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【决战期末·50道解答题专练】上海市数学九年级上册期末总复习
1．2021年“五一”期间，修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面，这一始建于北魏天兴元年（公元398年）的建筑，在1600多年后，以崭新的面貌向世人展示历史印记，古代安阳“魁星取水”景观即将重现.某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道 上架设测角仪，先在点 处测得魁星阁顶端 的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达 处，在 处测得魁星阁顶端 的仰角是45°.若测角仪 和 的高度均为 米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中 的值）.（参考数据： ， ， ， ，结果精确到 米）
2．我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：）
（1）求容器的高度．
（2）求水的折射率．
（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到的三等分点处（），求水面上升的高度．（结果精确到）
3．我市规划中某地段地铁线路要穿越护城河PQ，站点A和站点B在河的两侧，要测算出A、B间的距离．工程人员在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q出，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．根据以上数据，求A、B间的距离．（参考数据：cos41°≈0.75）
4．如图，C岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向．
（1）从岛看A，B两岛的视角的度数为 .
（2）测量发现岛与岛之间的距离AC为milemile），求岛与岛之间的距离．（结果精确到mile．参考数据：，）
5．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？
（参考数据：tan53°≈ ，sin53°≈ ，tan64°≈2，sin64°≈ ）
6．如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，）
（1）求点D到的距离；
（2）求塔的高度．（结果精确到0.1米）
7．如图，小明为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的点处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高，树干高，，两点在同一水平线上，点距墙根点，C点距墙根G点4.5m，且、、三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮小明计算出小树的高．
8．如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图．吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业（起重臂AB的长度也可以伸缩）在某次起重作业中，学习兴趣小组测经过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图3，起重臂米，点B到地面的距离米，钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F，点B到AF的距离米．求点A到地面的距离AF的长为多少米？
9．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底仰角为60°，沿坡度为1： 的坡面AB向上行走到B处，测得广告牌顶部C的仰角为45°，又知AB=10m，AE=15m，求广告牌CD的高度（精确到0.1m，测角仪的高度忽略不计）
10．已知有三条长度分别为2cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段.使这四条线段成比例，求所添线段的长度.
11．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
12．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）.
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在第三象限内，以点O为位似中心作出△ABC的位似图形使它与原图的相似比为2：1.
（3） 的面积为 .
13．如图，在一次数学课外实践活动中，要求测量山坡前某建筑物的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，然后沿倾斜角为30°的山坡向上前进20m到达E，重新安装好测角仪后又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）
14．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成.图2是其结构示意图，摄像机长，点O为摄像机旋转轴心，O为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点C到地面的距离为.若与水平地面所成的角的度数为36°.（参为数据：，，，结果保留一位小数）
（1）求显示屏所在部分的宽度；
（2）求镜头A到地面的距离.
15．如图，在离铁塔150m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30°12'，测倾仪高AD为1.52m.求铁塔的高BC.（精确到0.1m）
（参考数据：sin30°12'≈0.5030，cos30°12'≈0.8643，tan30°12'≈0.5820）
16．如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）
（1）求这幢大楼的高DH；
（2）求这块广告牌CD的高度．
17．如图，大楼外墙有高为AB的广告牌，由距离大楼20米的点C（即CD=20米）观察它的顶部A的仰角是55°，底部B的仰角是42°，求AB的高度．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
18．渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离，如图．在桥面上点处，测得到左桥墩的距离米，左桥墩所在塔顶的仰角，左桥墩底的俯角，求的长度．（结果精确到米．参考数据：，）
19．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，米．求标识牌CD的高．
20．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC 的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使 EB 落在线段AE 上，折出点 B 的新位置点 B'，因而EB'=EB.类似地，在AB 上折出点 B"，使AB''=AB'.这时 B"就是线段AB 的黄金分割点.请你证明这个结论.
21．某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”.小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊的高度.如图，在C处测得字坊顶端B的仰角为，然后沿方向前进到达点D处，测得字坊顶端B的仰角为，求字坊的高度.(结果精确到，参考数据：s，，，)
22．如图，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m，求乙楼CD的高.
23．为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：，
24．李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在 处，人在 处正好看到树尖A.已知李师傅眼睛距地面的高度为 ，量得 为 ， 为 ， 为 ，求树高.
25．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
26．如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板电脑吸附在该款设备上时的照片，图③是图②的示意图．已知BC＝8cm，CD＝20cm，∠BCD＝63°．当AE与BC形成的∠ABC为116°时，求DE的长．（结果取整数）（参考数据：，，；，，）
27．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据： ≈2.449，结果保留整数）
28．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2=AD AB，求∠APD的正弦值．
29．如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得A的仰角为45°，距点C的10米D处测得A的仰角为60°，且C、D、B在同一水平直线上，求铁塔AB的高度（结果精确到0.1米， ≈1.732）
30．五轮塔位于长沙市岳麓山区，是北伐阵亡将士纪念塔．如图，小涵的身高为米．他站在处测得塔顶的仰角．小颖的身高为米，她站在距离塔底中心点米远的处．测得塔顶的仰角．（点在同一水平线上，参考数据：）．
（1）求小涵与塔底中心的距离（用含的式子表示）；
（2）若小涵与小颖相距米，求五轮塔的高度（精确到米）．
31．为响应二十大新型城镇化战略，助力乡村振兴，某县计划在乡镇之间增设燃气管道．如图，同一平面上的四个点，，，为某县四个乡镇的中心点，，两个乡镇之间已铺设燃气主管道，其长为27千米．计划在，两个乡镇之间再铺设燃气主管道．已知，，．求的长．（结果保留整数，参考数据：，，，）
32．如图所示，某海盗船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处使，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长，结果精确到0.1）（参考数据： ≈1.732， ≈1.414）
33．如图，山坡AB的坡度i=1： ，AB=10米，AE=15米．在高楼的顶端竖立一块倒计时牌CD，在点B处测量计时牌的顶端C的仰角是45°，在点A处测量计时牌的底端D的仰角是60°，求这块倒计时牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
34．为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪 CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）
35．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：1，△ABC的面积为27，求△ADE的面积．
36．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度是多少？
37．如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得.求河流的宽度.（结果精确到1米，参考数据：）
38．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC=4，BC=3，求BD的长．
39．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）
40．数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连结OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I．
（1）请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；
（2）还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）．
41．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接．
（1）如图1，，，若，求的度数；
（2）如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：；
（3）如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值．
42．如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
43．2022年底，太忻一体化经济区将新建1994座5G基站．如图是建在坡度的斜坡上的一个5G基站塔，在坡角顶点A处测得塔顶D的仰角为，沿斜坡步行到达B处，在B处测得塔顶D的仰角为，点A，B，C，D，M，N在同一平面内．求基站塔高．
（结果精确到，参考数据：）
44．如图，，点P为内一点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，试求的值．
45．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果精确到0.01小时）．
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
46．如图，在三角形纸片中，，．把三角形纸片分别沿对折（点分别在边上，点在边上），使点落在边上同一点处．
（1）若，则五边形的周长为______；
若，则五边形的周长为______．
（2）根据题（）的研究结果，提出一个合理猜想，并证明猜想成立．
47．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）当与的面积相等时，求此时点的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点是平面内一点，是否存在这样的，两点，使四边形是“垂等四边形”，且该四边形的两条对角线相交于点，？若存在，求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．
48．在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，设移动时间为秒，分别解答下列问题：
（1）如图①，当移动时间秒时，求的长．
（2）当，移动到能使线段正好平分的面积时，这时时间为多少秒？
（3）如图②，连接、，设，当点关于的对称点正好落在边上时求的值．
49．如图，在斜坡顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在斜坡面上．在同一时刻，小明站在点E处，其影子EF在直线DE上，小华站在点G处，影子GH在直线CD上，他们的影子长分别为2 m和1 m．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华身高均为1.6 m，那么塔高AB为多少？
50．小玲和晓静很想知道某塔的高度PQ，于是，他们带着标杆和皮尺进行测量，测量方案如下：如图所示，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿QC后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到塔顶的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为；然后，晓静在处竖立了一根高的标杆EF，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得FM为为，已知，点Q，C，B，F，M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算该塔的高度PQ.
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【决战期末·50道解答题专练】上海市数学九年级上册期末总复习
1．2021年“五一”期间，修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面，这一始建于北魏天兴元年（公元398年）的建筑，在1600多年后，以崭新的面貌向世人展示历史印记，古代安阳“魁星取水”景观即将重现.某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道 上架设测角仪，先在点 处测得魁星阁顶端 的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达 处，在 处测得魁星阁顶端 的仰角是45°.若测角仪 和 的高度均为 米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中 的值）.（参考数据： ， ， ， ，结果精确到 米）
【答案】解：由题意知， ， ，四边形 是矩形.
设 米.
在 中，
∵ ，
∴ .
在 中，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 .解得 .
∴ （米）.
答：魁星阁顶端距离地面的高度约为20.7米.
【解析】【分析】根据题意得出有关线段的长，且四边形 是矩形，设 米，根据等腰直角三角形的性质得出DE=x，然后在 中，根据三角函数定义把CE用含x的代数式表示，最后根据CE-DE=CD构建关于x的方程求解，即可解答.
2．我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：）
（1）求容器的高度．
（2）求水的折射率．
（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到的三等分点处（），求水面上升的高度．（结果精确到）
【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：如图，作于点，
易得四边形EBPH是矩形，
∴∠AEH=∠CPH=90°，EH=BP，BE=PH=AE=12cm，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠HCP，
∴△AEH≌△HPC（AAS）
∴EH=BP=，
∴ ，
∴，，
∴；
（3）解：由题可知：，，
∴，
∵E'F'∥EF
∴，即，
∴
【解析】【分析】(1)根据的正切值可得AB的长；
(2)作于点P.根据水面EF在容器高度一半，可得CP，HP的长度，进而可得PG的长度，利用勾股定理可得HG的长度，即可求得折射角的正弦值，易得入射角那么可得入射角的正弦值，即可求得n的值；
(3)在水中的折射光线是平行的，那么可得CG'和GG'的比值；根据水平面也是平行的，可得AE和EE'的比值.即可求得EE'的值.
3．我市规划中某地段地铁线路要穿越护城河PQ，站点A和站点B在河的两侧，要测算出A、B间的距离．工程人员在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q出，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．根据以上数据，求A、B间的距离．（参考数据：cos41°≈0.75）
【答案】解：∵∠PQB=90°﹣41°=49°，
∠BPQ=90°﹣24.5°=65.5°，
∴∠PBQ=180°﹣49°﹣65.5°=65.5°，
∴∠BPQ=∠PBQ，
∴BQ=PQ；
∵∠AQB=180°﹣49°﹣41°=90°，∠PQA=90°﹣49°=41°，
∴AQ= = =1600，
∵BQ=PQ=1200，
∴AB2=AQ2+BQ2=16002+12002，
∴AB=2000，
答：A、B的距离为2000m
【解析】【分析】首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度数得出线段BQ与PQ，根据已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，又由已知得∠AQB=90°，所以根据勾股定理求出A，B间的距离．
4．如图，C岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向．
（1）从岛看A，B两岛的视角的度数为 .
（2）测量发现岛与岛之间的距离AC为milemile），求岛与岛之间的距离．（结果精确到mile．参考数据：，）
【答案】（1）
（2）解：∵∠BAC=20°，∠C=70°，
∴∠ABC=90°，
∵AC=20n mile ，
∴cos20°=.
∴AB=20×0.940≈18.8(nmile)
【解析】【解答】解：（1）如图.
∵AD//BE，
∴∠DAB+∠ABE=180°.
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB，∠ABE=∠ABC+∠CBE，∠DAC=45°，∠CBE=25°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-45°-25°=110°，
∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-110°=70°．
故答案为：70°．
【分析】(1)先利用平行线的性质，得出∠DAB+∠ABE=180°，结合已知角求出∠CAB+∠CBA，再利用三角形的内角和求出∠ACB；
（2）先说明∠ABC=90°，再用余弦函数求出，代入AC，求出AB.
5．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？
（参考数据：tan53°≈ ，sin53°≈ ，tan64°≈2，sin64°≈ ）
【答案】解：在Rt△ACD中，tan∠ADC=tan64°= =2，
CD= ①．
在Rt△ABE中tan∠ABE=tan53°= = ，
BE= AB ②．
BE=CD，得 = = = AB，
解得AB=70cm，
AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm．
【解析】【分析】根据正切函数的定义，可得方程①②，根据代入消元法，可得答案．
6．如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，）
（1）求点D到的距离；
（2）求塔的高度．（结果精确到0.1米）
【答案】（1）解：过点D作于点G．
在中，
，
，即，
∵米，
米，
答：点D到的距离为5米；
（2）解：过点D作于点H，则四边形是矩形．
米，
设，则米，
在中，
，
，
在中，米，
米，
在中，
，
．
解得米，
答：塔的高度约为米．
【解析】【分析】
（1）过点D作于点G，根据坡度=tan∠DCG计算即可求解；
（2）过点D作于点H，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形DGBH是矩形，由矩形的对边相等可得BH=DG，设，在Rt△CDG中，用勾股定理求出，由线段的和差DH=BG=CG+BC将DH用含x的代数式表示出来，在Rt△AHD中，根据锐角三角函数tan∠ADH=可得关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：过点D作于点G．
在中，
，
，即，
∵米，
米，
答：点D到的距离为5米；
（2）解：过点D作于点H，则四边形是矩形．
米，
设，则米，
在中，
，
，
在中，米，
米，
在中，
，
．
解得米，
答：塔的高度约为米．
7．如图，小明为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的点处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高，树干高，，两点在同一水平线上，点距墙根点，C点距墙根G点4.5m，且、、三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮小明计算出小树的高．
【答案】解：，，
，
，
米，米，米，
解得：，
小树的高为米．
【解析】【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入可得，再求出DH的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
8．如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图．吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业（起重臂AB的长度也可以伸缩）在某次起重作业中，学习兴趣小组测经过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图3，起重臂米，点B到地面的距离米，钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F，点B到AF的距离米．求点A到地面的距离AF的长为多少米？
【答案】解：在中，
由勾股定理得米
∵，，
∴
∵四边形BEFG是矩形
∴米
∴米
答：A到地面的距离AF的长为7.8米．
【解析】【分析】在Rt△ABG中，根据勾股定理可求出AG的值，易得四边形BEFG为矩形，则GF=BE=1.8米，然后根据AF=AG+GF进行计算.
9．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底仰角为60°，沿坡度为1： 的坡面AB向上行走到B处，测得广告牌顶部C的仰角为45°，又知AB=10m，AE=15m，求广告牌CD的高度（精确到0.1m，测角仪的高度忽略不计）
【答案】解：在Rt△ABH中，∵tan∠BAH= = = ，∴∠BAH=30°，∴BH=AB，sin∠BAH=10，sin30°=10× =5，在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10，cos30°=5 ，在Rt△ADE中，tan∠DAE= ，即tan60°= ，∴DE=15 ，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，∴BF=AH+AE=5 +15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15 ﹣5，在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，∴∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=5 +15，∴CD=CF﹣DF=5 +15﹣（15 ﹣5）=20﹣10 ≈20﹣10×1.732≈2.7（米），答：广告牌CD的高度约为2.7米．
【解析】【分析】过点B作BF⊥CE，垂足为F，通过解直角三角形求出BH、AH，在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BF的长，在Rt△CBF中，∠CBF=45°，则CF=BF，由此可求出CF的长，最后，根据CD=CF+FE-DE求解即可.
10．已知有三条长度分别为2cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段.使这四条线段成比例，求所添线段的长度.
【答案】解：设添加的线段长度为x，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：.
∴所添线段的长度为1或4或16.
【解析】【分析】 四条线段a、b、c、d，如果存在a∶b=c∶d，我们就说这四条线段成比例，设添加的线段长度为x， 则添加的线段可以是a、b、c、d中的任意一条，从而分类讨论，分别建立关于x的方程求解即可.
11．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
【答案】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴（米），
∵，
∴
∴，
∴
即是直角三角形，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：A，B两点间的距离为96米．
【解析】【分析】根据题意先求出是直角三角形，再求出是直角三角形，最后利用锐角三角函数计算求解即可.
12．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）.
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在第三象限内，以点O为位似中心作出△ABC的位似图形使它与原图的相似比为2：1.
（3） 的面积为 .
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）10
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：10
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据位似图形定义作图即可.
（3）根据割补法，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
13．如图，在一次数学课外实践活动中，要求测量山坡前某建筑物的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，然后沿倾斜角为30°的山坡向上前进20m到达E，重新安装好测角仪后又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）
【答案】解：作RC⊥AB， FH⊥AB 延长FE交DB于点G设BG=x由题意可得，ER=FH=BG=xHR=10，AH= x，AR= x+10CR=10 +X∴10 +X= x+10解得x=10∴AB=10 +11.5
【解析】【分析】根据已知条件添加辅助线，作RC⊥AB， FH⊥AB 延长FE交DB于点G，可得出ER=FH=BG=x，HR=10，用含x的代数式表示出AH、AR，CR，再利用CR=AR=AH+HR，建立方程求解即可。
14．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成.图2是其结构示意图，摄像机长，点O为摄像机旋转轴心，O为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点C到地面的距离为.若与水平地面所成的角的度数为36°.（参为数据：，，，结果保留一位小数）
（1）求显示屏所在部分的宽度；
（2）求镜头A到地面的距离.
【答案】（1）解：( 1) ∵CD//AB， AB与水平地面所成的角的度数为36°，
∴显示屏上沿CD与水平地面所成的角的度数也为36°.
过点C作CM⊥DN与点M，则∠DCM=36°.
∵CD= 15cm，
∴CM= CD·cos∠DCM= CD×cos36°≈15×0.809≈12.1 ( cm ).
即显示屏所在部分的宽度CM约为12.1cm.
（2）解：如图，
连接AC，过点A作AH垂直直线MC于点H，
∵AB=20cm， O为AB的中点，
∴AO=10cm.
∵CD=15cm，CE=2ED，
∴CE= 10cm.
∵CD//AB，OE⊥AB，
∴四边形ACEO为矩形，
∴AC=OE= 10cm.
∴∠ACE=90°，
∴∠ACH+∠DCM=∠ACH+∠CAH=90°，
∵∠CAH=∠DCM=36°.
∴AH=AC·cos36°≈10×0.809=8.09 ( cm )，
∵点C到地面的距离为，
∴镜头A到地面的距离为：60+ 8.09≈68.1cm.
【解析】【分析】（1）过点C作CM⊥DN于点M，根据题意可得∠DCM=36°，然后在Rt△DCM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，即可解答；
（2）连接AC，过点A作AH垂直直线MC于点H，根据已知可求出AO= CE=10cm，再结合CD//AB，OE⊥AB可证四边形ACEO是矩形，进而可得∠ACE=90°，AC=OE= 10cm，然后利用直角三角形性质得到∠CAH=∠DCM=36°，最后在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，AH+60即为镜头A到地面的距离.
15．如图，在离铁塔150m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30°12'，测倾仪高AD为1.52m.求铁塔的高BC.（精确到0.1m）
（参考数据：sin30°12'≈0.5030，cos30°12'≈0.8643，tan30°12'≈0.5820）
【答案】解：如图，过点A作BC的垂线，垂足为E.
单位：m
在△ABE中，tan30°12'= = ，.
则BE=150×tan30°12'≈87.30，
∴BC=BE+CE≈87.30+1.52≈88.8.
答：铁塔的高BC约为88.8m
【解析】【分析】过点A作BC的垂线，垂足为E.，在△ABE中，利用解直角三角形求出BE的长，再根据BC=BE+CE，代入计算可求解。
16．如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）
（1）求这幢大楼的高DH；
（2）求这块广告牌CD的高度．
【答案】解：（1）在Rt△DME中，ME=AH=45米；由，得DE=45×=15×1.732=25.98米；又因为EH=MA=1.6米，因而大楼DH=DE+EH=25.98+1.6=27.58≈27.6米；（2）又在Rt△CNE中，NE=45﹣14=31米，由，得CE=NE=31米；因而广告牌CD=CE﹣DE=31﹣25.98≈5.0米；答：楼高DH为27.6米，广告牌CD的高度为5.0米．
【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形Rt△DME与Rt△CNE；应利用ME﹣NE=AB=14构造方程关系式，进而可解即可求出答案．
17．如图，大楼外墙有高为AB的广告牌，由距离大楼20米的点C（即CD=20米）观察它的顶部A的仰角是55°，底部B的仰角是42°，求AB的高度．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【答案】解：由已知可得：∠ACD=55°，∠BCD=42°，CD=20，
又∵tan∠ACD= ，tan∠BCD= ，
∴AD=CD tan∠ACD，BD=CD tan∠BCD，
∴AB=AD﹣BD=CD tan∠ACD﹣CD tan∠BCD
≈20×1.43﹣20×0.90
≈10.6（m）
答：AB的高度为10.6m．
【解析】【分析】利用已知得出AD=CD tan∠ACD，BD=CD tan∠BCD，进而利用AB=AD﹣BD求出即可．
18．渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离，如图．在桥面上点处，测得到左桥墩的距离米，左桥墩所在塔顶的仰角，左桥墩底的俯角，求的长度．（结果精确到米．参考数据：，）
【答案】解：如图所示，上截取，使得，
∴，
∵
∴，
设，在中，，
∴
又
∴
∴
即米.
【解析】【分析】上截取，使得，进而得到，设，在中，，，从而即可表示AD的长，进而得到x即可求解。
19．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，米．求标识牌CD的高．
【答案】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB cos30°＝5（米），BM＝AB sin30°＝5（米）．
在Rt△ADE中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE tan60°＝10（米）．
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5（米），∠CBN＝45°，
∴CN＝BN tan45°＝10＋5（米），
∴CD＝CN＋EN DE＝10＋5＋5 10＝15 5（米）．
【解析】【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，利用锐角三角函数求出CN、EN和DE的长，再利用线段的和差求出CD的长即可。
20．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC 的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使 EB 落在线段AE 上，折出点 B 的新位置点 B'，因而EB'=EB.类似地，在AB 上折出点 B"，使AB''=AB'.这时 B"就是线段AB 的黄金分割点.请你证明这个结论.
【答案】证明：设正方形ABCD的边长为2.
∵E为BC的中点，∴，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴B'是线段AB的黄金分割点
【解析】【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据中点的定义可得EB长，再根据勾股定理求出AE长，再根据折叠得到EB=EB'，AB'=AB″计算，然后根据黄金分割点的定义证明即可.
21．某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”.小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊的高度.如图，在C处测得字坊顶端B的仰角为，然后沿方向前进到达点D处，测得字坊顶端B的仰角为，求字坊的高度.(结果精确到，参考数据：s，，，)
【答案】解：由题意得：，，
设，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
字坊的高度约为.
【解析】【分析】设AB=xm，在直角三角形ABC中，由锐角三角函数tan∠BCA=可求得AC的值；在直角三角形ABD中，由锐角三角函数tan∠BDA=可将AD用含x的代数式表示出来；根据线段的构成AC-AD=CD可得关于x的方程，解方程可求解.
22．如图，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m，求乙楼CD的高.
【答案】解：过点A作AE⊥CD，
在Rt△ABD中，∠ADB=β，AB=24，
∴BD= ，
在Rt△AEC中，∠CAE=α，BD= ，
∴CE=8.
∴CD=CE+AB=32(米).
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD，构造两个直角三角形ACE和直角三角形AED，分别解2个直角三角形即可.
23．为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：，
【答案】解：如图，设射线与相交于点D．由题意可知，
，米，
∴四边形为矩形，故米（水平距离）．
在中，，
，
米．
在中，，
米．
∵点在同一直线上，
∴米，保留整数得米．
答：五角星高度大约是3米
【解析】【分析】设射线与相交于点D，易证四边形OECD为矩形，利用矩形的性质可求出CD的长，在中，利用解直角三角形求出AD的长，在中，利用解直角三角形求出BD的长；然后根据AB=AD-BD，代入计算可求出AB的长.
24．李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在 处，人在 处正好看到树尖A.已知李师傅眼睛距地面的高度为 ，量得 为 ， 为 ， 为 ，求树高.
【答案】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴
解得 .
∴这棵古树的高为10m.
【解析】【分析】根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所以可得△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答.
25．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
【答案】解：∵AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m，
∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.
又∵AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°，
∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°，
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
【分析】首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC=90°，然后再判断AD∥NM，可得 ，再根据平角定义可得 ，进而得到答案.
【解析】【解答】解：∵AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m，
∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.
又∵AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°，
∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°，
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
【分析】首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC=90°，然后再判断AD∥NM，可得 ，再根据平角定义可得 ，进而得到答案.
26．如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板电脑吸附在该款设备上时的照片，图③是图②的示意图．已知BC＝8cm，CD＝20cm，∠BCD＝63°．当AE与BC形成的∠ABC为116°时，求DE的长．（结果取整数）（参考数据：，，；，，）
【答案】解：过作于，
在中，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
答：的长为．
【解析】【分析】根据三角函数的正弦和余弦值，列比例式即可求出BH和CH的值；根据角的运算，即可求出∠BEH的值；根据正切值列比例式，可得HE的值；根据线段的计算，即可求出DE的值.
27．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据： ≈2.449，结果保留整数）
【答案】解：作PC⊥AB于C点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45° ，AP=80（海里），
在Rt△APC中，cos∠APC= ，
∴PC=PA cos∠APC=40 （海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC= ，
∴PB= =40 ≈98（海里），
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【解析】【分析】做出辅助线， 作PC⊥AB于C点，可计算出PC的长度，利用PC的长度和三角函数，计算出PB的长度即可。
28．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2=AD AB，求∠APD的正弦值．
【答案】解：∵AP2=AD AB，AB=AC，
∴AP2=AD AC，
，
∵∠PAD=∠CAP，
∴△ADP∽△APC，
∴∠APD=∠ACB=∠ABC，
作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=CE=×24=12，
∴AE==5
∴sin∠APD=sin∠ABC=，
【解析】【分析】由AP2=AD AB，AB=AC，可证得△ADP∽△APC，由相似三角形的性质得到∠APD=∠ACB=∠ABC，作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质可求得AE，由三角函数的定义可得结论，
29．如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得A的仰角为45°，距点C的10米D处测得A的仰角为60°，且C、D、B在同一水平直线上，求铁塔AB的高度（结果精确到0.1米， ≈1.732）
【答案】解：在Rt△ADB中，DB= ，
Rt△ACB中，CB= ，
∵CD=CB-DB，
∴AB= ≈23.7（米）
答：电视塔AB的高度约23.7米
【解析】【分析】在点C处测得A的仰角为45°，则ACB=45°，DB=；D处测得A的仰角为60°，则ADB=65°，CB=；由CD=CB-DB，构造关于AB的方程，即可求得AB的值。
30．五轮塔位于长沙市岳麓山区，是北伐阵亡将士纪念塔．如图，小涵的身高为米．他站在处测得塔顶的仰角．小颖的身高为米，她站在距离塔底中心点米远的处．测得塔顶的仰角．（点在同一水平线上，参考数据：）．
（1）求小涵与塔底中心的距离（用含的式子表示）；
（2）若小涵与小颖相距米，求五轮塔的高度（精确到米）．
【答案】（1）解：由题意得，四边形，为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：小涵与塔底中心的距离 为米
（2）解：由（）得，（米），（米）∴（米），
由题意得：，
解得：，
∴（米），
答：五轮塔的高度为米
【解析】【分析】（）根据矩形的性质求得GH=0.2，在中，利用的正切求AH的值，进而可得AG=AH-0.2，再根据等腰直角三角形的性质的CG=AG，即可求得；
（）由“ 小涵与小颖相距米 ”可得关于的方程，解方程求得的值，再求出AB即可.
（1）解：由题意得，四边形，为矩形，
∴，，
∴，
在中，，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：小涵与塔底中心的距离 为米；
（2）由（）得，，（米），（米）
∴（米），
由题意得：，
解得：，
∴（米），
∴（米），
答：五轮塔的高度为米．
31．为响应二十大新型城镇化战略，助力乡村振兴，某县计划在乡镇之间增设燃气管道．如图，同一平面上的四个点，，，为某县四个乡镇的中心点，，两个乡镇之间已铺设燃气主管道，其长为27千米．计划在，两个乡镇之间再铺设燃气主管道．已知，，．求的长．（结果保留整数，参考数据：，，，）
【答案】解：如下图，过，两点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
在中，
∵千米，，
∴千米，
在中，
∵千米，，
∴千米．
答：的长约为48千米．
【解析】【分析】先求出 ， 再求出AE=BF，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
32．如图所示，某海盗船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处使，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长，结果精确到0.1）（参考数据： ≈1.732， ≈1.414）
【答案】解：在Rt△PAB中，
∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB tan60°，
∴PC＝2×20× ≈69.3（海里）
【解析】【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题．
33．如图，山坡AB的坡度i=1： ，AB=10米，AE=15米．在高楼的顶端竖立一块倒计时牌CD，在点B处测量计时牌的顶端C的仰角是45°，在点A处测量计时牌的底端D的仰角是60°，求这块倒计时牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【答案】解：作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，∵CE⊥AE，∴四边形BGEF为矩形，∴BG=EF，BF=GE，在Rt△ADE中，∵tan∠DAE= ，∴DE=AE tan∠DAE=15 ，∵山坡AB的坡度i=1： ，AB=10，∴BG=5，AG=5 ，∴EF=BG=5，BF=AG+AE=5 +15，∵∠CBF=45°∴BF=CF=5 +15，∴CD=CF+EF-DE=20-10 ≈20-10×1.732=2.68≈2.7（m），答：这块宣传牌CD的高度为2.7米．
【解析】【分析】作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，很容易判断出四边形BGEF为矩形，根据矩形的对边相等得出BG=EF，BF=GE，在Rt△ADE中，根据正切函数的定义，由DE=AE tan∠DAE得出DE的长，根据坡度的定义及AB=10，得出BG，AG，进而得出EF，BF，根据等腰直角三角形的性质得出BF=CF最后根据，CD=CF+EF-DE得出答案。
34．为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪 CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）
【答案】解：设AE＝x，
在Rt△ACE中，CE＝＝1.1x，
在Rt△AFE中，FE＝＝0.55x，
由题意得，CF＝CE-FE＝1.1x-0.55x＝12，
解得：x＝，
故AB＝AE＋BE＝＋1.5≈23米．
答：这个电视塔的高度AB为23米．
【解析】【分析】 设AE＝x，由题意可知：在Rt△ACE中，CE＝＝1.1x，在Rt△AFE中，FE＝＝0.55x，根据CF＝CE-FE可得1.1x-0.55x＝12，解之可得：x＝，则AB＝AE＋BE＝＋1.5≈23米。
35．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：1，△ABC的面积为27，求△ADE的面积．
【答案】解：∵AD：DB＝2：1，
∴．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴，即，
解得：，
∴△ADE的面积为12．
【解析】【分析】根据面积比等于相似比的平方即可解得.
36．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度是多少？
【答案】解：根据题意得：AB=8米，DE=20米，∠A=30°，∠EBC=45°，在Rt△ADE中，AE= DE=20 米，∴BE=AE﹣AB=20 ﹣8（米），在Rt△BCE中，CE=BE tan45°=（20 ﹣8）×1=20 ﹣8（米），∴CD=CE﹣DE=20 ﹣8﹣20=20 ﹣28（米）．
【解析】【分析】由题意解Rt△ADE中可得AE的长，则由线段的构成可得BE=AE﹣AB，然后解Rt△BCE可求得CE=BE tan45°，则CD=CE﹣DE可求解。
37．如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得.求河流的宽度.（结果精确到1米，参考数据：）
【答案】解：过点A作 于点E，过点B作 于点F .
在 中， ，
∵ ，
∴ .
设 米，则 米.
∵
∴四边形 是矩形，
∴ 米， 米，
∵ 米，
∴ 米.
在 中， ，
∵ ，
∴ ，解得： .
∴ （米）.
答：河流的宽度为160米.
【解析】【分析】 过点A作AE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，在Rt△ADE中，由∠ADN的正切函数可得，设DE=4x，则AE=11x，易得四边形AEFB是矩形，得EF=AB=50，BF=AE=11x，则CF=170+4x，在Rt△BCF中，利用∠BCN的正切函数建立方程，可求出x的值，从而即可得出AE的长.
38．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC=4，BC=3，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，
∴∠ACB=∠CDB=90°
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．
∴由勾股定理得 AB=5
∵△ABC∽△CBD，
∴ =
∴BD= = = .
【解析】【分析】（1）由图可知，ΔACD、ΔBCD与ΔABC都是直角三角形，且∠A与∠BCD相等，∠ACD与∠B相等，所以ΔABC∽ΔCBD；
（2）由相似三角形的对应边成比例可知，由勾股定理可知AB=5，即可求得BD的长。
39．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）
【答案】解：过点M作MN⊥AB于N，
设MN=x米．
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，
∴MA=2MN=2x，AN=MN=x．
在Rt△BMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，
∴BN=MN=x，MB=MN=x．
∵AN+BN=AB，
∴x+x=300（+l），
∴x=300，
∴MA=2x=600，MB=x=300．
故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300米．
【解析】【分析】根据题意，在△ABM中，∠BAM=30°，∠ABM=45°，AB=300（+l）米．过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米，用含x的代数式分别表示AN，BN，根据AN+BN=AB建立方程，解方程求出x的值，进而求出MA与MB的长．
40．数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连结OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I．
（1）请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；
（2）还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）．
【答案】解：（1）四边形GHIJ是正方形．
证明如下：如图1，
∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA，
∴∠GJO=∠JIH=∠JGH=90°，
∴四边形GHIJ是矩形，
∵四边形CDEF是正方形，CD边与矩形GHIJ的IJ边在同一条直线上
∴FC∥HI，EF∥GH，
∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO．…
∴，．
∴．
又∵FC=EF，
∴HI=GH．
∴四边形GHIJ是正方形；
（2）如图2，正方形MNGH为所作．
【解析】【分析】（1）由作法可得四边形CDEF与四边形IJGH是位似图形，位似中心为点O，由于四边形CDEF为正方形，所以四边形GHIJ是正方形；
（2）先画正方形CDEF，点C、F在OA、OB上，再作正方形CDEF以点O为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径OA、OB和弧AB上即可．
41．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接．
（1）如图1，，，若，求的度数；
（2）如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：；
（3）如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
∴，
又∵，
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：在上截取，连接交于点N，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
又∵，
∴，
在和中，
；
∴，
∴，
又∵∠，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：．
【解析】【解答】解：如图所示，在上取一点T，使得，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
设，则，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点F作分别交延长线于S、K，
∴，
又∵，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
如图所示，取中点R，连接，
由折叠的性质可得，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以R为圆心，为半径的圆上运动，
∴当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值，
如图所示，过点A作于V，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴
【分析】（1）先根据题意得到∠A的度数，进而根据等边三角形的判定与性质得到，再根据平行线的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明得到，从而运用角的运算即可求解；
（2）在上截取，连接交于点N，先根据等腰三角形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，再证明即可得到，从而结合题意得到，再证明得到，从而即可得到，再结合题意进行线段的运算即可求解；
（3）在上取一点T，使得，连接，先根据等边三角形的判定与性质得到，进而证明即可得到，设，则，进而结合题意即可得到，设，则，，再根据线段的运算得到，过点F作分别交延长线于S、K，根据等边三角形的判定与性质结合题意即可得到，，进而根据相似三角形的判定与性质得到，取中点R，连接，由折叠的性质可得，进而根据三角形中位线定理结合题意得到，从而得到点M在以R为圆心，为半径的圆上运动，当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值，过点A作于V，进而结合题意运用勾股定理即可求解。
42．如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【答案】解： 过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20 ×2）2，
解得：AM=CM=40，
∵∠ECB=15°，
∴∠BCF=90°﹣15°=75°，
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，
在Rt△BCM中，tanB=tan30°= ，即 = ，
∴BM=40 ，
∴AB=AM+BM=40+40 ≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
【解析】【分析】过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，
在Rt△ACM中 ，利用
勾股定理 求出AM、CM的值，
在Rt△BCM中，利用锐角三角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
43．2022年底，太忻一体化经济区将新建1994座5G基站．如图是建在坡度的斜坡上的一个5G基站塔，在坡角顶点A处测得塔顶D的仰角为，沿斜坡步行到达B处，在B处测得塔顶D的仰角为，点A，B，C，D，M，N在同一平面内．求基站塔高．
（结果精确到，参考数据：）
【答案】解：如图，延长交于点E，过点B作于点F，延长交于点G，则．
在中，由斜坡的坡度知
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理，得，
即．解得．
∴．
在中，，，
由，，得．
∵于点G，
∴．
在中，，
由，，得．
在中，，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵斜坡的坡度为，
∴．
∴．
∴（米）．
答：基站塔高约为44.3米．
【解析】【分析】做辅助线： 延长交于点E，过点B作于点F，延长交于点G，在Rt△ABF中，已知AB和坡度利用勾股定理可求BF，AF，进而在Rt△BEF中可求EF；然后在Rt△DEG中利用 可得 ，进而在Rt△DAG中可得AG=DG=76， 然后在Rt△ACG中求出CG，最后利用DC=DG-CG即可求解。
44．如图，，点P为内一点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，试求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴是等腰直角三角形．
∴．
由（1）知．
∴＝＝＝＝．
∴，
∴．
∵
∴，
∴是直角三角形．
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由，可得，等量代换可得，即可证得 .
（2）由，，可得是等腰直角三角形 ，则，根据相似三角形的对应边成比例可得＝=＝＝，得出，根据 ，证得是直角三角形 ，利用勾股定理得出，即可求出的值 .
45．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果精确到0.01小时）．
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】解：（1）∵BD∥AE，
∴∠DBA+∠BAE=180°，
∴∠DBA=180°﹣72°=108°，
∴∠ABC=108°﹣78°=30°；
（2）作AH⊥BC，垂足为H，
∴∠C=180°﹣72°﹣33°﹣30°=45°，
∵∠ABC=30°，
∴AH=AB=12，
∵sinC=，
∴AC===12．
则A到出事地点的时间是：≈≈0.57小时．
答：约0.57小时能到达出事地点．
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠DBA的度数，则∠ABC即可求得；
（2）作AH⊥BC于点H，分别在直角△ABH和直角△ACH中，利用三角函数求得BH和CH的长，则BC即可求得，进而求得时间．
46．如图，在三角形纸片中，，．把三角形纸片分别沿对折（点分别在边上，点在边上），使点落在边上同一点处．
（1）若，则五边形的周长为______；
若，则五边形的周长为______．
（2）根据题（）的研究结果，提出一个合理猜想，并证明猜想成立．
【答案】（1）；；
（2）猜想：五边形的周长为定值．证明：设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的周长
【解析】【解答】解（1）：由折叠可得，，，，，，
∵，，
∴，
过点作于，则，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的周长；
故答案为：；
当时，同理可得，，，，，，
∴五边形的周长，
故答案为：．
【分析】（）利用折叠的性质可证得DB=DP，BE=PE，FP=FC，PG=CG，∠DEB=∠FGC=90°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠B，∠C的度数；过点作于，利用等腰三角形的性质可表示出BM、CM的长，同时可求出AM的长，利用勾股定理可求出BM的长，从而可得到BC的长；当AD=2时，可得到BD、DE的长，利用勾股定理可求出BE的长，即可得到PE、CP、PG的长，利用解直角三角形求出FG的长，可得到CF的长，根据AF=AC-CF，可求出AF的长；然后求出五边形的周长；同理可求出DE、EP、PG、AE、FG的长，然后求出五边形的周长.
（）猜想：五边形的周长为定值．设，可表示出BD的长和DE的长，利用勾股定理可表示出BE、EP、PG的长，利用解直角三角形可表示出FG的长，由此可得到CF的长，然后根据AF=AC-CF可求出AF的长；然后求出五边形的周长.
47．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）当与的面积相等时，求此时点的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点是平面内一点，是否存在这样的，两点，使四边形是“垂等四边形”，且该四边形的两条对角线相交于点，？若存在，求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点在直线上，，
，
，
∴反比例函数的表达式为：，
则，
解得：，
．
（2）解：如图1，过点A作轴，交于P，设点C的坐标为，
，
∴的解析式为：，当时，，
，
设的解析式为：，
则，解得：，
∴的解析式为：，
，
∵与的面积相等，
，
即，
，
解得：（负值已舍去），
∴，．
（3）解：存在，如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于，
在中，当时，，
，
，
，
∵四边形是“垂等四边形”，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
，
设直线的解析式为：，将点的坐标代入得：，
，
∴的解析式为：，
，
解得：或（舍），
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
∴也是等腰直角三角形，
，
，
同理得：的解析式为：，设，
，
，
解得：（舍），
．
【解析】【分析】（1）把A点坐标代入可计算的值，并求出的值，解一次函数和反比例函数联力的方程组可得点的坐标；
（2）过点作轴，交于，设点的坐标为，先根据待定系数法求出直线的解析式为，进而可得，然后根据求出a的值即可；
（3）如图，过点作轴于，过点作轴，过点作于，可以得到，根据解直角三角形可得，即可求得的解析式，证明和也是等腰直角三角形，求得，根据即可解题．
（1）解：∵点在直线上，
，
，
，
∴反比例函数的表达式为：，
则，
解得：，
．
（2）解：如图1，过点A作轴，交于P，设点C的坐标为，
，
∴的解析式为：，当时，，
，
设的解析式为：，
则，解得：，
∴的解析式为：，
，
∵与的面积相等，
，
即，
，
解得：（负值已舍去），
∴，．
（3）解：存在，如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于，
在中，当时，，
，
，
，
∵四边形是“垂等四边形”，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
，
设直线的解析式为：，将点的坐标代入得：，
，
∴的解析式为：，
，
解得：或（舍），
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
∴也是等腰直角三角形，
，
，
同理得：的解析式为：，设，
，
，
解得：（舍），
．
48．在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，设移动时间为秒，分别解答下列问题：
（1）如图①，当移动时间秒时，求的长．
（2）当，移动到能使线段正好平分的面积时，这时时间为多少秒？
（3）如图②，连接、，设，当点关于的对称点正好落在边上时求的值．
【答案】（1）解：当时，，，
，，
，，
，
；
（2）解：，，
根据题意可得：，
，
解得：（舍去），，
当时间为秒时，线段正好平分的面积；
（3）解：如图，连接，过点作于点，
，关于对称，
垂直平分，
平分，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
解得：，
，，
．
【解析】【分析】（1）先求出，，再利用勾股定理求出PQ的长即可；
（2）根据“ 线段正好平分的面积 ”可得，再求出t的值即可；
（3）连接，过点作于点，先证出，可得，再将数据代入可得，求出t的值，最后求出即可．
（1）解：当时，，，
，，
，，
，
；
（2），，
根据题意可得：，
，
解得：（舍去），，
当时间为秒时，线段正好平分的面积；
（3）如图，连接，过点作于点，
，关于对称，
垂直平分，
平分，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
解得：，
，，
．
49．如图，在斜坡顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在斜坡面上．在同一时刻，小明站在点E处，其影子EF在直线DE上，小华站在点G处，影子GH在直线CD上，他们的影子长分别为2 m和1 m．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华身高均为1.6 m，那么塔高AB为多少？
【答案】解：如图，过点D作DM⊥CD，交AE于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
则四边形BDMN为矩形，∴MN＝BD，BN＝DM.
由题意，得 .
∴DM＝DE×1.6÷2＝14.4(m)．
∵MN＝BD＝ CD＝6 m， ，
∴AN＝1.6×6＝9.6(m)，
∴AB＝AN＋BN＝9.6＋14.4＝24(m)．
答：铁塔AB的高度为24 m.
【解析】【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD斜坡上的DE.然后根据影长的比分別求得AN，GB长，把它们相加即可
50．小玲和晓静很想知道某塔的高度PQ，于是，他们带着标杆和皮尺进行测量，测量方案如下：如图所示，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿QC后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到塔顶的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为；然后，晓静在处竖立了一根高的标杆EF，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得FM为为，已知，点Q，C，B，F，M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算该塔的高度PQ.
【答案】解：∵∠PQC=∠ABC=90°，∠PCQ=∠ACB，
∴△PCQ∽△ACB，
∴，即，
∴QC=1.2PQ，
∵∠PQF=∠EFM=90°，∠PMQ=∠EMF，
∴△PMQ∽△EMF，
∴，
∴，即，
∴PQ=47m.
【解析】【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PCQ∽△ACB，由相似三角形对应边成比例可得出QC=1.2PQ，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△PMQ∽△EMF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PQ的长.
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