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华东师大版2025—2026学年九年级上册期末模拟押题预测卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米.则该自动扶梯的高度BC等于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．下列方程中，一元二次方程有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝-2 B．4-3＝1 C．+＝ D．2＝
4．如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图所示，在中，，点P在边上（点P不与B，C重合，且，将沿翻折变为，交于点M，交于点N．则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
6．下列长度(单位cm)的线段不能组成三角形的是（ ）
A．3，3，3 B．3，5，5 C．3，4，5 D．3，5，8
7．如图，在正方形中，，点E、F分别是边、的中点，连接、，点M，N分别是、的中点，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
8．如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，点A（-3，3），B（-4，1），C（-2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（ ）
A． C． 10．如图，菱形中，，E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，的延长线交于点M，连接，，．下列结论：
①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知线段为线段AB的黄金分割点，则 .
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
13．已知是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为 ．
14．若方程经配方法转化成，则的值是 ．
15．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=，则BC的长为 ．
16．在 中， ，其中一个锐角为 ， ，点 在直线 上（不与 ， 两点重合），当 时， 的长为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某游乐场部分平面图如图所示，点C，E，A在同一条直线上，点D，E，B在同一条直线上.测得点A 与点E 的距离为80m，点 C 与点 D 的距离为34 m，∠C=90°，∠B=90°， 求：
（1）旋转木马 E 处到出口 B 处的距离.
（2）海洋球D 处到出口B处的距离(结果精确到1m，参考数据：
18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设该方程的两个实数根分别为，，若，满足，请求出k的值．
19．如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若S△ABC：S△ADE=4：9，BC=6，求DE的长．
20．如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求阴影部分的面积(结果保留)．
21．图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点可以上下调整高度，离地面的距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．
（1）当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．（结果保留一位小数）
（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点向下移动即可，移动的距离与小华的身高有什么数量关系？直接写出你的结论．
②活动调节点不动，只要调整的大小，如图3，试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
22． 数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题：
已知非零实数a，b同时满足等式，求的值．
小白：哈哈！结果为正数． 小青：x，y不一定相等哦．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，①求x的值．②求的值．
（2）若，则 ．
23．已知，b满足．
（1）求，的值；
（2）如果一个三角形的三边长分别是，，，请化简．
24．如图，在菱形中，交的延长线于点，连结交于点，交于点，连结．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若菱形的边长为2，，求的长．
25．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO 的面积为 8，OA=OB，BC=12 ，点 P 的坐标是 (a，6) ．
（1）求 △ABC 三个顶点 A，B，C 的坐标；
（2）若点 P 坐标为 (1，6) ，连接 PA，PB ，则 △PAB 的面积 ；
（3）是否存在点 P ，使 △PAB 的面积等于 △ABC 的面积？如果存在，请求出点 P 的坐标．
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华东师大版2025—2026学年九年级上册期末模拟押题预测卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米.则该自动扶梯的高度BC等于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】【解答】解：在Rt，，，，则BC=。
故答案为：A.
【分析】由题意可知在Rt，，，，则BC=。
2．下列方程中，一元二次方程有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①3x2+x=20变形得3x2+x-20=0，符合一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程；
②2x2 3xy+4=0，含量有两个未知数度，所以它不是一元二次方程；
③ax2+bx+c=0，不能确定a是否等于0，所以它不是一元二次方程；
④2x2+=0，分母中含有未知数，所以它不是一元二次方程；
⑤(x-3)(x-2)=x2，化简后为-5x+6=0是一元一次方程，所以它不是一元二次方程；
⑥x2=3，变形得x2-3=0，符合一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程；
综上，①⑥共2个是一元二次方程．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝-2 B．4-3＝1 C．+＝ D．2＝
【答案】D
【解析】【解答】解：A、＝2，故选项A错误；
B、4-3＝，故选项B错误；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故选项C错误；
D、，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质可判断A选项，二次根式的加减法就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是将几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数完全相同的二次根式，合并的时候，只需将系数相加减，二次根号部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此判断B、C选项；根据二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，可判断D选项.
4．如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：设与x轴交于点E，
由折叠可得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则有，
在中，根据勾股定理得：，解得：，
∴，
如图：过D作于F，
∵，
∴，，
∴．
故选C．
【分析】设与x轴交于点E，过D作于F，由折叠的性质可得，根据题意可得，，得到，即，设，利用勾股定理得到，解得，利用等面积法得到，再用勾股定理求得，即可求解．
5．如图所示，在中，，点P在边上（点P不与B，C重合，且，将沿翻折变为，交于点M，交于点N．则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、∵将沿翻折变为，∴△ABP≌△AB'P，△CAN≌△C'AM，∴PA平分∠MAN，∴A正确，不符合题意；
B、∵AB=AC，∠B=∠C，∴∠B=∠C=∠B'=∠C'，∵∠AMC'=∠PMB，∴，∴B正确，不符合题意；
C、∵，∴∠MPB=∠C'AM，∵△CAN≌△C'AM，∴∠CAN=∠C'AM，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵根据题干中的信息无法证明，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用翻折的性质，全等三角形的性质、三角形相似的判定及性质逐项分析判断即可.
6．下列长度(单位cm)的线段不能组成三角形的是（ ）
A．3，3，3 B．3，5，5 C．3，4，5 D．3，5，8
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵3+3＞3，∴能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵3+5＞5，∴能组成三角形，故B不符合题意；
C、∵3+4＞5，∴能组成三角形，故C不符合题意；
D、∵3+5=8，∴不能组成三角形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系逐项进行判断，即可得出答案.
7．如图，在正方形中，，点E、F分别是边、的中点，连接、，点M，N分别是、的中点，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点E、F分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵点M，N为别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【分析】连接，利用正方形的性质和勾股定理求得长，再利用三角形中位线定理解答．
8．如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点H作HE⊥BD，
在Rt△ABC中，BC=1，∠CAB=30°，
∴AB=2BC=2，AC=，
∵△ABD为等边三角形，
∴AD=AB=2，∠D=∠DAB=60°，
∴∠HAC=60°+30°=90°，
由折叠可设DH=CH=x，则AH=2-x，
∴x2+（）2=（2-x）2，
解得：x=，
∴EH=GH·sin60°= ，
故答案为：A.
【分析】过点H作HE⊥BD，由直角三角形的性质可得AB=2BC=2，AC=，由等边三角形的性质可得AD=AB=2，∠D=∠DAB=60°，从而得出∠HAC=90°，由折叠可设DH=CH=x，则AH=2-x，利用勾股定理建立关于x方程并解之，即得DH的长，根据EH=GH·sin60°即可求解.
9．在平面直角坐标系中，点A（-3，3），B（-4，1），C（-2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（ ）
A． C． 【答案】A
【解析】【解答】解：如图，△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，
则A'（3，3），B'（1，4），C'（1，2），
∴直线A'B'的解析式为y=-x+，直线A'C'的解析式为y=x+，
设直线x=2与△A'B'C'的边交于点D、E，
令x=2，y=-x+=，y=x+=，
∴当点M（2，m）在线段DE上（不含端点）时， 故答案为：A.
【分析】作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的图形△A'B'C'，然后利用待定系数法求出直线A'B'和直线A'C'的解析式，设直线x=2与△A'B'C'的边交于点D、E，然后求出当x=2时两个一次函数值，端点除外，即可得到求出m的范围.
10．如图，菱形中，，E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，的延长线交于点M，连接，，．下列结论：
①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：延长交于一点N，如图所示：
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴
∴
∴
∵
∴
∴；故①是正确的
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴，
∴是的中位线
∴
故②是正确的；
∵菱形中，
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴
∴
∴
∵在菱形中，
∴
∴，故③是正确的；
连接，如图：
∵菱形中，，E是边中点，
∴
∴
∵
∴
∵
∴故④是错误的
故答案为：C.
【分析】 先利用中点以及折叠性质可得再利用角的运算和等量代换可证明①是否正确；再利用折叠的性质，可得是的中位线，再利用中位线的性质可证明②是否正确；再利用菱形性质以及折叠性质可得，再利用角的运用角的运算和等量代换可得即可证明③是否正确；连接，利用菱形的性质并结合，，求出，再利用直角三角形斜边大于直角边，进行判断，从而得解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知线段为线段AB的黄金分割点，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴，
则，
∴；
故答案为：.
【分析】根据把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点、 其中，即可求解.
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵，，，
根据题意得，
解得a=9．
故答案为：9．
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得△=0，从而求出a值.
13．已知是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的两个根，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后由题意求出m的值，即可解答．
14．若方程经配方法转化成，则的值是 ．
【答案】-6
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式把(x-3)2=0变形为一般式，从而得到m的值．
15．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=，则BC的长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，如图所示：
∵AB=OB，BE平分∠ABO，
∴△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，
∴EM是△AOD的中位线，
又∵ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2EM=2x，
∵EF⊥BC， ∠CAD=45°，AD∥BC，
∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，
∴△EFC为等腰直角三角形，
∴EF=FC，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，
则△BEF为等腰直角三角形，
∴BF=EF=FC=BC=x，
∵EM∥BF，
∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，
则△BFP≌△MEP（ASA），
∴EP=FP=EF=FC=x，
∴在Rt△BFP中，，
即：，
解得：，
∴BC=2=4，
故答案为：4
【分析】过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，根据题意结合角平分线的性质得到△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，进而根据三角形中位线定理结合平行四边形的性质得到BC=AD=2EM=2x，进而根据平行线的性质结合题意得到∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，再根据等腰直角三角形的性质得到EF=FC，∠FEC=45°，从而得到∠BEF=90°-∠FEC=45°，再结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△BFP≌△MEP（ASA）即可得到EP=FP=EF=FC=x，进而根据勾股定理即可求解。
16．在 中， ，其中一个锐角为 ， ，点 在直线 上（不与 ， 两点重合），当 时， 的长为 .
【答案】 或2或4
【解析】【解答】解：如图1：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴ ；
如图3：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°-30°=30°，
∴PC=PB，
∵ ，
∴ ，
在Rt△APB中，根据勾股定理 ，
即 ，
即 ，解得 ，
如图4：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴
在Rt△BCP中，根据勾股定理 ，
即 ，解得PC=4（已舍去负值）.
综上所述， 的长为 或 或4.
故答案为： 或2或4.
【分析】根据题意画出图形，分①当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；②当∠C=60°时，∠ABC=30°；③当∠ABC=60°时，∠C=30°；④当∠ABC=60°时，∠C=30°4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某游乐场部分平面图如图所示，点C，E，A在同一条直线上，点D，E，B在同一条直线上.测得点A 与点E 的距离为80m，点 C 与点 D 的距离为34 m，∠C=90°，∠B=90°， 求：
（1）旋转木马 E 处到出口 B 处的距离.
（2）海洋球D 处到出口B处的距离(结果精确到1m，参考数据：
【答案】（1）解：∵ 在 Rt△ABE 中，AE=
∴ BE=AE· sin A=80×sin30°=
∴ 旋转木马E 处到出口 B 处的距离为40m.
（2）解：∵ ∠C=∠B=90°，∠DEC=∠AEB，
∴△DCE∽△ABE，
∴∠D=∠A=30°.
∵ 在 Rt△DCE 中， CD = 34 m，
∴DB=DE+BE=40+40=80(m).
∴ 海洋球 D 处到出口 B 处的距离约为80m.
【解析】【分析】（1）在直角三角形中，利用正弦函数定义，求出BE的长度；
（2）先通过证明三角形相似得到角相等；再在直角三角形中利用余弦函数定义，求出DE的长度；最后结合BE的长度，即可求出DB的长度．
18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设该方程的两个实数根分别为，，若，满足，请求出k的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴。
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
【解析】【分析】（1）一元二次方程根的判别式，即当△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根。本题将b=-4、a=1、c=k代入，求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，；然后代入得到一个关于k的方程，求解即可．
（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
19．如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若S△ABC：S△ADE=4：9，BC=6，求DE的长．
【答案】（1）证明： ∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
∴ △ABC∽△ADE．
（2）解：∵ S△ABC：S△ADE=4：9，且△ABC∽△ADE，
∴，
∵ BC=6，
∴，
∴DE=9.
【解析】【分析】（1）根据∠BAD=∠CAE，可得∠DAE=∠BAC，从而利用两角对应相等的两个三角形相似，即可得证.
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.
20．如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求阴影部分的面积(结果保留)．
【答案】解：（1）与相切．理由如下：
如图，连接．
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵为的半径，
∴与相切．
（2）设的半径为，则，，
由（1）知，在中，，
即，解得．
∵，
∴．
∴，
，
．
【解析】【分析】（1）连接，根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）设的半径为，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得r=2，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得，再根据，再根据三角形，扇形面积即可求出答案.
21．图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点可以上下调整高度，离地面的距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．
（1）当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．（结果保留一位小数）
（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点向下移动即可，移动的距离与小华的身高有什么数量关系？直接写出你的结论．
②活动调节点不动，只要调整的大小，如图3，试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
【答案】（1）解：过点作的延长线于点，交的延长线于点，
，
四边形为矩形，
，，，
在中，，，
，，
，
，
，
又，
，
cm
（2）解：①，
②如图，连接，在中，
，
，
，
在中，．
，
，
，
．
【解析】【解答】解：（2）如图，
根据题意得，BE∥DF且BE=DF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ BF=DE；
【分析】（1）根据矩形的判定与性质得GH=CD=120，DH=CG，∠H=90°，再解直角三角形可得AG和BG，进而求得AH，EH，再根据EH=AHtan30°，最后ED=HD-HE，即可求得；
（2）根据平行四边形的判定与性质，即可求得；
（3）先根据勾股定理求出BD，再根据锐角三角函数定义可得∠1和∠2，进而求得∠3，即可求得.
22． 数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题：
已知非零实数a，b同时满足等式，求的值．
小白：哈哈！结果为正数． 小青：x，y不一定相等哦．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，①求x的值．②求的值．
（2）若，则 ．
【答案】（1）解：①当时，，
整理得，
，
解得，
②∵，
∴
.
（2）23
【解析】【解答】解：（2）当时，联立方程组得
将，得：
整理，得：，
，
又∵
∴，
将①+②，得：，
整理，得：，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【分析】（1）①当时，，整理得到，然后利用因式分解法解此方程即可求出x的值；
②将x和y的值代入计算即可；
（2）当时，联立方程组得，用①-②得，用①+②得，进而根据完全平方公式恒等变形求出，进而即可求解.
23．已知，b满足．
（1）求，的值；
（2）如果一个三角形的三边长分别是，，，请化简．
【答案】（1）解：∵ ，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵a、b、c为三角形的三边长，
∴，
∴，，
【解析】【分析】（1）先利用配方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）利用三角形三边的关系可得，， 再利用二次根式的性质及绝对值的性质化简可得答案.
24．如图，在菱形中，交的延长线于点，连结交于点，交于点，连结．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若菱形的边长为2，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，
∴∠DAF＝∠FEC，
∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF＝∠BCF，
∴∠DAF＝∠DCF，
∴∠GCF＝∠CEF，
∵∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴，
∴CF2＝EF GF，
∵AF＝CF，
∴AF2＝EF GF．
（3）解：∵∠BAD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵菱形边长为2，
∴CD＝AD＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE＝∠CED＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴，
∴，BE＝BC+CE＝2+1＝3，
∵AD∥BE，
∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质得到AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△ABF≌△CBF（SAS）即可求解；
（2）先根据菱形的性质结合平行线的性质得到∠BAD＝∠BCD，∠DAF＝∠FEC，再结合题意运用三角形全等的性质得到∠BAF＝∠BCF，进而进行转化结合相似三角形的判定与性质即可得到CF2＝EF GF，从而即可求解；
（3）先根据题意得到∠DCE的度数，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而运用勾股定理、相似三角形的判定与性质即可得到，再结合题意即可求解。
25．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO 的面积为 8，OA=OB，BC=12 ，点 P 的坐标是 (a，6) ．
（1）求 △ABC 三个顶点 A，B，C 的坐标；
（2）若点 P 坐标为 (1，6) ，连接 PA，PB ，则 △PAB 的面积 ；
（3）是否存在点 P ，使 △PAB 的面积等于 △ABC 的面积？如果存在，请求出点 P 的坐标．
【答案】（1）解：∵ △ABO 的面积为8，
∴OAOB=8，
∵ OA=OB，
∴ OA=OB=4，
∵ BC=12 ，
∴OC=8，
∴ A（0，4），B（-4，0），C（8，0）.
（2）2
（3）解：存在，
△ABC 的面积=，
当点P在第一象限时，作PH⊥x轴，
△PAB的面积=△AOB的面积+梯形AOHP-△PBH的面积
=8+-
=2a-4，
则 2a-4 =24，
解得：a=14，
则点P的坐标为（14，6）；
当点P在第二象限时，作PH⊥y轴，
△PAB的面积=梯形OHPB的面积-△AOB的面积-△PAH的面积
=-8-
=4-2a，
则4-2a =24，
解得：a=-10，
则点P的坐标为（-10，6）.
综上所述：点P的坐标为（14，6）或（-10，6）.
【解析】【解答】（2）解：作PH⊥x轴于H，
△PAB 的面积=△PBH的面积-△AOB的面积-梯形PAOH的面积
=
=
=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据三角形的面积求出 OA、OB的长度，再求出OC的长度，进而得出答案；
（2）作PH⊥x轴于H，根据△PAB 的面积=△PBH的面积-△AOB的面积-梯形PAOH的面积即可得出答案；
（3）根据点P的位置，分两种情况进行解答，即点P在第一象限和第二象限.
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