中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期末·50道解答题专练】上海市数学八年级上册期末总复习
1．无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
2．计算： ．
3．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，如果已售旅游纪念品两周共获利1550元．问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？销售两周后，还剩下多少旅游纪念品未售出？
4．若0是关于x的方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．
5．已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为和，且满足，求实数的值．
6．如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点M、N，且∠1＝∠2，MO、NO分别平分∠BMF和∠END，试判断△MON的形状，并说明理由．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=15，AB=17，求AC的长．
8．兴华的书房面积为10.8 m2，她数了一下地面所铺的正方形地砖正好是120块，请问每块地砖的边长是多少？
9．如图，在四边形 中， ， ， ，且 ，试说明 为直角三角形.
10． 如图，，E是上的一点，且，，问：与全等吗？请说明理由．
11．解方程：
（1）3x（x﹣1）=2x﹣2
（2）x2+3x+2=0．
12．若a=1﹣，先化简再求+的值．
13．杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件．
（1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出 件文化衫，销售利润是 元；
（2）若每件文化衫的售价上涨x元（）．
①平均每天售出 ▲ 件文化衫（用含x的代数式表示）；
②若每天的销售利润恰好为27000元，且获利不超过35%，求x的值．
14．一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的点A处．升起云梯到发生火灾的窗口点C处．已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米．问发生火灾的窗口距地面有多少米？
15．化简：．
16．如图正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到 处，求出蚂蚁需要爬行的最短路径的长.
17．如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用34m长的栅栏围一个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋CEFG（图中阴影部分为羊的活动范围）．设AB=x m.
（1）BC的长为 m.（用含x的代数式表示）
（2）若羊的活动范围的面积为95m2，求AB的长．
（3）羊的活动范围的面积能否为130m2？若能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由．
18．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．
化简： ．
19．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
20．解关于x的方程：bx2﹣1=1﹣x2（b≠﹣1）．
21．我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则为”.
（1）的整数部分为 ，小数部分可以表示为 ；
（2）已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值.
22．已知关于的方程有两个不等实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两根为，且，求的值．
23．如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离．
24．一个三角形三边长的比为3：4：5，它的周长为60，求这个三角形的面积。
25．已知等腰三角形，，．
（1）若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值．
（2）若等腰三角形的底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长．
（3）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标．
26．已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|a+b|-|-3c|-|c-a|+|c+b-a|．
27．阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件，已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？
28．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取最小的正整数时，求方程的根．
29．如图，已知AC⊥BC，AC＝CB＝BD＝2，．
（1）求AB的长；
（2）求△ABD的面积．
30．已知关于x的方程
（1）求证：该方程总有两个实数根：
（2）记该方程的两个实数根为，，求代数式
（3）若，，比较M与N的大小.
31．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求 + 的值．
32．已知：的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
33．在计算的值时，小亮的解题过理如下：
（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出小亮是从步骤 (填序号)开始出错的.
（2）请你给出正确的解题过程.
34．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
的两个实数根，第三边长为5．
（1）试说明：方程必有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．
35．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋干的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
36．如图，在四边形ABCD中，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°．求四边形ABCD的面积．
37．把下列各数按要求分类：5.2，0，，，，，，，．
（1）写出所有的分数；
（2）写出所有的非负整数；
（3）写出所有的有理数．
38．如图，在△ABC中，∠C>∠B，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线.
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE 的度数；
（2）试探究∠DAE与∠B，∠C之间的数量关系，写出你的结论(不必证明).
39．如图，有一块长30 m、宽20 m的矩形田地，准备修筑同样宽的三条直路，把田地分成六块种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形田地面积的 ，求道路的宽为多少m？
40．当x的取值范围是不等式组 的解时，试化简：
.
41． 2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
42．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做"对垂四边形".
（1）如图1，四边形ABCD为"对垂四边形".求证：.
（2）如图2，是四边形ABCD内一点，连接AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点.若.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”
（3）如图，四边形ABCD为"对垂四边形"，，，求CD的长.
43．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
44．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 -1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。
又例如：
∵ < < ，即2< <3，
∴ 的整数部分为2，小数部分为( -2)．
请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 。
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b- 的值；
（3）已知：10+ =x+y，其中x是整数，且045．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根.如图，先画Rt，使，，再在斜边AB上截取，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.
（1）用含a，b的代数式表示AD的长.
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根？请说明理由.
46．如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ， ，试求 的值．
47．
（1）如图1，已知和为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
①求证：AD=BE.
②∠AEB的度数为 ▲ .
（2）如图2，若和为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，于点，连结BE.
①计算∠AEB的度数.
②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
48．【新知理解】如图1，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC，BC互为圆周率伴侣线段.
（1）若AC=3，则AB= .
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点(不同于点C)，则AC (填“=”或“≠”)BD.
【解决问题】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置.
（3）若点M，N是线段OC的圆周率点，求MN的长.
（4）在图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与以点O，C，D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数.
49．下图，在菱形中，，垂足为，为边的中点，．
（1）直接写出结果： ；
（2）求证：．
50．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE=BD，连接AE交BC于点F，交BD于点H．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：H是AF的中点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期末·50道解答题专练】上海市数学八年级上册期末总复习
1．无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
【答案】解：支付给春秋旅行社旅游费用为元，当旅游人数是时，元，低于元．
这次旅游超过了人．
假设这次旅游员工人数为人，根据题意列出方程得：
，
，
解得：，，
当时，符合题意
当时，不合题意，舍去
答：该单位这次共有员工去天水湾风景区旅游．
【解析】【分析】设这次旅游员工人数为人，根据总费用＝每人费用×人数列方程进行求解，要注意考查解的合理性。
2．计算： ．
【答案】解：原式= = -7.
【解析】【分析】考查二次根式的化简，0次幂，锐角函数值，负整数次幂.
3．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，如果已售旅游纪念品两周共获利1550元．问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？销售两周后，还剩下多少旅游纪念品未售出？
【答案】解：设单价降低x元销售，由题意得出：
200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）＝1550，
即800+（4﹣x）（200+50x）＝1550，
整理得：x2﹣1＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣1，
∴10﹣1＝9，600﹣200﹣250＝150
答：第二周的销售价格为9元．销售两周后，还剩下150个旅游纪念品未售出．
【解析】【分析】根据题意求出 200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）＝1550， 即可作答。
4．若0是关于x的方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．
【答案】解：∵0是关于x的方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，
∴m2+2m﹣8=0，
解得：m=2或﹣4，
①当m﹣2≠0，
∴m=﹣4，
∴原方程为：﹣6x2+3x=0，
△=b2﹣4ac=9＞0，
∴此方程有两个不相等的根．
﹣6x2+3x=0，
﹣3x（2x﹣1）=0，
解得：x=0或0.5，
②当m=2，
∴3x=0，
∴x=0．
【解析】【分析】根据一元二次方程解的性质，直接求出m的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．
5．已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为和，且满足，求实数的值．
【答案】（1）解：∵有实数根，
∴，
即：，
∴．
（2）解：根据题意可得：，，
当，则，
即，
，
解得：，，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得，再求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再结合，可得，再求解即可.
（1）解：∵有实数根，
∴，
即：，
∴．
（2）解：，，
当，则，
即，
，
解得：，，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴．
6．如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点M、N，且∠1＝∠2，MO、NO分别平分∠BMF和∠END，试判断△MON的形状，并说明理由．
【答案】解：△MON是直角三角形．
理由：∵∠1＝∠2，∠2＝∠END，
∴∠1＝∠END，
∴AB∥CD，
∴∠BMF+∠END＝180°．
∵MO、NO分别平分∠BMF和∠END，
∴∠3+∠4＝ （∠BMF+∠END）＝90°，
∴∠O＝90°，
∴△MON是直角三角形
【解析】【分析】根据两直线平行的性质定理得出两直线平行，同旁内角互补，从而得出 ∠BMF+∠END＝180° ；再根据角平分线的性质，从而得出 ∠3+∠4＝ （∠BMF+∠END）＝90° ；最后根据三角形内角和定理得出 ∠O＝90° 。
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=15，AB=17，求AC的长．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，AB=17，
∴AC= = =8．
【解析】【分析】根据题意直接利用勾股定理求出即可．
8．兴华的书房面积为10.8 m2，她数了一下地面所铺的正方形地砖正好是120块，请问每块地砖的边长是多少？
【答案】解：设每块地砖的边长为 m，由题意可得：
，
∴
∵ ，
∴ ，即每块正方形地砖的边长为0.3m.
【解析】【分析】根据题中的相等关系“ 120× 每块地砖的面积=书房面积”可列方程求解.
9．如图，在四边形 中， ， ， ，且 ，试说明 为直角三角形.
【答案】解：根据题意， 为等腰直角三角形，
∴
又∵ ，即
根据勾股定理逆定理所以 为直角三角形.
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC的长；再利用勾股定理的逆定理去证明AC2+AD2=CD2，由此可证得结论.
10． 如图，，E是上的一点，且，，问：与全等吗？请说明理由．
【答案】解：全等，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴．
【解析】【分析】根据等角对等边得到DE=CE，再根据全等三角形判定定理（HL）即可得证.
11．解方程：
（1）3x（x﹣1）=2x﹣2
（2）x2+3x+2=0．
【答案】解：（1）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，
（x﹣1）（3x﹣2）=0，
x﹣1=0或3x﹣2=0，
所以x1=1，x2=；
（2）（x+1）（x+2）=0，
x+1=0或x+2=0，
所以x1=﹣1，x2=﹣2．
【解析】【分析】（1）先变形得到3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
12．若a=1﹣，先化简再求+的值．
【答案】解：+
=+．
∵a=1﹣＜1，
∴原式=+=．
把a=1﹣代入得：
===（1+）2=3+2．
【解析】【分析】根据a=1﹣＜1，先把+化成最简二次根式，然后代入a的值即可得出答案．
13．杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件．
（1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出 件文化衫，销售利润是 元；
（2）若每件文化衫的售价上涨x元（）．
①平均每天售出 ▲ 件文化衫（用含x的代数式表示）；
②若每天的销售利润恰好为27000元，且获利不超过35%，求x的值．
【答案】（1）2010；16080
（2）解：①②【作答方式1】根据题意，得
解得（舍），．
答：x的值为10．
【作答方式2】
根据题意，得
解得，．
∵，∴．
∵不符合题意，∴符合题意．
答：x的值为10．
【解析】【解答】解：（1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出2100-30×（58-55）=2010（件）文化衫，销售利润=（58-50）×2010=16080（元）；
故答案为：2010，16080.
【分析】（1）利用日销量=2100-30×每件文化衫的售价上涨的钱数，每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，分别计算.
（2）①利用日销量=2100-30×每件文化衫的售价上涨的钱数即可求解；
②利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，列出方程并解之即可.
14．一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的点A处．升起云梯到发生火灾的窗口点C处．已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米．问发生火灾的窗口距地面有多少米？
【答案】解：由题意可得：DC= = =12（m），
则CH=DC+DH=12+2.2=14.2（m），
答：发生火灾的窗口距地面有14.2米．
【解析】【分析】利用勾股定理得出DC的长，进而求出HC的长．
15．化简：．
【答案】解：根据题意得 a≤0，
原式=6﹣a+（1﹣2a）+（﹣a）
=7﹣4a．
【解析】【分析】先根据二次根式的性质，确定a的取值范围为a≤0，再进行化简，即可解答．
16．如图正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到 处，求出蚂蚁需要爬行的最短路径的长.
【答案】解：当沿着平面ABB'A'、平面A'B'C'D'爬行时，
cm
当沿着平面 、平面 爬行时，
cm
因为 ＜ ，
所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 cm.
【解析】【分析】根据两点之间直线最短，可利用勾股定理求出最短路径。
17．如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用34m长的栅栏围一个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋CEFG（图中阴影部分为羊的活动范围）．设AB=x m.
（1）BC的长为 m.（用含x的代数式表示）
（2）若羊的活动范围的面积为95m2，求AB的长．
（3）羊的活动范围的面积能否为130m2？若能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）（32-2x）
（2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为S长方形ABCD-S正方形CEFG，
∴x（32-2x）-1=95，即x2-16x+48=0，
解得x1=12，x2=4，
∴AB的长为12m或4m；
（3）解：羊的活动范围的面积不能为130m2．理由如下，
依题意得：x（32-2x）-1=130，即2x2-32x+131=0，
∵Δ=（-32）2-4×2×131=-24＜0，
∴羊的活动范围的面积不能为130m2．
【解析】【解答】解：（1）依题意得AB=DC=x，EF=FG=1，
∵AB+DC+BC+EF+FG=34，
∴2x+BC+2=34，
∴BC=32-2x；
故答案为：（32-2x）；
【分析】(1)根据图形可知AB+DC+BC+EF+FG=34，故可得BC=32-2x；
(2)用S长方形ABCD-S正方形CEFG就是羊的活动面积，即x（32-2x）-1=95，求解即可；
(3)假设可以，建立关于x的一元二次方程，判断该方程有无解即得。
18．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．
化简： ．
【答案】解：由题意可知 ， ， ， ，
则
．
【解析】【分析】先判断出a、b、c的正负及大小，再判断绝对值中数的正负，去绝对值，化简，最后合并同类项。
19．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
【答案】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则有CD=14﹣x，
由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，
解之得：x=9，
∴AD=12，
∴S△ABC= BC AD= ×14×12=84
【解析】【分析】设BD=x，由CD=BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积．
20．解关于x的方程：bx2﹣1=1﹣x2（b≠﹣1）．
【答案】解：方程整理得：（b+1）x2=2，
即x2=（b≠﹣1，即b+1≠0），
若b+1＞0，即b＞﹣1，开方得：x=±=±；
若b+1＜0，即b＜﹣1，方程无解．
【解析】【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．
21．我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则为”.
（1）的整数部分为 ，小数部分可以表示为 ；
（2）已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值.
【答案】（1）2；
（2）解：，
，
的整数部分是1，
的整数部分为2，小数部分为，
的整数部分为1，小数部分为，
.
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴，即，
∴得整数部分为2，小数部分可表示为；
故答案为：2；；
【分析】（1）根据已知，由不等式性质可得，从而可得答案；
（2）根据估算无理数大小的方法分别估算出与得范围，进而根据不等式的性质即可求出 与 得整数部分与小数部分的值，从而得到a、b得值，最后再求和即可.
22．已知关于的方程有两个不等实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两根为，且，求的值．
【答案】（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：由一元二次方程根和系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，再整体代入方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：由一元二次方程根和系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴．
23．如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离．
【答案】解：根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，
OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），
根据勾股定理得：海里，
即3小时之后两客轮之间的距离90海里．
【解析】【分析】先求出OA和OB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
24．一个三角形三边长的比为3：4：5，它的周长为60，求这个三角形的面积。
【答案】解：∵三边长的比为3：4：5，它的周长是60cm，
∴三边长的比分别为：60× =15cm，60× =20cm，60× =25cm，
∵152+202=252，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是：15×20÷2=150cm2.
【解析】【分析】由三角形三边的比和周长可求得三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理即可判断
这个三角形是直角三角形， 则三角形的面积即可求解。
25．已知等腰三角形，，．
（1）若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值．
（2）若等腰三角形的底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长．
（3）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）解：，是关于的一元二次方程的两根，
，
，
；
（2）解：另两边的长是关于的一元二次方程的两根，
另两边的长之和，
周长；
（3）解：①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等，
，
，
，
顶点坐标为；
②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6，
当时，可得，
，
，
顶点坐标为；
综上所述：顶点坐标为或．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，a=5，进而即可得出b=3；
（2）由条件可知 等腰三角形的底边长为3， 且由根与系数的关系可知另两边之和为8，进而即可得出周长；
（3）①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等，可根据根的判别式为0，得出，进而得出，即可得出顶点坐标为；②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6，可得，解得，进而得出，即可得出顶点坐标为；综上所述，可得出顶点坐标为为或．
（1）解：，是关于的一元二次方程的两根，
，
，
；
（2）解：另两边的长是关于的一元二次方程的两根，
另两边的长之和，
周长；
（3）解：①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等，
，
，
，
顶点坐标为；
②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6，
当时，可得，
，
，
顶点坐标为；
综上所述：顶点坐标为或．
26．已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|a+b|-|-3c|-|c-a|+|c+b-a|．
【答案】解：由数轴得：a＞0＞b＞c，|c|＞|a|＞|b|
∴a+b＞0，-3c＞0，c-a<0，c+b-a<0，
原式=a+b+3c-(a-c)-(b+c-a)= a+b+3c-a+c-b-c+a=a+3c．
【解析】【分析】先根据数轴判断出a、b、c的大小，再判断出绝对值中数的正负，去绝对值，合并同类项。
27．阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件，已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？
【答案】解：设售价应定为x元，则每件的利润为（x-200）元，月销售量为100+ =（700-2x）件，
依题意，得：（x-200）（700-2x）=（300-200）×100，
整理，得：x2-550x+75000=0，
解得：x1=250，x2=300（舍去）．
答：售价应定为250元．
【解析】【分析】设售价应定为x元，则每件的利润为（x-200）元，月销售量为100+ =（700-2x）件，根据题意列出方程（x-200）（700-2x）=（300-200）×100，求解即可。
28．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取最小的正整数时，求方程的根．
【答案】（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
且，
且．
（2）解：且，m取最小的正整数．
．
当时，一元二次方程为：，
解得：，．
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
（2）根据最小正整数将m=1代入方程，再解方程即可求出答案.
（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
且，
且．
（2）且，m取最小的正整数．
．
当时，一元二次方程为：，
解得：，．
29．如图，已知AC⊥BC，AC＝CB＝BD＝2，．
（1）求AB的长；
（2）求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴AB的长为
（2）解：∵，，
∴，
∴△ABD是直角三角形，，
∴△ABD的面积
，
∴△ABD的面积为．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证出△ABD是直角三角形，，再利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
30．已知关于x的方程
（1）求证：该方程总有两个实数根：
（2）记该方程的两个实数根为，，求代数式
（3）若，，比较M与N的大小.
【答案】（1）证明：
∴该方程总有两个实数根
（2）解：由韦达定理得：，
∴代求式为：
=
=0
（3）解：
代入韦达定理得：
∴
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算得到，进而即可求解；
（2）由韦达定理得：，进而代入代数式计算即可；
（3）通过作差法比较M与N的大小，将M和N用根的表达式表示后化简差值，再分析其符号.
31．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求 + 的值．
【答案】解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴a+b=1，ab=﹣1，
∴ + = = =﹣1
【解析】【分析】由根与系数的关系可得出a+b=1、ab=﹣1，利用通分将 + 变形为 ，代入数据即可得出结论．
32．已知：的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是
∴，则，
∵的算术平方根是，
∴，则，
∵，即
∴的整数部分，
∴，，；
（2）解：由（）得，，，
∴，
∴的平方根为．
【解析】【分析】（）如果一个x的立方等于y，则x就是y的立方根，据此建立方程可求出a的值；如果一个正数x的平方等于y，则x就是y的算术平方根，据此建立方程可求出b的值；根据估算无理数大小的方法估算出得范围，即可求出c得值；
（）把（1）所求的a、b、c的值代入 计算出结果，进而根据平方根定义求出其平方公即可.
（1）∵的立方根是
∴，则，
∵的算术平方根是，
∴，则，
∵，即
∴的整数部分，
∴，，；
（2）由（）得，，，
∴，
∴的平方根为．
33．在计算的值时，小亮的解题过理如下：
（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出小亮是从步骤 (填序号)开始出错的.
（2）请你给出正确的解题过程.
【答案】（1）（3）
（2）解：原式===.
【解析】【解答】解：（1）第（3）步错误，和，经过化简后，根据二次根式的减法进行合并同类项，不是直接在根号内直接相减，所以错误；
故答案为：（3）.
【分析】根据二次根式的混合运算，先计算乘除法，再化简二次根式，最后合并同类项即可.
34．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
的两个实数根，第三边长为5．
（1）试说明：方程必有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：因为
所以方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：若AB=BC=5时， 5是方程： 的实数根，
把x = 5代入原方程， 得k = 3或k = 4.
由 (1) 知， 无论k取何值， > 0， 所以AB≠AC， 故k只能取3或4.
根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB+AC=2k+3，
当k=3时， AB+AC=9， 则周长是9+5 =14；
当k=4时， AB+AC=8+3=11.则周长是11+5=16，
△ABC的周长为14或16.
【解析】【分析】(1)若要证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明>0.
(2)此题要分两种情况进行讨论，若AB=BC=5时，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC时，则=0，列出关于k的方程，解出k的值即可.
35．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋干的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
【答案】解：m，m，
m，
在中，，m，
设秋千的绳索长为m，则m，
故，
解得：，
答：绳索的长度是5m．
【解析】【分析】设秋千的绳索长为m，则m，利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
36．如图，在四边形ABCD中，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°．求四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接AC，在Rt△ABC中，有AC2=AB2+BC2=42+32=25，又AC>0，∴AC=5∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2∴∠ACD=90°，S四边形ABCD= AB×BC+ AC×CD=36。
【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后利用S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC可解答。
37．把下列各数按要求分类：5.2，0，，，，，，，．
（1）写出所有的分数；
（2）写出所有的非负整数；
（3）写出所有的有理数．
【答案】（1）解：5.2，，，
（2）解：0，
（3）解：5.2，0，，，，，0.25555
【解析】【分析】（1）根据分数的定义逐个分析判断即可；
（2）根据非负整数的定义逐个分析判断即可；
（3）根据有理数的定义逐个分析判断即可.
（1）分数集合：{5.2，，，}，
（2）非负整数集合：{0，}，
（3）有理数集合：{ 5.2，0，，，，，0.25555}．
38．如图，在△ABC中，∠C>∠B，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线.
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE 的度数；
（2）试探究∠DAE与∠B，∠C之间的数量关系，写出你的结论(不必证明).
【答案】（1）解：
∵AE是角平分线，
∵AD是高，
=
（2）解：当时， 如图1，
根据三角形的内角和得，
∵AE是角平分线，
∵AD是 '的高，
当 时， 如图2，
同 的方法得出(
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出 再根据角平分线的定义求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 然后求解即可；
(2)分两种情况，利用(1)中的数据关系直接得出答案即可.
39．如图，有一块长30 m、宽20 m的矩形田地，准备修筑同样宽的三条直路，把田地分成六块种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形田地面积的 ，求道路的宽为多少m？
【答案】解：设道路宽为x米，则可列方程：
解得 （不符合实际，舍去）
答：道路的宽为2m.
【解析】【分析】设道路宽为x米，根据题意列方程并解方程即可.
40．当x的取值范围是不等式组 的解时，试化简：
.
【答案】【解答】解不等式组得 【解析】【分析】能够正确解不等式组求出x的范围，根据x的范围定出绝对值和根式的正负，从而化简根式。
41． 2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设月平均增长率为x，则：225＋225（1＋x）＋225（1＋x）2＝819，
解得：x1＝0.2，x2＝－3.2（舍去），
∴月平均增长率是20%．
（2）解： 设售价应降低y元，则： ，
解得：y1＝4，y2＝2（舍去），
∴若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低4元．
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程，并解出符合题意的 x 即可；
（2）设售价应降低y元，根据题意列出关于y的一元二次方程，并解出符合题意的 y 即可.
42．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做"对垂四边形".
（1）如图1，四边形ABCD为"对垂四边形".求证：.
（2）如图2，是四边形ABCD内一点，连接AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点.若.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”
（3）如图，四边形ABCD为"对垂四边形"，，，求CD的长.
【答案】（1）证明： (1) ∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
由勾股定理得，
（2）解：，
∴四边形ABCD为“对垂四边形”；
（3）解：过点A作 ，交CD延长线于点H，
设 则
∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
(舍去) ，)
∴CD的长度1.
【解析】【分析】(1) 由“对垂四边形”的定义得出， 则
，由勾股定理得 即可得出结论；
(2) 由三角形内角和定理可得 由角的数量关系可得 可得 可得结论；
(3) 过点A作 交CD延长线于点H，设 则 由“对垂四边形”的定义可得 由直角三角形的性质可求 由勾股定理可求解.
43．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E为AB的中点
∴CE=DE=AB.
∴△ECD是等腰三角形.
（2）解：过E作EG⊥CD
∵CE=DE
∴CD=2CG
∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点
∴ BE=CE=4， CE⊥AB.
∵ BF=1
∴EF =3，
∴在Rt△CEF中，CF=5
∴EG=
∴在Rt△CEG中，
∴CD=2CG=
【解析】【分析】（1）结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可证明；
（2）由题意得到等腰直角△CEB，求得EF长度，结合勾股定理求得CF长度，利用等面积法求得EG长度，从而得到CG，进而求解.
44．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 -1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。
又例如：
∵ < < ，即2< <3，
∴ 的整数部分为2，小数部分为( -2)．
请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 。
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b- 的值；
（3）已知：10+ =x+y，其中x是整数，且0【答案】（1）4； ﹣4
（2）解：∵2＜ ＜3， ∴a= ﹣2，
∵3＜ ＜4，
∴b=3，
∴a+b﹣ = ﹣2+3﹣ =1；
（3）解：∵1＜3＜4， ∴1＜ ＜2，
∴11＜10+ ＜12，
∵10+ =x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x=11，y=10+ ﹣11= ﹣1，
∴x﹣y=11﹣（ ﹣1）=12﹣ ，
∴x﹣y的相反数是﹣12+ ；
【解析】【分析】（1）根据题意，得出整数部分和小数部分。
（2）根据已知条件，可利用范围，得出结果。
（3）根据已知，进行运算，得出相反数。
45．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根.如图，先画Rt，使，，再在斜边AB上截取，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.
（1）用含a，b的代数式表示AD的长.
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根？请说明理由.
【答案】（1） b，
（2）解：线段 的长是一元二次方程 的一个正根.
理由如下：设 ， 则 .在 Rt 中， 由勾股定理， 得 ， 整理得 ， 线段 的长是一元二次方程 的一个正根.
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据AD=AB-BD，可求出AD的长.
（2）线段 的长是一元二次方程 的一个正根，将AD=x代入，可得到关于x，a，b的方程，将方程整理后可作出判断.
46．如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ， ，试求 的值．
【答案】解：∵ 平分 ，∴
平分 ，∴
又 ，∴
，∴
，∴
∵ ，∴ ，∴
【解析】【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，即可得到∠OBE=∠EOB，∠OCF=∠COF，根据等角对等边即可得到线段的相等，利用等量代换求出EF=BE+CF即可。
47．
（1）如图1，已知和为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
①求证：AD=BE.
②∠AEB的度数为 ▲ .
（2）如图2，若和为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，于点，连结BE.
①计算∠AEB的度数.
②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）①证明，如图：
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE；
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE.
②60°.
（2）解：①在题图2中，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB=∠BCE；
∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A，D，E在同一直载上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
②AE=BE+2CM；理由如下：
∵CD=CE，CM⊥DE于M，
∴DM=ME；
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
【解析】【解答】解：（1）②解：∵△ACD≌△BCE
∴∠ADC=∠BEC；
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°；
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.
故答案为：60°.
【分析】（1）①根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°可得CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°；推得∠ACD=∠BCE；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=BE.
②根据全等三角形的对应角相等可得∠ADC=∠BEC；根据等边三角形的性质可得∠CDE=∠CED=60°，求得∠ADC=∠BEC=120°；即可求解.
（2）①根据等腰直角三角形的底角所对的边相等可得CA=CB，CD=CE；推得∠ACD=∠BCE；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，对应角相等可得AD=BE，∠ADC=∠BEC；结合等腰直角三角形的性质即可推得∠BEC=135°；即可求解.
②根据等腰三角形底边上的中线，底边上的高，顶角的角平分线重合可得DM=ME；结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=ME=CM，即可求解.
48．【新知理解】如图1，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC，BC互为圆周率伴侣线段.
（1）若AC=3，则AB= .
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点(不同于点C)，则AC (填“=”或“≠”)BD.
【解决问题】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置.
（3）若点M，N是线段OC的圆周率点，求MN的长.
（4）在图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与以点O，C，D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数.
【答案】（1）3π+3
（2）=
（3）解：点C表示的数是π+1，由于点 M，N均为线段OC的圆周率点，不妨设点 M 离点O 近，且OM=x，
由题意可得：x+πx=π+1，
解得x=1，
∴MN=π+1-1-1=π-1.
（4）点D所表示的数是1，π
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴，
故答案为：3π+3.
（2）∵点D，C都是线段AB的圆周率点且不重合，
∴，.
设，，则，，
∵，
∴，
故，
即，
故答案为：=.
（4）设点D表示的数为m，
如图1，若CD=πOD，则π+1-x=πx，
解得：x=1；
图1
如图2，若OD=πCD，则x=π(π+1-x)，
解得：x=π；
图2
如图3，若OC=πCD，则π+1=π(x-π-1)，
解得：x=π++2；
图3
如图4，若CD=πOC，则x-(π+1)=π(π+1)，
解得：x=；
图4
综上所述，点D所表示的数是1，π，.
【分析】（1）根据题意先求出，再计算求解即可；
（2）根据题意先求出，，再求出，最后求解即可；
（3）根据题意先求出x+πx=π+1，再解方程求出x=1，最后求MN的长即可；
（4）根据点D在射线OC上，且线段CD与以点O，C，D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，分类讨论求解即可.
49．下图，在菱形中，，垂足为，为边的中点，．
（1）直接写出结果： ；
（2）求证：．
【答案】（1）3
（2）证明：延长交的延长线于点，
四边形为菱形，
，
，B，
为边的中点，
，
，
．
又，
，
．
【解析】【解答】解： (1)∴ABCD是菱形
∴AB=AD=6
∵，为边的中点，
∴中，EF是斜边中线
∴（直角三角形中斜边中线等于斜边一半）
故第一空填：3
【分析】（1）根据已知条件，可知EF是直角三角形中斜边上的中线，故EF可求；
（2） 看到求证，说明DF是角平分线，且DF垂直底边，我们想到等腰三角形的三线合一定理，因此我们求证存在等腰三角形，按照这个思路，引辅助线，补全图形；由上一问，易证F是底边中点，整理思路，求证即可。
50．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE=BD，连接AE交BC于点F，交BD于点H．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：H是AF的中点．
【答案】（1）证明：∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABD与Rt△CAE中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴CE＝AD；
（2）证明：由（1）知，CE＝AD，
∵AD＝CF，
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACE-∠ACB＝90°-45°＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝（180°-45°）＝67.5°，
∴∠AFB＝∠CFE＝67.5°，
∵∠AFB＝∠ACB+∠CAE＝45°+∠CAE，
∴∠CAE＝22.5°，
∴∠BAF＝90°-∠CAE＝67.5°，
∴∠BAF＝∠BFA＝67.5°，
∴BA＝BF，
由（1）知，∠CAE＝∠ABD＝22.5°，
∴∠FBD＝45°-22.5°＝22.5°，
∴∠ABD＝∠FBD，
∴AH＝FH，
∴H是AF的中点．
【解析】【分析】（1）从问题入手，线段相等通常证明线段所在三角形全等，按照这个思路找全等条件；直角三角形中，已知有2组边对应相等，可以应用HL定理；（2）要证明H是AF的中点，尝试证明三角形ABF是等腰三角形，试证BH是顶角平分线，则根据三线合一定理就可以证明H是AF的中点；根据已知线段相等的条件，等量代换，可求∠AFB＝∠CFE＝∠CEF＝67.5°根据同角的余角相等可求∠BAF＝67.5°，故可证明AB=AF，根据（1）全等的结论对应角相等也可证BH是顶角平分线，至此整理思路、书写证明过程。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
