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【决战期末·50道解答题专练】华东师大版数学八年级上册期末总复习
1．
（1）已知等腰三角形的一边长为5，一边长为6，求它的周长；
（2）已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9，求它的周长.
2．“魔方”（如图）是一种立方体形状的益智元具，它由三层完全相同的小立方块组成，如果“魔方”的体积为cm3，那么组成它的每个小立方块的棱长为多少？
3．若（m，n是正整数，且），则．
利用上面的结论，解答下面的问题．
（1）若，求x的值．
（2）若，求x的值．
（3）已知，，用含p，q的式子表示．
4．如图，在中，是边上一点，且，，求的度数．
5．下面两个频数直方图分别表示我国K市与J市去年4月份的日平均气温分布情况(直方图中每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)。
（1）K市日平均气温的最大值至少是多少摄氏度 J市日平均气温的最小值至少是多少摄氏度
（2）K市和J市日平均气温在14℃以上(包括 分别有多少天
（3）你认为K市与J市，哪一个城市去年4月份的日平均气温较高 请说明理由。
6．如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长．
7．如图①所示，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x.
①②
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长： ；
（2）AC+CE的最小值；
（3）根据(2)中的规律和结论，请模仿图①在网格中(如图②所示)构图并求代数式+的最小值.
8．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
9．如图，直角三角形纸片的两直角边，．现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C点E重合．求的长．
10．如图，在中，．
（1）求的度数；
（2）过点Q作，交AP的延长线于点B，求证：．
11．在如图所示的四边形ABCD中，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3，AD⊥CD，求这个四边形ABCD的面积．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积
13．上有天堂，下有苏杭，中间还有个周庄，周庄是一座江南小镇，有“中国第一水乡”之美誉，其平面图如①所示，小明据此构造出该庄的一个数学模型如图②所示，其中，求该庄的面积．
14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且BD=CE=AF.
（1）判断△DEF 的形状并说明理由；
（2） 分别连结BF、DC并相交于O点， 求∠BOD 的大小。
15．如图，在四边形中，，，求的度数.
16．如图， ，垂足为 ， ，点 在 上， ，连接 ， ．写出线段 ， 的关系，并证明．
17．如图，AB⊥BC，AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，请你连结AC，
（1）判断△ACD的形状并说明理由；
（2）计算四边形ABCD的面积。
18．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“ ”连接：
， ， ，0， ，
19．如图，已知：线段AB．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，点C为l上一个动点(点C不与点D重合)，连接CB，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
①当垂足E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围是 ；
②请你画出一个垂足E在线段BC延长线上时的图形，并求证∠BAE=∠BCD．
20． 在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c。
（1） 若a=9，b=12，求c；
（2） 若a=9，c=41，求b；
（3） 若c=10，b=7，求a。
21．已知x＝，z是9的平方根，求5z－2x的值．
22．如图，点 、 分别在直线 和 上，若 ， ，可以得到 ．请完成下面说理过程中的各项“填空”
理由：∵ （已知）
▲ （对顶角相等）
∴ （理由 ▲ ）
∴ ▲ （理由： ▲ ）
∴ ▲ （两直线平行，同位角相同）
又∵ ，
∴ ▲ （等量代换）
∴ ▲ （内错角相等，两直线平行）
∴ （理由： ▲ ）
23．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答．
（ 1 ）过点P作PQCD，交AB于点Q；
（ 2 ）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（ 3 ）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由
24．亮亮计算一道整式乘法的题，由于亮亮在解题过程中，抄错了第一个多项式中前面的符号，把“-”写成了“+”，得到的结果为．
（1）求的值．
（2）计算这道整式乘法题的正确结果．
25．已知，如图， 于点 ， ， 分别交 于点 ，试判断 与 的位置关系，并说明理由.
26．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．
27．学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，，，，，，求四边形的面积．
28．在学分线的过程中，小琦遇到了这样一个问题：在梯形中，，若平分，且点E是边的中点，则.他的思路是：过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，进行转边，从而解决问题.请根据小琦的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作于点F（保留作图痕迹）
平分，
∴ ①
又
∴ ② (
，
∵点E是的中点，
，
在与中
，
③
29．如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB=3，CF=7，求AE.
30．如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积.
31．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E．试说明：AD∥BC．
32．已知是算术平方根，是的立方根，求的值．
33．如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC， ADC的面积为30cm2，DC=12 cm， AB=3 cm， BC=4 cm， 求△ABC的面积．
34．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数．
35．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.写出图中各对相等的线段，并选择其中一对说明理由.
36．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面.求旗杆的高度.
37．老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积.老李测量了草坪各边得知：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB.请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积.
38．如图，池塘两端A、B的距离无法直接测量，请同学们设计测量A、B之间距离的方案．
小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达A、B的点O，然后连接和，接着分别延长和并且使，，最后连接，测出的长即可．
小红的方案如图②：先确定直线，过点B作的垂线，在上选取一个可以直接到达点A的点D，连接，在线段的延长线上找一点C，使，测的长即可．
你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．
39．已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根.
40．新冠肺炎疫情发生以来，专家给出了很多预防建议为普及预防措施，某校组织了由七年级名学生参加的“防新冠”知识竞赛杨老师为了了解学生的答题情况，从中随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格个级别进行统计，并绘制成了如下条形统计图和扇形统计图部分信息未给出请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求被抽取的部分学生的人数，并请补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数；
（3）请估计七年级名学生中达到良好和优秀的总人数．
41．如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：
（1）；
（2）．
42．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，，所以，
所以；得
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若，，则_____；
②若，则_____．
（3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
43．一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”.
观察：101-(1+0+1)=99=9×11；
232-(2+3+2)=225=9×25；
555-(5+5+5)=540=9×60…
（1）猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 整除.
（2） 验证：
若一个“对称数”是979，请通过计算验证猜想；
（3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字为b，请你通过推理说明猜想是正确的.
44．
（1）如图1，已知点．为线段上两点，且，点和点分别是线段和的中点．若线段，则线段 ， ， ．
（2）已知．为从顶点出发的两条射线，且，射线和射线分别平分．．
①如图2，若．均为内的两条射线，且，求的度数．
②如图3，若为外的一条射线，且，则 ▲ °
45．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）
（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．
（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
46．在学习三角形的过程中，亮亮遇到这样一个问题：如图，在中，，，把分成三个全等三角形，并说明理由．聪明的亮亮经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，得到两条相等线段，从而构造出全等三角形，使问题得到了解决．请根据亮亮的思路完成下面的作图并填空
解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
∵垂直平分线段，
∴BE= ▲ ，．
在和中，∵，
∴．∴ ▲ ．
∵在中，，，
∴ ▲ °．
∴ ▲ °．
∴．
在和中，∵，
∴．
∴．
47．已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP＝CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.
48．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C，D在直线MN．上，连结AC，AD，∠PAC= 50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示的位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30，求∠A1EC的度数；
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示的位置，其他条件与(2)相同，求此时∠A1EC的度数．
49．在中，，点D为线段BC上一个动点（不与B、C重合），以为一边向的左侧作，使，，过点E作的平行线，交直线于点F，连接．
（1）如图1，若，判断的形状并说明理由；
（2）若，如图2，判断的形状，并说明理由．
50．已知：AB∥CD，∠A＝∠C．
（1）如图1，求证：AD∥BC．
（2）如图2，连接AC，AE平分∠CAB交BC于点E，点F在DC的延长线上，连接AF，∠ACB＝2∠FAE，求证：AF平分∠DAB．
（3）如图3，在（2）的条件下，AF交BC于点G，连接BF，点M在AD上，连接MB、MC且∠AMB＝2∠AFB，CN平分∠MCF交BF于点N，若∠AGC：∠BCF＝7：4，∠BCN+30°＝∠BMC，求∠ABF的度数．
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【决战期末·50道解答题专练】华东师大版数学八年级上册期末总复习
1．
（1）已知等腰三角形的一边长为5，一边长为6，求它的周长；
（2）已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9，求它的周长.
【答案】（1）解：由题意可得：
当5为腰长，6为底边长时，周长为：5+5+6=16
当5为底边长，6为腰长时，周长为：6+6+5=17
（2）解：由题意可得：
当4为腰长，9为底边长时
∵4+4<9
∴不能构成三角形，不符合题意
当4为底边长，9为腰长时，周长为：9+9+4=22
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形概念分类讨论即可求出答案.
（2）根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形三边关系即可求出答案.
2．“魔方”（如图）是一种立方体形状的益智元具，它由三层完全相同的小立方块组成，如果“魔方”的体积为cm3，那么组成它的每个小立方块的棱长为多少？
【答案】解：设每个小立方块的棱长为xcm，则大立方体的棱长为cm，∵“魔方”的体积为cm3，
∴，
，
，
，
答：每个小立方块的棱长为2cm．
【解析】【分析】本题考查了正方体体积公式、立方根的计算，设每个小立方块的棱长为xcm，得到大立方体的棱长为cm，利用正方体体积公式，建立方程，求得方程的即，即可得到答案.
3．若（m，n是正整数，且），则．
利用上面的结论，解答下面的问题．
（1）若，求x的值．
（2）若，求x的值．
（3）已知，，用含p，q的式子表示．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴．
【解析】【分析】（1）利用乘方运算法则逆用、幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则将等式左边变形为以2为底的幂的形式，结合题干给出的关于幂的结论得出，求解即可；
（2）利用乘方运算法则逆用、幂的乘方法则将等式左边变形为以3为底的幂的形式，结合题干给出的关于幂的结论得出6x=12，求解即可；
（3）根据幂的乘方法则逆用与积的乘方法则将待求式子化为含有和的式子，然后整体替换即可得解．
（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴．
4．如图，在中，是边上一点，且，，求的度数．
【答案】解：，
，
是的一个外角，
，
，
，
，，
，
解得：．
【解析】【分析】根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质及三角形内角和定理即可求出答案.
5．下面两个频数直方图分别表示我国K市与J市去年4月份的日平均气温分布情况(直方图中每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)。
（1）K市日平均气温的最大值至少是多少摄氏度 J市日平均气温的最小值至少是多少摄氏度
（2）K市和J市日平均气温在14℃以上(包括 分别有多少天
（3）你认为K市与J市，哪一个城市去年4月份的日平均气温较高 请说明理由。
【答案】（1）解： 根据K市的频数直方图，K市日平均气温的最大值至少是20℃。
根据J市的频数直方图，J市日平均气温的最小值至少是4℃。
（2）解：市平均气温在14℃以上(包括 有：天，
市平均气温在14℃以上(包括 有：天，
（3）解：市，理由：从直方图上看，市气温低的天数多，即日平均气温较低，而市气温高的天数多，即日平均气温较高。
【解析】【分析】（1） 根据频数直方图确定两个城市日平均气温的最小值和最大值即可；
（2）观察频数直方图分别计算城市日平均气温在14℃以上的天数之和即可；
（3）比较两个城市日平均气温的高低即可，理由合理即可.
6．如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长．
【答案】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△EDA和△FDC中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质，用角边角易证，由全等三角形的对应边相等可得，然后在Rt△AEF中，用勾股定理即可求解．
7．如图①所示，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x.
①②
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长： ；
（2）AC+CE的最小值；
（3）根据(2)中的规律和结论，请模仿图①在网格中(如图②所示)构图并求代数式+的最小值.
【答案】（1）+
（2）解：如图①所示，过点A作AF⊥DE，垂足为F，连接AE，则四边ABDF是长方形，
①
∴AB=DF=2，BD=AF=8，
∴EF=3.
∵AC+CE=+，
∴要使AC+EC的值最小，则需满足A，C，E三点共线即可，即最小值为AE的长，
∴AC+CE的最小值AE===.
（3）解：如图②所示，取C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB=1，DE=3，BD=2.
②
设BC=x，则根据勾股定理可得AC=，
EC=，
∴AC+EC=+，
由(2)可知AC+CE的最小值是线段AE的长， AE==2，
∴代数式+的最小值是2.
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中， AB=2，BC=8-x，则AC= ，同理可求出CE= ，则 AC+CE =+ 。
【分析】（1）利用勾股定理，分别用含x的式子表示出AC和CE，即可表示出AC+CE的长；（2）根据两点之间线段最短，要使AC+EC的值最小，则需满足A，C，E三点共线即可 ，即最小值为AE的长，由此构图后，先求出EF=3，AF=8，然后利用勾股定理，即可求出最小值AE的长；（3）由题目所给式子可知，AB=1，BD=2，DE=3，设BC=x，则DC=2-x，由此进行构图，发现该代数式的值恰为AC+EC的值，在利用（2）中结论可知， AC+CE的最小值是线段AE的长 ，继而可求出最小值为 2 。
8．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【答案】（1）解：∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中， ，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD
（2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC
【解析】【分析】（1）先依据SAS证明△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质，易得∠ABE=∠ACD。（2）先证明FB=FC，依据垂直平分线的判定定理，证明点F在线段BC的垂直平分线上；再由AB=AC，证明点A在线段BC的垂直平分线上，完成证明。
9．如图，直角三角形纸片的两直角边，．现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C点E重合．求的长．
【答案】解：∵，，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
设，则在中，，
∴．
答：的长为．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AB=13cm，再求出 ， 最后求解即可。
10．如图，在中，．
（1）求的度数；
（2）过点Q作，交AP的延长线于点B，求证：．
【答案】（1）解：
为的外角
（2）证明：
在和中
∴
（方法不唯一）
【解析】【分析】（1）先利用三角形外角的性质及计算方法求出，再结合，利用角的运算求出∠PAC的度数即可；
（2）先证出，再利用“ASA”证出即可.
11．在如图所示的四边形ABCD中，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3，AD⊥CD，求这个四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接AC，
∵∠ADC=90°，CD=4，AD=3，
∴AC=5，
∵AB=12，BC=13，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△BAC是直角三角形，
∴S△BAC= ×AC×AB= ×12×5=30，
∴四边形ABCD的面积为：S△ABC﹣S△DAC=30﹣ ×3×4=24．
【解析】【分析】首先根据勾股定理得出AC的长，再利用勾股定理定理得出△BAC是直角三角形，结合四边形ABCD的面积为：S△ABC﹣S△DAC求出即可．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积
【答案】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF=S△ADH，
即38+S=50 S，
解得：S=6．
∴△EDF的面积为6.
【解析】【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DGH，在根据全等三角形的面积相等可得S△ADF=S△ADH，列方程求解即可。
13．上有天堂，下有苏杭，中间还有个周庄，周庄是一座江南小镇，有“中国第一水乡”之美誉，其平面图如①所示，小明据此构造出该庄的一个数学模型如图②所示，其中，求该庄的面积．
【答案】解：∵∠B=90°，AB=15，BC=20，
∵CD=7，AD=24
∴∠ADC=90°
∴
=234，
答：该庄的面积为234．
【解析】【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积，熟知勾股定理的逆定理是解题关键．
根据勾股定理先求出AC的长，即在Rt△ABC中，，再根据勾股定理的逆定理可得出：∠ADC=90°，然后根据三角形面积计算公式：，代入数据可分别求出，最后由，代入数据即可得出答案．
14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且BD=CE=AF.
（1）判断△DEF 的形状并说明理由；
（2） 分别连结BF、DC并相交于O点， 求∠BOD 的大小。
【答案】（1）解：△DEF是等边三角形，
理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB，
∵ BD=CE=AF ，
∴AD=BE=CF，
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形.
（2）解：∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ACB=60°，
∵ BD=AF ，
∴AD=CF，
∴△ADC≌△CFB(SAS)，
∴∠CBF=∠ACD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠CBF+∠BCD=60°，
∴∠BOD=∠CBF+∠BCD=60°.
答： ∠BOD 的大小为60°.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质知AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB，结合题意知AD=BE=CF，从而证明△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)，再根据全等三角形的性质知DF=DE=EF.
（2）根据等边三角形性质知AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB，结合题意知AD=CF，从而证明△ADC≌△CFB，再根据全等三角形性质知∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠CBF+∠BCD=60°，从而根据外角性质得 ∠BOD 的大小 .
15．如图，在四边形中，，，求的度数.
【答案】解：∵，
∴AD∥BC，
∴①，
∵②，
①-②，得：2∠B=140，
∴∠B=70.
【解析】【分析】根据，可证AD∥BC，可得，结合即可求解.
16．如图， ，垂足为 ， ，点 在 上， ，连接 ， ．写出线段 ， 的关系，并证明．
【答案】解：BE=AC，BE⊥AC．
证明：延长 交 于点 ．
，
．
在 和 中，
．
， ．
，
．
．
即 ．
【解析】【分析】延长 交 于点 ，先利用全等三角形的判定证明 ．即可得出 ， ．再根据三角形的外角性质即可推出 。
17．如图，AB⊥BC，AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，请你连结AC，
（1）判断△ACD的形状并说明理由；
（2）计算四边形ABCD的面积。
【答案】（1）解：是直角三角形.
理由如下：连接AC，∵AB⊥BC，AB=4，BC=3，
由勾股定理，得
是直角三角形；
（2）解：在中，3×4=6，
在中，×5=30，
∴.
【解析】【分析】(1)根据勾股定理得出AC，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可；
(2)根据解答即可.
18．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“ ”连接：
， ， ，0， ，
【答案】解：∵ =-4， =4， =-3， =3
∴在数轴上表示下列各数如下：
【解析】【分析】根据实数的性质即可在熟知上表示，故可求解.
19．如图，已知：线段AB．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，点C为l上一个动点(点C不与点D重合)，连接CB，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
①当垂足E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围是 ；
②请你画出一个垂足E在线段BC延长线上时的图形，并求证∠BAE=∠BCD．
【答案】（1）解：如图
（2）解：①45°≤∠ABC＜90°；
②如图：
证明： 线段AB的垂直平分线为l
【解析】【分析】（1）利用作已知线段的垂直平分线的法作图即可；（2）①根据锐角三角形的高在三角形内即可解决．②利用等角的余角相等证明．
20． 在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c。
（1） 若a=9，b=12，求c；
（2） 若a=9，c=41，求b；
（3） 若c=10，b=7，求a。
【答案】（1）解：
由勾股定理 得
（2）解：
由勾股定理 得
（3）解：
由勾股定理 得
【解析】【分析】根据勾股定理计算解答即可.
21．已知x＝，z是9的平方根，求5z－2x的值．
【答案】解：∵ x＝，
∴x=5；
∵z是9的平方根 ，
∴z=3或-3；
当z=3时，5z－2x=5×3-2×5=15-10=3；
当z=-3时，5z－2x=5×（-3）-2×5=-15-10=-25；
∴5z－2x的值为5或-25
【解析】【分析】利用算术平方根的性质求出x的值；再利用正数的算术平方根有两个，它们互为相反数，可求出z的值；然后分别将z=3和z=-3及x的值代入代数式可求出5z－2x的值.
22．如图，点 、 分别在直线 和 上，若 ， ，可以得到 ．请完成下面说理过程中的各项“填空”
理由：∵ （已知）
▲ （对顶角相等）
∴ （理由 ▲ ）
∴ ▲ （理由： ▲ ）
∴ ▲ （两直线平行，同位角相同）
又∵ ，
∴ ▲ （等量代换）
∴ ▲ （内错角相等，两直线平行）
∴ （理由： ▲ ）
【答案】解：∵∠AGB=∠EHF（已知）
∠AGB=∠DGF（对顶角相等）
∴∠EHF=∠DGF（理由：等量代换）
∴BD∥EC（理由：同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠DBA（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C=∠D，
∴∠DBA=∠D（等量代换）
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）
∴∠A=∠F（理由：两直线平行，内错角相等），
故答案为：∠DGF；等量代换；BD；同位角相等，两直线平行；∠D；AC；两直线平行，内错角相等．
【解析】【分析】利用对顶角相等，平行线的性质与判定进行求解即可。
23．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答．
（ 1 ）过点P作PQCD，交AB于点Q；
（ 2 ）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（ 3 ）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由
【答案】解：如图所示：
⑴画出如图直线PQ
⑵画出如图直线PR
⑶∠PQC=60°
理由是：因为PQCD
所以∠DCB+∠PQC=180°
又因为∠DCB=120°
所以∠PQC=180°－120°=60°
【解析】【分析】（1）（2）根据要求作出图象即可；
（3）根据平行线的性质可得∠DCB+∠PQC=180°，再结合∠DCB=120°求出∠PQC=180°－120°=60°即可。
24．亮亮计算一道整式乘法的题，由于亮亮在解题过程中，抄错了第一个多项式中前面的符号，把“-”写成了“+”，得到的结果为．
（1）求的值．
（2）计算这道整式乘法题的正确结果．
【答案】（1）解：根据题意可得，
即，
解得．
（2）解：
【解析】【分析】由多项乘以多项的法则得到6x2-(15-2m)x-5m与 相等，从而可知常数项-5m=-25.
25．已知，如图， 于点 ， ， 分别交 于点 ，试判断 与 的位置关系，并说明理由.
【答案】解：
证明：∵ ，∴
∴ ，∵ ，∴
∴
∴ ，∴
∴ ，∴
【解析】【分析】由已知条件结合平行线的判定定理可得DG∥AB，则∠1=∠DAB，结合∠1=∠2可得∠2=∠DAB，推出EF∥AD，由平行线的性质可得∠BFE=∠BDA，最后根据AD⊥BC进行解答.
26．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．
【答案】解：探究结论：BM+CN=NM．
证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
即∠ABD=∠DCE=90°，
∴在Rt△DCE和Rt△DBM中，
∵BD=CD，BM=EC
∴Rt△DCE≌Rt△DBM（HL），
∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∴∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已经全等）
在△DMN和△DEN中
∵DM=DE，∠MDN=∠NDE，DN=DN
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴NM=EN
即NM=CE+CN
∴BM+CN=NM．
【解析】【分析】 探究结论：BM+CN=NM，理由如下： 延长AC至E，使CE=BM，连接DE， 根据等腰三角形的性质，由 △BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形 ，得出 ∠BCD=30°， 根据等边三角形的性质及角的和差得出 ∠ABD=∠ACD=90°， 即∠ABD=∠DCE=90°， 然后利用HL判断出 Rt△DCE≌Rt△DBM ，根据全等三角形对应角相等得出 ∠BDM=∠CDE， 进而根据角的和差得出 ∠MDN=∠NDE=60° ，根据全等三角形对应边相等，由Rt△DCE≌Rt△DBM得出DM=DE ，从而利用SAS判断出 △DMN≌△DEN ，根据全等三角形对应边相等得出 NM=EN ，根据线段的和差及等量代换即可得出结论： BM+CN=NM．
27．学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，，，，，，求四边形的面积．
【答案】解：如图，连接，
，
，
，
是直角三角形，
；
答：四边形的面积为．
【解析】【分析】根据勾股定理及其逆定理求解。连接，先由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可。
28．在学分线的过程中，小琦遇到了这样一个问题：在梯形中，，若平分，且点E是边的中点，则.他的思路是：过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，进行转边，从而解决问题.请根据小琦的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作于点F（保留作图痕迹）
平分，
∴ ①
又
∴ ② (
，
∵点E是的中点，
，
在与中
，
③
【答案】解：图形如图所示：
平分，
∴，
，
，
，
，
又，
∴(，
，，
∵点E是的中点，
，
，
在与中，
，，
，
，
．
故答案为：①②③
【解析】【分析】根据角平分线的定义结合三角形全等的判定与性质即可求解。
29．如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB=3，CF=7，求AE.
【答案】解：∵E是边AC的中点
∴AE=EC= AC
∵CF∥AB
∴∠A=∠FCE
在△ADE和△CFE中
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF=7
∴AB=AD+DB=10
∵∠B=∠ACB
∴AC=AB=10
∴AE= AC=5
【解析】【分析】先证△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7，从而求出AB的长，再根据等角对等边即可得：AC=AB，最后根据AE= AC，即可求出AE.
30．如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积.
【答案】解：如图，
∵AB＝24，BC＝7，∠B＝90°，
由勾股定理得AC2＝242+72＝625.
又∵CD＝15，AD＝20，
∴CD2十AD2＝152+202＝625，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝ ×24×7+ ×15×20＝234.
【解析】【分析】连接AC，由勾股定理求出AC2，结合勾股定理逆定理可推出△ACD为直角三角形，且∠D=90°，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算.
31．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E．试说明：AD∥BC．
【答案】解：∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠CFE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE；
∵∠CFE=∠E，
∴∠DAE=∠E；
∴AD∥BC.
【解析】【分析】根据两直线平行，同为角相等可得∠BAE=∠CFE；根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠BAE=∠DAE；结合题意可推得∠DAE=∠E；根据内错角相等，两直线平行即可得出AD∥BC.
32．已知是算术平方根，是的立方根，求的值．
【答案】解：根据题意得：，
解得：，
∴，，
∴；，
∴，
∴
【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的定义可得 ， 解之求出m、n，再求出A、B即可。
33．如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC， ADC的面积为30cm2，DC=12 cm， AB=3 cm， BC=4 cm， 求△ABC的面积．
【答案】解：∵CD=12，∴S△ACD= ×CD×AC= ×12×AC=30，解之，得AC=5，又∵BC=4，AB=3，∴BC2+AB2=25=AC2∴△ABC是直角三角形；∴S△ABC= AB×BC= ×3×4=6.
【解析】【分析】根据勾股定理，可得出AC的长度，利用三角形的面积公式，求出面积。
34．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数．
【答案】解：∵∠E＝35°，ED⊥BC，
∴∠B＝55°
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝55°，
∴∠BDA＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到DA＝DB，根据三角形内角和定理计算即可．
35．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.写出图中各对相等的线段，并选择其中一对说明理由.
【答案】解：BD=CD，AE=AF，BE=CF，DE=DF．
证明：AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD.
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明△AED≌△AFD，根据全等三角形的对应边相等得出AE=AF，推得BE=CF.
36．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面.求旗杆的高度.
【答案】解：设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+1）米，
根据题意得：（x+1）2=x2+52，即2x-24=0，
解得：x=12.
答：旗杆的高度是12米.
【解析】【分析】设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.
37．老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积.老李测量了草坪各边得知：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB.请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积.
【答案】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 米， 米，
∴ 米，
∵CD=13，AD=12，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ 草坪的面积等于 （米 ）．
【解析】【分析】连接 ，根据勾股定理，求得 ，再根据勾股定理的逆定理，判断三角形 是直角三角形，这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和.
38．如图，池塘两端A、B的距离无法直接测量，请同学们设计测量A、B之间距离的方案．
小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达A、B的点O，然后连接和，接着分别延长和并且使，，最后连接，测出的长即可．
小红的方案如图②：先确定直线，过点B作的垂线，在上选取一个可以直接到达点A的点D，连接，在线段的延长线上找一点C，使，测的长即可．
你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．
【答案】两种方案都可以
理由：两种方案都可以，理由如下：
小明的方案：
在和中，
，
，
，
测出的长即可得出A、B之间距离．
小红的方案：
∵BD⊥AB，点C在AB的延长线上，
∴∠ABD=∠CBD=90°，
在和中，
，
，
，
测出的长即可得出A、B之间距离．
【解析】【分析】根据题意可知两种方案都可以；小明的方案：图形中隐含对顶角相等，利用SAS可证得△AOB≌△COD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；小红的方案：利用垂直的定义结合已知条件可证得∠ABD=∠CBD=90°，利用HL可证得Rt△ABD≌Rt△CBD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
39．已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根.
【答案】解：∵的平方根是，的算术平方根是4，
∴=9，=16，
∴a=4，b=-1
把a=4，b=-1代入得：3×4-4×（-1）=16，
∴的平方根为：.
【解析】【分析】根据平方根、算术平方根的概念结合题意可得2a+1=9，5a+2b-2=16.联立求出a、b的值，然后求出3a-4b的值，再根据平方根的概念进行计算.
40．新冠肺炎疫情发生以来，专家给出了很多预防建议为普及预防措施，某校组织了由七年级名学生参加的“防新冠”知识竞赛杨老师为了了解学生的答题情况，从中随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格个级别进行统计，并绘制成了如下条形统计图和扇形统计图部分信息未给出请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求被抽取的部分学生的人数，并请补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数；
（3）请估计七年级名学生中达到良好和优秀的总人数．
【答案】（1）解：人，
即被抽取的部分学生有人；
优秀的学生有：人，
良好的学生有：人，
补全的条形统计图如图所示；
（2）解：扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数为：，
即扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数是
（3）解：人，
即七年级名学生中达到良好和优秀的总人数是人．
【解析】【分析】（1）根据及格人数÷及格所占比例可求出抽取的人数，再求出良好人数及优秀人数即可；
（2）根据即可求出答案。
（3）根据即可求出答案。
41．如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
.
在和中，
，
.
，
，
即.
（2）解：，
.
又，，
.
【解析】【分析】（1）先找条件利用HL证明，由全等三角形的性质得到，再利用余角与补角的性质求得，从而求解；
（2）根据三角形全等的性质以及等量代换即可求解.
42．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，，所以，
所以；得
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若，，则_____；
②若，则_____．
（3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）解：，，
，
，
；
（2）①②
（3）解：如图：
设，
根据题意得：，
则阴影部分的面积为
．
【解析】【解答】（2）解：①，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：；
②，
，
，
；
故答案为：；
【分析】
（1）将两边平方得，再把代入求解即可；
（2）①将两边平方得，把代入得，再配方成求解即可；
②将去括号化简得，再将代数式用完全平方公式计算，最后整体代入求解即可；
（3）根据题意，设，则，，根据完全平方公式的变形即可求得阴影部分的面积
（1）解：，，
，
，
；
（2）解：①，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：；
②，
，
，
；
故答案为：；
（3）解：如图：
设，
根据题意得：，
则阴影部分的面积为
．
43．一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”.
观察：101-(1+0+1)=99=9×11；
232-(2+3+2)=225=9×25；
555-(5+5+5)=540=9×60…
（1）猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 整除.
（2） 验证：
若一个“对称数”是979，请通过计算验证猜想；
（3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字为b，请你通过推理说明猜想是正确的.
【答案】（1）9
（2）解：979-(9+7+9)=954=9×106，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；
（3）解：(100a+10b+a)-(a+b+a)=99a+9b=9(11a+b)，
∵a，b为整数，∴9(11a+b)能被9整除，
∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除.
【解析】【解答】解：(1)
101-(1+0+1)=99=9×11；
232-(2+3+2)=225=9×25；
555-(5+5+5)=540=9×60.
将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除.
【分析】根据运算结果计算即可；
(1)根据题意可得979-(9+7+9)=944=9×104，即可求解；
(2)根据题意可得(100a+10b+a)-(a+b+a)=99a+9b=9(11a+b)，即可求解.
44．
（1）如图1，已知点．为线段上两点，且，点和点分别是线段和的中点．若线段，则线段 ， ， ．
（2）已知．为从顶点出发的两条射线，且，射线和射线分别平分．．
①如图2，若．均为内的两条射线，且，求的度数．
②如图3，若为外的一条射线，且，则 ▲ °
【答案】（1）5；4；4.5
（2）解：①解：，且，
，解得，
，
，
，解得，
，
射线和射线分别平分．．
，，
．
②或
【解析】【解答】解：（1），，
，，解得，，
，，
点和点分别是线段和的中点．
，，
，
故答案为：5，4，4.5；
（2）②解：，且，
，解得，
为外的一条射线，
，
射线平分．
，
，
，
当射线在射线的右边时，如图所示：
有，
射线平分．
，
，
当射线在射线的左边时，如图所示：
有，
射线平分．
，
，
综上所述，等于或．
故答案为：或．
【分析】（1）先根据题意即可求出AD和BC，进而根据中点结合题意即可求解；
（2）①先根据题意求出∠BOC的度数，进而即可得到∠AOC的度数，再运用角平分线的性质结合题意即可求解；
②先根据题意求出∠BOC的度数，进而根据角平分线的性质结合题意求出∠BOM的度数，再进行分类讨论：当射线在射线的右边时，当射线在射线的左边时，进而结合角平分线的性质进行角的运算即可求解。
45．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）
（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．
（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC
∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE＋BE，
∴AB=AC＋CD．
（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；
（3）解：猜想：AB=CD﹣AC
证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B＋∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∵AB=BE-AE
∴AB=CD﹣AC．
【解析】【分析】（1）证明线段和差可转化为证线段相等，本题采取截长法，利用全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质即可获得证明；（2）尽管弱化了条件∠ACB≠90°，类比（1）的转化方法不难得到同样的结论；（3）尽管与（1）相比弱化了条件，同时改变了AD由内角平分线变为外角平分线，但受（1）的思路启发，同样可采用截长法，利用全等三角形判定和性质、等腰三角形判定和性质、三角形外角性质，即可找到三条线段的数量关系。本题充分利用角平分线构造全等三角形从而把问题进行转化是解题的关键，同时要善于把问题前后联系起来，学会类比思考分析。
46．在学习三角形的过程中，亮亮遇到这样一个问题：如图，在中，，，把分成三个全等三角形，并说明理由．聪明的亮亮经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，得到两条相等线段，从而构造出全等三角形，使问题得到了解决．请根据亮亮的思路完成下面的作图并填空
解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
∵垂直平分线段，
∴BE= ▲ ，．
在和中，∵，
∴．∴ ▲ ．
∵在中，，，
∴ ▲ °．
∴ ▲ °．
∴．
在和中，∵，
∴．
∴．
【答案】解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
∵垂直平分线段，
∴，．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵在中，，，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
【解析】【分析】先作图，根据垂直平分线的性质得到BE=CE，利用三角形全等的判定定理SAS以及全等三角形的性质得到∠DBE=∠C=30°，计算得出∠ABD=30°，再利用三角形全等的判定定理AAS，证明出△DBA≌△DBE，进而得出 ．
47．已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP＝CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.
【答案】（1）解：过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P为AB的中点，∴BP＝ AB＝3，
∵AB＝AC＝BC，
∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵PF∥AC，
∴∠PFB＝∠ACB＝60°，∠BPF＝∠BAC＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴BF＝FP＝BP＝3，
∴FC＝BC－BF＝3，
由题意，BP＝CQ，
∴FP＝CQ，
∵PF∥AC，
∴∠DPF＝∠DQC，
又∠PDF＝∠QDC，
∴△PFD≌△QCD，
∴CD＝DF＝ FC＝ ；
（2）解：当点P，Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变，
分两种情况讨论：
①当点P在线段AB上时，
过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB＝PF，
∵PE⊥BC，∴BE＝EF，
由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF，
∴DE＝EF＋DF＝ BC＝3，
②当点P在BA的延长线上时，同理可得DE＝3，
∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变.
【解析】【分析】（1）过P点作PF∥AC交BC于F，通过证明得△PBF是等边三角形，通过三角形判定定理得△PFD≌△QCD，得出CD的长度。（2）分点P在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，可得DE的长度是不随P、Q移动而发生变化的。
48．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C，D在直线MN．上，连结AC，AD，∠PAC= 50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示的位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30，求∠A1EC的度数；
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示的位置，其他条件与(2)相同，求此时∠A1EC的度数．
【答案】（1）解：∵直线PQ∥MN，∠ADC=30°，
∴∠ADC=∠QAD=30°，
∴∠PAD=180°-∠QAD=150°，
又∵ AE平分∠PAD ，
∴∠PAE=∠PAD=75°，
又∵∠PAC=50°，
∴∠CAE=∠PAE-∠PAC=25°，
∵直线PQ∥MN， ∠PAC= 50°，
∴∠ACD=∠PAC=50°，
又∵ CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD=25°，
∴∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE=130°；
（2）解：∵ ∠A1D1C=30， 线段AD沿MN向右平移到A1D1 ，PQ∥MN，
∴∠QA1D1=∠A1D1C=30°，
∴∠PA1D1=180°-∠QA1D1=150°，
又∵ A1E平分∠PA1D1 ，
∴∠PA1E=∠PA1D1=75°，
∵直线PQ∥MN， ∠PAC= 50°，
∴∠CAQ=180°-∠PAC=130°，∠ACD1=∠PAC=50°，
又∵ CE平分∠ACD1，
∴∠ACE=∠ACD1=25°，
∴∠A1EC=360°-∠ACE-∠CAQ-∠PA1E=130°；
（3）解：如图，过点E作FE∥PQ，
∵∵∠A1D1C=30， 线段AD沿MN向右平移到A1D1 ，PQ∥MN，
∴∠QA1D1=∠A1D1C=30°，
又∵ A1E平分∠AA1D1 ，
∴∠AA1E=∠A1EF=∠AA1D1=15°，
∵直线PQ∥MN， ∠PAC= 50°，
∴∠ACD1=∠PAC=50°，
又∵ CE平分∠ACD1，
∴∠ACE=∠ECD1=∠ACD1=25°，
∵EF∥PQ，PQ∥MN，
∴EF∥MN，
∴∠FEC=∠ECD1=25°，
∴∠A1EC=∠A1EF+∠FEC=15°+25°=40°.
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠ADC=∠QAD=30°，由邻补角定义得∠PAD=150°，由角平分线定义得∠PAE=∠PAD=75°，再根据角的和差可得∠CAE=25°，由二直线平行，内错角相等，得∠ACD=∠PAC=50°，由角平分线定义得∠ACE=∠ACD=25°，最后根据三角形的内角和定理 可算出∠AEC的度数；
（2）由二直线平行，内错角相等，得∠QA1D1=∠A1D1C=30°，由邻补角定义得∠PA1D1=150°，由角平分线定义得∠PA1E=∠PA1D1=75°，再由邻补角定义得∠CAQ=130°，由二直线平行，内错角相等，得∠ACD1=∠PAC=50°，由角平分线定义得∠ACE=∠ACD1=25°，最后根据四边形的内角和定理可算出答案；
（3）过点E作FE∥PQ，由二直线平行，内错角相等，得∠QA1D1=∠A1D1C=30°，由角平分线定义得∠AA1E=∠A1EF=∠AA1D1=15°，由二直线平行，内错角相等，得∠ACD1=∠PAC=50°，由角平分线定义得∠ACE=∠ECD1=∠ACD1=25°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥MN，再由二直线平行，内错角相等，得∠FEC=∠ECD1=25°。最后根据∠A1EC=∠A1EF+∠FEC可算出答案.
49．在中，，点D为线段BC上一个动点（不与B、C重合），以为一边向的左侧作，使，，过点E作的平行线，交直线于点F，连接．
（1）如图1，若，判断的形状并说明理由；
（2）若，如图2，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：△BEF为等边三角形，理由如下：
∵，，，
∴△AED和△ABC为等边三角形，∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，
∴，∠EAB=∠DAC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴△BEF为等边三角形；
（2）解：△BEF是等腰三角形；
理由如下：
∵，
∴，
即：．
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（等角对等边），
∴为等腰三角形．
【解析】【分析】（1）△BEF为等边三角形，理由如下：根据有一角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AED和△ABC为等边三角形，则∠C=∠ABC=60°，然后用SAS判断出△EAB≌△DAC，由全等三角形的对应角相等得∠EBA=∠C=60°，由二直线平行，内错角相等得∠EFB=∠ABC=60°，从而根据有两个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得结论；
（2）△BEF为等腰三角形，理由如下：首先用SAS判断出△EAB≌△DAC，由全等三角形的对应角相等得∠EBA=∠C，由等边对等角得∠C=∠ABC，则退出∠ABE=∠ABC，由二直线平行，内错角相等得∠EFB=∠ABC，则∠EFB=∠ABE，由等角对等边得EB=EF，从而根据有两边相等的三角形是等腰三角形可得结论.
50．已知：AB∥CD，∠A＝∠C．
（1）如图1，求证：AD∥BC．
（2）如图2，连接AC，AE平分∠CAB交BC于点E，点F在DC的延长线上，连接AF，∠ACB＝2∠FAE，求证：AF平分∠DAB．
（3）如图3，在（2）的条件下，AF交BC于点G，连接BF，点M在AD上，连接MB、MC且∠AMB＝2∠AFB，CN平分∠MCF交BF于点N，若∠AGC：∠BCF＝7：4，∠BCN+30°＝∠BMC，求∠ABF的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC；
（2）证明：设∠EAF＝α，∠CAF＝β，
∴∠ACB＝2α，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAF＝2α+β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝α+β，
∴∠BAF＝∠BAE+∠EAF＝2α+β＝∠DAF，
∴AF平分∠DAB；
（3）解：设∠AFB＝α，∠AMB＝2α，∠BCN＝β，
则∠BMC＝60°+2β，
∴∠DMC＝180°-2α-（60°+2β）＝120°-2α-2β＝∠MCB，
∴∠MCN＝120°-2α-β，
∵CN平分∠MCF，
∴∠MCN＝∠NCF＝120°-2α-β，
∴∠MCF＝2∠MCN＝240°-4α-2β，
∴∠MCD＝180°-（240°-4α-2β）＝4α+2β-60°，∠BCF＝∠BCN+∠NCF＝β+120°-2α-β＝120°-2α，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠D＝120°-2α，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠AFD，
∴，
∴∠AFD＝∠DAF＝30°+α，
∵AD∥BC，
∴∠AGC＝180°-（30°+α）＝150°-α，
∵∠AGC：∠BCF＝7：4，
∴，
解得α＝24°，
∴∠BFD＝∠AFD+∠AFB＝30°+2α＝78°，
∴∠ABF＝180°-78°＝102°．
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，可证得∠A+∠D=180°，结合已知可证得∠C+∠D=180°，然后利用平行线的判定定理可证得结论.
（2） 设∠EAF＝α，∠CAF＝β，可证得∠ACB=2α，利用平行线的性质可证得∠DAC＝∠ACB，可表示出∠DAF；利用角平分线的定义可表示出∠BAE，由此可证得∠BAF=∠DAF，据此可证得结论.
（3）设∠AFB＝α，∠AMB＝2α，∠BCN＝β，可表示出∠BMC，从而可证得∠DMC=∠MCB，据此可表示出∠MCN，利用角平分线的定义可表示出∠MCN，∠MCF，及∠MCD，∠BCF＝∠BCN+∠NCF；利用平行线的性质可证得 ∠BCF＝∠D＝120°-2α ，∠BAF＝∠DAF＝∠AFD，即可表示出∠DAF，∠AFD，由AD∥BC，可证得 ∠AGC＝150°-α，根据 ∠AGC：∠BCF＝7：4，可得到关于α的方程，解方程求出α的值，即可求出∠BFD的度数，从而可求出∠ABF的度数.
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