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苏科版2025—2026学年九年级上册期末模拟冲刺满分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．0
2．小彩参加“新时代好少年”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分（每项满分为10分）．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小彩的最终比赛成绩为（ ）
A．8.3分 B．8.4分 C．8.5分 D．8.6分
3．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，0）
C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
5．小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形(阴影)区域的概率为（ ）
A． B．π C． D．π
6．如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为（ ）
A．8 B． C． D．
7．如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
10．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD，CB 为⊙O的切线，D，B 为切点，OC 交⊙O于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 F，连接AD，BD.给出以下结论：①AD∥OC；②点 E 为△CDB 的内心；③FC=EF.其中正确的是( ).
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知的半径为2，弦，弦，则的度数为 ．
12．如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ．
13．如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为 ．
14．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为 ．
15．现有5名同学的身高分别为165，172，168，170，175（单位：厘米）．增加1名身高为170的同学后，这6名同学身高的平均数和方差与原来相比，平均数 （填“变大”、“变小”“不变”），方差 （填“变大”、“变小”、“不变”）．
16．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 组成圆的折弦， ， 是弧 的中点， 于 ，则 ．
如图2，△ 中， ， ， ， 是 上一点， ，作 交△ 的外接圆于 ，连接 ，则 = °．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 解方程：
（1）
（2）
18．甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．
（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
19．如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长．
（2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由．
20．八（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：
甲
乙
（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；
（2）已知甲队成绩的方差是，乙队成绩的方差是，则成绩较为整齐的是 队．
21．在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．
（1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．
（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
22． 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元；
（3）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式. 当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23． 高速收费站推行ETC（电子不停车收费系统）可以有效节约人工成本，缓解道路拥堵，某高速收费站入口开放了A，B，C，D其4个ETC通道，所有车辆均可从四个通道中随机通过.
（1）甲车经过该收费站时，选择A通道通过的概率是 ；
（2）用树状图或列表法求甲、乙两辆车先后经过此收费站时，选择不同通道通过的概率.
24．已知关于x的方程．
（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
25．对于数轴上两条线段，，给出如下定义：点E是线段的中点，点F是线段上一点，设点E与点F之间的距离为a，若a的最小值不超过1，则称线段是线段的“近中线段”．
如图，在数轴上点表示的数分别为，，．
（1）若点B表示的数为9，线段_______线段的“近中线段”（填“是”或“不是”）；
（2）若点B表示的数为，线段是线段的“近中线段”，求满足条件的的最小值和最大值；
（3）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒．当时，若线段的“近中线段”的长度恰好与的值相等，直接写出线段的中点Q所表示的数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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苏科版2025—2026学年九年级上册期末模拟冲刺满分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．0
【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 的一个根是1，
∴ ，
∴m=1；
故答案为：A
【分析】根据方程根的定义，将x=1代入方程中，即可求出m值.
2．小彩参加“新时代好少年”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分（每项满分为10分）．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小彩的最终比赛成绩为（ ）
A．8.3分 B．8.4分 C．8.5分 D．8.6分
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：
（分）．
故小彩的最终比赛成绩为分．
故答案为：B．
【分析】根据加权平均数计算即可求出答案.
3．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
根据圆周角定理得：
∴.
故答案为：A．
【分析】由AB是⊙O的直径，得到，根据圆周角定理可知，从而在Rt中，根据两锐角互余得到．
4．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，0）
C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【答案】D
【解析】【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
，
∴点D是过A、B、C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：D．
【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．
5．小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形(阴影)区域的概率为（ ）
A． B．π C． D．π
【答案】C
【解析】【解答】解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为P，圆的半径为R，
记圆的圆心为点O，过O作OM⊥BC于M，连接OA，OB，OC，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA，
∴∠BOC==120°，
∵OB=OC，
∴∠BOM=×120°=60°，
∴∠OBM=30°，
∵OB=R，
∴OM=，BM=OBcos30°=R，
∴BC=2BM=R，
∴，
∵OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠AOC，
∴△AOB≌△BOC≌△COA(SAS)，
∴S△AOB=S△BOC=S△COA，
∴S△ABC=3S△BOC=，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】求扎到阴影区域(不包括边界)的概率就是正三角形面积与圆的面积的比，据此可得答案.
【解答】解：在实数、、、、、、、、中，
无理数有：、、、.
故答案为：C.
【分析】根据无理数的定义和常见形式即可求解.
6．如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
圆心角与互补，
圆心角与互补，
，
，
，
为直径，
，
的半径为5，
，
，
故答案为：A．
【分析】延长AO交于点E，连接BE，先证∠DOC=∠BOE，可得BE=DC=6，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用勾股定理求解即可。
7．如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴
∵四边形内接于，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据"同弧所对的圆周角等于圆心角的一半"，据此求出∠BAD的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，进而即可求出∠DCE的度数.
8．一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，
∴(x+5)÷2=6，
∴x=7，
∴该组数据为1、5、7、7，
∴平均数为=5.
故答案为：B.
【分析】根据有唯一众数，且中位数是6可得x的值，然后根据平均数的计算方法进行计算.
9．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI。
∵PH⊥OA
∴∠PHO=90°，
∴∠HOP+∠OPH=90°
又∵I为△OPH的内心
∴∠IOP=∠IOA=∠HOP，∠IPO=∠OPH
∴∠IOP+∠IPO=(∠HOP+∠OPH）=45°
∴∠PIO=180°-（∠IPO+∠IOP）=180°-45°=135°
又∵OP=OA，OI=OT，∠IOP=∠IOA
∴△OPI≌△OAI
∴∠AIO=∠PIO=135°
∴点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上
过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO。
∴∠APO=180°-∠AIO=180°-135°=45°
∴∠AO′O=90°
∴O′O=OA=×2=
∴弧OA的长=.
∴内心I所经过的路径长为。
故答案为：B.
【分析】连OI，PI，AI，先利用三角形的内心的定义求出∠PIO=135°，然后易证△OPI≌△OAI，利用相似三角形的对应角相等得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，利用圆内接四边形的性质可得∠APO=45°，进而得∠AOO=90°，则可求出O′O，然后利用弧长公式计算即可。
10．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD，CB 为⊙O的切线，D，B 为切点，OC 交⊙O于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 F，连接AD，BD.给出以下结论：①AD∥OC；②点 E 为△CDB 的内心；③FC=EF.其中正确的是( ).
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】【解答】解：设AE、BD交于点G， 连接OD， DE， EB，
∵CD与BC是⊙O的切线，
在 和 中，
∴AD∥OC，
故①正确；
∵CD是⊙O的切线，
即DE是 的角平分线，
∵CO平分
∴E为 的内心，
故②正确；
若 则应有 应有
，
应有
而 与 不一定相等，
故③不正确；
∴正确的结论有： ①②.
故答案为： A.
【分析】设AE、BD交于点G，连接OD， DE， EB， 根据切线的性质，得Rt△CDO≌Rt△CBO(HL)，得∠COD=∠COB，根据得AD∥OC， 故①正确； CD是⊙O的切线， ， 而 即DE是∠CDB的角平分线， 根据CO平分∠CBD，得E为△CBD的内心， 故②正确； 若FC = FE，则应有∠OCB=∠CEF， 应有∠EAB=∠DBA， 应有 而 与 不一定相等，故③不正确.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知的半径为2，弦，弦，则的度数为 ．
【答案】150°或30°
【解析】【解答】解：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作于点P，作于点Q，如图，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
②当点B和点C在AO同侧时，过点O作于点M，作于点N，如图，
由①同理可得：，，
∴，
∴．
综上可知的度数为150°或30°．
故答案为：150°或30°.
【分析】①当点B和点C在AO两侧时，过点O作OP⊥AB于点P，作OQ⊥AC于点Q，由垂径定理可得AP=AB，利用勾股定理可得OP，推出AP=OP，进而求出AQ、OA、OQ的值，推出∠QAO=30°，由角的和差关系可得∠BAC的度数，由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC，据此计算；②当点B和点C在AO同侧时，过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N，同理求解即可.
12．如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ．
【答案】（5，2）
【解析】【解答】解：设三角形的外心为，由题意可得：
，
则，
解方程可得：，
故答案为（5，2）．
【分析】设三角形的外心为，根据，可得，再求出，即可得到答案。
13．如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知：共有12种等可能结果，其中随机闭合2个开关， 小灯泡发光的有8种，
∴ 小灯泡发光的概率为=.
故答案为：.
【分析】利用树状图列举出共有12种等可能结果，其中随机闭合2个开关， 小灯泡发光的有8种，然后利用概率公式计算即可.
14．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：由题可知：
．
不成立，
由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，
三角形周长为2+3+3=8．
故答案为：8．
【分析】将方程左边进行因式分解后求出方程的两个根，利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，由此即可求出周长．
15．现有5名同学的身高分别为165，172，168，170，175（单位：厘米）．增加1名身高为170的同学后，这6名同学身高的平均数和方差与原来相比，平均数 （填“变大”、“变小”“不变”），方差 （填“变大”、“变小”、“不变”）．
【答案】不变；变小
【解析】【解答】解：5名同学的身高的平均数为，
方差为，
增加1名同学后平均数为，
方差为，
∴平均数不变，方差变小．
故答案为：不变，变小
【分析】根据平均数和方差的定义求解即可。
16．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 组成圆的折弦， ， 是弧 的中点， 于 ，则 ．
如图2，△ 中， ， ， ， 是 上一点， ，作 交△ 的外接圆于 ，连接 ，则 = °．
【答案】60
【解析】【解答】
∵AB=8 BC=6 BD=1
∴AD=7 BD+BC=7
AD=BD+BC
∵ED⊥AB
点E为弧ABC的中点，弧AE=弧CE
∠AOE=∠COE
∠AOC=2∠ABC=120°
∠COE=120°
∠CAE=
【分析】根据圆心角和弧、弦的关系，可利用圆周角定理得出度数。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或，
∴，；
（2）解：，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【解析】【分析】（）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（）利用公式法解一元二次方程即可．
18．甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．
（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
【答案】解：（1）画树状图得：
共有6种等可能的结果，两数之和为偶数的有2种情况；
甲获胜的概率为：；
（2）不公平．
理由：数字之和为奇数的有4种情况，
（乙获胜），
（甲（乙，
这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由图可知共有6种等可能的结果，两数之和为偶数的有2种情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由图可知共有6种等可能的结果，两数之和为奇数的有4种情况，然后根据概率公式求出乙获胜的概率，再比较甲、乙两人获胜的概率的大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．
19．如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长．
（2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由．
【答案】（1）解：设剪去的正方形的边长为，则
即
解得：(不合题意，舍去)，，
答：剪去的正方形的边长为；
（2）解：有侧面积更大的情况，
设正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系式为，
即，
，
当时，最大为，
即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为．
【解析】【分析】（1）设剪去的正方形边长为，根据题目条件建立方程解方程即可；
（2）设正方形边长为，盒子侧面积为，得到侧面积函数关系式：，将其化为顶点式，进一步即可得出当时，最大为。
（1）解：设剪去的正方形的边长为，则
即
解得：(不合题意，舍去)，，
答：剪去的正方形的边长为；
（2）解：有侧面积更大的情况，
设正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系式为，
即，
，
当时，最大为，
即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为．
20．八（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：
甲
乙
（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；
（2）已知甲队成绩的方差是，乙队成绩的方差是，则成绩较为整齐的是 队．
【答案】（1）；
（2）乙
【解析】【解答】解：（1）甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，∴甲队的中位数为：（9+10）÷2=9.5；
乙队的成绩从小到大排列为：7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，其中10出现的次数最多，∴乙队的众数为：10；
故答案为：9.5；10；
（2）∵甲队成绩的方差是，乙队成绩的方差是，且1.4>1，
∴乙队的成绩较为整齐，
故答案为：乙.
【分析】（1）先将数据从小到大排列，再利用中位数和众数的计算方法求解即可；
（2）利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可.
21．在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．
（1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．
（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）；
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
【解析】【解答】（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；
故答案为：0.50；0.5
【分析】(1)本题考察频率与概率的关系，核心是利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”这一规律。从“摸到白球”的频率折线图可以看出，随着摸球次数的增加，频率逐渐稳定在0.50左右，因此当摸球次数n很大时，摸到白球的概率接近0.50；单次摸球的概率等于这个稳定的频率，即0.5。
(2)本题考察概率公式的实际应用，核心是根据目标概率列方程求解。由(1)可知，盒子中原有60个球，摸到白球的概率为0.5，因此原有白球数量为个，红球数量为个。设再放入x个白球，此时白球总数为，球的总数为，根据目标概率，可列出方程，解方程得x=15，经检验该解符合题意，因此需要再放入15个白球。
（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
22． 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元；
（3）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式. 当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把(10，40)， (20，20)代入得
解得
∴y与x之间的函数关系式y=-2x+60
（2）解：根据题意得：((x-10)(-2x+60)=150，
解得 (不合题意，舍去)，
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元
（3）解：根据题意得：w=(x-10)(-2x+60) 对称轴为直线x=20，在对称轴的左侧w随着x的增大而增大，
∴当x=20时， w最大， 最大为200.
即当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元
【解析】【分析】(1)设函数关系式y=kx+b，把(10，40)，(20，20)代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于20元/千克，得出自变量x的取值范围；
(2)根据日销售利润为150元，列出一元二次方程，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值；
(3)根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可.
23． 高速收费站推行ETC（电子不停车收费系统）可以有效节约人工成本，缓解道路拥堵，某高速收费站入口开放了A，B，C，D其4个ETC通道，所有车辆均可从四个通道中随机通过.
（1）甲车经过该收费站时，选择A通道通过的概率是 ；
（2）用树状图或列表法求甲、乙两辆车先后经过此收费站时，选择不同通道通过的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两辆车先后经过此收费站时，选择不同通道通过的结果有：AB，AC， AD， BA， BC， BD， CA， CB， CD， DA， DB， DC， 共12种，
∴甲、乙两辆车先后经过此收费站时，选择不同通道通过的概率为
【解析】【解答】解：（1）由题意得，甲车经过该收费站时，选择A通道通过的概率是-
故答案为：
【分析】(1)直接利用概率公式可得答案.
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两辆车先后经过此收费站时，选择不同通道通过的结果数，再利用概率公式可得出答案.
24．已知关于x的方程．
（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程总有实数根
（2）解：①若为底边长，则为腰长，则．
∴，解得．
此时原方程化为，∴，即．
此时的三边长为6，2，2，不能构成三角形，故舍去．
②若为腰长，则中一个为腰长，不妨设，
代入方程得，∴．
则原方程化为，，
∴，即．
此时的三边长为6，6，2，能构成三角形．
综上所述，的三边长为6，6，2．
∴周长为．
【解析】【分析】（1）根据判别式得出方程有根的结论；
（2）分情况讨论，a为底边或a为腰进行求解，得出结论。
25．对于数轴上两条线段，，给出如下定义：点E是线段的中点，点F是线段上一点，设点E与点F之间的距离为a，若a的最小值不超过1，则称线段是线段的“近中线段”．
如图，在数轴上点表示的数分别为，，．
（1）若点B表示的数为9，线段_______线段的“近中线段”（填“是”或“不是”）；
（2）若点B表示的数为，线段是线段的“近中线段”，求满足条件的的最小值和最大值；
（3）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒．当时，若线段的“近中线段”的长度恰好与的值相等，直接写出线段的中点Q所表示的数．
【答案】（1）是
（2）解：∵线段是线段 的“近中线段”，∴a的最小值不超过1，
又∵点表示的数分别为，，点F是线段上一点，点E与点F之间的距离为a，
∴结合数轴可得点E表示的数最小值为，最大值为，
∵点表示的数分别为，，点E是线段的中点，
∴点E表示的数为，
∴，
∴，
∴的最小值是，最大值是．
（3）
【解析】【解答】（1）解：∵点表示的数分别为，9，点E是线段的中点，
∴点E表示的数为，
又∵点表示的数分别为，，点F是线段上一点，点E与点F之间的距离为a，
∴，，即，
∴线段是线段的“近中线段”，
故答案为：是．
（3）解：∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒，
∴点P表示的数为，
∵，
∴点P在原点左侧
又∵点表示的数分别为，，
∴，，线段的中点Q所表示的数最小值为，最大值为，
∴，点在点右侧
∵，
∴，
设点表示的数为，则，
∵，
∴，即，
∴线段的中点表示的数为，
∵的长度恰好与的值相等，
∴，
解得：，
∴，
∴线段的中点Q所表示的数为．
【分析】(1) 本题考察线段中点的计算以及“近中线段”的定义，先根据中点公式求出线段的中点表示的数，点，，则的坐标为；线段上的点表示的数在2到3之间，点与上点的最小距离为，，满足“近中线段”的定义，所以线段是线段的“近中线段”。
(2) 本题考察数轴上中点坐标的计算以及不等式的应用，先根据中点公式，线段的中点表示的数为；根据“近中线段”的定义，与上点的最小距离不超过1，在2到3之间，因此的取值范围是（最小距离不超过1，即在1到4之间）；解这个不等式，先两边加2得，再两边乘2得，因此的最小值是6，最大值是12。
(3) 本题考察数轴上点的运动、线段长度计算以及中点坐标公式，点从出发，以每秒1个单位向右运动秒，所以表示的数为，因，在原点左侧；先计算，，，则，，所以；设点表示的数为，因是“近中线段”，在右侧（），则；由得，解得；线段的中点表示的数为，将代入，得。
（1）解：∵点表示的数分别为，9，点E是线段的中点，
∴点E表示的数为，
又∵点表示的数分别为，，点F是线段上一点，点E与点F之间的距离为a，
∴，，即，
∴线段是线段的“近中线段”，
故答案为：是．
（2）解：∵线段是线段 的“近中线段”，
∴a的最小值不超过1，
又∵点表示的数分别为，，点F是线段上一点，点E与点F之间的距离为a，
∴结合数轴可得点E表示的数最小值为，最大值为，
∵点表示的数分别为，，点E是线段的中点，
∴点E表示的数为，
∴，
∴，
∴的最小值是，最大值是．
（3）解：∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒，
∴点P表示的数为，
∵，
∴点P在原点左侧
又∵点表示的数分别为，，
∴，，线段的中点Q所表示的数最小值为，最大值为，
∴，点在点右侧
∵，
∴，
设点表示的数为，则，
∵，
∴，即，
∴线段的中点表示的数为，
∵的长度恰好与的值相等，
∴，
解得：，
∴，
∴线段的中点Q所表示的数为．
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