【决战期末·50道解答题专练】沪科版数学九年级上册期末总复习（原卷版 解析版）

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【决战期末·50道解答题专练】沪科版数学九年级上册期末总复习
1．已知二次函数经过点
（1）求该二次函数的函数表达式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标.
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，BF＝4，求FC的长．
3．已知，
（1）求；
（2）若2a+b+2c=-30，求a，b，c的值．
4．已知：二次函数的图象经过点．
（1）求b；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．
5．如图是某市的一幢在建的楼，准备上市销售，该楼前有一座装有高压线的铁塔BC经过，市民想知道高压线的电辐射对居住是否有影响，则需要测量该楼到铁塔的水平距离DC的长以及铁塔BC的高度.为了安全，不能直接测量铁塔的高度.在该楼的楼顶A处测得铁塔的塔B的仰角过 ，测得铁塔的塔底C的俯角 ，该楼的高度 ，求铁塔BC的高度（参考数据： ， ， ， ）.
6．已知二次函数x2+2x-1.求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
7．某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获取更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件； 若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格为多少时，才能使每月获得最大利润 每月的最大利润是多少 （总利润=总收入－总成本）。
8．图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点与点重合时，推拉门与门框完全闭合；当点滑动到限位点处时，推拉门推至最大，此时测得．
（1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①的最小值为 ▲ 度，最大值为 ▲ 度；
②面积的变化情况是（　　）
A越来越大B越来越小C先增大后减小
（2）当时，求的面积．
9．在一次高尔夫球的练习中，小成在O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m．
（1）请求出抛物线的顶点坐标；
（2）请求出球洞离击球点的距离；
（3）若小成再一次从O处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式，
10．在 ABCD 中，点E，F 分别在BC，AB 上，∠DEF=∠B，EF⊥DF.
（1）如图1，若∠B=60°，求 的值；
（2）如图2，若DF=2EF，AD=CD，求 的值.
11．如图1，为等边三角形，，点为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，其中点E在边上.
（1）求证：.
（2）如图2，当运动到的中点时，求线段的长.
12．如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A（1，-2）和B（0，-5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的对称轴.
（2）当y≤-2时，请根据图象直接写出x的取值范围.
13．已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点(-1，0)，(3，0)，求a，b的值。
14．已知二次函数的图象经过点(0，0)，且它的顶点坐标是(1，-2)．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）判断点(3，5)是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
15．如图，在中，的平分线交边于点于点．已知，．
（1）求证：．
（2）若，求的面积．
16．已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE=∠B，点F在AD上，且．求证：
（1）ΔDEF∽ΔBCD；
（2）．
17．小强为测量一路灯杆的高度，在灯光下，小强在处的影长为3米，沿方向行走了5米到处，此时小强的影长为5米，若小强身高为1.5米，求路灯杆的高度．
18．如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
19．某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为 ，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好 ， ， ．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是 ．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到 ．参考数据： . ）
20．如图，在直角坐标平面内，函数 （x＞0，m是常数）的图象经过A(1，4)，B(a，b)，其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标。
（2）求证：DC∥AB。
21．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
22．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？
23．如图，小明为了测量大树AB的高度，在离B点21米的N处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4米到D点，此时从镜子中恰好看到树顶的A点，已知小明的眼睛（点C）到地面的高度CD是1.6米，求大树AB的高度．
24．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处.已知AB＝BD＝800米，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE（结果精确到1米）.（参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732， ＝1.414）
25．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速.如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速30千米/小时，数学实践活动小组设计了如下活动；在l上确定C，B两点，并在CB路段进行区间测速.在l外取一点O，作OA⊥l，垂足为点A.测得OA＝75米，∠OCA＝37°，∠OBA＝53°.上午9时测得一辆汽车从点C到点B用时5秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
26．已知抛物线与轴有两个不同的交点.
（1）求的取值范围.
（2）若抛物线经过点和点，试比较和的大小，并说明理由.
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点为正半轴上一点，且满足，求点的坐标.
28．为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示.求凉亭P到公路l的距离.（结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
29．2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站，建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了基础．某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为 ，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为 ，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度（结果精确到0.1米，参考数据： ， ， ， ）
30．掷实心球是某地区中考体育考试的选考项目，已知一名男生第一次投实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时实心球行进至最高点处．
（1）求这名男生第一次投实心球的抛物线的解析式；
（2）根据该地区2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，此项目考试满分为15分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
（3）该男生第二次投掷时，实心球运动的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．则第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为多少？
31．当x为何值时，函数的值等于0？
32．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点C的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
33．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.
（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多 最多是多少
（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元
34．如图，在四边形中，，与全等．
（1）求的长．
（2）求的值．
35．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培．
（1）求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式；
（2）若，求电流的变化范围．
36．二次函数的图象经过点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
求这个函数“倍值点”的坐标；
若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
37．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出时，的取值范围．
38．已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
求这个二次函数的表达式及的值．
39．如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式，5时至8时的图象满足函数关系式．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：次日0时到8时的最低气温是______；
（2）求一次函数的解析式；
（3）某种植物在气温以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由．
40．某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间．
41．已知二次函数．
（1）当时，
①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若方程有两个相等的实数根，求证：；
（2）若，已知点，点，当二次函数的图象与线段有交点时，直接写出a的取值范围．
42．根据下列条件求函数的表达式．
（1）已知变量x，y，t满足y=t2-2，x=3-t，求y关于x的函数表达式．
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，
当x=1时，y=4；当x=-2时，y=-2；当
x=-1时，y=2．求这个二次函数的表达式．
43．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
44．如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB=90°，E为AB的中点，CE与BD交于点F，
（1）求证：△ABD∽△DBC；
（2）求证：；
（3）若DF：BF=2：3，CD=6，求DE的长．
45．如图，菱形ABCD中，AB=1，∠A=60°，EFGH是矩形，矩形的顶点都在菱形的边上．设AE=AH=x（0＜x＜1），矩形的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当EFGH是正方形时，求S的值．
46． 如图，抛物线：与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），假设点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．当时，图象G的最大值与最小值的差为多少？
（3）将线段AB先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线：与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
47．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
48．如图，已知抛物线的顶点为，且经过点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点的一条直线与抛物线交于点，且满足，求点的坐标；
（3）过点作轴的平行线交轴于点，过点的直线与抛物线交于，两点，求的值．
49．近几年，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境.图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点 B为该抛物线的最高点，点B 到水平地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点 A 到地面的距离为2米，且点 A 和点 B 的水平距离为6米.按图①所示建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚的接触点 P 离地面约 2.5米.请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚下方；
（3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架.如图③所示，钢架分为两段，其中一段连结点 A 与点 B，然后在棚顶上某处取点 C，在钢架 AB 和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD，求第二段钢架CD 长度的最大值.
50．已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
图1 图2 图3
（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝BF；
（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；
（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．
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【决战期末·50道解答题专练】沪科版数学九年级上册期末总复习
1．已知二次函数经过点
（1）求该二次函数的函数表达式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标.
【答案】（1）解：将点A（3，0）代入得：0=-9+3b+c
将点B（0，3）代入得：c=3
解方程得：b=2
∴解析式为：y=-x2+2x+3
（2）解：
x=1代入解析式得，y=4
所以顶点坐标为（1，4）
【解析】【分析】（1） 通过代入已知点建立方程组求解系数；
（2）通过顶点公式求解顶点坐标.
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，BF＝4，求FC的长．
【答案】解：∵，
∴
∵，，
∴
解得．
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，即，解得．
3．已知，
（1）求；
（2）若2a+b+2c=-30，求a，b，c的值．
【答案】（1）解：设，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴3；
（2）解：由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵2a+b+2c=-30，
∴2×2k+3k+2×4k=-30，
解得：k=-2，
∴a=-4，b=-6，c=-8．
【解析】【分析】（1）设，把a，b，c用k表示，再代入约分约掉k即可；
（2）由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入2a+b+2c=-30，得关于k的一元一次方程，解之得k的值，再代入a＝2k，b＝3k，c＝4k，即可求得 a，b，c的值．
4．已知：二次函数的图象经过点．
（1）求b；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．
【答案】（1）解：把点代入得，，
解得，．
（2）解：，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，把点A(2，5)代入函数解析式y=x2+bx-3即可算出b的值；
（2）利用配方法，由于二次项的系数为1，故在等式的右边直接加上一次项系数一半的平方“1”，从而与二次项及一次项构成一个完全平方式，利用完全平方公式分解因式；为了保证等式成立在常数项-3上再减“1”，即可将解析式配成顶点式.
（1）解：把点代入得，，
解得，．
（2）解：，
，
，
．
5．如图是某市的一幢在建的楼，准备上市销售，该楼前有一座装有高压线的铁塔BC经过，市民想知道高压线的电辐射对居住是否有影响，则需要测量该楼到铁塔的水平距离DC的长以及铁塔BC的高度.为了安全，不能直接测量铁塔的高度.在该楼的楼顶A处测得铁塔的塔B的仰角过 ，测得铁塔的塔底C的俯角 ，该楼的高度 ，求铁塔BC的高度（参考数据： ， ， ， ）.
【答案】解：延长AE交BC于点F，
则 于点F， ， .
在 中， ， ，
在 中， ， ，
.
答：铁塔BC的高度约为37.68m.
【解析】【分析】延长AE交BC于点F，利用矩形的性质，易证CF=AD，在Rt△ACF中，利用解直角三角形求出AF的长，再在Rt△ABF中，利用解直角三角形求出BF，然后根据BC=BF+CF，就可求出BC的长。
6．已知二次函数x2+2x-1.求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
【答案】解：∵.
∴该二次函数图象的顶点坐标为（3，2），对称轴为直线x＝3.
【解析】【分析】把二次函数化为顶点式得到，即可求得顶点坐标以及对称轴方程.
7．某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获取更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件； 若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格为多少时，才能使每月获得最大利润 每月的最大利润是多少 （总利润=总收入－总成本）。
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，由题意可知，当x=20，y=360，当x=25，y=210；
所以可得，
解得k=-30，b=960，
即y=-30x+960。
（2）设每个月的利润为w，即w=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+1920
所以当x≥16时，x=24时，有最大值，最大值y=1920，所以最大的利润为1920元。
【解析】【分析】（1）根据题目中所给的单价和销售量，设出y与x的解析式，运用待定系数法即可求出y与x的函数解析式。
（2）根据利润=（售价-进价）×数量，即可求出利润的解析式，根据二次函数的解析式即可求出利润的最大值。
8．图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点与点重合时，推拉门与门框完全闭合；当点滑动到限位点处时，推拉门推至最大，此时测得．
（1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①的最小值为 ▲ 度，最大值为 ▲ 度；
②面积的变化情况是（　　）
A越来越大B越来越小C先增大后减小
（2）当时，求的面积．
【答案】（1）①0，39
②C
（2）如图2，过点作交BC的延长线于点，
依题意可知：．
，
，
．
，
，
．
，
．
答：当时，的面积为
【解析】【解答】（1）①解：当点与点重合时，推拉门与门框完全闭合，这时∠AMN为0°；
当点滑动到限位点处时，，
∴∠CMN=180°-∠C-∠CNM=180°-135°-6°=39°，
故答案为：0，39；
②过点N作NH⊥BC于点H，
则NH=，
∴，
当CM=CN时，三角形的面积最大，
故面积 先增大后减小 ，
故选：C；
【分析】（1）①根据题意的两个位置分别求出∠CMN的最值即可；
②过点N作NH⊥BC于点H，则NH=，表示三角形的面积，得到当CM=CN时，三角形的面积最大，即可得到变化情况；
（2）过点作交BC的延长线于点，利用30°的直角三角形的性质求出NH和MH长，即可求出MC长，利用三角形的面积公式计算解题即可.
9．在一次高尔夫球的练习中，小成在O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m．
（1）请求出抛物线的顶点坐标；
（2）请求出球洞离击球点的距离；
（3）若小成再一次从O处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式，
【答案】解：（1）=
∴抛物线的顶点为（4，）；
（2）令y＝0，得：＝0
解得：x1＝0，x2＝8，
∴球飞行的最大水平距离是8m，
∴球洞离击球点的距离为8＋2＝10m；
（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m
∴抛物线的对称轴为直线x＝5，顶点为（5，）
设此时对应的抛物线解析式为y＝a（x 5）2＋
又∵点（0，0）在此抛物线上，
∴25a＋＝0，a＝
∴y＝-（x 5）2＋，
即其解析式为y＝-（x 5）2＋.
【解析】【分析】（1） 将其表达式变成顶点式，然后根据中，顶点坐标为即可得出答案；
（2）令抛物线解析式中的y＝0，算出对应的x的值，根据球洞离击球点的距离为 |x1 x2|＋2即可得到结论；
（3）易得抛物线顶点为（5，），从而结合抛物线过点（0，0）用设顶点式法求出二次函数的解析式．
10．在 ABCD 中，点E，F 分别在BC，AB 上，∠DEF=∠B，EF⊥DF.
（1）如图1，若∠B=60°，求 的值；
（2）如图2，若DF=2EF，AD=CD，求 的值.
【答案】（1）解：在 BC 的延长线上取点M，连接DM，使MD=CD.
在 ABCD 中，∠B=60°，ABCD，AB=CD，
∴∠DCM=∠B=60°，
∴△CDM 为等边三角形，
∴
∵∠DEF=∠B，∠CEF=∠DEF+∠MED=∠B+∠BFE，
∴∠BFE=∠MED，
∴△BEF~△MDE，
∴
∵EF⊥DF，∠DEF=∠B=60°，
∴EF=，
∴，
∵MD=CD=AB，
∴.
（2）解：在BC的延长线上取点M，连接MD，使MD=CD，过点D 作DN⊥CM，垂足为点N，则CN=NM.
在Rt△DEF中，DF=2EF，
∴DE=.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，BC=AD，
∴∠B=∠DCM.
∵MD=CD，
∴∠M=∠DCM=∠B=∠DEF，
与（1）同理可证得∠BFE=∠MED，
∴△BEF~△MDE，
设BE=m，则
∵∠DCM=∠DEF，∠DFE=∠DNC=90°，
∴Rt△DEF∽Rt△DCN，
∴，
∴CN=，
∴EM=EC+CM=（BC-BE）+2×CN=.
∵△BEF~△MDE，
∴
【解析】【分析】（1）依据“一线三等角”模型，可在 BC 的延长线上取点M，连接DM，使MD=CD，易证得，从而证得△BEF~△MDE，则，根据平行四边形的性质不难证得AB=CD=MD；根据 EF⊥DF和 ∠B=60°， 可得出EF和DE的数量关系，从而可求得的值；
（2）此小题是（1）题的延伸，同样可以在BC的延长线上取点M，连接MD，使MD=CD，与（1）同理可证得△BEF~△MDE，则，，根据EF⊥DF和 DF=2EF， 可得EF和DE的数量关系，从而得到的值，题目要求得是的值，根据，不妨设BE=m，则需要求出BF或EM、DM，结合已知条件解答即可.
11．如图1，为等边三角形，，点为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，其中点E在边上.
（1）求证：.
（2）如图2，当运动到的中点时，求线段的长.
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，∴，
∵，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
（2）解：由（1）得：，∴，
∵为等边三角形，∴，
∵点D为的中点，∴，
∴，∴
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再结合，可证出；
（2）先利用等边三角形的性质及线段中点的性质可得，再结合，可得，再求出CE的长即可.
12．如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A（1，-2）和B（0，-5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的对称轴.
（2）当y≤-2时，请根据图象直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴对称轴为直线
（2）解：．
【解析】【解答】解：（2）当时，，
∴
解得：，，
如图，当时，
∴．
【分析】（1）根据题意将点A和点B的坐标代入，进而即可得到抛物线的解析式，再将抛物线的解析式转为顶点式，从而即可得到对称轴；
（2）根据题意求出二次函数与的交点坐标，进而直接根据图像即可求解。
13．已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点(-1，0)，(3，0)，求a，b的值。
【答案】 解：∵抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点(-1，0)，(3，0)，
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a，
∴-3a=-3
解之：a=1，
∵-2a=b
∴b=-2
∴a的值为1，b的值为-2.
【解析】【分析】由已知条件可知点(-1，0)，(3，0)是抛物线与x轴的两交点坐标，因此设函数解析式为交点式，就可得到-3a=-3，解方程求出a的值，再由-2a=b，代入计算可求出b的值；或将已知两点坐标代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值。
14．已知二次函数的图象经过点(0，0)，且它的顶点坐标是(1，-2)．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）判断点(3，5)是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：∵顶点坐标是(1，-2)
∴设函数表达式为
当x=0，y=0时，有，解得a=2
∴函数表达式为
（2）解：当x=3时，有
∵
∴点(3，5)不在这个二次函数的图象上
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式；
（2）把x=3代入解析式计算y值，即可判断.
15．如图，在中，的平分线交边于点于点．已知，．
（1）求证：．
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：平分，
（2）解：在Rt中，，
在Rt中，，
【解析】【分析】本题考查角平分线的定义，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义.
(1)根据题意，利用角平分线的定义可得：利用角的运算可推出，再根据等角对等边，据此可证明结论.
(2)先利用正切的定义可求出BE和EC，利用线段的运算可求出BC，利用三角形的面积计算公式可求出的面积 .
16．已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE=∠B，点F在AD上，且．求证：
（1）ΔDEF∽ΔBCD；
（2）．
【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠B，
∴，∴∠CDE=∠BCD，
∵，∴∠CDE=∠DEF，∴∠BCD=∠DEF，
又∵∠ADE=∠B，
∴△DEF∽△BCD
（2）证明：∵∠ADE=∠B，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等即可证明 △DEF∽△BCD ；
（2）根据DE∥BC，可得出，再根据EF∥CD，可得，故而可得，即 ．
17．小强为测量一路灯杆的高度，在灯光下，小强在处的影长为3米，沿方向行走了5米到处，此时小强的影长为5米，若小强身高为1.5米，求路灯杆的高度．
【答案】解：由题意得：，，，，，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：路灯杆的高度为米．
【解析】【分析】根据相似三角形判定定理可得，，则，，代值建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
【答案】解：设AG=x．在Rt△AFG中，∵tan∠AFG= ，∴FG= ，在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，∴CG=AG=x，∵DE=10，∴x﹣ =10，解得：x= ，∴AB= +1= （米）．
答：电视塔的高度AB约为 米．
【解析】【分析】设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=10m，列出方程即可解决问题．
19．某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为 ，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好 ， ， ．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是 ．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到 ．参考数据： . ）
【答案】解：作 于F，
在 中， ，
，
在 E中， ，
由勾股定理得， ，
答：AB的长约为 ．
【解析】【分析】根据已知三角函数值，以及三角函数的定义，在 中 ，可求出CF。在 中，可求出 DE。即而可得BH、AH。在直角三角形AHB中，利用勾股定理即可求得AB。
20．如图，在直角坐标平面内，函数 （x＞0，m是常数）的图象经过A(1，4)，B(a，b)，其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标。
（2）求证：DC∥AB。
【答案】（1）解：∵函数 (x＞0，m是常数），图象经过A(1，4)，
∴m=4。
设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为 ，D点的坐标为 ，E点的坐标为 ，
∵a＞1，
∴DB=a，AE=4 .
由△ABD的面积为4，
即 ，得a=3.
∴点B的坐标为
（2）证明：据题意，点C的坐标为(1，0)，DE=1，
∵a＞1，易得EC= ，BE=a 1，
∴ ， ，
∴
∴DC∥AB.
【解析】【分析】（1）将点A（1，4）代入即可求出m的值，然后用含a的式子表示点B，D，E的坐标，再得出DB和AE ，然后利用三角形的面积公式求出a的值，即可得解；
（2）根据题意得出点C的坐标，以及DE的长，然后求出和的值，再根据平行线分线段成比例定理分析即可.
21．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
【答案】解：（1）一；；
设抛物线的解析式为：．
由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），
代入解析式可得：，
（2）根据题意：把代入，
解得：=3.2，
∴水面上涨的高度为3.2m．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将x=3代入解析式求出=3.2即可.
22．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？
【答案】解：延长AB∵CD∥AB，∴∠CAB=30°，∠CBF=60°；∴∠BCA=60°-30°=30°，即∠BAC=∠BCA；∴BC=AB=3米；Rt△BCF中，BC=3米，∠CBF=60°；∴BF= BC=1.5米；故x=BF-EF=1.5-0.8=0.7米．答：这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7米．
【解析】【分析】如图，延长AB，由平行线的性质可得∠CAB=30°，∠CBF=60°；所以∠BCA=60°-30°=30°，即∠BAC=∠BCA；根据等角对等边可得BC=AB=3米；在Rt△BCF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BF= BC=1.5米；所以汽车车头与斑马线的距离x=BF-EF=1.5-0.8=0.7米．
23．如图，小明为了测量大树AB的高度，在离B点21米的N处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4米到D点，此时从镜子中恰好看到树顶的A点，已知小明的眼睛（点C）到地面的高度CD是1.6米，求大树AB的高度．
【答案】解：∵AB⊥DB，DC⊥DB，
∴∠CDN=∠ABN=90°，
∵∠CND=∠ANB，
∴△CDN∽△ABN．
∴ ，
即 ，
∴AB=1.6×21÷1.4=24（米），
答：大树AB的高度为24米
【解析】【分析】先求出 ∠CDN=∠ABN=90° ，再证明 △CDN∽△ABN ，即可得
，最后计算求解即可。
24．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处.已知AB＝BD＝800米，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE（结果精确到1米）.（参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732， ＝1.414）
【答案】解：由题意得：∠ACB＝∠BFD＝90°，EF＝BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosα＝ ，
∴BC＝AB cos75°＝80×0.259＝207.2.
∴EF＝BC＝207.2，
在Rt△BDF中，∠BFD＝90°，sinβ＝ ，
∴DF＝BD sin45°＝800× ＝400×1.414＝565.6.
∴DE＝DF+EF＝565.6+207.2＝772.8≈773（米）.
∴山高DE约为773米.
【解析】【分析】在R△ABC中，求出BC＝AB cos75°≈800×0.26＝208m，在Rt△BDF中，求出DF的长，由四边形BCEF是矩形，可得EF＝BC，由此即可解决问题.
25．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速.如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速30千米/小时，数学实践活动小组设计了如下活动；在l上确定C，B两点，并在CB路段进行区间测速.在l外取一点O，作OA⊥l，垂足为点A.测得OA＝75米，∠OCA＝37°，∠OBA＝53°.上午9时测得一辆汽车从点C到点B用时5秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：∵∠OBA＝53°，OA⊥l，
∴∠BOA＝37°，
在Rt△AOC中，AC＝ ＝100（m），
在Rt△BOA中，AB＝OA tan∠BOA＝75tan37°≈75×0.75＝56.25（m），
∴BC＝AC﹣AB＝100﹣56.25＝43.75（m），
∴该车的实际速度为 ＝8.75m/s＝31.5km/h，
∵31.5＞30，
∴该车超速了.
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得到∠BOA＝37°，解直角三角形分别求出AC、AB，由BC＝AC﹣AB算出BC的长，进而根据路程除以时间等于速度求得该车的实际速度，将所求的速度与30比大小即可得到结论.
26．已知抛物线与轴有两个不同的交点.
（1）求的取值范围.
（2）若抛物线经过点和点，试比较和的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac=(-4)2-4×2×c＞0，解得：c＜2.
故答案为：c＜2.
（2）解：抛物线的对称轴为，而，
在抛物线对称轴的右侧，随的增大而增大，
∵2＜3，
∴m＜n.
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个不同的交点可得b2-4ac=(-4)2-4×2×c＞0，解关于c的不等式即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出对称轴，由a=2＞0并结合抛物线的性质可判断求解.
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点为正半轴上一点，且满足，求点的坐标.
【答案】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
.
点的坐标为.
反比例函数的图象经过点，
.
反比例函数的解析式为.
（2）解： 过点作轴的垂线，垂足为点，则.
由勾股定理，得.
由图象的对称性，可知.
又，
.
点的坐标为.
【解析】【分析】（1）先根据题意将点A代入一次函数解析式得到m，进而运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线，垂足为点，则，进而根据勾股定理即可求出OA，再结合反比例函数的对称性得到，从而结合题意即可求解。
28．为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示.求凉亭P到公路l的距离.（结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【答案】解：作PD⊥AB于D.
设BD=x，则AD=x+200.
∵∠EAP=60°，
∴∠PAB=90°﹣60°=30°.
在Rt△BPD中，
∵∠FBP=45°，
∴∠PBD=∠BPD=45°，
∴PD=DB=x.
在Rt△APD中，
∵∠PAB=30°，
∴PD=tan30° AD，
即DB=PD=tan30° AD=x= （200+x），
解得：x≈273.2，
∴PD=273.2.
答：凉亭P到公路l的距离为273.2m.
【解析】【分析】作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度.利用特殊角的三角函数值求解.
29．2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站，建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了基础．某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为 ，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为 ，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度（结果精确到0.1米，参考数据： ， ， ， ）
【答案】解：如图，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，延长 交 于 ，则四边形 ， 是矩形，
， ，
是等腰直角三角形，
设
解得
核心舱架设在1米的稳固支架上，
17.6-1=16.6
答：天和核心舱的高度16.6米
【解析】【分析】过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，延长 交 于 ，则四边形 ， 是矩形，于是得到BC=MN=24m，DE=CN=BM=1.6m，求得CE=AE，设AE=CE=x，得到BE=24+x，解直角三角形可得到答案。
30．掷实心球是某地区中考体育考试的选考项目，已知一名男生第一次投实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时实心球行进至最高点处．
（1）求这名男生第一次投实心球的抛物线的解析式；
（2）根据该地区2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，此项目考试满分为15分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
（3）该男生第二次投掷时，实心球运动的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．则第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为多少？
【答案】（1）解：由题意可得抛物线顶点坐标，且过点，
∴关于的函数表达式为：，
把代入解析式得，，
解得：，
∴关于的函数表达式为：；
（2）解：该生在此项考试中得不到满分，
理由：当，则，
解得：（舍去），
∵，
∴该生在此项考试中得不到满分．
（3）解：（3）解：当，则，解得：（舍去），
∴第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为．
【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，可设抛物线的解析式为：，再根据点，在抛物线上。即可利用待定系数法即可得出 抛物线的解析式；
（2）令，可得出（舍去），即可得出答案。
（3）令，解方程即可．
（1）解：由题意可得抛物线顶点坐标，且过点，
∴关于的函数表达式为：，
把代入解析式得，，
解得：，
∴关于的函数表达式为：；
（2）解：该生在此项考试中得不到满分，理由：
当，则，
解得：（舍去），
∵，
∴该生在此项考试中得不到满分．
（3）解：当，则，
解得：（舍去），
∴第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为．
31．当x为何值时，函数的值等于0？
【答案】解：当时，，
，
解得：或，
∴当或时，函数的值等于0．
【解析】【分析】将y=0代入解析式，可得，再求出x的值即可.
32．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点C的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为，把原点坐标代入解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
∵水面边缘点C的坐标为，C，B在一条直线上，
∴点B的纵坐标为，
根据题意，得，
解得（舍去），
故点．
（2）解：根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，
当时，，
由，
根据运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，
故本次跳水失误．
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为，把原点坐标代入解析式，确定a值，即可求出抛物线的解析式；根据点的坐标与图形性质易得点B的纵坐标为-10，故将y=-10代入所求的函数解析式算出对应的自变量x的值即可得到点B的坐标；
（2）根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，计算对应的纵坐标，结合标准判断即可．
（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为，
把原点坐标代入解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
∵水面边缘点C的坐标为，C，B在一条直线上，
∴点B的纵坐标为，
根据题意，得，
解得（舍去），
故点．
（2）解：根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，
当时，，
由，
根据运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，
故本次跳水失误．
33．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.
（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多 最多是多少
（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元
【答案】（1）解：设每 千克涨价为x元时，每天的盈利为w元
∴w=（10+x）（500-20x）
=-20x2＋300x＋5000
=-20（x-7.5）2＋6125
∵a<0
∴当x=7.5时，w有最大值为6125.
∴ 当每千克涨价为7.5元时，每天的盈利最大为6125元.
（2）解：令w=6000时，-20（x-7.5）2＋6125=6000，解得：x1=10，x2=5
∵要使 顾客得到实惠
∴x=5
∴ 每千克应涨价为5元.
【解析】【分析】（1）设每 千克涨价为x元时，每天的盈利为w元，根据利润=单件利润×件数，得出w=（10+x）（500-20x），再把w化为顶点式为：w=-20（x-7.5）2＋6125，即可得到：当x=7.5时，w有最大值为6125.
（2）令w=6000时，得到-20（x-7.5）2＋6125=6000，解出x，再根据题意，进行取舍即可.
34．如图，在四边形中，，与全等．
（1）求的长．
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵△ABP≌△PCD，
∴AB=CP=6，BP=CD=2，AP=PD、∠APB=∠CDP．
∵∠PCD=90°，
∴∠CPD+∠CDP=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠APD=90°．
∵
（2）解：过点D作DH⊥AC于点H．
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCH
∵∠B=∠CHD=90°，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用三角形全等求出AP=PD和∠APB=∠CDP，结合∠B=∠DCB=90°，通过等量转化即可求出∠APD是直角，根据勾股定理求出PD=AP的长度，再利用勾股定理求出AD长度；
（2）根据勾股定理求出AC长度，过D作DH⊥AC，根据平行线的性质求出∠CAB=∠DCH，进而证明△ABC∽△CHD，通过相似线段成比例从而求出CH和DH长度，即可知道AH长度，从而求出tan∠DAC的值.
35．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培．
（1）求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式；
（2）若，求电流的变化范围．
【答案】（1）解：设函数表达式为∵当时，，
∴，解得：，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为；
（2）解：∵中，，∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵，
∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，．
把电阻最大值代入，得到电流的最小值，．
∴电流I的变化范围是．
【解析】【分析】
（1）设函数解析式为，利用待定系数法直接求解即可；
（2）由反比例函数图象上点的坐标特征把和代入求出的最大值和最小值即可．
（1）解：设函数表达式为
∵当时，，
∴，解得：，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为；
（2）解：∵中，，
∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵，
∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，．
把电阻最大值代入，得到电流的最小值，．
∴电流I的变化范围是．
36．二次函数的图象经过点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
求这个函数“倍值点”的坐标；
若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴，解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，整理得：，
解得：或，
∴这个函数“倍值点”的坐标为或；
∵是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点，
∴，
由得，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取最小值，当时，取最大值，
∴的最大值与最小值的差为．
【解析】【分析】（）利用对称轴求b，代入点（4，3）求c即可；
（）利用倍值法求出对应点的坐标；
因为是该二次函数图象上“倍值点”（包括端点），求n的最大值和最小值的差即可.
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，
整理得：，
解得：或，
∴这个函数“倍值点”的坐标为或；
∵是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点，
∴，
由得，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取最小值，当时，取最大值，
∴的最大值与最小值的差为．
37．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）解：，都在反比例函数的图象上，
，
，，
反比例函数解析式为，点的坐标是，
将、两点坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
点坐标，
；
（3）不等式的解集是或．
【解析】【解答】解：（3）根据图象可得 不等式的解集是或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2） 令， 求得x的值，得到点C的坐标，再利用，代入数据进行计算即可求解；
（3）直接观察图象即可求解.
38．已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
求这个二次函数的表达式及的值．
【答案】解：解法一：由题意，设二次函数的表达式为
二次函数经过点
解得
二次函数的表达式为 ．
当 时，
解法二：由题意，设二次函数的表达式为 ．
二次函数经过点 ，
．
．
二次函数的表达式为 ．
即 ．
当 时，
解法三：由题意，设二次函数的表达式为
二次函数经过点 ，
．
．
二次函数的表达式为 ．
即 ．
当 时，
【解析】【分析】解法一：根据一般式列方程组可解答；
解法二：根据顶点式将一个点代入可解答；
解法三：根据交点式将一个点代入可解答．
39．如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式，5时至8时的图象满足函数关系式．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：次日0时到8时的最低气温是______；
（2）求一次函数的解析式；
（3）某种植物在气温以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：把分别代入中，
得，
解得，
∴．
（3）解：令，解得；
令，
解得（舍去），
故，
∵
∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．
【解析】【解答】解：（1）根据题意，
当时，函数有最小值，代入解析式得，
，
故答案为：．
【分析】（1）将x=5代入解析式求出y的值即可；
（2）结合函数图象中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）将y=0分别代入两个函数解析式求出x的值，再求出，最后比较大小即可.
（1）根据题意，
当时，函数有最小值，代入解析式得，
，
故答案为：．
（2）把分别代入中，
得，
解得，
∴．
（3）令，
解得；
令，
解得（舍去），
故，
∵
∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．
40．某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间．
【答案】解：根据图形可知：
把（0.5，6）、（1，9）代入函数关系y=at2+bt（a＜0）得
，
解得 ，
所以函数关系y=-6t2+15t=-6（t2- t）=-6（t- ）2+ .
当t= 时，y有最大值为 ，
答：出该汽车刹车后到停下来所用的时间为 s.
【解析】【分析】根据图象所提供信息即可求得函数解析式进而求解．
41．已知二次函数．
（1）当时，
①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若方程有两个相等的实数根，求证：；
（2）若，已知点，点，当二次函数的图象与线段有交点时，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：①∵，对称轴为直线，
∴，
∴，
把点代入得，，
∴该函数的表达式为；
②∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：a的取值范围为：或.
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴抛物线的顶点为，
把代入得，，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为、，
当抛物线过点时，，
解得，
如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图象与线段有交点，
当抛物线过点时，，
解得，
如图，当时，二次函数的图象与线段有交点，
综上所述，当或时，二次函数的图象与线段有交点．
【分析】（1）①根据对称轴直线公式求得，再把代入得，，即可求解；
②对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意得，再利用配方法可得，根据平方的非负性即可求解；
（2）由题意可得，，则，抛物线的顶点为，令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可求出抛物线与x轴的交点为、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可．
42．根据下列条件求函数的表达式．
（1）已知变量x，y，t满足y=t2-2，x=3-t，求y关于x的函数表达式．
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，
当x=1时，y=4；当x=-2时，y=-2；当
x=-1时，y=2．求这个二次函数的表达式．
【答案】（1）解：∵x=3-t，
∴t=3-x，代入y=t2-2，
可得：y=(3-x)2-2，
∴y=x2-6x+7．
（2）解：根据题意，得，
解得：
∴这个二次函数的表达式为y=-x2+x+4．
【解析】【分析】（1）先求出t=3-x，再将其代入y=t2-2，可得y=(3-x)2-2，从而得解；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可.
43．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，，
又∵平分，
∴，
∴，
则，
∴，
故．
（2）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
【解析】【分析】
（1）根据平行线分线段成比例得出 ，，，可推导出。
（2） 由 得，结合 ， 推导出 再结合角间关系推导出 。
44．如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB=90°，E为AB的中点，CE与BD交于点F，
（1）求证：△ABD∽△DBC；
（2）求证：；
（3）若DF：BF=2：3，CD=6，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD．
又∵∠ADB=∠DCB，
∴△ABD∽△DBC
（2）证明：∵点E是AB的中点，∠ADB=90°，
∴DE=BE=AE，
∴∠EDB=∠ABD．
又∵∠CBD=∠ABD，
∴∠CBD=∠EDB．
∴
（3）解：解法一：过点D作DH⊥AB
易证△DHB≌△DCB
∴ΔDEF∽ΔBCF，∴，
设DE=2k，BC=3k，则BH=3k．
DE=BE=2k，HE=k．
∵BD平分∠ABC
∴DH=CD=6
在Rt△DHE中，
．
解法二：
∵
∴ΔDEF∽ΔBCF
∴
又∵DF：BF=2：3
∴
设DE=2k，则BC=3k．
∵E是AB的中点，∠ADB=90°．
∴AB=2DE=4k
∵ΔABD∽ΔDBC
∴
∴
∵∠BCD=90°，CD=6
∴，即
解得
∴．
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等，即可得出 △ABD∽△DBC ；
（2）首先根据直角三角形斜边上的中线得出 DE=BE=AE， 即可得出 ∠EDB=∠ABD ，再根据角平分线的定义，得出 ∠CBD=∠ABD ，从而得出∠CBD=∠EDB ，进而根据平行线的判定，即可得出DE∥BC；
（3） 过点D作DH⊥AB ，由（2）知DE∥BC， ΔDEF∽ΔBCF ，从而得出 ，设DE=2k，BC=3k，根据HL可证得 △DHB≌△DCB ，则BH=3k ， DE=BE=2k，HE=k，DH=CD=6 ， 在Rt△DHE中，，即可得出方程：，解方程即可求得k=（负值舍去），进一步即可求出DE=。
45．如图，菱形ABCD中，AB=1，∠A=60°，EFGH是矩形，矩形的顶点都在菱形的边上．设AE=AH=x（0＜x＜1），矩形的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当EFGH是正方形时，求S的值．
【答案】【解答】
（1）连接BD交EF于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AE=AH，
∴EH∥BD∥FG，BD⊥EF，
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AE=AH，
∴△AEH是等边三角形，
∴∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，
∴EM=BE，
∴EF=BE，
∵AB=1，AE=x，
∴矩形EFGH的面积为S=EH×EF=x×（1-x）=-x2+x（0＜x＜1）；
（2）当矩形EFGH是正方形时，EH=EF，
即x=（1-x），
解得：x=，
所以S=x2=（）2=
【解析】【分析】本题考查了菱形、矩形、等边三角形、正方形的性质，勾股定理以及二次函数解析式，正确运用知识点推理和计算是解决本题的关键.（1）连接BD交EF于点M，根据菱形的性质四条边相等，且对角线互相垂直平分推出△AEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，利用勾股定理求出EM=BE，根据矩形面积公式代入即可求出函数解析式；
（2）根据正方形的性质得到EH=EF，得到x=（1-x），再求出x，再利用正方形面积公式求出面积即可．
46． 如图，抛物线：与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），假设点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．当时，图象G的最大值与最小值的差为多少？
（3）将线段AB先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线：与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：将，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
∴，
在中，令，则，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
又∵，抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，图象G取得最小值，最小值为；
当时，图象G取得最大值，最大值为5；
∴图象G的最大值与最小值的差为．
（3）解：或
【解析】【解答】解：（3）由平移方式可知：
若抛物线：恰好经过点
即：
解得：
若抛物线：恰好经过点
即：
解得：
∴若抛物线：与线段只有一个交点
则或
【分析】（1）根据题意将点A和点B代入二次函数解析式即可求出b和c，从而即可求解；
（2）先根据二次函数与坐标轴的交点结合二次函数图象上的点的坐标特征即可得到点C和点P的坐标，进而根据二次函数的最值结合题意即可求解；
（3）先根据平移的性质得到，进而计算二次函数分别经过M或N时的n值，从而根据二次函数与一次函数的交点结合函数图象即可求解.
47．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），(5，0）两点．将A（﹣1，0)，B(5，0)代入y＝ax2+bx+5，得：，
解得，
则抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5．
（2）解：直线BC能把△BDF分成面积之比为2：3的两部分，理由如下：点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），
设直线BC的表达式为y＝kx+m，
把C（0，5），（5，0）代入得：
，
解得，
则直线BC的表达式为y＝﹣x+5．
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，-x+5），F（x，0），0＜x＜5，
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得，x2＝5（舍去），
此时D点坐标为；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+2）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得，x2＝5（舍去），
此时D点坐标为．
综上所述，当点D的坐标为 或 时，
直线BC能把△BDF分成面积之比为2：3的两部分．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将 A（﹣1，0），B（5，0） 代入 抛物线y＝ax2+bx+5 建立方程组，解得a、b的值即可求解；
（2）根据 点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合）， 可 设直线BC的表达式为y＝kx+m， 将点C代入得关于m、k的方程组，解之求得一次函数表达式， 设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，-x+5，）(0＜x＜5)，进而得DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，分DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2， 两种情况讨论即可求出点D的坐标.
48．如图，已知抛物线的顶点为，且经过点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点的一条直线与抛物线交于点，且满足，求点的坐标；
（3）过点作轴的平行线交轴于点，过点的直线与抛物线交于，两点，求的值．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴，
即。
（2）解：由（1）知，如图1，
取的中点，以为边向下作正方形，连接，
根据对称性，此时点一定在边上，，，
∵，，
∴，，
过点作于点，则，
∴，
∵，
∴，
①当在轴下方时，，则，
联立，
解得或，
∴；
②当在轴上方时，，则，
联立，
解得或，
∴；
综上所述，点的坐标为或。
（3）解：如图2，
∵，
∴，
设，，，且，
联立，
得，
则，，
则，
，
∴
，
∴。
【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点式解析式：，将P点坐标代入该解析式中，得到，然后再将O点坐标代入，求出a的值，即可求出顶点式解析式，最后再将顶点式的解析式化为一般形式即可。
（2）根据（1）的解析式，可求出A点的坐标，取的中点，以为边向下作正方形，连接，根据对称的性质，可知，P点在EF上，然后再根据勾股定理：，代入数据，求出的长度，进而可求出PF和PA的长度；过点作于点，求出，根据正切函数的定义：和，代入数据，求出其值。然后再分两种情况：C在轴下方和C在轴上方，联立OC直线解析式和抛物线的解析式，然后再解方程组，即可求解；
（3）根据图形所示，可求出P和Q的坐标，设，，，联立直线和抛物线的解析式，然后再根据韦达定理，求出和的值，然后再根据两点间的坐标公式，分别求出MQ和NQ的值，然后再将MQ和NQ的值代入，即可求解。
（1）解：∵抛物线的顶点，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴，
即；
（2）解：由（1）知，
如图1，
取的中点，以为边向下作正方形，连接，
根据对称性，此时点一定在边上，，，
∵，，
∴，，
过点作于点，则，
∴，
∵，
∴，
①当在轴下方时，，则，
联立，
解得或，
∴；
②当在轴上方时，，则，
联立，
解得或，
∴；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：如图2，
∵，
∴，
设，，，且，
联立，
得，
则，，
则，
，
∴
，
∴．
49．近几年，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境.图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点 B为该抛物线的最高点，点B 到水平地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点 A 到地面的距离为2米，且点 A 和点 B 的水平距离为6米.按图①所示建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚的接触点 P 离地面约 2.5米.请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚下方；
（3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架.如图③所示，钢架分为两段，其中一段连结点 A 与点 B，然后在棚顶上某处取点 C，在钢架 AB 和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD，求第二段钢架CD 长度的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得抛物线的顶点 B的坐标为(6，3)，点 A 的坐标为(0，2).设
将点A(0，2)代入，得 3，解得
∴抛物线的函数解析式为
（2）解：将 y=2.5 代入
得
解得 (舍去)，
∴这辆观光车不可以完全停进遮阳棚下方
（3）设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+2.
将点B(6，3)代入 y= kx+2，得k=
2，且C是抛物线上的点，
∴设
∴当x=3时，CD 取最大值，最大值为
∴钢架CD 长度的最大值是 米
【解析】【分析】(1)结合题意设抛物线的函数解析式为y=a 代入点A的坐标为(0，2)，即可得到答案；
(2) 将y=2.5代入 中，可得 再进一步求解即可；
(3)先直线AB的函数解析式为 结合抛物线为 设点C的坐标为 可得点D的坐标为 再建立二次函数求解即可.
50．已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
图1 图2 图3
（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝BF；
（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；
（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠APD＝90°，
∴∠PAD+∠ADE＝90°，∠PAD+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF＝AE．
（2）解：如图，连接AQ，CQ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，
∵BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴QA＝QC，∠BAQ＝∠QCB，
∵EQ垂直平分线段AF，∴QA＝QF，∴QC=QF，
∴∠QFC＝∠QCF，
∴∠QFC＝∠BAQ，
∵∠QFC+∠BFQ＝180°，
∴∠BAQ+∠BFQ＝180°，∠AQF+∠ABF＝180°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠AQF＝90°，
∴∠AFQ＝∠FAQ＝45°．
（3）解：过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形．
∴ET＝BC，∠BET＝∠AET＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°，
∵AF⊥EG，
∴∠APE＝90°，
∵∠AEP+∠BAF＝90°，∠AEP+∠GET＝90°，
∴∠BAF＝∠GET，
∵∠ABF＝∠ETG，AB＝ET，
∴△ABF≌△ETG（ASA），
∴BF＝GT＝x，
∵AD∥CB，DG∥BE，
∴，
∴，
∴BE＝TC＝xy，
∵GT＝CG﹣CT，
∴x＝2﹣y﹣xy，
∴y＝（0≤x≤2）．
【解析】【分析】(1)利用正方形的性质，根据ASA证明 可得结论.
(2)如图2中， 连接AQ， CQ.证明△ABQ≌△CBQ，即可得到QA＝QC，∠BAQ＝∠QCB， 然后证明∠AQF＝90°，即可得到结论.
(3)过点E作. 于T，则四边形BCTE是矩形.利用全等三角形的性质证明BF=GT=x，再利用平行线分线段成比例定理求出 ，根据GT=CG-CT，构建关系式，可得结论.
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