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上海市2025—2026学年九年级上册期末模拟名校真题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4 B．1，2，3，4 C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
4．如图，在中，，中线，相交于点F，，交于点G，，则的长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
5．如图，梯子地面的夹角为 ，关于 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A． 的值越小，梯子越陡
B． 的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与 的函数值无关
6．如图，线段CD两个端点的坐标分别为 ， ，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为 ，则点A的坐标为
A． B． C． D．
7．若 且 ， ， ， 均为正数，则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．的相反数是（ ）
A． B． C．3 D．
9．如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在长方形ABCD中，DC=6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把三角形AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若三角形ABF的面积为24，那么CE长度为 cm2.
12．如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡AB=m，现将坡度为1：的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP.则新坡面AP= m.（结果保留根号）
13．已知在中，，，则的值是 .
14．某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.6m，同一时刻同一地点测得旗杆的影长是3m，则该旗杆的高度是 m．
15．抛物线的对称轴是直线 。
16．如图，在平面角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接.若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且的面积为18，则k的值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
18．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图.小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30° (A、B、D、E在同一直线上).然后，小明沿坡度i=1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF 正好与地面 CE 平行.
（1）求点F到直线CE 的距离(结果保留根号)；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，
19．已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
20．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tan α＝2，米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果保留根号）
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画一个△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比为2：1．
22．如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，BC=8，D是BC边上一点，且CD=2.
（1）求证：△ABC∽△DAC.
（2）求AC的长．
23．一个二次函数y=（k﹣1）．求当x=0.5时y的值？
24．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA BD=BC BE
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）如果AE=AC，求证：AC2=AD AB．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1） 求该抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，
求的最大值；
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上海市2025—2026学年九年级上册期末模拟名校真题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：cos45°= .
故答案为：B.
【分析】根据特殊角的三角函数值，直接作答即可.
2．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】如图所示
故选：C
【分析】根据平行线平分线段成比例定理，已知其中三条线段的长，可求第四条线段的长。
3．下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4 B．1，2，3，4 C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
【答案】A
【解析】【解答】解：A、1×4=2×2，符合题意；
B、1×4≠2×3，不符合题意；
C、3×13≠5×9，不符合题意；
D、1×3≠2×2，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据成比例线段的判断方法逐项判断即可。
4．如图，在中，，中线，相交于点F，，交于点G，，则的长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【解析】【解答】解：∵中线AD，BE相交于点F，
∴点F是的重心，BD＝CD，
∴AF＝2DF，
∵EGBC，
∴
∴，
∴，
∵EGBC，
∴，
∴，
∴DF＝2GF＝4，
∴AF＝2DF＝8，
∴AD＝DF＋AF＝4＋8＝12，
∵∠BAC＝90°，AD是的中线，
∴BC＝2AD＝24，
故答案为：D．
【分析】先证明，可得，求出DF＝2GF＝4，利用线段的和差求出AD的长，再根据∠BAC＝90°，AD是的中线，可得BC＝2AD＝24。
5．如图，梯子地面的夹角为 ，关于 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A． 的值越小，梯子越陡
B． 的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与 的函数值无关
【答案】B
【解析】【解答】解：A、sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故此选项错误；
B、cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故此选项正确；
C、梯子的长度不能决定倾斜程度，故此选项错误；
D、梯子倾斜程度与∠A 的函数值有关，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据正弦三角函数的性质判断A；根据余弦三角函数的性质判断B；倾斜度跟梯子的长度无关，而跟梯子的函数值有关，即可判断C、D.
6．如图，线段CD两个端点的坐标分别为 ， ，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为 ，则点A的坐标为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），
∴ ，
∴位似比为 ，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（3，6）.
故答案为：D.
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出A点坐标.
7．若 且 ， ， ， 均为正数，则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】由 且 ， ， ， 均为正数，
可得： ，故A符合题意，
∴ ，故 B符合题意，
∴ ，故 D符合题意，
不能得出 ，故 C不符合题意，
故答案为：C．
【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据成比例线段的定义解答即可。
8．的相反数是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．
9．如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】作CM⊥AB于M，
∵AC=BC=25，AB=30，
∴MA=MB=15，CM==20，
又∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠CMB，
又∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△CBM，
∴==，
又∵BD=x，BC=25，CM=20，MB=15，
∴==，
∴DE=x，BE=x，
∴AD=AB-BD=30-x，CE=CB-BE=25-x，
∴CACED=AD+DE+EC+CA=30-x+x+25-x+25=80-x，
即y=80-x.
又∵0x30，
∴图像为A.
故答案为：A.
【分析】作CM⊥AB于M，由等腰三角形的性质得出MA=MB=15，由勾股定理得出CM=20，根据相似三角形的判定得出△DBE∽△CBM；由相似三角形的性质得出DE=x，BE=x，AD=30-x，CE=25-x，根据四边形的周长得出y=80-x.从而得出其函数图象.
10．如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过O作MN∥BC交AB于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E
∵O是△ABC的重心，
∴，D是BC中点
∴BD=CD，
∵MN∥BC
∴
∴，
∴
∵ME∥AB
∴
∴
∴
设
∴
∴
∴
∵x为定值
∴当y越小时值越大
∴当时最大，此时GH∥BC
故答案为：A.
【分析】过O作MN∥BC交AN于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E，根据三角形重心的性质得BD=CD，，证得，利用AAS证，根据全等三角形性质得，设可得故=，，即得，由于x为定值，当y越小时比值越大，可得当y=0时比值越大.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在长方形ABCD中，DC=6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把三角形AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若三角形ABF的面积为24，那么CE长度为 cm2.
【答案】
【解析】【解答】∵矩形ABCD，
∴AB=CD=6cm，∠B=∠C=∠D=90°，
∵S△ABF= AB·BF= ×6BF=24，
∴BF=8，
由折叠可得∠AFE=∠D=90°，DE=EF，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∵∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
∵在△ABF与△FCE中，
，
∴△ABF∽△FCE，
∴ = ，
∴ = ，
设CE=4xcm，CF=3xcm，则EF=ED=5xcm，
∴6=5x+4x，
∴x= ，
∴CE= cm.
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得出AB=CD=6cm，∠B=∠C=∠D=90°，根据三角形的面积可以算出BF的长，由折叠可得∠AFE=∠D=90°，DE=EF，根据同角的余角相等得出∠EFC=∠BAF，从而判断出△ABF∽△FCE，根据U型输送机械的对应边成比例得出 = ，进而得出 = ，设CE=4xcm，CF=3xcm，则EF=ED=5xcm，根据DC=DE+EC建立方程，求解得出x的值，从而得出答案。
12．如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡AB=m，现将坡度为1：的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP.则新坡面AP= m.（结果保留根号）
【答案】
【解析】【解答】解：设AE=a，则BE=，
∵AB的坡度为1：，AB=，
∴AB=，
解得：a=8，
在Rt△APE中，坡度为1：2，
∴PE=2a，
∴AP=，
故答案为：.
【分析】设AE=a，则BE=，利用坡度比可得AB=，求出a的值，再求出AP=即可.
13．已知在中，，，则的值是 .
【答案】
【解析】【解答】
解：如图所示：
∵在中，，，
∴ AB=
∴ cosA=
【分析】本题考查锐角三角函数--余弦，根据AC=2BC，得AB=，根据余弦的定义可得答案。
14．某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.6m，同一时刻同一地点测得旗杆的影长是3m，则该旗杆的高度是 m．
【答案】8
【解析】【解答】解：设该旗杆的高度为xm，
根据题意，得1.6：0.6＝x：3，
解得x＝8．
即该旗杆的高度是8m．
故答案为：8．
【分析】根据相似三角形对应边成比例式得到比例式即可求解。
15．抛物线的对称轴是直线 。
【答案】x=-1
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是直线x=-1.
故答案为：x=-1
【分析】利用二次函数的顶点式：y=a（x-h）2+k，可知此抛物线的对称轴为直线x=h，即可求解.
16．如图，在平面角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接.若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且的面积为18，则k的值为 .
【答案】12
【解析】【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.
∵AN∥FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∴FM= AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON=S△FOM= ，
∴ ON AN= OM FM，
∴ON= OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME= OE，
∴S△FME= S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
∴S△EOF= S△AOE=9，
∴S△FME= S△EOF=3，
∴S△FOM=S△FOE-S△FME=9-3=6= ，
∴k=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M，根据平行线分线段成比例可得FM= AN，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AON=S△FOM= ，从而求出ON= OM，即得ME= OE，可求出S△FME= S△FOE，易证AE∥BD，可得S△ABE=S△AOE=18，从而求出
S△EOF= S△AOE=9，S△FME= S△EOF=3，根据S△FOM=S△FOE-S△FME即可求解.
，
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
【答案】解：原式
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据0指数幂的性质、二次根式的性质及绝对值的性质分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图.小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30° (A、B、D、E在同一直线上).然后，小明沿坡度i=1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF 正好与地面 CE 平行.
（1）求点F到直线CE 的距离(结果保留根号)；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，
【答案】（1）解：过点F作FG⊥CE于点G，
∵DF||CE
∴DF⊥AE，DE⊥CE
∴DEGF为矩形
∴GF=DE
在△CDE中，，
而CE=6，则DE=，即GF=，F到CE的距离为6米.
（2）解：由(1)知FG=，在△CFG中，，即，得GC=米，
DF=EG=6+，而∠AFD=45°，故AD=FD=6+
在△BCE中，，即，得BE=米，
得BD=BE-BD=米，
故AB=AD-BD=6+-米.
【解析】【分析】(1)FG⊥CE于点G，知GF=DE，在△CDE中，利用∠DCE的正切值可得DE的长，即得GF的长；
(2)在△FCG中，利用坡比知GC的长，由此可得DF的长，在△ADF中，可得AD的长，同时在△BCE中，利用BCE的正切值可得BE的长，可得BD的长，即可得AB的长.
19．已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）∵，
∴==；
（2）∵，
∴设a=3k，则b=2k，
∴===．
【解析】【分析】（1）由比例的性质容易得出结果；
（2）设a=3k，则b=2k，代入计算化简即可．
20．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tan α＝2，米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果保留根号）
【答案】（1）解：∵AF||CM，
∴∠ACM=∠BAC=α
∴tan∠ACM=tanα=2，即
∴CM=50
∴AM=m
（2）解：如图，过点B作BN⊥CD于点N，
∵ABNM为矩形
∴BN=AM=m，MN=AB=50m，
∴CN=CM-MN=(50-50)m
∵∠BDN=∠FBD=30°
∴tan∠BDN=，即，得DN=300m，
∴CD=DN-CN=300-(50-50)=(350-50)m
即CD=米.
【解析】【分析】(1)由平行知∠ACM=α，在△ACM中，由tanα=2可得AM的长；
(2)过点B作BN⊥CD于点N，可得BN和MN的长，求出CN的长，在△BND中，可得DN的长，即可得CD的长.
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画一个△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比为2：1．
【答案】解：（1）如图1：
（2）如图2：
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，将三个顶点分别向上平移三个单位即可；
（2）找到一个点，如点O为位似中心，使得对应点到位似中心的距离之比为2：1即可．
22．如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，BC=8，D是BC边上一点，且CD=2.
（1）求证：△ABC∽△DAC.
（2）求AC的长．
【答案】（1）证明：∵∠C=∠C，∠CAD=∠B
∴△ABC∽△DAC
（2）解：∵△ABC∽△DAC
∴=
∵CD=2，BC=8
即=
∴AC=4
【解析】【分析】（1）利用∠C=∠C，∠CAD=∠B，可证出△ABC∽△DAC；
（2）利用相似三角形的性质可得 =，再将数据代入可得 = ，再求出AC的长即可.
23．一个二次函数y=（k﹣1）．求当x=0.5时y的值？
【答案】解：
由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
把k=2代入y=（k﹣1）得：y=x2+2x﹣1，
当x=0.5时，y=．
【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，再解即可；
根据k=2的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值．
24．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA BD=BC BE
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）如果AE=AC，求证：AC2=AD AB．
【答案】（1）证明：∵BA BD=BC BE．
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA
（2）证明：∵BA BD=BC BE．
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴，
∵AE=AC，
∴，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠B=∠ACD.
∵∠BAC=∠BAC
∴△ADC∽△ACB，
∴.
【解析】【分析】（1）由两边对应成比例，且夹角（公共角∠B）相等，论证两三角形相似；
（2）由两边对应成比例，且夹角相等论证△ABE∽△CBD，由相似三角形可得∠BAE=∠BCD，利用角的和差，以及三角形外角性质，可以判定，再加公共角，可以论证△CAD∽△BAC，由相似三角形的性质可得结论。
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1） 求该抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，
求的最大值；
【答案】（1）解：直线与坐标轴交于A、B两点，
当时，，当时，，
，，
将A、B代入抛物线，得
，解得，
抛物线的解析式为：．
（2）解：∵抛物线的解析式为：．
∴当时，解得，
∴，
∴抛物线的对称轴为，
∵点关于对称，连接交对称轴于点M，
∴，此时取得最小值，
∴当时，，
∴；
（3）解：过点P作交直线于点E，则，
设点，
，
，
，
代数式，当时有最大值，
的最大值为．
【解析】【分析】（1）利用一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标；再将点A、B的坐标代入二次函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用二函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点C的坐标，利用二次函数的对称性，连接交对称轴于点M，可知MC+MB=AB，此时MC+MB的最小值就是AB的长，将x=-1代入一次函数解析式，可求出点M的坐标.
（3）过点P作交直线于点E，则，利用相似三角形的性质可证得对应边成比例，可得到，设点，可表示出点E的坐标，同时可得到PE的长，代入可得到与m的函数解析式，再利用二次函数的性质可求出的最大值.
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