点，则 ；④当 时方程 有实数根，则 的取值范围是 ．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，交y轴正半轴
∴
∵抛物线对称轴为x=-1，
∴b=2a<0
∴① 符合题意；
当x=-2 时， 位于y轴的正半轴
故② 符合题意；
点 的对称点为
∵当 时，抛物线为增函数，
∴③符合题意；
若当 时方程 有实数根，则需 与x轴有交点
则二次函数 向下平移的距离即为t的取值范围，则 的取值范围是 ，④符合题意．
故答案为：D．
【分析】由二次函数的图象可知 ，再根据对称轴为x=-1，得出b=2a<0，进而判断①，当x=-2时可判断②符合题意，然后根据抛物线的对称性以及增减性可判断③，再根据方程的根与抛物线与x交点的关系可判断④．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在与中，，连接、，若，则为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴在，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】由已知条件可知∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED=90°，证明△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得，∠BAC=∠DAE，由角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，证明△BAD∽△CAE，然后根据相似三角形的性质以及勾股定理进行解答.
12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+3k与x轴，y轴，反比例函数的图象分别交于点A，点B，点C，若AC=3BC，则k的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：对于直线y=2x+3k，
令x=0，则y=3k，令y=0，则x=k，
∴点A的坐标为(k，0)，点B的坐标为(0，3k)，
∴AO=k，BO=3k，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵AC=3BC，
∴，，
∵CD∥OB，
∴，，
∴CD=OB=k，OD=OA=k，
∴点C的坐标为(k，k)，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴k=k×k，
∴k=.
故答案为：.
【分析】易得A（，0），B（0，3k），则AO=k，BO=3k，过点C作CD⊥x轴于点D，根据AC=3BC可得，，根据平行线分线段成比例的性质可得，，则CD=k，OD=k，C（k，k），然后代入y=中就可求出k的值.
13．如图，在中，点在上，交于点，若，且，则 ．
【答案】
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE：BE=4：3，
∴BE：AB=3：7，
∴BE：CD=3：7．
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BF：DF=BE：CD=3：7，
即2：DF=3：7，
∴DF=．
故答案为．
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，由AE：BE=4：3，可得BE：CD=BE：AB=3：7，由平行线可证△BEF∽△DCF，可得BF：DF=BE：CD=3：7，据此即可求解.
14．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，那么它们的对应中线之比为 .
【答案】2：3
【解析】【解答】解： 已知两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高、中线、角平分线等的比例关系都等于相似比
因此这两个相似三角形的对应中线之比也应该是2：3
综上，两个相似三角形的对应中线之比为2：3
故答案为：2：3.
【分析】本题考查相似三角形的性质.根据两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应高、中线、角平分线等的比例关系都等于相似比，据此可求出两个相似三角形的对应中线之比.
15．在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF位似，位似中心是原点O．已知A与D是对应顶点．且A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），
∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，
∵△DEF的周长为3，
∴△ABC的周长为：9．
故答案为：9．
【分析】先根据点A、D的坐标求出相似三角形的相似比，再利用相似三角形周长之比等于相似比求解即可。
16．如图，锐角内接于，，在，上，，，过，分别作，的垂线交于点，连结，若的半径为，那么的长是 用含的代数式表示．
【答案】
【解析】【解答】
作直径AK，假设AK分别交直线PD， PE于P'和 连接BK， CK，
∴∠ABK=∠ACK=90°，
∴BK⊥AB， CK⊥AC，
∵PD⊥AB， PE⊥AC，
∴PD∥BK，PE∥CK，
∴AP'：AK = AD：AB， AP"： AK = AE：AC，
∵DE∥BC，
∴AD：AB=AE：AC，
∴AP'：AK=AP"： AK，
和 '重合于P，
∴A、O、P共线，
∵AD=2BD，
∴AP：AK = AD：AB=2：3，
∵AK=2r，
故答案为：
【分析】作直径AK，假设AK分别交直线PD，PE于 和P"， 连接BK， CK， 由圆周角定理推出 而 得到PD∥BK，PE∥CK，由平行线分线段成比例定理推出
得到 AK， 因此 得到 和 '重合于P，于是A、O、 P共线， 由 得到 解题即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算： .
【答案】解：原式
【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案.
18．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
【答案】解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
∴ ∠APB的大小 为.
（2）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴=，
∴．
∴ 线段AC、CD、BD之间的数量关系为.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠PCD=60°，进一步得，再根据相似三角形的性质得∠APC=∠PBD，进一步得，根据三角形内角和定理得即可得 ∠APB的大小 为.
（2）根据等边三角形性质得，再根据得=，即可得线段AC、CD、BD之间的数量关系为.
19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，矩形在第一象限内，平行于x轴，且，点A的坐标为
（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移m个单位，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点？并求m的值和反比例函数的表达式．
【答案】（1）解：B（4，1），C（4，2），D（2，2）
（2）解：矩形向下平移m个单位后，点A和点C同时落在反比例函数的图象上，
设，点A和点C同时落在反比例函数的图象上，
则，
解得，
即，
把代入，得，
∴反比例函数的表达式为．
【解析】【解答】解：（1） ∵AB平行x轴， 点A的坐标为（2，1） ，AB=2，
∴B点的坐标为（4，1）.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥AB，BC=AD，AB=CD.
又BC=1，
∴D点的坐标为（2，2），
∴C点坐标为（4，2）；
【分析】（1） 根据A点的坐标和四边形ABCD是矩形，结合AB=2，BC=1，依次求得B、C、D的坐标；
（2）根据矩形向下平移m个单位后，点A和点C同时落在反比例函数的图象上，得出平移后的A、C两点坐标，根据点在反比例函数图象上，可知它们的横、纵坐标的积相等，转化为m的方程求解，再求得A点的坐标代入解析式中，求得比例系数k，从而可得反比例函数的表达式.
20．如图，已知△ADE∽△ABC，AB=15cm，AD=9cm，BC=12cm，∠BAC=65°，∠ABC=40°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
【答案】（1）解：∵∠BAC=65°，∠ABC=40°，
∴∠C =180°-∠BAC-∠ABC=180°-65°-40°=75°
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=75°
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴
即，
解得：
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C，再根据相似三角形的性质即可得到∠ADE和∠AED的度数；
(2)根据相似三角形的相似比可直接得到答案.
21．如图，矩形 的对角线 相交于点 ， ．
（1）求矩形对角线的长．
（2） 过点 作 于点 ， 连结 ． 记 ， 求 的值．
【答案】（1）解：
．
四边形 是矩形，
，
∴△AOB 是等边三角形；
∴ 矩形对角线的长为4；
（2）解：由勾股定理得 ．
．
【解析】【分析】（1）由邻补角求出∠AOB=60°，由矩形性质得AC=BD，AO=BO，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，由等边三角形的三边相等可求出AO=BO=AB=2，从而即可求出AC=BD=4，从而得出答案；
（2）首先由勾股定理算出AD的长，根据等腰三角形的三线合一可求出AE的长，最后根据∠ABE的正切函数定义求解即可.
22．如图，丹山白塔位于雁江区丹山镇，始建于唐朝，有着美丽的传说.在一次综合实践活动中，小明和小组同学想要测量丹山白塔的高度.小明和同学在斜坡P处测得塔顶B的仰角为，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP行走了13米，在坡顶A处又测得塔顶B的仰角为
（1）求坡顶A到地面PO的距离；
（2）求塔高BC的长.（参考数据：）
【答案】（1）解：过点A作于H，
∵斜坡的坡度为，
∴，
设，则，
则，
，解得：，
，，
坡顶A到地面的距离为米．
（2）解：由题意得：，，延长交于D，如图所示：
，，
，
∴，
四边形是矩形，，，
，
∴为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
在中，，
即，解得：，
古塔的高度约32米．
【解析】【分析】（1）过点A作于H，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，，求出k值即可求解；
（2）延长交于D，根据，可得，从而得出四边形是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解．
23．已知二次函数
（1）求该函数图象的开口方向，对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标；
（2）画出该函数的大致图象；
（3）当-2【答案】（1）解： =-1<0，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线x=1；
当x=0时，
∴该函数图象与y轴交点为(0，3)；
当时，
解得：
∴该函数图象与x轴交点为(3，0)、(-1，0)；
（2）解： 列表：
X 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
描点、连线，作图如下：
（3）-5<
【解析】【解答】解：=-1<0，
∴当x=1时，y有最大值为4，
当x=-2时，
当x=3时，y=0，
∴当 时，则函数值y的取值范围是
故答案为：-5<
【分析】(1)将二次函数化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴；根据当x=0时，可求出抛物线与y轴的交点，根据当y=0时可求出抛物线与x轴的交点；
(2)根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数图象即可；
(3)根据当x=-2及x=3时的y值及顶点坐标结合二次函数性质，可确定 时，y的取值范围.
24．综合与实践：如何拍出大长腿的效果
【数学眼光】如图（a），低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条.
（1）【数学思维】针孔相机的成像原理：如图（b），由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成像分别在A'，B'处，线段AB的像是线段A'B'，AB上点C的像是点C'.若求证：
（2）【数学语言】如图（c），小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高AB的像为A'B'，腿部AC的像为A'C'.试说明能拍出大长腿效果的理由.
【答案】（1）证明：∵A'B'∥AB，
∴△A'C'O∽△ACO，△B'C'O∽△BCO，
∴＝，＝．
∴＝．
∴＝；
（2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即＞），则能拍出大长腿的效果．
理由：过点B'作B'E∥AB交A'O于点E，连接CC'交B'E于点F，
∵摄影师仰拍，
∴∠A'EB'是△EOF的外角．
∴∠A'EB'＞∠EFO．
∴过点E作CC'的平行线交线段A'B'于点G．
∴A'C'＞GC'．
由（1）得＝．
∵EG∥CC'，
∴＝，
∴＝，
∵A'C'＞GC'．
∴＞；
【解析】【分析】（1）由 根据平行于三角形的一边的直线截其他两边，两个三角形相似，得△A'C'O∽△ACO，△B'C'O∽△BCO，相似三角形的对应边成比例即＝变形得＝；
（2）根据题意，照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即＞），则能拍出大长腿的效果，过点B'作B'E∥AB交A'O于点E，连接CC'交B'E于点F，A'C'＞GC'．根据平行于三角形的一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，由（1）得＝，则＝，＞.
25．已知抛物线与轴交于点，顶点为，与直线交于，两点，其中点坐标为．
（1）求抛物线和直线解析式；
（2）直接写出抛物线关于对称的抛物线的解析式；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：抛物线过、两点
代入抛物线解析式可得：，
解得：，
抛物线解析式为；
直线过点，
，
，
直线为，
（2）解：，
抛物线的顶点，
顶点关于直线的对应点的坐标为，
抛物线关于对称的抛物线的解析式为，
（3）解：由，解得或，
，
抛物线的顶点，
把代入，得，
的面积．
【解析】【分析】⑴、待定系数法求二次函数和一次函数解析式，把已知的点A和点C的坐标代入抛物线解析式，得b和c的二元一次方程组，解方程组求得b和c的值，求得二次函数解析式；把点A的坐标代入一次函数解析式，得k的一元一次方程，解方程求得k的值，进而求得一次函数解析式。
⑵、由对称可知两抛物线形状大小完全相同，改变的只是位置，故只要确定已知抛物线顶点关于对称轴直线x=-1的对称点即可，然后再写出对称的抛物线解析式（顶点式）即可。
⑶、求三角形ABT面积，先观察三角形形状特点；已知点A和T的坐标，缺点B坐标，所以先求点B的坐标，可知三角形ABT三边都和坐标轴不平行，故利用割补法求面积，过点T作x轴垂线交AB于点D，可求DT长，这时三角形ABT的面积就是DT和A、B两点水平距离积的一半。
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