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上海市2025—2026学年七年级上册期末综合进阶提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．若代数式与代数式是同类项，则的值是（ ）
A．9 B．－9 C．4 D．－4
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正方形，若将图1中的阴影部分沿虚线剪拼成一个长方形如图2，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠2 B．x＝0 C．x≠0 D．x＝2
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树棵，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x，y的二元一次方程组 有解，且使关于x的分式方程 ﹣1= 有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m的值之和是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
9． 当时，下列代数式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
10．对于任意的 值都有 ， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若 xm＋1y3与－2xyn是同类项，则m＋n＝ ．
12．计算： ．
13．计算： .
14．分解因式： .
15．若单项式-x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为
16．若正数a，b，c满足abc=1，，则 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
18．在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．
（1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．
（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
19．已知：．
（1）化简；
（2）若点为正比例函数上一点，求的值．
20． 已知3是的平方根，的立方根，的整数部分，
（1）求的值.
（2）求的平方根.
21．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
22．已知，．
（1）化简：，将结果用含有x、y的式子表示；
（2）若（1）中的结果与字母x的取值无关，求代数式的值．
23．陶艺，是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式.为充分发挥学生创造力和想象力，打造出属于同学们的独特的陶艺作品，学校计划增设陶艺校本课程以丰富学生课后服务，为此准备了易塑性陶泥A与耐久性陶泥B.已知每件陶泥A的价格比每件陶泥B的价格少0.6元，且花费36元购买陶泥A 与花费48元购买陶泥B的件数相同.
（1）求陶泥A 与陶泥B的单价分别为多少元
（2）该课程共有经费210元，根据课时内容，要求陶泥A的件数是陶泥B的2倍，求最多能买多少件陶泥B.
24．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合，研究混合物的密度（物体的密度物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
（1）请用含，式子表示；
（2）比较，的大小，并通过运算说明理由；
（3）现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
25．如图（），点在数轴上表示的数分别为，其中，式子是关于的二次三项式，
（1）点为数轴上点左边一点，且，求点在数轴上对应的数；
（2）在（）的条件下，若点三点在数轴上同时向右运动，点的速度分别是个单位长度秒、个单位长度秒、个单位长度秒，设点运动的时间为秒，当点时，求的值．
（3）如图（），点在数轴上对应的点所对应的数是，点的速度分别是个单位长度/秒、个单位长度秒，当点向左运动，点向右运动，试问是否存在一个常数使得不随运动时间的改变而改变，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
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上海市2025—2026学年七年级上册期末综合进阶提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法法则计算求解即可。
2．若代数式与代数式是同类项，则的值是（ ）
A．9 B．－9 C．4 D．－4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵代数式3ax+7b4与代数式﹣a4b2y是同类项，
∴x+7＝4，2y＝4，
∴x＝﹣3，y＝2；
∴xy＝（﹣3）2＝9．
故答案为：A．
【分析】根据同类项的定义可得答案。
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
B、，计算正确，故选项B符合题意；
C、，计算正确，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项可判断A，同底数幂的乘法可判断B，根据积的乘方和幂的乘方运算可判断C，根据同底数幂的除法运算可判断D．
4．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正方形，若将图1中的阴影部分沿虚线剪拼成一个长方形如图2，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：阴影部分拼前面积，
阴影部分拼后面积为，
所以．
故答案为：C．
【分析】利用不同的表达式表示出阴影部分的面积可得。
5．若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠2 B．x＝0 C．x≠0 D．x＝2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：A．
【分析】分式有意义的条件是分母不为零，列式即可解得。
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A：，故A不符合题意；
B：与不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
C：，故C符合题意；
D：与不是同类项，不能合并，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用去括号及合并同类项的计算方法逐项判断即可。
7．甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树棵，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设乙组每小时植树棵，
由题意得，，
故答案为：A.
【分析】设乙组每小时植树棵，则甲组每小时植树棵，根据甲组比乙组提前2小时完成列方程即可．
8．从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x，y的二元一次方程组 有解，且使关于x的分式方程 ﹣1= 有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m的值之和是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 有解，
∴直线y=﹣2x+2与直线y= x+ 不平行，
∴ ≠﹣2，
∴m≠﹣4，
解 ﹣1= 得，x=4﹣m，
∵x=4﹣m是正数，
∴m=﹣3，1，3，
当m=3时，原方式方程无意义，
故m=﹣3，1，
∴﹣3+1=﹣2，
故答案为：D．
【分析】可数形结合，方程组有解即两直线相交，解析式中的k不等，即m≠﹣4，又分式方程有正数解，即分式方程的解是正数且不能使分母为0的数，4-m>0，且4-m1，即-3+1=-2.
9． 当时，下列代数式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A：
B：，
C：
D：，
∵ ，
∴，
故答案为：C.
【分析】先根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方法则计算，然后比较大小即可解答.
10．对于任意的 值都有 ， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 对于任意的 值都有，
且，
∴M+N=2，2N-M=7.
解得：M=-1，N=3.
故答案为：B
【分析】对等式后面的部分进行通分，根据恒等性得到M，N的二元一次方程组，求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若 xm＋1y3与－2xyn是同类项，则m＋n＝ ．
【答案】3
【解析】【解答】因为 m＋1y3与－2xyn是同类项，所以可得 ，解得 ，将 代入m＋n得到0+3=3.
【分析】由 m＋1y3与－2xyn是同类项，得到 ，解得 ，再代入m＋n计算即可.
12．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据合并同类项法则“系数相加，字母与字母的指数不变”解答即可．
13．计算： .
【答案】
【解析】【解答】解：xy（x y）= x2y-xy2，
故答案为 x2y-xy2.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
14．分解因式： .
【答案】( a-5)(a+1)
【解析】【解答】解：
，
故答案为：( a-5)(a+1).
【分析】利用十字相乘法分解因式即可.
15．若单项式-x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为
【答案】0
【解析】【解答】解： ∵单项式-x3yn+5的系数-1，
∴m=-1，
次数=3+n+5=9，
∴n=1，
∴m+n=-1+1=0.
故答案为：0.
【分析】单项式系数是指单项式中的数字因数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，根据定义分别求出m、n值，再代值计算即可.
16．若正数a，b，c满足abc=1，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：解法一：因为
所以，
解得．
故答案为：．
解法二：由，得，
因此，．
由此可得，．
所以
故答案为：．
【分析】展开计算得到 ，整体代入即可解题；或由已知条件得到方程组，求出，，代入解题即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）先求出的负整数指数幂、零指数幂、绝对值得，再相加减，计算结果即可.
（2）先把的和用平方差公式，完全平方公式展开得，再相加减即可．
（1）
．
（2）
．
18．在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．
（1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．
（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）；
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
【解析】【解答】（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；
故答案为：0.50；0.5
【分析】(1)本题考察频率与概率的关系，核心是利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”这一规律。从“摸到白球”的频率折线图可以看出，随着摸球次数的增加，频率逐渐稳定在0.50左右，因此当摸球次数n很大时，摸到白球的概率接近0.50；单次摸球的概率等于这个稳定的频率，即0.5。
(2)本题考察概率公式的实际应用，核心是根据目标概率列方程求解。由(1)可知，盒子中原有60个球，摸到白球的概率为0.5，因此原有白球数量为个，红球数量为个。设再放入x个白球，此时白球总数为，球的总数为，根据目标概率，可列出方程，解方程得x=15，经检验该解符合题意，因此需要再放入15个白球。
（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
19．已知：．
（1）化简；
（2）若点为正比例函数上一点，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵点为正比例函数上一点，∴，
∴
【解析】【分析】（1）先将括号里的分式通分计算，再将除法化为乘法，化为最简分式；
（2）将代入函数解析式，可得到，再代入（1）中化简的结果求值即可．
（1）解：
；
（2）解：∵点为正比例函数上一点，
∴，
∴．
20． 已知3是的平方根，的立方根，的整数部分，
（1）求的值.
（2）求的平方根.
【答案】（1）解：∵3是的平方根，
∴，解得；
∵是的立方根，
∴=-3；
∵是的整数部分，
∴.
（2）解：∵4，
∴的平方根为.
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义，可列出方程，解出x值即可；根据立方根的定义，开立方即可；算出介于哪两个相邻数之间，即可得出；
（2）由（1）可得x，y，z的值，代入代数式求值，再算出平方根即可.
21．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【答案】（1）解：设第一批购进书包的单价是x元．第二批供应书包单价（x＋4）元
则：×3＝．
解得：x＝80．
经检验：x＝80是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80元．
（2）解：×（120 80）＋×（120 84）＝3700（元）．
答：商店共盈利3700元．
【解析】【分析】（1）设第一批购进书包的单价是x元．第二批供应书包单价（x＋4）元根据第二批书包所购数量是第一批购进数量的3倍，可得出方程×3＝．解方程并进行检验，即可得出第一批购进书包的单价是80元；
（2）根据（售价-进价）×数量=盈利，可分别求出两批书包的盈利和，即可得出商店总盈利。
（1）解：设第一批购进书包的单价是x元．第二批供应书包单价（x＋4）元
则：×3＝．
解得：x＝80．
经检验：x＝80是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80元．
（2）×（120 80）＋×（120 84）＝3700（元）．
答：商店共盈利3700元．
22．已知，．
（1）化简：，将结果用含有x、y的式子表示；
（2）若（1）中的结果与字母x的取值无关，求代数式的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴
．
（2）解：由（1）可知：，
∵（1）中式子的值与字母x的取值无关，
∴，
解得，
∴
．
【解析】【分析】（1）先将原式化简，再整体代入利用整式加减法进行计算即可；
（2）根据与x无关得到x的系数为0，进而求出y，最后代入计算求解即可．
（1）解：∵，，
∴
．
（2）解：由（1）可知：，
∵（1）中式子的值与字母x的取值无关，
∴，
解得，
∴
．
23．陶艺，是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式.为充分发挥学生创造力和想象力，打造出属于同学们的独特的陶艺作品，学校计划增设陶艺校本课程以丰富学生课后服务，为此准备了易塑性陶泥A与耐久性陶泥B.已知每件陶泥A的价格比每件陶泥B的价格少0.6元，且花费36元购买陶泥A 与花费48元购买陶泥B的件数相同.
（1）求陶泥A 与陶泥B的单价分别为多少元
（2）该课程共有经费210元，根据课时内容，要求陶泥A的件数是陶泥B的2倍，求最多能买多少件陶泥B.
【答案】（1）解：设陶泥A的单价为x元，则陶泥B的单价为（x+0.6）元，
根据题意可列方程为，
解得：x=1.8，
经检验，x=1.8是原分式方程的解，且符合实际，
∴x+0.6=2.4（元），
答：陶泥A的单价为1.8元，陶泥B的单价为2.4元；
（2）解：设买m件陶泥B，则呃呃需买2m件陶泥A，
由题意可得：2.4m+1.8×2m≤210，
解得：m≤35，
答：最多能买35件陶泥B.
【解析】【分析】（1）设陶泥A的单价为x元，则陶泥B的单价为（x+0.6）元，根据“ 花费36元购买陶泥A 与花费48元购买陶泥B的件数相同 ”，列出方程求解即可得出答案；
（2）设买m件陶泥B，则呃呃需买2m件陶泥A，根据“共有经费210元”列出不等式求解即可.
24．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合，研究混合物的密度（物体的密度物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
（1）请用含，式子表示；
（2）比较，的大小，并通过运算说明理由；
（3）现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
【答案】（1）解：由题意得，，
则
（2）解：设选取的甲、乙两种溶液的质量都是，则
，
，．
（3）解：设需要加水，根据题意得：
去分母，得：，解这个整式方程，得．
经检验，是分式方程的解．
答：需要加水
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式，化简即可。
（2）先表示出，结合（1）得到的 ，利用求差法求得并化简分析即可。
（3）根据密度公式列出方程，解方程并检验即可。
25．如图（），点在数轴上表示的数分别为，其中，式子是关于的二次三项式，
（1）点为数轴上点左边一点，且，求点在数轴上对应的数；
（2）在（）的条件下，若点三点在数轴上同时向右运动，点的速度分别是个单位长度秒、个单位长度秒、个单位长度秒，设点运动的时间为秒，当点时，求的值．
（3）如图（），点在数轴上对应的点所对应的数是，点的速度分别是个单位长度/秒、个单位长度秒，当点向左运动，点向右运动，试问是否存在一个常数使得不随运动时间的改变而改变，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解（1）∵式子是关于的二次三项式，
∴，，
∴，，
设对应的数为，则，，
∵，
∴，
解得，
答：点对应的数为.
（2）解：由题可知：动点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，此时无解，
或，解得：，
∴的值为.
（3）解：根据题意可知点对应的数为：，点对应的数为：，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
∴，
解得：；
综上，当时，，当时，．
【解析】【分析】（1）设对应的数为，则，，结合，列出方程，再求出p的值即可；
（2）先求出，，再结合，列出方程，最后求出t的值即可；
（3）先求出，，再分类讨论：当时，；当时，，再分别列出方程求解即可.
（1）解（1）∵式子是关于的二次三项式，
∴，，
∴，，
设对应的数为，则，，
∵，
∴，
解得，
答：点对应的数为；
（2）解：由题可知：动点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，此时无解，
或，解得：，
∴的值为；
（3）解：根据题意可知点对应的数为：，点对应的数为：，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
∴，
解得：；
综上，当时，，当时，．
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