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【决战期末·50道解答题专练】华东师大版数学九年级上册期末总复习
1．解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
2．一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长．
3． 如图，在中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，求BC的长.
4．如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是，大厦底部 B的俯角β是．
（1）求两楼之间的距离；
（2）求大厦的高度．
(结果保留整数，参考数据：，，)
5．为了调动学生的积极性，班内组织开展“数学小老师”讲题比赛，下面是四张背面看上去无差别的卡片A，B， C， D每张卡片的正面是四位“数学小老师”利用判别式判断一元二次方程根的情况的解题过程（如图）把四张卡片背面朝上放在桌子上．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是
（2）从四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，在随机抽取一张，用画树状图或列表法的方法求出抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率．
6．在如图电路中，A灯通电时随机发出红色或紫色光，B灯通电时随机发出红色、绿色或黄色光．
（1）电路通电时，B灯发出绿色光的概率是 ；
（2）电路通电时，请用树状图或列表格求出A、B两灯发出不同颜色光的概率．
7．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的储售价为每千克多少元？
8．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，求自变量x的取值范围；
（3）若点在轴上，且，求点的坐标．
9． 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
10．如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选了相距100m的B，C两点.现测得 ， ，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）.
11．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔P的南向东45°方向，距离灯塔200海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．
（1）在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是多少海里？
（2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？（本题结果保留根号）
12．已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并，
求的值；
求与的乘积．
13．解下列方程：
（1）；
（2）．
14．用一根长 的金属丝能否制成面积是 的矩形框子？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由.
15．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点A，B在x轴上，点 D在y轴上，AD=6，AB=8，点 A 的坐标为(-3，0).求点 B，C，D的坐标.
16．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图为一个水平放置的千斤顶，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即 、 之间的距离）．若 ，当 从 变为 时，千斤顶升高了多少？（ ， ，结果保留整数）
17．一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
18．如图，在中，分别在和的延长线上，，求的长．
19．如图①，在自驾出游露营或野餐时，经常使用天幕帐篷遮阳和防雨，在现场条件有限的情况下，常常借助汽车搭建.如图②是搭建后的截面示意图，将天幕撑开，用绳子拉直天幕一侧CE后系在车顶A处，另一侧CF 用绳子拉直后用地钉系在地面上的点 P 处，CD 是垂直于地面的天幕支撑杆，可通过调整绳子所系的位置调节天幕的展开角度. 已知CE=CF=3m，车顶A 到地面的距离为1.7m，CD与EF垂直，AB与地面垂直.若将天幕撑开到最大时天幕的展开角度. 拉直CE所需的绳子AE的长为2m，求拉直CF所需的绳子PF的长.(结果精确到0.1m，参考数据：
20．计算：．
21．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机在点A处测得前方海面的点F处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），此时的俯角为30°．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800m到达B点，此时测得点F的俯角为45°．请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A，B，C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数．参考数据： ≈1.7）
22．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小芸随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：：无所谓；：反对；：赞成），并将调查结果绘制成图和图的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为____________；
（2）将图补充完整；
（3）针对随机调查的情况，小芸决定从九（）班表示赞成的小亮、小华和小文的这位家长中随机选择位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小华的家长被同时选中的概率．
23．如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？
24．若实数 满足 ，求 的平方根．
25．某高中在开展“选科走班”教学改革之前，先进行调查：要求该校某班每位学生在思想政治、化学、地理、生物4门学科中选择2门．将调查统计结果制成了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）该班共有学生 人，扇形图中化学所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求该班小华同学恰好选中化学和生物的概率．
26．在中，，，点为的中点，点为线段上一动点．
（1）如图1，当点在线段上时，若，，求线段的长．
（2）如图2，当点在线段上时，以为边作等边，点是上一点，． 求证：．
27．图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕О点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角(即望向屏幕中心Р的视线EP与水平线EA的夹角)时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得30°，液晶显示屏AB的宽为34cm.
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC.（结果精确到1cm）
（参考数据：）
28．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．
29．观察下列式子的变形过程，回答问题.
例1
例2
（1） ； .
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（无需证明）.
（3）利用上面的结论，求 的值.
30．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为_________________；
（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴负半轴上，边交y轴于点D，边交x轴于点E，若平分，点B坐标为．探究线段、、之间的数量关系．请回答下列问题：
①写出点C的坐标为_____________，点A的坐标为_____________，点D的坐标为_____________；
②直接写出线段、、之间的数量关系：_______________．
31．如图，航拍无人机在 处测得正前方某建筑物顶部处 的仰角为45°，测得底部 的俯角为31°.此时航拍无人机距地面 的高度为12米，求该建筑物的高度 （结果保留整数）.（参考数据： .）
32．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出 375 个，六月份售出 540 个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利 10 元，月销售量为 500 个，若在此基础上每个涨价 1 元，则月销售量将减少 20 个，现在既要使月销售利润达到 6000 元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
33．已知点 P(2m+4，m-1)，分别根据下列条件，求点 P 的坐标.
（1）点P在y轴上；
（2）点 P 在过点A(2，-4)且与x轴平行的直线上；
（3）点P 到两坐标轴的距离相等.
34．如图，在中，，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
35．已知关于的方程．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝ ， D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC+CD＝9.求BE，CE的长.
37．已知实数x、y满足x2﹣12x+ +36＝0，求 的值．
38．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决完在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形土地做养鸡场．如图所示，养鸡场一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的笨笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）求这个养鸡场的长和宽．
39．如图，甲乙两艘渔船从港口同时出发前往某海域捕鱼，甲船以16海里时的速度向南偏东航行，乙船向北偏东航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？
40．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
41．如图，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形分别标有数字1、2、3，甲、乙两人开始玩一个可以自由转动的转盘游戏，转盘停止后，记录下指针指向的数字，若指针指向相邻两扇形的交界处，则重新转动转盘.甲转动转盘一次，记下指针指向的数字，接着乙也转动转盘一次，再记下指针指向的数字，利用画树状图或列表格的方法求两次记录的数字之和小于4的概率.
42．某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．
（1）若围成的菜地面积为，求此时的长．
（2）能围成面积为的菜地吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
43．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点，判断四边形MENF是什么特殊平行四边形，并证明你的结论.
44．一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“車”字朝上的频数 14 18 38 47 52 78 88
相应的频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.56
（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分．
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？
（3）在（2）的基础上，进一步估计：将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为多少？
45．在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．
（1）如图1，与的数量关系是_________；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长．
46．如图，在长方形 中， 点沿 折叠后与 点重合，测得 ，求折痕 的长
47．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，
（1）在图中标出点E，且点E的坐标为 ；
（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为 ，C2的坐标为 ；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 ．
48．如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
（1）点C的坐标为 ，点A的坐标为 （点A用含k的代数式表示）．
（2）若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
（3）如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
49．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF= ，求BE的长．
50． 如图， 中，，，，点在射线上运动，连接，点关于的对称点为，连接，．
（1）点在线段上，当时，求的度数．
（2）当时，面积为 ．
（3）当时，求线段的长度．
（4）当落在 对角线上时，直接写出长．
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【决战期末·50道解答题专练】华东师大版数学九年级上册期末总复习
1．解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
2．一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长．
【答案】解：当底边长为，则腰长为：，所以另两边的长为 能构成三角形；
当腰长为，则底边长为： 底边长为，另一个腰长为 ，不能构成三角形.
因此另两边长为
答：这个等腰三角形的其它两边的长为
【解析】【分析】根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形三边关系即可求出答案.
3． 如图，在中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，求BC的长.
【答案】（1）证明：因为DE是的中位线，
所以，又因为，
所以四边形BEDF是平行四边形
（2）解：因为四边形BEDF是平行四边形，
所以，
因为DE是的中位线，
所以
【解析】【分析】 （1）由三角形中位线定理得DE∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DE=BF=4，再由三角形中位线定理的BC=2DE=8即可．
4．如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是，大厦底部 B的俯角β是．
（1）求两楼之间的距离；
（2）求大厦的高度．
(结果保留整数，参考数据：，，)
【答案】（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，，
∵在中，，
，
，
两楼之间的距离为.
（2）解：∵在中，，，
，
，
大厦的高度约为．
【解析】【分析】（1）先根据题意可得：，，再利用利用锐角三角函数的定义求出；
（2）先利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和求得AB．
（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，
，
，
两楼之间的距离为；
（2）解：在中，，，
，
，
大厦的高度约为．
5．为了调动学生的积极性，班内组织开展“数学小老师”讲题比赛，下面是四张背面看上去无差别的卡片A，B， C， D每张卡片的正面是四位“数学小老师”利用判别式判断一元二次方程根的情况的解题过程（如图）把四张卡片背面朝上放在桌子上．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是
（2）从四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，在随机抽取一张，用画树状图或列表法的方法求出抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率．
【答案】（1）解：卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根有两张卡片，
∴随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是
（2）解：由题意可得，
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的情况有6种，
∴抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为．
【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
6．在如图电路中，A灯通电时随机发出红色或紫色光，B灯通电时随机发出红色、绿色或黄色光．
（1）电路通电时，B灯发出绿色光的概率是 ；
（2）电路通电时，请用树状图或列表格求出A、B两灯发出不同颜色光的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
红色 绿色 黄色
红色 (红色，红色) (红色，绿色) (红色，黄色)
紫色 (紫色，红色) (紫色，绿色) (紫色，黄色)
共有6种等可能的结果，其中A、B两灯发出不同颜色光的结果有5种，
∴A、B两灯发出不同颜色光的概率为
【解析】【解答】(1)解：由题意得，电路通电时，B灯发出绿色光的概率是
故答案为：
【分析】(1)直接利用概率公式可得答案.
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及A、B两灯发出不同颜色光的结果数，再利用概率公式可得出答案.
7．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的储售价为每千克多少元？
【答案】解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+40x）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29（元/千克）．
答：这种水果的储售价为每千克29元．
【解析】【分析】设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，进而结合小王和小李的对话即可列出一元二次方程，从而即可求解。
8．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，求自变量x的取值范围；
（3）若点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：将的坐标代入反比例函数得，，
∴反比例函数的关系式为，
将，的坐标代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为，
（2）解：根据方程组的解为，，
∴一次函数与反比例的交点坐标为和(-4，)，
又∵，
∴，
∴当时，自变量x的取值范围是或.
（3）解：∵，
设点，则，
根据，
可得，
解得或，
∴点或．
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入求出可得反比例函数解析式；再将点A、D的坐标分别代入可得，再求出，即可得到一次函数解析式；
（2）先求出一次函数和反比例函数的图象的交点坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）设点，则，根据，可得，再求出m的值，即可得到点Q的坐标.
（1）解：将的坐标代入反比例函数得，
，
∴反比例函数的关系式为，
将，的坐标代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为，
（2）由于方程组
的解为，，
∴一次函数与反比例的交点坐标为和(-4，)，
又∵，
∴，
∴当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：或；
（3）∵
，
设点，则，
由，
，
解得或，
∴点或．
9． 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
【答案】解：设矩形的边，则边；
根据题意，得，
化简，得，
解得：，，
当时，；
当时，．
故当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
【解析】【分析】设矩形的边，则边，根据题意列出方程，再求解即可.
10．如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选了相距100m的B，C两点.现测得 ， ，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）.
【答案】解：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ADB中，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD tan30°＝ AD，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴CD＝AD，又BC＝100m，
∴BD+CD＝ AD+AD＝100.
解得AD≈63.4m.
答：这段河的宽约为63.4米.
【解析】【分析】过A作AD⊥BC于D，在Rt△ADB中，利用解直角三角形求出BD的长；利用等腰直角三角形的性质可得到CD=AD；然后根据BC=BD+DC=100，代入可求出AD的长.
11．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔P的南向东45°方向，距离灯塔200海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．
（1）在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是多少海里？
（2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？（本题结果保留根号）
【答案】（1）解：过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．
由题意，得∠APC＝90°﹣45°＝45°，∠B＝30°，AP＝200海里．
在Rt△APC中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝45°，
∴PC＝AC＝AP＝100（海里）．
答：在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是100海里．
（2）解：在Rt△PCB中，∵∠BCP＝90°，∠B＝30°，PC＝100海里，
BC＝PC＝100（海里），
∴AB＝AC+BC＝100+100＝100（+）（海里），
答：轮船航行的距离AB为100（+）海里．
【解析】【分析】(1)过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离，在等腰直角△APC中，解三角形即可得解；
（2）由（1）得PC＝AC＝100，在Rt△PCB中，解直角三角形得BC＝100，由AB＝AC+BC，计算求解即可得解.
12．已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并，
求的值；
求与的乘积．
【答案】（1）解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：
（2）解：，
∵与可以合并，
∴，
解得：；
由得：，
，
．
【解析】【分析】（1）满足二次根式有意义的，即被开方数≥0.
（2）①根据最简二次根式的定义，得出x+1=10，求出x=9.
②根据①所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可.
13．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
14．用一根长 的金属丝能否制成面积是 的矩形框子？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由.
【答案】解：不能，理由如下：
设矩形框子的长为 ，
根据题意： ，
即 ，
，
∴方程无解，
∴不能制成面积是 的矩形框子.
【解析】【分析】设矩形框子的长为xcm，根据题意可得x(-x)=800，求解即可.
15．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点A，B在x轴上，点 D在y轴上，AD=6，AB=8，点 A 的坐标为(-3，0).求点 B，C，D的坐标.
【答案】解：∵点A的坐标为(-3，0)，
∴OA=3，
∵AB=8，
∴OB=8-3=5，
∴点B（5，0）；
在Rt△AOD中，
，
∴点D；
∵平行四边形ABCD，
∴DC∥AB，DC=AB=8，
将点D向右平移8个单位得到点C
∴点C
∴点 B(5，0)，点 C(8，3)，点 D(0，3)
【解析】【分析】利用点A的坐标可求出OA的长，可得到OB的长，即可得到点B的坐标；利用勾股定理求出OD的长，可得到点D的坐标；再利用平行四边形的性质可证得DC∥AB，DC=AB=8，利用点的坐标平移规律，可得到点C的坐标.
16．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图为一个水平放置的千斤顶，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即 、 之间的距离）．若 ，当 从 变为 时，千斤顶升高了多少？（ ， ，结果保留整数）
【答案】解：连接AC，与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO．
当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形．
∴AC=AD=AB=40；
当∠ADC=120°时，∠ADO=60°，
则∠DAO=30°，
∴OD= AD=20，
∴AO= ，
∴AC=40 ，
因此增加的高度为40 -40=40×（ -1）≈29（cm）．
答：千斤顶升高了多少29cm．
【解析】【分析】先求出 AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO ，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
17．一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，
∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为
【解析】【解答】解：∵一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，
∴从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是
故答案为：
【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，再由概率公式求解即可.
18．如图，在中，分别在和的延长线上，，求的长．
【答案】解：四边形是平行四边形，
．
四边形是平行四边形
即D为中点．
，
，
，
．
过E作于点H，
，
，
，
∴EF=2EH=，
，
．
【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，得出即D为中点．得出，在利用三角函数可求出HF和CH的长即可。
19．如图①，在自驾出游露营或野餐时，经常使用天幕帐篷遮阳和防雨，在现场条件有限的情况下，常常借助汽车搭建.如图②是搭建后的截面示意图，将天幕撑开，用绳子拉直天幕一侧CE后系在车顶A处，另一侧CF 用绳子拉直后用地钉系在地面上的点 P 处，CD 是垂直于地面的天幕支撑杆，可通过调整绳子所系的位置调节天幕的展开角度. 已知CE=CF=3m，车顶A 到地面的距离为1.7m，CD与EF垂直，AB与地面垂直.若将天幕撑开到最大时天幕的展开角度. 拉直CE所需的绳子AE的长为2m，求拉直CF所需的绳子PF的长.(结果精确到0.1m，参考数据：
【答案】解：如图， 过A作AG⊥CD，
∵ CE=CF ，CD与EF垂直 ，
∴∠DCA=∠DCP=∠75°，
∴cos∠DCA==，
∴CG=≈1.3，
易证四边形ABDG是矩形，
∴DG=AB=1.7m，
∴CD=CG+DG=1.3+1.7=3m，
又cos∠DCP=，
∴PC==11.54m，
∴PF=PC-CF=8.54≈8.5m，
答：拉直CF 所需的绳子 PF 的长约为8.5m .
【解析】【分析】根据等腰三角形“三线合一”得∠DCA=∠DCP=75°，构建直角三角形根据余弦函数求出CG的长，从而得到CD的长，再根据余弦函数计算PC的长，利用线段和差求出PF的长即可.
20．计算：．
【答案】解：
．
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
21．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机在点A处测得前方海面的点F处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），此时的俯角为30°．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800m到达B点，此时测得点F的俯角为45°．请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A，B，C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数．参考数据： ≈1.7）
【答案】解：∵∠BCF＝90°，∠FBC＝45°，
∴BC＝CF，
∵∠CAF＝30°，
∴tan 30°＝ ＝ ＝ ＝ ，
解得：CF＝ ≈1046（m）．
答：竖直高度CF约为1046米．
【解析】【分析】易得BC＝CF，那么利用30°的正切值即可求得CF长．
22．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小芸随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：：无所谓；：反对；：赞成），并将调查结果绘制成图和图的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为____________；
（2）将图补充完整；
（3）针对随机调查的情况，小芸决定从九（）班表示赞成的小亮、小华和小文的这位家长中随机选择位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小华的家长被同时选中的概率．
【答案】（1）；
（2）解：调查的中学生家长人数为人，
∴“赞成”的中学生家长人数为人，
将图补充完整如下：
（3）解：用分别表示小亮、小华和小文的家长，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中小亮和小华的家长被同时选中的有种结果，
∴小亮和小华的家长被同时选中的概率为．
【解析】【解答】解：（1）图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（）用乘以“赞成”的百分比即可求解；
（）求出调查的中学生家长人数，用总人数减去的人数即可求出的人数，再补充完整条形统计图即可；
（）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小亮和小华的家长被同时选中的结果，再根据概率公式即可求出答案.
23．如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？
【答案】解：设道路为x米宽，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验是原方程的解，但是，因此不合题意舍去．
答：道路为宽．
【解析】【分析】试验地的面积=矩形耕地的面积-三条道路的面积+道理重叠的两个小正方形的面积 。如果设道路宽为x ，可根据此关系列出方程求值，然后将不符合题意的舍去即可。
24．若实数 满足 ，求 的平方根．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入上式得 ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
【解析】【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答．
25．某高中在开展“选科走班”教学改革之前，先进行调查：要求该校某班每位学生在思想政治、化学、地理、生物4门学科中选择2门．将调查统计结果制成了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）该班共有学生 人，扇形图中化学所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求该班小华同学恰好选中化学和生物的概率．
【答案】（1）45；72
（2）解：补全条形统计图，如图1所示，
（3）解：
把思想政治、化学、地理、生物分别记为A，B，C，D，列表如下表所示，
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2种：(B，D)，(D，B)，
∴P(小华恰好选中化学、生物)=.
【解析】【解答】解：(1)全班人数为：9÷20%=45(人)，
选择“化学”的人数为：45-15-9-12=9(人)，
对应的扇形的圆心角为：360°×=72°，
故答案为：45；72.
【分析】(1)利用选“地理”的人数除以其对应的百分比可求出全班人数，先求出选择“化学”的人数，进而可求得对应的扇形的圆心角.
(2)求出选择“化学”的人数，即可补全条形统计图.
(3)列表求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2种，根据概率公式即可求解.
26．在中，，，点为的中点，点为线段上一动点．
（1）如图1，当点在线段上时，若，，求线段的长．
（2）如图2，当点在线段上时，以为边作等边，点是上一点，． 求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
∴；
（2）证明：过点作于点Q，作于点P，
则为矩形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用30角的直角三角形的性质求得AB，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求得BD，最后根据DE=BD-BE求解；
（2） 过点作于点Q，作于点P，可得出四边形为矩形， 根据矩形的性质，得出EP=CQ，再结合30度角的直角三角形的性质说明AE=2EP，接着利用等腰三角形三线合一说明CG=2CQ，从而可得AE=CG.
27．图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕О点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角(即望向屏幕中心Р的视线EP与水平线EA的夹角)时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得30°，液晶显示屏AB的宽为34cm.
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC.（结果精确到1cm）
（参考数据：）
【答案】（1）解：在Rt中，，
所以，所以眼睛与显示屏顶点水平距离．
（2）解：过点作于点，则，又，所以，在中，，则，，
在Rt中，，所以，
所以．
【解析】【分析】（1）在 Rt中， 根据正弦的定义，即可得出；
（2） 过点作于点 M，首先求得， 然后 在中，根据AB=34cm，解直角三角形，求得AM和BM的长度，然后在 Rt中， 通过解直角三角形，可求得CM的长度，根据AC=AM+CM即可求得结果，
28．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．
【答案】（1）一元二次方程有实数根，
，
解得：；
（2），是方程的两个实数根，
，，
∵，
，解得：，
由（1）可得：，
．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，则判别式，列出不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关系m的不等式，解不等式即可求出答案.
29．观察下列式子的变形过程，回答问题.
例1
例2
（1） ； .
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（无需证明）.
（3）利用上面的结论，求 的值.
【答案】（1）；
（2）解：（n为正整数）
（3）解：原式
=2019-1
=2018.
【解析】【解答】（1）
故答案为：
【分析】（1）根据题意分母有理化的运算即可求解；
（2）根据例1和例2结合题意即可得到规律；
（3）根据分母有理化结合（2）的规律进行二次根式的混合运算即可求解。
30．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为_________________；
（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴负半轴上，边交y轴于点D，边交x轴于点E，若平分，点B坐标为．探究线段、、之间的数量关系．请回答下列问题：
①写出点C的坐标为_____________，点A的坐标为_____________，点D的坐标为_____________；
②直接写出线段、、之间的数量关系：_______________．
【答案】（1）；
（2）①，，；②
【解析】【解答】解：（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知，，，
∵，，
∴，
在和中有
∴
∴，，，
故B点坐标为；
故答案为：；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴，，
，，
①由题意知，，
∵，，
∴
在和中有
∴
∴，
∵，，
故，，
∵平分
∴
∴
∴
∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴，
∵，
∴，
在和中有
∴
∴
∴
则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，
故答案为：，，；
②由①可知，，，故有．
【分析】（1） 过B点作x轴垂线，垂足为D ，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，，即可求出答案.
（2）①过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角平分线的定义可得，则，即，再根据等腰三角形判定定理可得也为等腰三角形，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
②由①可知，，，故有，即可求出答案.
（1）解：过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知，，，
∵，，
∴，
在和中有
∴
∴，，，
故B点坐标为；
故答案为：；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴，，
，，
①由题意知，，
∵，，
∴
在和中有
∴
∴，
∵，，
故，，
∵平分
∴
∴
∴
∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴，
∵，
∴，
在和中有
∴
∴
∴
则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，
故答案为：，，；
②由①可知，，，故有．
31．如图，航拍无人机在 处测得正前方某建筑物顶部处 的仰角为45°，测得底部 的俯角为31°.此时航拍无人机距地面 的高度为12米，求该建筑物的高度 （结果保留整数）.（参考数据： .）
【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意可知：
CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形DBEC是矩形，
∴CD=BE=12米.
在Rt△BEC中，∠BCE=31°，
∴ ，即 ，
∴CE=20米.
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE，
∴CE=AE=20米，
∴AB=BE+AE=32米.
答：该建筑物的高度AB约为32米.
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DBEC是矩形，再根据锐角三角函数即可求出建筑物的高度AB.
32．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出 375 个，六月份售出 540 个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利 10 元，月销售量为 500 个，若在此基础上每个涨价 1 元，则月销售量将减少 20 个，现在既要使月销售利润达到 6000 元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率x，
根据题意得：375（1＋x）2＝540，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝ 2.2（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.
（2）解：设该品牌头盔每个应涨价m元，
由题意得：（10＋m）（500 20m）＝6000，
整理得：m2 15m＋50＝0，
解得：m1＝5，m2＝10，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝5，
答：该品牌的头盔每个应涨价5元．
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率x，根据“ 四月份售出 375 个，六月份售出 540 个 ”列出方程375（1＋x）2＝540，求解即可；
（2）设该品牌头盔每个应涨价m元，利用“ 销售利润达到 6000 元 ”列出方程（10＋m）（500 20m）＝6000，再求解即可.
33．已知点 P(2m+4，m-1)，分别根据下列条件，求点 P 的坐标.
（1）点P在y轴上；
（2）点 P 在过点A(2，-4)且与x轴平行的直线上；
（3）点P 到两坐标轴的距离相等.
【答案】（1）解：因为点 P 在y轴上，所以2m+4=0，所以m=-2，所以m-1=-3，所以P(0，-3)
（2）解：因为点 P 在过点A(2，-4)且与x轴平行的直线上，所以m-1=-4，所以m=-3，所以2m+4=-2，所以P(-2，-4)
（3）解：当2m+4=m-1时，m=-5，所以2m+4=-6，m-1=-6，所以P(-6，-6)；当2m+4+(m-1)=0时，m=-1，所以2m+4=2，m-1=-2，所以P(2，-2).综上所述，当点 P 到两坐标轴的距离相等时，点P 的坐标为(-6，-6)或(2，-2)
【解析】【分析】(1)根据横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
(2)根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求出m的值，再求解即可；
(3)根据点到两坐标轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等或互为相反数列方程分别求出m的值，再求解即可.
34．如图，在中，，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：如图
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
，
在Rt△ADC中，
∴
∴DC=6
∴BC=BD+CD=8+6=14
（2）解：∵AE是BC边上的中线，
∴BE=BC=×14=7，
∴ED=BD-BE=8-7=1，
在Rt△AED中
，
∴
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ADC=∠ADB=90°，利用勾股定理可求出BD的长，利用已知可得到DC的长，然后求出BC的长.
（2）利用三角形中线的定义可求出BE的长，由此可求出ED的长；再利用勾股定理求出AE的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出结果.
35．已知关于的方程．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
【答案】（1）证明：，
在实数范围内，无论取何值，，即，
关于的方程恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
，
解得，，
则方程的另一根为：；
当该直角三角形的两直角边是、时，
该直角三角形的面积为；
当该直角三角形的直角边和斜边分别是、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的面积为；
综上，该直角三角形的面积为或．
【解析】【分析】（1）求出根的判别式△的值，根据结果判断即可；
（2）把x=1代入方程组求出m值，从而求出方程的根，再根据三角形的面积公式求解即可.
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝ ， D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC+CD＝9.求BE，CE的长.
【答案】解：∵DE⊥AB
∴∠DEB=90°，∵sinB＝ ，
∴设DE=3x，DB=5x，则BE=4x
∵CD＝DE，AC+CD＝9，
∴AC=9-3x，
∵∠DEB=90°，∠ACB＝90°，
∴∠DEB=∠ACB
∵∠B=∠B
∴△ABC∽△DBE，
∴
∴
∴BC=12-4x，
∵BC=CD+DB
∴12-4x=3x+5x
∴x=1
∴BE=4x=4
∴BC=8，AB=10
过点C作CF⊥AB于点F，
由面积法可得
AC×BC=AB×CF
∴6×8=10CF
∴CF=4.8
∵
∴
∴BF=6.4
∴EF=BF-BE=6.4-4=2.4
∴在Rt△CFE中，
【解析】【分析】 由sinB＝，DE⊥AB于点E可设DE＝3x，DB＝5x，结合已知可将AC用含x的代数式表示出来，由同角的余角相等可得∠DEB=∠ACB，由有两个角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DBE，于是得比例式可求出x的值，从而可得BE及BC，AB的值；过点C作CF⊥AB于点F，由面积法可得CF的值，再由∠B的正切值得BF，根据线段的构成EF=BF-BE可求得EF的值，然后用勾股定理可求得CE．
37．已知实数x、y满足x2﹣12x+ +36＝0，求 的值．
【答案】解：∵x2﹣12x+ +36＝0，∴x2﹣12x+36+ ＝0，∴（x﹣6）2+ ＝0，
∴x﹣6＝0，y+4＝0，解得：x＝6，y＝﹣4，
∴
【解析】【分析】根据二次根式的性质和非负数的性质可得关于x、y的方程，解方程即可求出x、y的值，然后代入所求式子计算即可．
38．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决完在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形土地做养鸡场．如图所示，养鸡场一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的笨笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）求这个养鸡场的长和宽．
【答案】解：设AB＝xm，则BC＝69+1﹣2x＝（70﹣2x）m．
依题意得：x（70﹣2x）＝600，.
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20．
当x＝15时，70﹣2x＝70﹣2×15＝40＞35，不合题意，舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝70﹣2×20＝30＜35，符合题意．
答：这个养鸡场的长是30m，宽是20m．
【解析】【分析】 设AB＝xm，根据题意得出BC=（70﹣2x）m，再根据矩形的面积为600m2，列出方程，解方程求出x的值，然后再进行检验，即可得出答案.
39．如图，甲乙两艘渔船从港口同时出发前往某海域捕鱼，甲船以16海里时的速度向南偏东航行，乙船向北偏东航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？
【答案】解：根据题意，得 ，
海里 ， 海里，
在直角三角形 中，根据勾股定理得： 海里 .
则乙船的速度是 海里 时.
【解析】【分析】根据题意得 ∠CAB=90°，AC=16×3=48海里，BC=60海里，利用勾股定理求出AB，然后除以时间就可求出乙船的速度.
40．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
【答案】解：
=
=b-a+b+c-b+c
=b-a+2c
【解析】【分析】利用二次根式的性质：，将原代数式转化为 |a-b| -|b+c|-|b-c|，再根据数轴上数a、b、c的位置，可得出a-b＞0，b+c＜0，b-c＞0，然后化简绝对值，合并同类项即可。
41．如图，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形分别标有数字1、2、3，甲、乙两人开始玩一个可以自由转动的转盘游戏，转盘停止后，记录下指针指向的数字，若指针指向相邻两扇形的交界处，则重新转动转盘.甲转动转盘一次，记下指针指向的数字，接着乙也转动转盘一次，再记下指针指向的数字，利用画树状图或列表格的方法求两次记录的数字之和小于4的概率.
【答案】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次记录的数字和小于数字4的结果数为4，
所以两次记录的数字和小于数字4的概率P=
【解析】【分析】根据题意先画出树状图列出所有可能的结果数，再找出两次记录的数字和小于数字4的结果数，然后根据概率公式计算即可.
42．某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．
（1）若围成的菜地面积为，求此时的长．
（2）能围成面积为的菜地吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设的长为x米，则的长为米，
根据题意得：，
解得或，
当时，，
的长为5米不合题意舍去；
当时，，符合题意．
答：的长为10米；
（2）解：设的长为y米，则的长为米，
根据题意得：，
化简得：，
，
方程无实根，
不能围成面积为的菜地．
答：不能围成面积为的菜地
【解析】【分析】（1）设的长为x米，则的长为米，根据围成菜地的面积为，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设的长为y米，则的长为米，根据围成菜地的面积为，建立方程，根据判别式可得方程无实根，即不能围成面积为的菜地.
（1）解：设的长为x米，则的长为米，
根据题意得：，
解得或，
当时，，
的长为5米不合题意舍去；
当时，，符合题意．
答：的长为10米；
（2）设的长为y米，则的长为米，
根据题意得：，
化简得：，
，
方程无实根，
不能围成面积为的菜地．
答：不能围成面积为的菜地．
43．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点，判断四边形MENF是什么特殊平行四边形，并证明你的结论.
【答案】四边形MENF是菱形，证明如下：
∵F、N分别是CM、BC中点
∴FN是△BCM中位线
∴FN∥BM，FN= BM，
∵E为BM中点，
∴ME= BM，
∴FN=ME，
∴四边形MENF是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
∵M是AD中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中， ，
∴△ABM≌△DCM(SAS)
∴BM=CM
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴ME= BM，FM= CM，
∴ME=FM，
∴四边形EMFN是菱形.
【解析】【分析】根据三角形中位线的性质可得FN∥BM，FN= BM，由E是BM中点可得ME= BM，即可证明FN=ME，可证明四边形MENF是平行四边形，利用SAS可证明△ABM≌△DCM，可得BM=CM，根据E、F为BM、CM中点可得ME=MF，即可证明四边形MENF是菱形.
44．一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“車”字朝上的频数 14 18 38 47 52 78 88
相应的频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.56
（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分．
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？
（3）在（2）的基础上，进一步估计：将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为多少？
【答案】解：（1）所填数字为：120×0.55=66，88÷160=0.55；
折线图：
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是0.5．
（3）根据（2）的结果估计连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为0.5．
【解析】【分析】（1）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；描点连线，可得折线图．
（2）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小．
（3）列举出抛掷两次可能会出现的情况，用概率公式求解即可．
45．在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．
（1）如图1，与的数量关系是_________；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
由（1）同理可得：，
由旋转得：，
，
，
在和中
，
（），
，
点M，N分别是和的中点，
，
．
（3）解：①如图，当点E在线段上时，过点作于点
，
，，
，
在（1）中：点D，E是边，的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，
，
；
②如图，当点D在线段上时，过点作于点Q，
在中，，，
，
由①同理可求，
在中，，
，，
；
．
综上所述，或．
【解析】【解答】解：（1）点D，E是边，的中点，
，，
，
，
点M，N分别是和的中点，
是的中位线，
，
，
故答案：．
【分析】（1）根据线段中点可得，，则，再根据三角形中位线定理可得，即.
（2）连接，由（1）同理可得：，根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得（），则，再根据线段中点即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当点E在线段上时，过点作于点，根据直角三角形性质可得，根据三角形中位线定理可得，，则，再根据勾股定理可得PD，PB，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点D在线段上时，过点作于点Q，由①同理可求，根据勾股定理可得BQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
46．如图，在长方形 中， 点沿 折叠后与 点重合，测得 ，求折痕 的长
【答案】解：由题意可知， 是由 折成的
∵
∴
在Rt△CEF中，∠EFC=30°，
∴
【解析】【分析】由折叠的性质可得 ，然后易得∠FEG=60°，根据条件可求出EC=5cm，再利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半得出结果.
47．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，
（1）在图中标出点E，且点E的坐标为 ；
（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为 ，C2的坐标为 ；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 ．
【答案】解：（1）如图，线段BB1的中点即为点E，
∵B（1，1），B1（﹣1，﹣3）
∴E（0，﹣1）；
（2）如图，
∵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），
又∵A（3，2），C（4，0），
∴A2（﹣3，4），C2（﹣2，2）；
（3）∵对应顶点A1A2与B1B2的连线交于点（﹣3，0），
∴F（﹣3，0）．
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质，任何一对对应点连线的中点即为对称中心E；
（2）将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到△A2B2C2，根据平移的规律，可分别写出点A2和C2的坐标；
（3）根据位似三角形的定义求出点F的坐标．
48．如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
（1）点C的坐标为 ，点A的坐标为 （点A用含k的代数式表示）．
（2）若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
（3）如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
【解析】【解答】解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
【分析】(1)分别把 代入函数解析式，解方程，进一步得出结果；
(2)求出根据 恰好落在 的内部得出不等式 从而得出
(3)可推出 进而得出 从而得出 轴，从而得出 求得直线BE的解析式后，代入求得x的值，进而得出结果；当点 在y轴上时，可求得点 ，求得直线直线DF的解析式后，与直线BE的解析式联立成方程组，进一步得出结果.
49．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF= ，求BE的长．
【答案】解：∵AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，
∴∠AEB=∠AFE=90°．
∴∠B+∠BAE=∠BAE+∠AEF=90°．
∴∠B=∠AEF．
∵cos∠AEF= ，
∴cos∠B= ．
∵cos∠B= ，AB=BC，CE=2，
∴设BE=4a，则AB=5a，CE=a．
∴a=2．
∴BE=8
【解析】【分析】根据题意，通过变化可得∠B=∠AEF，CE=2，cos∠AEF= ，从而可以得到BE、AB的关系，从而可以解答本题．
50． 如图， 中，，，，点在射线上运动，连接，点关于的对称点为，连接，．
（1）点在线段上，当时，求的度数．
（2）当时，面积为 ．
（3）当时，求线段的长度．
（4）当落在 对角线上时，直接写出长．
【答案】（1）解：点关于的对称点为，
；
（2）
（3）解：如图，
当点在上时，，理由是：
，
，
由知：；
（4）或．
【解析】【解答】解：（2）如图，
作于，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，
作于，
，，
，
，
，
当在上时，
，
，
，
，
如图，
当在上时，设与交于点，作，交的延长线于，作，交的延长线于，
则，
由上知：，，
，
，
，
，
由上知：，，
，
，
，
，
综上所述：或．
【分析】⑴、由对称可知∠APB=∠A PB，又∠APB+∠A PB+∠DPA =180°，且∠DPA 已知，故∠APB可求。
⑵、当PA ⊥BC时，由平行四边形ABCD对边平行易知PA ⊥AP，所以∠APA =90°，又由对称知∠APB等于∠A PB，因为故过点B作BE⊥AP，这时BE将△ABP分成5：12：13的△ABE和等腰直角三角形△BEP，根据已知数据可求AP、BE的长度，进而求△APB的面积。
⑶、由题可以判断△BAA 是等腰三角形，由折叠可知AP等于A P，所以据等腰三角形性质可知BP垂直于AP，再根据已知角A的正切及AB长可求AP长。
⑷、由题易知分两类讨论也即点A 落在AC或BD上；当点A 落在BD上时，过点D作AB的垂线构造含角A的直角三角形，进而判断三角形ABD是等腰三角形，再利用内角平分线定理求解。当点A 落在AC上时，过点C分别作AB和AD的垂线，构造直角三角形来解题。
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