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【决战期末·50道填空题专练】上海市数学九年级上册期末总复习
1．如图，在Rt中，.若，则的值是 .
2．若 ，则 ＝ .
3．如图，已知直线，直线m、n分别与直线、、分别交于点A、B、C、D、E、F，若，，则的值为 ．
4．如图，在中，，则 .
5．已知，则 ．
6．如图，在 中对角线 ， 交于点O， 平分 ，交 于点E，交 于点F，若 ，则 ．
7．如图，已知 ∽ ， ，则 的长为 .
8．△ABC 是直角三角形， ，则 AC 的长为
9．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为 米（结果保留根号）．
10．已知m：n=3：5，则 ．
11．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD= ．
12．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， (如图)，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别记为A′、B′，A′B′与边AB相交于点E．如果A′B′⊥AC，那么线段B′E的长为 ．
13．如图， 在平面直角坐标系中， 与y轴交于点 ，已知点 ， ， ， 是线段 上一点，连接 ，若 与 相似，则 的长为 ．
14．如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 mm．
15．如图，点D，E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝2，AE＝3，BC＝6，则AB的长为 ．
16．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE//BC交AC于点E，将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置.则图2中的值为 .
17．已知 ，且 ，则 ．
18．边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P做PF⊥DE，当运动时间为 秒时，以点P、F、E为顶点的三角形与△AED相似
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA= .
20．在 中，点D、E分别在边AB、AC上，AB=12，AC=16，AE=4，若 与 相似，则AD= ．
21．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m=2 ， n=8 ， y=4．则线段x的长是 ．
22．如图，在直角坐标系中， OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）.以点O为位似中心，在第三象限内作与 OAB的位似比为 的位似图形 OCD，则点C的坐标为 .
23．将函数f（x）的图象上每个点的横、纵坐标都乘以﹣1，所得的新函数记作g（x），我们称f（x）与g（x）互为位似函数．则函数y＝3x2﹣1的位似函数是 ．
24．如图，菱形的边长为8，E为的中点，平分交于点F，过点F作，交于点G，若，则的长为 ．
25．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线 、 于点A、B、C和点D、E、F．如果 ，DF=15，那么线段DE的长是 ．
26．如图，∠ABC=90°， P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB，AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ， 连结QE并延长交BP于点F， 若FQ=6， AB=2，则BP=
27．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是 ，沿斜坡走 米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为 ，且斜坡AF的坡比为1：2.则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为 米；大树BC的高度为 米（结果保留根号）.
28．如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．
29．如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE= °(点A，B，C，D，E是网格线交点).
30．如图，在中，为上一点，且，若在边上取点，使与相似，则的长为 ．
31．如图，CD是平面镜，于点于点，且，．光线从点出发经CD上点反射后照射到点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），则的值为 .
32．如果函数y=（a﹣1）x2是二次函数，那么a的取值范围是 ．
33．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为 ．
34．计算：2sin45°cos45°= ．
35．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为 .
36．如图，已知在中，，，，点是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，连接，如果，设与边交于点，那么的值是 ．
37．如图，在△ABC中，，垂足为D．若，，，则的值为 ．
38．如图所示，在 中， ，对角线 ， 交于点O，点E在 的延长线上，且 .连接 交 于点F，则 .
39．如图，斜坡 长为100米，坡角 ，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡 改造成坡度 的斜坡 （ 、 、 三点在地面的同一条垂线上），那么由点 到点 下降了 米（结果保留根号）
40．如图所示，在中，，，，，，则为 ．
41．如图，点D是等边 边 上一点，将等边 折叠，使点A与点D重合，折痕为 （点E在边 上）.
（ 1 ）当点D为 的中点时， ；
（ 2 ）当点D为 的三等分点时， .
42．如图，在 ， ， ，直线 经过原点O， 交x轴于点D， ，若反比例函数 经过A，B两点，则k的值为 .
43．如图，点A(-1，0)，点P是射线AO上一动点(不与O点重合)，过点P作直线y=x的平行线交y轴于C，过点P作x轴的垂线交直线y=x于B，连结AB，AC，BC。
（1）当点P在线段OA上且AP=PC时，AB：BC= ；
（2）当△ABC与△OPC相似时，P点的横坐标为 。
44．如图，中，，在的延长线上截取，连接，过点作于点，交于点，连接，点为射线上一个动点，若，，当与相似时，的长为 ．
45．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DFEC的面积之比是 ．
46．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝ ，点E在CD边上，DE＝2，连接BE，F是BE边上的一点，过点F作FG⊥AB于G，连接DG，将△ADG沿DG翻折的△PDG，设EF＝x，当P落在△EBC内部时（包括边界），x的取值范围是 .
47．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为
48．如图在矩形中，是上一点，连结，过作于点．将向右下方向平移到的位置，在上，四边形向左下方向平移到四边形的位置．若重新组成的矩形与矩形全等，则的长为 ．内有一点，平移后对应点为点，若是矩形的中心，则点到的距离为 ．
49．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD上，且DE=CD，连接OE，∠ABE= ∠ACB，若AE=2，则OE的长为 .
50．如图，在矩形 中， ， ，将 沿射线 平移长度 得到 ，连接 ， ，则当 是直角三角形时，a的长为 .
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【决战期末·50道填空题专练】上海市数学九年级上册期末总复习
1．如图，在Rt中，.若，则的值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：
设BC=3k，AB=4k
AC=
=
故答案为：.
【分析】由题意可知，设BC=3k，AB=4k，则AC=， =。
2．若 ，则 ＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：x设＝7k，y＝3k，
∴ ＝ ＝ .
故答案为： .
【分析】根据比例的性质可设x＝7k，y＝3k，再代入原式进行化简，即可得出答案.
3．如图，已知直线，直线m、n分别与直线、、分别交于点A、B、C、D、E、F，若，，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，然后将已知条件代入即可算出答案.
4．如图，在中，，则 .
【答案】4
【解析】【解答】解： ，
∵，，
∴∽，
∴
，
∴
故答案为：4.
【分析】由已知条件可得AB=AD+BD=8，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
5．已知，则 ．
【答案】3
【解析】【解答】∵，
∴a=b，
∴，
故答案为：3.
【分析】先利用求出a=b，再将其代入计算即可.
6．如图，在 中对角线 ， 交于点O， 平分 ，交 于点E，交 于点F，若 ，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD BC，OD＝ BD
∴∠DAE＝∠BFE
∵ BE＝BF
∴△BEF是等腰三角形
∴∠BEF＝∠BFE
∴∠DAE＝∠BEF
∵∠BEF＝∠AED
∴∠DAE＝∠AED
∴△ADE是等腰三角形
∴AD＝DE
∵∠AED是△ABE的外角
∴∠AED＝∠ABE＋∠BAE
∵ 平分
∴∠BAE＝∠CAE
∴∠AED＝∠ABE＋∠CAE
∵∠AED＝∠DAE＝∠OAD＋∠CAE
∴∠ABE＝∠OAD
∵∠ADO＝∠BDA
∴△ADO∽△BDA
∴
设AD ＝x，则DE＝AD＝x，BD＝DE＋BE＝x＋2，
∴
解得x1＝ ，x2＝ （不合题意，舍去）
∴ x＝
∴AD＝
故答案为：
【分析】先证明△ADO∽△BDA可得，设AD ＝x，则DE＝AD＝x，BD＝DE＋BE＝x＋2，可得，再求出x的值，即可得到AD的长。
7．如图，已知 ∽ ， ，则 的长为 .
【答案】8
【解析】【解答】∵△ACP∽△ABC，
∴ ，
∵AC=4，AP=2，
∴ ，
∴AB=8，
故答案为8．
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，代入已知数据，求出AB即可.
8．△ABC 是直角三角形， ，则 AC 的长为
【答案】2 或
【解析】【解答】解：若 则 ，
若 则
故答案为：2 或
【分析】分为 或 两种情况，根据正切或正弦的定义解答即可.
9．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为 米（结果保留根号）．
【答案】100
【解析】【解答】如图，
连接AN，由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'
∴AN=A'N，
∴∠ANB=∠A'NB=45°，
∵∠AMB=22.5°，
∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，
∴AN=MN=200米，
在Rt△ABN中，∠ANB=45°，
∴AB= AN=100 （米），
故答案为100 ．
【分析】构造直角三角形，利用三角函数的边角关系即可求出.
10．已知m：n=3：5，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵m：n=3：5，
∴设m=3k，n=5k，
∴ =（3k+5k）：3k= ．
故答案为： ．
【分析】利用比例的性质，采用设k法，再计算即可。
11．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD= ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接BC，
∴∠D=∠A，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=3×2=6，AC=2，
∴cosD=cosA=．
故答案为：．
【分析】连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A，在直角三角形ABC中，根据余弦的定义即可得到结果．
12．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， (如图)，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别记为A′、B′，A′B′与边AB相交于点E．如果A′B′⊥AC，那么线段B′E的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设A′B′交AC于F．
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， ，
∴AC＝6，BC＝8，
∵CF⊥A′B′，
∴，
，
∵EF∥CB，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】设A′B′交AC于F，由△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， ，得出AC＝6，BC＝8，利用勾股定理得出A'F的值，得出EF的值即可。
13．如图， 在平面直角坐标系中， 与y轴交于点 ，已知点 ， ， ， 是线段 上一点，连接 ，若 与 相似，则 的长为 ．
【答案】2或4
【解析】【解答】如图，
∵A(1，4) ， C(3，0) ， D(0，3) ，
∴ ， ， ，
；
∴ 是直角三角形
∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），
∽
∴
∴ =1
∴
当 时，CM=2；当 时CM=4，
故答案为：2或4．
【分析】先求出 是直角三角形，再求出，最后求解即可。
14．如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 mm．
【答案】48
【解析】【解答】解：设该正方形的边长是a，则正确得式子=
【分析】设该正方形的边长是a，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解。
15．如图，点D，E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝2，AE＝3，BC＝6，则AB的长为 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴ ，
∴AB＝ ，
又∵DE＝2，AE＝3，BC＝6，
∴AB＝ ＝9，
故答案为9．
【分析】由角角相等证明△ABC∽△AED，其性质求得AB的长为9．
16．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE//BC交AC于点E，将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置.则图2中的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解： ∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6 ，
∴AC==10，
∵ DE//BC ，
∴，
∵将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置 ，
∴∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，
即∠DAB=∠EAC，
∴△ADB∽△AEC，
∴.
故答案为：.
【分析】由勾股定理求出AC=10，利用平行线分线段成比例可得，由旋转的性质可得∠DAB=∠EAC，从而可证△ADB∽△AEC，再利用相似三角形的性质即可求解.
17．已知 ，且 ，则 ．
【答案】38
【解析】【解答】解：由 可设 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：38．
【分析】由 可设 ，然后代入，求出k值即可得出a，b，c的值，然后代入代数式计算即得.
18．边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P做PF⊥DE，当运动时间为 秒时，以点P、F、E为顶点的三角形与△AED相似
【答案】1或
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，PF⊥DE，
∴∠A=∠DFP=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠EDP=∠EDP+∠DPF=90°，
∴∠ADE=∠FPD，
∴△ADE∽△FPD.
（ 1 ）如图1，
当∠DPE=90°时，易得△FPD∽△FEP，则△ADE∽△FEP，
此时四边形AEPD是矩形，
∴DP=AE=1，
∴t=1，即当t=1时，△ADE∽△FEP；
（ 2 ）如图2，
当DP=EP时，易得△FPE≌△FPD，则△FEP∽△ADE，
此时四边形AEHD是矩形，
∴DH=AE=1，HP=x-1，HE=AD=2，
∴PE2=HE2+HP2=PD2，
∴ ，解得： ；
综上所述，当 或 时，以点P、F、E为顶点的三角形与△AED相似.
故答案为：1或 .
【分析】由题意知，不论点P运动到何处，易证得△ADE∽△FPD，所以只需△FEP与三角形FPD相似或全等即可。由题意可分两种情况：（1）当∠DPE=90°时，易得△ADE∽△FEP，可得比例式求解；（2）当DP=EP时，易得△FPE≌△FPD，则△FEP∽△ADE，于是可得比例式求解。
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA= .
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB= =13，
∴sinA= ．
故答案为 ．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，早已锐角三角函数关系，即可得出答案。
20．在 中，点D、E分别在边AB、AC上，AB=12，AC=16，AE=4，若 与 相似，则AD= ．
【答案】 或
【解析】【解答】如图
∵∠DAE=∠BAC，
∴当△ADE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得：AD=3，
∴当△AED∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得：AD= ，
故答案为： 或
【分析】分情况讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC时，再利用相似的性质得到对应边成比例列出比例式求解即可。
21．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m=2 ， n=8 ， y=4．则线段x的长是 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵m：n=2：8=1：4，
∴x：y=1：4，
∵y=4，
∴x=1．
故答案为1．
【分析】因为四条线段成比例，可根据前两条线段，确定其比例，进而求出x的值．
22．如图，在直角坐标系中， OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）.以点O为位似中心，在第三象限内作与 OAB的位似比为 的位似图形 OCD，则点C的坐标为 .
【答案】 ，
【解析】【解答】解： 以点 为位似中心，在第三象限内作与 的位似比为 的位似图形 ， ，
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
点 的坐标为 ， ，
故答案为： ， .
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上点（x，y）对应的位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此解答即可.
23．将函数f（x）的图象上每个点的横、纵坐标都乘以﹣1，所得的新函数记作g（x），我们称f（x）与g（x）互为位似函数．则函数y＝3x2﹣1的位似函数是 ．
【答案】y＝﹣3x2+1
【解析】【解答】解：∵将函数的图象上每个点的横、纵坐标都乘以，所得的新函数记作，我们称与互为位似函数，
∴函数的位似函数是：，
即．
故答案为： y＝﹣3x2+1 .
【分析】根据“位似函数”函数的定义作答．
24．如图，菱形的边长为8，E为的中点，平分交于点F，过点F作，交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作垂直于H，延长和交于点M，
菱形的边长为8，
，
，
，
为的中点，
，
，
是的垂直平分线，
，
，，
又，
∴，
，
设，
平分，
，
又，
，
，则，
则，，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】作垂直于H，延长和交于点M，先证是的垂直平分线，再证，可得
，设，由平分和可得，则，，由可知，，解之可得答案。
25．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线 、 于点A、B、C和点D、E、F．如果 ，DF=15，那么线段DE的长是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
解得： ，
故答案为：6.
【分析】由平行得比例，求出 DE 的长即可．
26．如图，∠ABC=90°， P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB，AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ， 连结QE并延长交BP于点F， 若FQ=6， AB=2，则BP=
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，连接EP，过点E作EM⊥BC
∵△AEB，△APQ是等边三角形
∴AB=AE=BE=，AQ=AP，∠ABE=∠BAE=∠QAP=60°=∠AEB
∴∠BAP=∠QAE
在△ABP和△QAE中，
∴△ABP≌△QAE（SAS）
∴QE=BP，∠AEQ=∠ABP=90°
∵∠AEQ=∠ABC=90°，∠ABE=∠AEB=60°
∴∠BEF=∠EBF=30°
∴BF=EF，∠EFM=60°
∵EM⊥BC
∴∠FEM=30°
∴EF=2FM=BF，EM=FM
∵∠EBM=30°，EM⊥BC
∴BE=2EM，BM=EM
∵EB=2
∴EM=，BM=3
∵BF+FM=BM
∴FM=1，BF=EF=2
∵QF=EQ+EF
∴EQ=6 2=4
∴BP=EQ=4
故答案为：4.
【分析】连接EP，过点E作EM⊥BC，根据等边三角形的性质可得AB=AE=BE=，AQ=AP，∠ABE=∠BAE=∠QAP=60°=∠AEB，则∠BAP=∠QAE，证明△ABP≌△QAE，得到QE=BP，∠AEQ=∠ABP=90°，则BF=EF，∠EFM=60°，根据三角函数的概念可得EF=2FM=BF，EM=FM，
BE=2EM，BM=EM，结合EB的值可得EM、BM的值，然后根据BF+FM=BM、QF=EQ+EF求出FM、BF、EQ，据此计算.
27．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是 ，沿斜坡走 米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为 ，且斜坡AF的坡比为1：2.则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为 米；大树BC的高度为 米（结果保留根号）.
【答案】2；1+
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC交CA的延长线于H，延长BD，CA交于点G
∵AD=，，DH2+AH2=AD2
∴5DH2=20
∴DH=2
∵∠G=30°
∴GH=2
∴AG=4+2
设BC为x，∵∠BAC=45°，∠G=30°
∴AC=x，CG=x
∵CG-AC=AG
∴x-x=4+2
x=1+
故答案为：2；1+
【分析】根据题意，解直角三角形即可得到DH；延长BD交AE于点G，解直角三角形，根据三角函数列出方程，即可得到答案。
28．如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．
【答案】3或
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴当△ACB与△ADC相似时，或
∴或
∴AB＝3或AB＝
故答案为：3或
【分析】∠ACB＝∠ADC＝90°，那么当△ACB与△ADC相似时，可能存在可种情形，即△ABC中的AC边可能与△ACD中的AD对应或与CD对应，需要分别列方程求出AB.
29．如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE= °(点A，B，C，D，E是网格线交点).
【答案】45
【解析】【解答】是正方形网格，设一个小正方形的边长是1
根据勾股定理
同理
∽
故填：45
【分析】正方形网格，提供了很多平行、等边、等角、特殊角的条件，从问题入手，易知两三角形三边对应比值相等即有相似比，即可把不在一个三角形里面的2个角等量代换到一个三角形里面，根据外角等于不相邻的两个内角和，即可求解。
30．如图，在中，为上一点，且，若在边上取点，使与相似，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
当时，，解得
当时，， 解得
故答案为： .
【分析】先根据勾股定理求出AB的值，当时，，
当时，，即可求出AE的值.
31．如图，CD是平面镜，于点于点，且，．光线从点出发经CD上点反射后照射到点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），则的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：令的角平分线为OP，如图，
由题意得：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
∵于点C，于点D，
∴，
在和中，
，
，
，
∵，，.，
，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
∴
则，
故答案为：.
【分析】先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得OC的长，然后根据正切的定义即可得的值.
32．如果函数y=（a﹣1）x2是二次函数，那么a的取值范围是 ．
【答案】a＞1或a＜1
【解析】【解答】解：由y=（a﹣1）x2是二次函数，得
a﹣1≠0．解得a≠1，
即a＞1或a＜1，
故答案为：a＞1或a＜1．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
33．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】在Rt△ABC中，由勾股定理．得
AB= =10，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°．
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴AD=5．
故答案为：5
【分析】先根据勾股定理求解AB，在根据相似三角形的判定条件得△AED∽△ACB，对应边成比例，即可求得AD。
34．计算：2sin45°cos45°= ．
【答案】1
【解析】【解答】解：原式=2× × =1，
故答案为：1．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
35．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：△ABC的面积S＝ AB×BC＝ ＝12，
延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝ BE，（证明见备注）
△BEC的面积＝ S＝6，
BP＝ BE，
则△BPC的面积＝ △BEC的面积＝4，
故答案为：4.备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点.EC、FB交于G.
求证：EG＝ CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H.
∵AE＝BE，EH∥BF，
∴AH＝HF＝ AF，
又∵AF＝CF，
∴HF＝ CF，
∴HF：CF＝ ，
∵EH∥BF，
∴EG：CG＝HF：CF＝ ，
∴EG＝ CG
【分析】△ABC的面积S＝ AB×BC＝ ＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝ BE，即可求解.
36．如图，已知在中，，，，点是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，连接，如果，设与边交于点，那么的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点G，
∵将沿着翻折，点落在点处，
∴垂直平分，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先证明△CDG和△CAE相似，得，求出CD，再用勾股定理和面积法求出CE，AE，再证明△AEF和△BDF相似，得出．
37．如图，在△ABC中，，垂足为D．若，，，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出BC=10，最后计算求解即可。
38．如图所示，在 中， ，对角线 ， 交于点O，点E在 的延长线上，且 .连接 交 于点F，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点O作 ，交 于点G，
四边形 是平行四边形，
点O是 的中点，
是 的中位线，
，
又 ，
，
，
设 ，则 ，
，
， ，
边 上的高等于 边 上的高，
，
故答案为： .
【分析】如图（见解析），先根据平行四边形的性质可得点O是 的中点，再根据三角形中位线定理可得 ，然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可得 ，最后根据三角形的面积公式即可得.
39．如图，斜坡 长为100米，坡角 ，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡 改造成坡度 的斜坡 （ 、 、 三点在地面的同一条垂线上），那么由点 到点 下降了 米（结果保留根号）
【答案】
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC= AB=50，BC=AB cos∠ABC=50 ，
∵斜坡BD的坡度i=1：5，
∴DC：BC=1：5，
∴DC=10 ，
则AD=50-10 ，
故答案为：50-10 ．
【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据坡度的概念求出CD，结合图形计算，得到答案．
40．如图所示，在中，，，，，，则为 ．
【答案】
【解析】【解答】解： 在中， 因为，可得是平行四边形，所以，
又因为，可得，所以，
因为，可得 ，解得，所以，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，证得四边形是平行四边形，得到，再由，证得，得到，列出方程，即可求解.
41．如图，点D是等边 边 上一点，将等边 折叠，使点A与点D重合，折痕为 （点E在边 上）.
（ 1 ）当点D为 的中点时， ；
（ 2 ）当点D为 的三等分点时， .
【答案】1：1； 或
【解析】【解答】解：（1）如图，连接 ，
∵D为 的中点， 为等边三角形， 折得到△DEF，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，即 ，
故答案为： ；
（2）当 时，
设 ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
设 ，
同上一种情况得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 .
【分析】（1）连接 ，证得 为等边三角形，可得，据此即得结论；
（2） 当点D为 的三等分点时，分两种情况：①当 时，②当 ，时，根据等边三角形的性质、折叠的性质及相似三角形的判定与性质分别求解即可.
42．如图，在 ， ， ，直线 经过原点O， 交x轴于点D， ，若反比例函数 经过A，B两点，则k的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：过A点作y轴垂线垂足为E，连结 ，如图所示，
设 ，则 ， ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
则 ，
， ， ，
设直线 为 ，代入 ，
， ，
： ，
令 ，
， ， ，
则 ，
∵A，B关于O对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
在 中， ，
则有 ，
，
，
，①
∵在 中， ，
∴ ，
，②
将②代入①中得：
，
，③
将③代入②中的： ，
，
则 ，
∵反比例函数经过一、三象限.
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】过A点作y轴垂线垂足为E，连结 ，设 ，先证明，根据相似三角形的性质，结合一次函数图象和反比例函数图象的相交，分别把有关线段用含a、k的代数式表示，在 中和在 中，根据勾股定理列式推出 ，据此构建关于a、k的方程，然后在 中，再根据勾股定理构建关于a、k的方程，两式联立求解，结合求出k值反比例函数图象经过一三象限确定k值即可.
43．如图，点A(-1，0)，点P是射线AO上一动点(不与O点重合)，过点P作直线y=x的平行线交y轴于C，过点P作x轴的垂线交直线y=x于B，连结AB，AC，BC。
（1）当点P在线段OA上且AP=PC时，AB：BC= ；
（2）当△ABC与△OPC相似时，P点的横坐标为 。
【答案】（1）
（2） 或
【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（a，0），则点B的坐标为（a，a），
∵PC∥OB，
∴直线PC与x轴的夹角为45°，
∴点C的坐标为（0，-a），
∵点A的坐标为（-1，0），
∴AB2=（a+1）2+a2=2a2+2a+1，
BC2=a2+（-a-a）2=5a2，
AC2=12+a2=a2+1，
AP2=（a+1）2，PC2=a2+a2=2a2，
当AP=PC时，即（a+1）2=2a2，解得：a1=（不合题意，舍去），a2=，
AB2=2a2+2a+1=2（）2+2（）+1=，
BC2=5a2=5（）2=，
∴==，
∴AB：BC=：.
故答案为：：.
（2）当△ABC与△OPC相似时，
∵△OPC是等腰直角三角形，
∴△ABC也是等腰直角三角形，
①当AC是斜边时，AC2=AB2+BC2，
∴a2+1=2a2+2a+1+5a2，
解得：a=或a=0（不合题意，舍去）.
当a=时，
AB2=，BC2=，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，符合题意.
②当AB是斜边时，AB2=AC2+BC2，
∴2a2+2a+1=a2+1+5a2，
解得：a=或a=0（不合题意，舍去）.
当a=时，
AC2=，BC2=，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，符合题意.
③当BC是斜边时，BC2=AC2+AB2，
∴5a2=a2+1+2a2+2a+1，
解得：a=或a=.
当a=或a=时，
AC2=，BC2=，
∴AC≠BC，
∴△ABC不是等腰直角三角形，不符合题意.
综上所述，a=或，
∴P点的横坐标为或.
故答案为：或.
【分析】（1）设点P的坐标为（a，0），把其它点及线段用 含a的代数式表示出来，当AP=PC时，即（a+1）2=2a2，求出a的值，再代入AB、BC中，进而求出AB：BC的比值；
（2）当△ABC与△OPC相似时，因为△OPC是等腰直角三角形，所以△ABC也是等腰直角三角形，分三种情况讨论：①当AC是斜边时，②当AB是斜边时，③当BC是斜边时，根据勾股定理列出方程，分别求出a的值，同时注意验证此时△ABC是否是等腰直角三角形.
44．如图，中，，在的延长线上截取，连接，过点作于点，交于点，连接，点为射线上一个动点，若，，当与相似时，的长为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：连接AP．
在中，，，，
，
，，
，
，
，
，
设，则有，
，
，
，，
，
当∽时，，
，
．
当∽时，，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或.
【分析】连接AP，利用勾股定理得AB，由已知条件得BD=AB，根据CD=BD-BC可得CD，利用勾股定理得AD，根据等腰三角形的性质得AE=ED，推出FA=FD，设FA=FD=x，利用勾股定理得x，根据对顶角性质得∠AFE=∠CFB，结合内角和定理得∠EAF=∠ABP，再分△APB∽△AFD、△AFD∽△PAB，然后利用相似三角形的性质进行计算.
45．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DFEC的面积之比是 ．
【答案】9：11
【解析】【解答】解：设CE=x，S△BEF=a，
∵CE=x，BE：CE=2：1，
∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；
∵BC∥AD，
∴∠EBF=∠ADF，
又∵∠BFE=∠DFA；
∴△EBF∽△ADF，
∴S△BEF：S△ADF= = = ，那么S△ADF= a．
∵S△BCD﹣S△BEF=S四边形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF，
∴ x2﹣a=9x2﹣ ×3x 2x﹣ ，
化简可求出x2= ；
∴S△AFD：S四边形DFEC= ： = ： =9：11，
故答案为：9：11．
【分析】先设CE=x，S△BEF=a，则BE=2x，AD=3x，由BC∥AD可得△EBF∽△ADF，利用相似三角形的性质可求出S△ADF的表达式，利用四部分的面积等于正方形的面积得到x与a的关系，从而求得两部分的面积比.
46．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝ ，点E在CD边上，DE＝2，连接BE，F是BE边上的一点，过点F作FG⊥AB于G，连接DG，将△ADG沿DG翻折的△PDG，设EF＝x，当P落在△EBC内部时（包括边界），x的取值范围是 .
【答案】 ≤x≤
【解析】【解答】解：当点P落在BE上时，如图，延长GF交DC于H，作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠BAC＝∠BCD＝90°，DC∥AB，AB＝CD＝ ，AD＝BC＝5，
∵DE＝2，
∴EC＝ ，
∵∠CEB＝∠PBM，
∴tan∠CEB＝tan∠PBM，
∴ ，设PM＝3k，则BM＝2k，
∴PM＝AN＝3k，PN＝AM＝ ﹣2k，
在Rt△PDN中，∵PD＝AD＝5，DN＝5﹣3k，PN＝ ﹣2k，
∴25＝（5﹣3k）2+（ ﹣2k）2，
整理得：117k2﹣462k+256＝0，
解得k＝ 或 （舍弃），
∴PM＝2，BM＝ ，AM＝4，设AG＝GP＝m，
在Rt△PGM中，m2＝（4﹣m）2+22，
解得m＝ ，
∴AH＝AG＝ ，
∵EH＝ ，
∵ ＝tan∠CEB＝ ，
∴HF＝ ，
∴EF＝ ，
当点P落在DC上时，如图，
∵AD＝DP＝5，DE＝2，
∴EP＝3，
∵tan∠CEB＝ ，
∴PF＝ ，
∴EF＝ ＝ ，
∴ ≤x≤ .
故答案为： ≤x≤ 。
【分析】当点P落在BE上时，如图，延长GF交DC于H，作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
根据矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠BAC＝∠BCD＝90°，DC∥AB，AB＝CD＝ ，AD＝BC＝5，根据二直线平行，内错角相等得出∠CEB＝∠PBM，根据正切函数的定义及等角的同名三角函数值相等得出tan∠CEB＝tan∠PBM，故，设PM＝3k，则BM＝2k，根据矩形的性质得出PM＝AN＝3k，PN＝AM＝ ﹣2k，
∵四边形AMPN是矩形，在Rt△PDN中，利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出k的值，从而即可得出PM，BM，的长，设AG＝GP＝m，在Rt△PGM中，利用勾股定理建立方程，求解算出m的值，从而得出AH＝AG＝ ，根据正切函数的定义，由 ＝tan∠CEB＝ ，得出HF的长，进而即可得出EF的长；当点P落在DC上时，如图，根据正切函数的定义，由tan∠CEB＝ ，得出PF的长，进而根据勾股定理得出EF的长，综上所述，即可得出x的取值范围。
47．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为
【答案】
【解析】【解答】解： 如图，
已知∠ACB=90° ，AC=3，BC=4，得AB=5．
又CD⊥AB，可得CD=．
易证△ABC∽△ACD∽△CBD，得，BD=
过点E作EG∥AB，交CD于点G．由平行线分线段成比例，得DG=CD= ，EG=
由EG∥AB得，△AFD∽△EFG，
∴，即，
解得DF=
故答案为：.
【分析】过点E作EG∥AB，交CD于点G．根据平行线分线段成比例和三角形中位线的性质可得DG，EG的长，证明△AFD∽△EFG，可得对应线段成比例，从而求出DF。
48．如图在矩形中，是上一点，连结，过作于点．将向右下方向平移到的位置，在上，四边形向左下方向平移到四边形的位置．若重新组成的矩形与矩形全等，则的长为 ．内有一点，平移后对应点为点，若是矩形的中心，则点到的距离为 ．
【答案】2；
【解析】【解答】解：∵BE=AD=HC=8，AB=，∠A=90°
∴AE=
∴ED=AD-AE=8-6=2
如图所示，连接CG，作⊥BC交BC于M，作GN⊥BC，交BC延长线于N，连接BH.
由题意得BI=ED=2，HI=GH，∠BGH=∠BIH=∠A=90°，为CG的中点，点O到AD的距离为到BC的距离.
在Rt△BGH和Rt△BIH中
∴Rt△BGH≌Rt△BIH
∴BG=BI=2
∵∠GNB=∠ABC=90°
∴GN//AB
∴∠NGB=∠ABE
∵∠N=∠A=90°
∴△BNG∽△EAB
∴，即
∴
∵OM⊥BC，GN⊥BC，为CG中点
∴为△CNG的中位线
∴
∴点O到AD的距离为
故答案为：2；
【分析】第一空：先根据勾股定理求出AE的长，再由AE=AD-AE，即可求出DE的长；
第二空：连接CG，作⊥BC交BC于M，作GN⊥BC，交BC延长线于N，连接BH.由题意得BI=ED=2，HI=GH，∠BGH=∠BIH=∠A=90°，为CG的中点，点O到AD的距离为到BC的距离.证明Rt△BGH≌Rt△BIH，可得BG=2，证明△BNG∽△EAB可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到答案.
49．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD上，且DE=CD，连接OE，∠ABE= ∠ACB，若AE=2，则OE的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图作CH⊥BE于H，EF⊥BD于F，设BE与AC的交点为G，则∠HBC+∠BCH=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AC=BD，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠BCH=∠ABE，
又∵∠ABE=∠ACB，
∴∠BCH=∠GCH，
∴BC=CG，BH=GH，∠CBH=∠CGH，
又∵∠CBH=∠AEB，∠BGC=∠AGE，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG=2.
设AB=x，则AD=BC=CG=x+2，AC=x+2+2=x+4，
∴x2+（x+2）2=（x+4）2
解得x1=6，x2=-2（舍去）.
∴AB=6，AD=BC=CG=8，AC=10，DE=6，
∴DF=×DE=，EF=×DE=，
∴OF=OD-DF=，
∴OE2=（）2+（）2=13，
故OE=.
【分析】作CH⊥BE于H，EF⊥BD于F，设BE与AC的交点为G，证明∠BCH=∠GCH，进而证明△BCG和△AGE都是等腰三角形，则AE=EG=2，BC=CG，设AB=x，将BC、AC都用含x的式子表示，利用勾股定理计算出x的值，即可得到AB、BC、DE的长度，再利用同角的三角函数性质求出DF、EF的长，进而得到OF的长，利用勾股定理即可求出OE.
50．如图，在矩形 中， ， ，将 沿射线 平移长度 得到 ，连接 ， ，则当 是直角三角形时，a的长为 .
【答案】 或
【解析】【解答】解：如图，过 作 于 过 作 于
四边形 是矩形，
由平移的性质可得：
设 则
设 则
为直角三角形，
当 时，
解得： （不合题意舍去），
当 时，如图，
同理可得：
解得：
故答案为： 或
【分析】过B作BE⊥AB于E，过D作DF⊥D'C'于F，根据勾股定理求出BD长，则得BD= B'D'，由平移的性质可得：DD'= BB'， CD//CD//AB，利用AAS证明△DFD'≌△BEB，得出DF= BE ，DF= BE，根据三角函数定义求出设BE=x，把x和DF用a表示，设BE=y，把y和DF'用a表示，然后用勾股定理分别把AB2，AD2表示出来，最后分两种情况讨论，即当∠DAB=90°时，当∠ABD'= 90°时，再利用勾股定理建立方程求解，即可得出结果.
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