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【决战期末·50道解答题专练】上海市数学七年级上册期末总复习
1．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，在下面坐标系中作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′，并直接写出A′，B′，C′的坐标．
2．为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？
3．甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲、乙两店各进货多少箱饮料？
4．根据已知条件求值.
（1）已知，，求的值.
（2）已知，求的值.
5． 如图， △ABC 与△A'B'C'关于直线l 对称， 对应线段AB 和A'B'所在的直线相交吗 另外两组对应线段所在的直线相交吗 如果相交，交点与对称轴l有什么关系 如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l有什么关系 再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律
6．已知：多项式A=2x2﹣xy，B=x2+xy﹣6，求：
（1）4A﹣B；
（2）当x=1，y=﹣2时，4A﹣B的值．
7．图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开．把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②拼成一个正方形．
（1）图②中间空白部分的面积是 （填、或）．
（2）观察图②，请写出代数式、、之间的等量关系式．
（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
8．先化简，再求值：，其中，.
9．已知a+b=4 ，ab=2，求下列式子的值：
（1）a2+b2．
（2）（a-b）2．
10．将连续的自然数1-1001按下图方式排成一个长方形，框出一个“V”形阵列，若将“V”形阵列上下左右移动，可框出另外五个数.
（1）如果设其中最大的数为，可用代数式表示“V”形阵列中5个数之和；
（2）要使框出的5个数之和等于2023，这是否可能？试说明理由.
11．小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加元油”（油箱未加满），而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为元/升，第二次加油油价为元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．用含，的代数式表示
（2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（-2，-2），C（2，-1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
13．先化简，再求值： ；其中 ， .
14．用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）．
（1）请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积；
（2）说明阴影与阴影的周长的和与的关系．
15．某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务．求引进新设备前平均每天修路多少米？
16．若，请从小刚和小明的对话中确定a，b的值，并对A进行化简求值．
17．在“慈善一日捐”活动中，甲、乙两校教师各捐款30000元，若乙校教师比甲校教师人均多捐20元，给出如下三个信息：
①甲校教师的人数比乙校的教师人数多 ；
②甲、乙两校教师人数之比为 ；
③乙校比甲校教师人均捐款多 .
请从以上三个信息中选择一个作为条件，求甲、乙两校教师的人数各有多少人？
你选择的条件是 ▲ （填序号），并根据你选择的条件给出求解过程.
18．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边BC∥x轴，如果A点坐标是（﹣1，2），C点坐标是（3，﹣2）．
（1）直接写出B点和D点的坐标B是什么？
（2）将这个长方形先向右平移1个单位长度长度，再向下平移个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，请你写出平移后四个顶点的坐标；
（3）如果Q点以每秒个单位长度的速度在长方形ABCD的边上从A出到到C点停止，沿着A﹣D﹣C的路径运动，那么当Q点的运动时间分别是1秒，4秒时，△BCQ的面积各是多少？请你分别求出来．
19．已知多项式﹣5x2a+1y2﹣x3y3+x4y．
（1）求多项式中各项的系数和次数；
（2）若多项式是7次多项式，求a的值．
20．已知多项式①x2－2xy；②x2－4y2；③x2－4xy＋4y2．
（1）把这三个多项式因式分解．
（2）老师问：“三个等式①＋②＝③；①＋③＝②；②＋③＝①；能否同时成立 ”圆圆同学说：“只有当x＝y＝0时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立．”你认为圆圆同学的说法正确吗 为什么
21．如图所示，有若干张长方形卡片和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+
b2.
（1）需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张；
（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；
（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式.
22．化简：，然后从0、1、2三个数中选取一个合适的数作为的值代入求值．
23．化简求值：，其中．
24．
（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
25．已知四边形ABCD，如果点D、C关于直线MN对称，
（1）画出直线MN
（2）画出四边形ABCD关于直线MN的对称图形．
26．已知，求代数式的值．
27．某食品公司决定将一批花椒送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱花椒，且甲种货车装运箱花椒所用车辆与乙种货车装运箱花椒所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱花椒？
（2）如果这批花椒有箱，用甲、乙两种货车共18辆来装运，甲种货车每辆车刚好装满，乙种货车最后一辆只装了65箱，其他全部装满，求甲、乙两种货车各多少辆？
28．大正方形的边长为 4 厘米，小正方形的边长为 2 厘米，起始状态如图所示，现把小正方形以 1 厘米/秒的速度向右沿直线平移，同时大正方形以 1 厘米/秒的速度向左沿直线平移，设平移的时间为 秒，两个正方形重叠部分的面积为 平方厘米． 当 时，求平移的时间．
29．张老师在黑板上布置了一道题：
已知，求代数式的值，小白和小红展开了下面的讨论：
根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值．
30．2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
（1）根据题意，可列分式方程为
（2）求这款电动汽车平均每公里的充电费．
31．先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2
32．列分式方程解应用题：今年植树节，某校师生到距学校20千米的公路旁植树，一班师生骑自行车先走，走了16千米后，二班师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度比自行车的速度每小时快60千米，求两种车的速度各是多少？
33．
（1）已知实数a，b满足求的值.
（2）已知实数a，b满足(4，求的值.
34．有一列式子：①，②，③r，④，⑤，⑥，⑦，⑧1
（1）请把上述各式的序号分别填入如图所示的相应圆圈内：
（2）填空：单项式中 的次数最高，次数是 ．
35．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC和△A1B1C1在平面直角坐标系中位置如图所示．
（1）△ABC与△A1B1C1关于某条直线m对称，画出对称轴m．
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2．此时点A2的坐标为.求出点A1旋转到点A2的路径长．（结果保留根号）
36．某校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少50元，用1500元购买足球的数量是用1000元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，则学校最多可以购买多少个篮球？
37．如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（结果不化简）.
方法1： ；方法2： .
（2）观察图②，请写出，，三个式子之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值.
38．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
39．解方程： ﹣ =1．
40． 如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上.小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院.小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院.已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院.
（1） 求停放点 A，B 之间的距离；
（2） 请分别求出小天和小台的骑车速度；
（3） 小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院.已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同.求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离.
41．已知a，b，c为实数，，求分式的值．
42．如图1，一个长为2a，宽为26的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形。
（1）根据图1和图2，写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的一个等量关系 .
（2）利用（1）中的结论解决下列问题：2x-y=10，xy=12，求2x+y的值；
（3）如图3，正方形ABCD和正方形EFGH面积之和为58，点E、点F在边AB上，若AE+BF=4，求图中阴影部分的面积.
43．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合，研究混合物的密度（物体的密度物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
（1）请用含，式子表示；
（2）比较，的大小，并通过运算说明理由；
（3）现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
44．如图①， “丰收1号”小麦试验田是边长为 a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a-1)m的正方形.两块试验田的小麦都收获了 500 kg.
（1）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， “丰收2 号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， ▲ 小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍
（2）在试验田四周(图②虚线部分)修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a 的值.
45．探索规律：
（1）尝试直接写出计算结果：
= 。
（2）由(1)的计算过程知， 可变形为 。
运用规律：
（3）解方程：
46． 已知，求的值．
47． 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，．
问题：
（1）求的值；
（2）求的值．
48．在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
49． 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：
.
（1） 判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）：
① ( ) ；
② ( ) .
（2） 若分式 的值为整数，求满足条件的所有整数 a 的值.
（3） 若分式 和 的值同时为整数，求满足条件的所有实数 x 的值.
50．设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
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【决战期末·50道解答题专练】上海市数学七年级上册期末总复习
1．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，在下面坐标系中作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′，并直接写出A′，B′，C′的坐标．
【答案】解：如图所示，△A′B′C′即为所求，
故A′（3，2），B′（4，﹣3），C′（1，﹣1）
【解析】【分析】依据轴对称的性质，作出△ABC各顶点关于y轴对称的点，再顺次连接即可；依据A′，B′，C′的位置即可得到A′，B′，C′的坐标．
2．为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？
【答案】解：设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据题意得，
，
解得， ，
经检验， 是原方程的解，
∴ x+150=400+150=450，
答：八年级捐书人数是450人.
【解析】【分析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，列出方程求解并检验即可.
3．甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲、乙两店各进货多少箱饮料？
【答案】解：设甲店进货x箱，乙店进货箱，列方程得：
，
解得：或（舍去），
经检验：是原方程的解，
∴乙店进货（箱）
答：甲、乙两店各进货箱和箱．
【解析】【分析】根据题意，先列方程求出 ， 再解方程即可。
4．根据已知条件求值.
（1）已知，，求的值.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，计算求解即可；
（2）根据幂的乘方与同底数幂乘法运算法则，计算求解即可．
5． 如图， △ABC 与△A'B'C'关于直线l 对称， 对应线段AB 和A'B'所在的直线相交吗 另外两组对应线段所在的直线相交吗 如果相交，交点与对称轴l有什么关系 如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l有什么关系 再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律
【答案】解：对应线段AB 和A'B'所在的直线相交，对应线段 BC 和B'C'所在的直线相交，交点都在对称轴l上；对应线段AC 和A'C'所在的直线不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l平行.规律：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者相交于对称轴上某一点.
【解析】【分析】 根据轴对称的性质，对应点的连线被对称轴垂直平分.通过分析对应线段的位置关系，判断其是否相交及与对称轴的关系，总结规律.
6．已知：多项式A=2x2﹣xy，B=x2+xy﹣6，求：
（1）4A﹣B；
（2）当x=1，y=﹣2时，4A﹣B的值．
【答案】解：（1）∵多项式A=2x2﹣xy，B=x2+xy﹣6，
∴4A﹣B=4（2x2﹣xy）﹣（x2+xy﹣6）
=8x2﹣4xy﹣x2﹣xy+6
=7x2﹣5xy+6；
（2）∵由（1）知，4A﹣B=7x2﹣5xy+6，
∴当x=1，y=﹣2时，
原式=7×12﹣5×1×（﹣2）+6
=7+10+6
=23．
【解析】【分析】（1）根据A=2x2﹣xy，B=x2+xy﹣6可得出4A﹣B的式子，再去括号，合并同类项即可；
（2）直接把x=1，y=﹣2代入（1）中的式子进行计算即可．
7．图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开．把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②拼成一个正方形．
（1）图②中间空白部分的面积是 （填、或）．
（2）观察图②，请写出代数式、、之间的等量关系式．
（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
．
【解析】【解答】解：（1）由图形可知：空白部分的面积．
故答案为：；
【分析】（1）根据题意得到空白部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形面积，进而计算即可得到代数式；
（2）根据图②得到大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，进而根据整式的混合运算即可求解；
（3）由（2）可得：，进而根据整式的混合运算进行计算即可求解。
（1）解：由图形可知：空白部分的面积．
故答案为：；
（2）解：由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
8．先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：原式，
将，代入得，
原式
【解析】【分析】首先根据去括号、合并同类项法则即可对原式进行化简，然后将x、y的值代入进行计算.
9．已知a+b=4 ，ab=2，求下列式子的值：
（1）a2+b2．
（2）（a-b）2．
【答案】（1）解：∵
.
（2）解：.
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的恒等变形可将原式变形为(a+b)2-2ab，然后整体代入计算可得答案；
（2）根据完全平方公式的恒等变形可将原式变形为(a+b)2-4ab，然后整体代入计算可得答案.
10．将连续的自然数1-1001按下图方式排成一个长方形，框出一个“V”形阵列，若将“V”形阵列上下左右移动，可框出另外五个数.
（1）如果设其中最大的数为，可用代数式表示“V”形阵列中5个数之和；
（2）要使框出的5个数之和等于2023，这是否可能？试说明理由.
【答案】（1）解：解：设“V”形阵列中最大的数为，
则其它四个数分别为：，，，
则“V”形阵列中五个数的和可表示为：
（2）解：当
，
所以，“V”形阵列中最大的数413在第59行第7列
由此可得，框出的这5个数之和不可能是2023.
【解析】【分析】本题主要考查了列代数式以及一元一次方程得运用.
（1）根据题目中的数字发现从最大的数开始，左右两边的数依次减小6，然后列出代数式；
（2）根据题意及（1）中结果可建立一元一次方程：，解出一元一次方程即可求解，然后在求出最大的数413在第59行第7列，即可得到答案.
11．小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加元油”（油箱未加满），而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为元/升，第二次加油油价为元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．用含，的代数式表示
（2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．
【答案】（1）解：根据题意可得，
妈妈两次加油的总量是：(升)，
妈妈两次加油的平均价格是：(元/升)，
即妈妈两次加油的总量是升，妈妈两次加油的平均价格是元/升；
（2）解：设爸爸每次加满油箱的油是升，
则爸爸两次加油的平均价格是(元/升)，
，
当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当时，妈妈的加油方式更省钱．
【解析】【分析】（1）先分别求出第一次和第二次加油的量，再相加可得两次加油的总量，再利用“平均价格=总价格÷总油量”列出代数式即可；
（2）设爸爸每次加满油箱的油是升，再利用“平均价格=总价格÷总油量”求出爸爸两次加油的平均价，再比较大小即可.
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（-2，-2），C（2，-1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示；
（2）解：A1（-1，3），B1（2，-2），C1（-2，-1）；
（3）解：△ABC的面积=4×5-×4×1-×4×1-×3×5
=20-2-2-7.5
=8.5．
【解析】【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1，B1，C1 的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
(3)利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解.
13．先化简，再求值： ；其中 ， .
【答案】解：原式=15a2b-5ab2+4ab2-12a2b=3a2b-ab2，
当 ， 时，
原式=3×1× -1× = - = .
【解析】【分析】先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项进行化简，最后将a、b的值代入进行计算.
14．用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）．
（1）请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积；
（2）说明阴影与阴影的周长的和与的关系．
【答案】（1）解：①由拼图可知，，
②阴影M的长为a，宽为，
所以阴影M的面积为.
（2）解：阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关，理由：
如图，
阴影M与阴影N的周长的和为
，
所以阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关．
【解析】【分析】（1）①结合图形利用线段的和差求出AD的长即可；
②利用长方形的面积公式列出算式求解即可；
（2）先分别表示出阴影M和阴影N的周长，再列出算式求解即可.
（1）解：①由拼图可知，，
②阴影M的长为a，宽为，
所以阴影M的面积为，
（2）解：阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关，理由：
如图，
阴影M与阴影N的周长的和为
，
所以阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关．
15．某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务．求引进新设备前平均每天修路多少米？
【答案】解：设引进新设备前平均每天修路x米．
根据题意，得： ．
解得：x=60．
经检验：x=60是原方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前平均每天修路60米
【解析】【分析】求的是新工效，工作总量为3000，一定是根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“一共用30天完成了任务”；等量关系为：600米所用时间+剩余米数所用时间=30．
16．若，请从小刚和小明的对话中确定a，b的值，并对A进行化简求值．
【答案】解：原式
，
由对话可得，，
原式
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式对原式中的分子分母进行因式分解，再对括号内的式子进行通分计算，最后根据分式除法运算法则将除法转化为乘法进行化简，然后根据两人对话分别确定a，b的值，其中a根据算术平方根的运算得出，b根据整数的范围以及的范围确定，最后将a，b的值代入化简后的式子计算出结果。
17．在“慈善一日捐”活动中，甲、乙两校教师各捐款30000元，若乙校教师比甲校教师人均多捐20元，给出如下三个信息：
①甲校教师的人数比乙校的教师人数多 ；
②甲、乙两校教师人数之比为 ；
③乙校比甲校教师人均捐款多 .
请从以上三个信息中选择一个作为条件，求甲、乙两校教师的人数各有多少人？
你选择的条件是 ▲ （填序号），并根据你选择的条件给出求解过程.
【答案】解：序号①或②或③ ；选择①设乙校教师x人，则甲校教师1.2x人，根据题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义，
答：甲校教师有30人，乙校教师25人。
选择②设甲校6k人，则乙校5k人，根据题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义，
答：甲校教师有30人，乙校教师25人。
选择③设甲校x人，则甲校人均捐款 元，乙校人均捐款 元，根据题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义，
答：甲校教师有30人，乙校教师25人。
【解析】【分析】选择①，设乙校教师有x人，则甲校教师有1.2x人，由题意：甲、乙两校教师各捐款30000元，若乙校教师比甲校教师人均多捐20元，列出方程，解方程即可；
选择②，设甲校教师有6k人，则乙校教师有5k人，由题意：甲、乙两校教师各捐款30000元，若乙校教师比甲校教师人均多捐20元，列出方程，解方程即可；
选择③，设甲校教师有x人， 则甲校人均捐款 元，乙校人均捐款 元 ，由题意：乙校教师比甲校教师人均多捐20元，列出方程，解方程即可．
18．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边BC∥x轴，如果A点坐标是（﹣1，2），C点坐标是（3，﹣2）．
（1）直接写出B点和D点的坐标B是什么？
（2）将这个长方形先向右平移1个单位长度长度，再向下平移个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，请你写出平移后四个顶点的坐标；
（3）如果Q点以每秒个单位长度的速度在长方形ABCD的边上从A出到到C点停止，沿着A﹣D﹣C的路径运动，那么当Q点的运动时间分别是1秒，4秒时，△BCQ的面积各是多少？请你分别求出来．
【答案】解：（1）根据题意可知，点A与点B关于x轴对称，点C与点D关于x轴对称，
所以点B的坐标是（﹣1，﹣2），点D的坐标是（3，2）．
故答案为﹣1，﹣2；3，2；
（2）按要求平移长方形后四个顶点的坐标分别是（0，）、（0，﹣3）、（4，﹣3）、（4，）；
（3）运动时间1秒时，△BCQ的面积=×4×4=8，
运动时间4秒时，△BCQ的面积=×4×（4+4﹣4）=8．
【解析】【分析】（1）根据A、C两点的坐标以及矩形的性质，可得点A与点B关于x轴对称，点C与点D关于x轴对称，进而可得答案；
（2）根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
19．已知多项式﹣5x2a+1y2﹣x3y3+x4y．
（1）求多项式中各项的系数和次数；
（2）若多项式是7次多项式，求a的值．
【答案】解：（1）﹣5x2a+1y2的系数是﹣5，次数是2a+3；
﹣x3y3的系数是：-，次数是6；
x4y的系数是：，次数是5；
（2）由多项式的次数是7，可知﹣5x2a+1y2的次数是7，即2a+3=7，
解得：a=2．
【解析】【分析】（1）根据多项式次数、系数的定义即可得出答案；
（2）根据次数是7，可得出关于a的方程，解出即可．
20．已知多项式①x2－2xy；②x2－4y2；③x2－4xy＋4y2．
（1）把这三个多项式因式分解．
（2）老师问：“三个等式①＋②＝③；①＋③＝②；②＋③＝①；能否同时成立 ”圆圆同学说：“只有当x＝y＝0时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立．”你认为圆圆同学的说法正确吗 为什么
【答案】（1）解：①x2-2xy=x(x-2y)；
②x2-4y2=(x+2y)(x-2y)；
③x2-4xy+4y2=(x-2y)2.
（2）圆圆同学的说法不正确，理由如下：
∵①＋②=③，=x2-4xy+4y2，
∴x2-2xy+x2-4y2=x(x-2y)+(x+2y)(x-2y)=2(x-2y)（x+y）=(x-2y)2，
即(x-2y)（x+4y）=0；
∵①＋③＝②，
∴x(x-2y)+(x-2y)2=(x+2y)(x-2y)，
整理得：(x-2y)（x-4y）=0；
∵②＋③＝①，
∴(x+2y)(x-2y)+(x-2y)2=x(x-2y)，
整理得：x(x-2y)=0；
∵上述3个等式同时成立，
∴x-2y=0，或x+4y=x-4y=x，
∴x=2y，或x=y=0.
故圆圆同学的说法不正确.
【解析】【分析】（1）由题意，根据提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式即可；
（2）根据题意列出对应的等式并结合（1）的结论整理分解因式，然后由三个等式同时成立分情况讨论即可判断求解.
21．如图所示，有若干张长方形卡片和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+
b2.
（1）需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张；
（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；
（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式.
【答案】（1）2；3；1
（2）如图所示，图形的面积为(2a+b)(a+b).
（3）2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b).
【解析】【解答】解：(1)∵面积等于
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张；
故答案为：2，3，1；
【分析】(1)直接由题意计算面积可得；
(2)拼接为长为2a+b，宽为a+b的长方形即可解题；
(3)由图形面积的两种表达形式可把多项式 分解因式.
22．化简：，然后从0、1、2三个数中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴，，
∴当时，原式．
【解析】【分析】先化简分式，再求出x=1，最后代入计算求解即可。
23．化简求值：，其中．
【答案】解：原式=
=
=
，
当x=时，
原式=
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将的值代入计算即可。
24．
（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1）；；；
（2）
（3）
．
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：
图1阴影部分的面积为：，
图2长方形的长为：，
图2长方形的宽为：，
图2长方形的宽为：，
故答案为：，，，；
（2）由题意，图1阴影面积和图2的面积相等，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据割补法求面积，结合正方形的面积公式得图1阴影部分的面积为，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论；
（2）图1阴影面积和图2的面积相等，结合（1）的结论，即可得解；
（3）根据平方差公式进行计算求解即可．
25．已知四边形ABCD，如果点D、C关于直线MN对称，
（1）画出直线MN
（2）画出四边形ABCD关于直线MN的对称图形．
【答案】（1）解：如图，直线MN即为所求
（2）解：四边形A′B′DC即为四边形ABDC关于直线MN的对称图形．
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质，作出CD的垂直平分线，即为所求作的直线MN；
（2）先找出点A、B关于直线MN的对称点A′、B′，然后与C、D顺次连接即可．
26．已知，求代数式的值．
【答案】解：原式，
由可得，
将代入原式可得，原式．
【解析】【分析】先将原式化为，进而代入即可求解。
27．某食品公司决定将一批花椒送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱花椒，且甲种货车装运箱花椒所用车辆与乙种货车装运箱花椒所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱花椒？
（2）如果这批花椒有箱，用甲、乙两种货车共18辆来装运，甲种货车每辆车刚好装满，乙种货车最后一辆只装了65箱，其他全部装满，求甲、乙两种货车各多少辆？
【答案】（1）解：设乙种货车每辆车可装x箱花椒，则甲种货车每辆车可装箱花椒，根据题意可得，
解得，
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答：甲种货车每辆车可装箱花椒，乙种货车每辆车可装箱花椒；
（2）解：设甲种货车m辆，则乙种货车辆，
解得，
则，
答：甲种货车辆，则乙种货车辆．
【解析】【分析】(1)设乙种货车每辆车可装x箱花椒，则甲种货车每辆可装(x+20)箱花椒，根据甲种货车装运1000箱花椒所用车辆与乙种货车装运800箱花椒所用车辆相等，列出分式方程，解方程即可求解.
(2)设甲种货车有m辆，则乙种货车有(18-m)辆，根据”甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一 辆只装了65箱，且这批花椒共1625箱“，列出一元一次方程，再解方程计算即可求解.
28．大正方形的边长为 4 厘米，小正方形的边长为 2 厘米，起始状态如图所示，现把小正方形以 1 厘米/秒的速度向右沿直线平移，同时大正方形以 1 厘米/秒的速度向左沿直线平移，设平移的时间为 秒，两个正方形重叠部分的面积为 平方厘米． 当 时，求平移的时间．
【答案】解：当S＝2时，重叠部分长方形的宽＝2÷2＝1cm，
①重叠部分在大正方形的左边时，t＝1÷2＝0.5秒，
②重叠部分在大正方形的右边时，t＝（4＋2 1）÷2＝2.5秒，
综上所述，小正方形平移的时间为0.5或2.5秒；
答： 平移的时间为0.5秒或2.5．
【解析】【分析】先求出重叠部分长方形的宽＝2÷2＝1cm，再分类讨论：①重叠部分在大正方形的左边时，②重叠部分在大正方形的右边时，再分别列出算式求解即可.
29．张老师在黑板上布置了一道题：
已知，求代数式的值，小白和小红展开了下面的讨论：
根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值．
【答案】解：小红的说法正确．
原式
当时，原式
【解析】【分析】先算括号中的完全平方式、平方差，展开后再合并同类项，最后算除法，即可得到结果.
30．2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
（1）根据题意，可列分式方程为
（2）求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】（1）解：
（2）解：0.2元。
【解析】【解答】解：
（1）根据题意可得：
故答案为：
（2）解方程
x+0.6=4x
3x=0.6
x=0.2
经检验是原方程的解。
答： 这款电动汽车平均每公里的充电费 是0.2元。
故答案为：0.2元。
【分析】
（1）200元的费用，电动车可行公里，燃油车可行公里，根据电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍． 列方程即可。
（2）去分母化为整式方程进行求解，再验根.
31．先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2
【答案】解：÷（﹣x﹣2）
＝
＝
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣2．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
32．列分式方程解应用题：今年植树节，某校师生到距学校20千米的公路旁植树，一班师生骑自行车先走，走了16千米后，二班师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度比自行车的速度每小时快60千米，求两种车的速度各是多少？
【答案】解：设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为（x+60）千米/时，
根据题意得： ，
解得：x=15（千米/时），
经检验，x=15是原方程的解．
则汽车的速度为： （千米/时），
答：汽车和自行车的速度分别是75千米/时、15千米/时．
【解析】【分析】设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为（x+60）千米/时，根据等量关系 ：一班师生骑自行车走4千米所用时间=二班师生乘汽车20千米所用时间，列出方程即可得解.
33．
（1）已知实数a，b满足求的值.
（2）已知实数a，b满足(4，求的值.
【答案】（1）解：∵a2+b2=13，a-b=1，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=13-2ab=1，
∴2ab=12
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25；
（2）解：∵（a+b）2=a2+b2+2ab=16，
（a-b）2=a2+b2-2ab=4，
∴（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）=16+4，
（a+b）2-（a-b）2=4ab=16-4=12.
∴a2+b2=10，ab=3，
∴a2+b2+ab=10+3=13.
【解析】【分析】 （1）由（a-b）2=a2+b2-2ab，求出ab的值，然后根据（a+b）2=a2+b2+2ab，即可解答；
（2）将已知条件两式分别展开后相加减即可得出a2+b2和ab的值，然后代入计算即可解答.
34．有一列式子：①，②，③r，④，⑤，⑥，⑦，⑧1
（1）请把上述各式的序号分别填入如图所示的相应圆圈内：
（2）填空：单项式中 的次数最高，次数是 ．
【答案】（1）解：填入的序号如图所示：
（2）⑦；
【解析】【解答】（1）填入的序号如图所示：
（2）单项式的有：③④⑦⑧，
③的次数为，④的次数为，⑦的次数为，⑧的次数为，
∴单项式中⑦的次数最高，次数是．
故答案为：⑦，
【分析】（1）根据代数式的定义、单项式的定义和多项式的定义进行分类，进而即可求解；
（2）根据（1）结合单项式的系数进行比较，进而即可求解。
35．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC和△A1B1C1在平面直角坐标系中位置如图所示．
（1）△ABC与△A1B1C1关于某条直线m对称，画出对称轴m．
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2．此时点A2的坐标为.求出点A1旋转到点A2的路径长．（结果保留根号）
【答案】解：（1）如图所示：直线m即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2的坐标为：（1，4），
点A1旋转到点A2的路径长为：．
故答案为：．
【解析】【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质结合网格得出对称轴m；
（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案，再利用弧长公式求出点A1旋转到点A2的路径长．
36．某校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少50元，用1500元购买足球的数量是用1000元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，则学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设每个足球x元，每个篮球元，
根据题意得：，
解得，
经检验是方程的根且符合题意，
，
答：每个足球75元，每个篮球100元．
（2）解：设买篮球m个，则买足球个，由题意得：，
解得．
∴ 最多购进篮球80个．
【解析】【分析】（1）根据“用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的2倍”数量关系列方程求解并检验即可；
（2）根据总费用不超过元列出一元一次不等式求解即可.
（1）解：设每个足球x元，每个篮球元，
根据题意得：，
解得，
经检验是方程的根且符合题意，
，
答：每个足球75元，每个篮球100元．
（2）设设买篮球m个，则买足球个，
由题意得：，
解得．
∴ 最多购进篮球80个．
37．如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（结果不化简）.
方法1： ；方法2： .
（2）观察图②，请写出，，三个式子之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值.
【答案】（1）；
（2）解：
（3）解：29
【解析】【解答】解：（1）由图①知：长方形的面积=2m×2n=4mn；
由图②知：阴影部分的面积=（m-n）2或（m+n）2-4mn；
故第1空答案为：（m-n）2；第2空答案为：（m+n）2-4mn；
（3）由（2）知： ，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=72-4×5=29.
【分析】（1）根据正方形面积计算公式可得阴影部分的面积为（m-n）2；又可以根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积求得阴影部分的面积；
（2）根据图形各部分之间的关系可得出 ：；
（3）利用（2）的结论，直接可求得的值.
38．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
【答案】（1）解：设第一次购进件文具，则第二次购进件．
依题意有 ，
解得：
经检验知是原方程的解，
∴，
即则第二次购进200件．
（2）解：由（1）知第一次购进文具的进价为：（元），
第二次购进文具的进价为：（元），
∴ 文具店老板在这两笔生意中共盈利：（元），
答：文具店老板在这两笔生意中共盈利1000元．
【解析】【分析】（1）基本关系：金额=价格乘以数量。设第一次购进件文具，则第二次购进件．得出第一次购进单价为，第二次购进单价为，根据“第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元”列出分式方程求解即可；
（2）先分别求出购进的单价，再根据总利润=第一次利润+第二次利润，列出算式进行计算．
39．解方程： ﹣ =1．
【答案】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x=﹣1
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可． 本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．
40． 如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上.小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院.小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院.已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院.
（1） 求停放点 A，B 之间的距离；
（2） 请分别求出小天和小台的骑车速度；
（3） 小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院.已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同.求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离.
【答案】（1）解： (米)
（2）解：设小台的骑车速度为x米/分，则小天的骑车速度为0.9x米/分，根据题意可列方程
，解得，
经检验是原分式方程的解且符合实际，\therefore ，
答：小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分.
（3）解：小天和小台从点P出发，到达点C所用的时间为15分钟，设AQ=y米，分三种情况考虑：
① 如图1，当点Q在AB之间靠近点A处时，则小山在点A处骑车，
由题意可列方程，解得，
此时AQ=140米，BQ=400米，符合题意
∴CQ = 3100米.
② 如图2，当点Q在AB之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车，
由题意可列方程，解得，
此时AQ = 260米，BQ = 280米，不符合题意，舍去。
③ 如图3，当点Q在BC之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车，
由题意可列方程，
解得，
此时AQ = 820米，BQ = 280米，符合题意
答：小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米
【解析】【分析】(1)根据题目中的步行速度和时间，计算出两人步行的总距离；
(2)设定变量并根据题目中的骑车速度关系和到达时间相同建立方程，解方程得到骑车速度；
(3)利用小山的步行速度和骑车速度，以及已知到达时间，建立方程求解小山出发点Q和电影院之间的距离.
41．已知a，b，c为实数，，求分式的值．
【答案】解：
，
解得
.
【解析】【分析】利用题干中的已知条件，先取倒数，再拆项求出，再通分求出的值最后再取倒数法可得答案.
42．如图1，一个长为2a，宽为26的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形。
（1）根据图1和图2，写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的一个等量关系 .
（2）利用（1）中的结论解决下列问题：2x-y=10，xy=12，求2x+y的值；
（3）如图3，正方形ABCD和正方形EFGH面积之和为58，点E、点F在边AB上，若AE+BF=4，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）(a+b)2=(a-b)2+4ab
（2）解：(2x+y)2=(2x-y)2+8xy= 196
∴2x+y=±14
（3）解：方法 1：设AB=x，EF=y，则x2+y2=58，x-y=4
∴（x-y)2=x2-2xy+y2=16
∴2xy=42
∴（x+y)2=(x-y)2+4xy=100
∴x+y=10
∴阴影部分面积=x2-y2=(x+y)(x-y)=40···
方法2：将图3转化为图2，则b=2，(a+2)2+(a-2)2=58
解得a=5，阴影部分面积=4ab=40.·
（其它解法酌情给分）
【解析】【分析】（1）由图2可以看出图中，中间的小正方形的边长为a-b，外面的大正方形的边长为a+b。
由图可知：大正方形面积=小正方形面积+4个长方形面积，即(a+b)2=(a-b)2+4ab.
（2）由（1）可知：a=2x，b=y.所以（2x+y）2=（2x-y）2+4×2x·y再由 2x-y=10，xy=12， 即可求出2x+y的值.
（3）设AB=x，EF=y，由已知可得：x2+y2=58，x-y=4。阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积=x2-y2.由（x-y）2=x2-2xy+y2，可得：xy=21. （x+y）2=（x-y）2+4xy=100，x+y=10.而阴影部分面积=x2-y2=（x+y）（x-y）=10×4=40即可.
43．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合，研究混合物的密度（物体的密度物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
（1）请用含，式子表示；
（2）比较，的大小，并通过运算说明理由；
（3）现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
【答案】（1）解：由题意得，，
则
（2）解：设选取的甲、乙两种溶液的质量都是，则
，
，．
（3）解：设需要加水，根据题意得：
去分母，得：，解这个整式方程，得．
经检验，是分式方程的解．
答：需要加水
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式，化简即可。
（2）先表示出，结合（1）得到的 ，利用求差法求得并化简分析即可。
（3）根据密度公式列出方程，解方程并检验即可。
44．如图①， “丰收1号”小麦试验田是边长为 a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a-1)m的正方形.两块试验田的小麦都收获了 500 kg.
（1）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， “丰收2 号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， ▲ 小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍
（2）在试验田四周(图②虚线部分)修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a 的值.
【答案】（1），，“丰收2号”
解：②因为”丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高，“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量低，
所以计算
，
即高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍
（2）解：“丰收1号”小麦试验田的周长为4am，总造价为1800元，那么其隔离网每米造价为元；
"丰收2号"小麦试验田的周长为4(a-1)m，总造价为3300元，那么其隔离网每米造价为 元.
已知“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，
可列出方程
，
解得：a=12，
经检验，当a=12时，4a=4×12=48≠0，4(a-1)=4×(12-1)-44≠0，所以a=12是原方程的解，且满足题意.
【解析】【解答】解：(1)①丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，根据正方形面积公式，其面积为边长为am的正方形面积减去边长为1m的正方形面积，即a2一12，已知总产量为500g，根据单位面积产量=总产量÷种植面积，可得“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，根据正方形面积公式，其面积为(a-1)2m。
已知总产量为500kg，同理可得“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为 kg/m2。
(a2-1)-(a-1)2=a2-1-(a2-2a+1)=a2-1-a2+2a-1=2a-2=2(a-1)，
因为a>1，所以2(a-1)>0，即a2-1>(a-1)2，
可得，
所以丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；
故答案为：，，“丰收2号”；
【分析】(1)①先分别求出两块试验田的面积，再根据单位面积产量=总产量÷种植面积，求出各自的单位面积产量；
②然后比较大小并计算倍数关系；
(2)根据“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每造价的2倍这一关系列出分式方程求解.
45．探索规律：
（1）尝试直接写出计算结果：
= 。
（2）由(1)的计算过程知， 可变形为 。
运用规律：
（3）解方程：
【答案】（1）
（2）
（3）解： .
→.
→
→
方程两边同时乘以，有
去括号，得.
合并同类项，x系数化为1，解得.
检验：观察原方程分母特点可知，将，分母均为正数.
故是原方程的解
【解析】【分析】（1）观察通项，故 .中间项抵消后，结果为；
（2）若尝试将拆分成与之差，可发现实际结果为，那么需要再乘以，才可以使结果变为；
（3）结合前两小问的思路，先化简方程左边，然后运用去分母法解分式方程并检验即可.
46． 已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】利用计算出，利用幂的乘方运算计算出(x-1)(y-1)的值，从而可求得结果.
47． 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，．
问题：
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：令①
将等式两边同时乘2得
②
②①得
（2）解：令4T=，
则T=，①
将等式两边同时乘3得
则3T=，②
由②-①得，
2T=，
则=4T=.
【解析】【分析】(1)类比参考材料解题思路，通过构造新的数，使得与原数相减消除中间项；
(2)此处需注意为形成材料中的结构需先对每一项提因数4，后同材料处理方式形成错位相减即可计算出结果；
48．在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
【答案】解：第一种情况以水平阴影两个正方形为对称轴，
第二种情况以水平阴影的两个正方形的铅直对称轴，
第三种情况以网格左上到右下对角线为对称轴，
在第一种对称轴上添加如图也可在2，3，4三个位置添加第5图，
，
在第三种情况添加第5个图形，也可在对称轴2，3，4位置添加.
【解析】【分析】轴对称图形特点是轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴， 为此，根据每项的条件先确定对称轴，然后作出对称图形即可.
49． 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：
.
（1） 判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）：
① ( ) ；
② ( ) .
（2） 若分式 的值为整数，求满足条件的所有整数 a 的值.
（3） 若分式 和 的值同时为整数，求满足条件的所有实数 x 的值.
【答案】（1）是；否
（2）解：因为的值为整数，所以为7的因数
，
而a为正整数，所以或者8
（3）解： 设(m为整数)，
则
为整数，为整数，
为1，7，-1，-7
当时，；
当时，，；
当时，，舍去；
当时，，舍去；
综上或.
【解析】【解答】解：（1）①，所以“是”；
②，所以“否”.
【分析】（1）①将原式根据题目例题变形并计算后进行判断即可；②将原式根据题目例题变形并计算后进行判断即可；
（2）将原式根据题目例题变形并计算，根据题意确定符合题意的正整数a即可；
（3）设 ，带入 后转化成关于m的分式，然后根据题目例题变形得到，然后讨论满足m，都是整数的值即可.
50．设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
【答案】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【解析】【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a，再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案．
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