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【决战期末·50道解答题专练】苏科版数学八年级上册期末总复习
1． 如图， AB∥CD， ∠A=40°， ∠D=45°. 求∠1和∠2的度数.
2．如图，在中，是边上的一点，且．
（1）求证：；
（2）求的大小．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40，∠2=20°，求∠AEB的度数．
4．如图，在四边形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
5．如图，大正方形ABCD的边长为a，小正方形CEFH的边长为b．
（1）请用字母a、b表示出图中阴影部分的面积；若a＝6，b＝4，阴影部分的面积是多少？
（2）有同学通过研究发现，图中三角形BDF的面积只与a的值有关，而与b的值无关，你认为他的这个发现正确吗？写出你的理由．
6．在数轴上近似地表示出及它们的相反数，并比较所有数的大小，按从大到小的顺序用“＞”连接起来.
7．如图，P为等边△ABC内一点，连接BP、PC，延长PC到点D，使CD= PC；延长BC到点E，使CE=BC，连接AE、DE．
（1）求证：BP∥DE；
（2）求∠BAE的度数；
（3）若BP⊥AC，则∠AED= 度．
8． 某水果店购进甲、乙两种苹果，这两种苹果的销售额y(单位：元)与销售量x(单位： kg)(0≤x≤120)之间的关系如图所示.
（1）求乙种苹果的销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）若不计损耗等因素，甲、乙两种苹果的销售总量为 100 kg，销售总额为2100元，求乙种苹果的销售量.
9．如图，在锐角三角形ABC中，AB = 13，AC = 15，点D是BC边上一点，BD = 5，AD = 12，求BC的长度．
10．如图，已知AB∥CD，射线 AF平分∠CDE，∠A=∠AGB.
（1）BC 与DE 平行吗？请说明理由。
（2）若∠EDF=110°，求∠B的度数。
11．当x=-1时，求下列函数的函数值．
（1）y=3x-7．
（2）.
（3）.
（4）.
12．如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为．
（1）填空：点的坐标是_______，点的坐标是_______；
（2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请写出的三个顶点坐标；
（3）求的面积．
13．如图：已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
14．用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片(裁剪方式见示意图)，该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．
15．游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水900立方米，换水时打开排水孔，以每小时300立方米的速度将水放出．设放水时间为小时，游泳池内存水量为立方米．
（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）放水多少小时后，游泳池内存水量小于300立方米？
16．如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8cm，求DE的长．
17．已知2a-1的平方根是±1，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的平方根．
18．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠D＝56°，∠ACD＝70°，求∠A的度数．
19．如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AD是∠BAC的角平分线，AE是高，求∠EAD的度数.
20．如图，A、B两个花圃相距，C为水源地，水源地C距离A花圃，水源地C距离B花圃，为了方便灌溉，某工程队想修筑水渠．现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作的垂线，垂足为点H，先从水源地C修筑一条水渠到所在直线上的点H处，再从点H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断的形状并写出推理过程；
（2）按照乙方案，求从水源地点C修筑水渠到点H处，即的长度．
21．有两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾，和各发多少度电？
（2）两个发电厂共焚烧90吨垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾的两倍，求厂和厂总发电量的最大值.
22．在中，，，．
（1）求的取值范围．
（2）若是等腰三角形，则的周长为 ．
23．已知数0.101 001 000 100 001…， 它的特点是： 从左向右看， 相邻的两个1之间依次多一个0. 这个数是有理数还是无理数 为什么
24．如图，
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'，并写出点B'的坐标（ ， ）；
（2）若点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，则m＝ 、n＝ ；
（3）求△ABC的面积．
25．已知 是2x-y+4 的算术平方根， 是y-3x的立方根，试求 A+B的平方根.
26．如图，长方形ABCD内相邻的两个正方形面积分别为9，3。
（1）求图中AD的长。
（2）求图中阴影部分的面积。
27．分别求出下列图形中x和y的值．
28．已知：一次函数，是常数，的图象过，两点．
（1）求该函数的表达式；
（2）试判断点是否在直线上？并说明理由．
29．如图，已知，点E在AB边上，若，求∠BCE的度数．
30．已知某蓄水池的容量为50立方米，某小组同学测量了此蓄水池放水时蓄水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据.
放水时间t/分 1 2 3 4 5 …
蓄水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 …
（1）分别指出这个变化过程中的常量和变量.
（2）写出蓄水池中剩余水量y与放水时间t之间的关系式.
（3）当放水多少分钟时，蓄水池的水恰好全部放完
31．
（1）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD
（2）化简：
32．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的顶角的度数．
33．在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）若∠BAC＝120°，求∠BAD的度数；
（2）求证：△ADF是等腰三角形．
34．钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江连续绿道.圆圆和方方在笔直的绿道上分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人与甲地的距离s关于时间t的函数图象如图所示，圆圆的速度是180m/min，圆圆跑了2分钟后休息了a分钟，然后按原速度继续跑，方方的速度是150m/min，最后圆圆与方方同时到达各自终点.
（1）求a的值和图中AB对应的函数表达式.
（2）求两人相遇时t的值.
35．甘肃地震牵动全国，甲、乙两人沿同一条路用货车从地匀速开往相距的灾区地运送救灾物资.如图，和分别表示甲、乙与地的距离与行驶的时间之间的关系．
（1）甲出发 后，两人相遇，这时他们与地的距离为 ；
（2）甲的速度是 ，乙的速度是 ；
（3）乙从地出发 时到达地．
36．如图，在中，，是斜边上的高，，点E在的延长线上，求：
（1）的度数．
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（文字理由或数学式）．
解：（1）（已知），
______，
______，
____________（等量代换），
（2）（______）．
（等式的性质），
（已知），
____________（等量代换）．
37．如图，已知，，，，，求四边形的面积.
38． 在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝-20x+2200．
（1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
（2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围．
39．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过两点．
（1）求b的值；
（2）若是y轴上的点，连接，求的面积；
（3）若，且直线与线段有一个交点，求m的取值范围．
40．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、．
（1）若，求的度数；
（2）若，的长为5，求的周长．
41．已知一次函数的图象经过点 ， 两点.求这个一次函数的解析式.
42．甲骑电动车，乙骑自行车从太子湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）对比图①、图②可知： ， ；
（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
43．已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使，延长交射线于点，连接，作于点．
（1）如图1，当点为中点时，_______，的值为_______；
（2）如图2，当点在上运动时．
①直接写出的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
44．在平面直角坐标系中，，，，且．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），是等腰直角三角形，，A，F，E三点在一条直线上，过点B作于G．若，的面积为15，求的长；
（3）如图（2），点，，连接．当最小时，直接写出t的值．
45．将平面直角坐标系中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，，称与中的最大值为点和点的“联络量”，记作，．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．
如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数．
（1）①点A，C，D，E，O，与点B“联络量”是2的有 ；
②点M在平面上运动，已知将点D，E，M分在同一类时“代表量”是5，则动点M所在区域的面积为 ；
（2）已知二次函数上的任一点均满足将点，，，，，分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出的取值范围 ．
46．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，且.
（1）求直线的解析式；
（2）①若另一条直线与直线有唯一交点，求点的坐标；
②直接写出的取值范围.
（3）若直线只与轴的交点在线段上（不与，重合），试写出取值范围.
47．如图1，和在线段的同侧，且边与在同一直线上，，连接．
（1）在图1中，的形状为 ．
（2）如图2，若，请判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，若，和的角平分线交于点P，请直接写出的度数．
48．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
（1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
49．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，是64的立方根．
（1）直接写出： ， ， ；
（2）将线段平移得到线段，点的对应点是点，点的对应点是点．
①在平面直角坐标系中画出平移后的线段，直接写出点的坐标；
②若点在轴上，且的面积是6，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点在轴负半轴上运动，但不与点重合，直接写出、、之间的数量关系．
50．，两地相距，甲、乙两人开车沿同一条路从地到地，，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系，请结合图象回答下列问题：
（1）当时，求乙离开地的距离与时间之间的关系式；
（2）在行驶过程中，甲出发多少后，两人相距？不考虑乙到达地停止行驶后，甲乙相距的情况
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【决战期末·50道解答题专练】苏科版数学八年级上册期末总复习
1． 如图， AB∥CD， ∠A=40°， ∠D=45°. 求∠1和∠2的度数.
【答案】解： ∵AB∥CD，∠D=45°，
∴∠B=∠D=45°，
∵ ∠A=40°，
∴∠2=∠A+∠B=85°，
∵∠2=∠1+ ∠D ，
∴∠1=40°，
∴∠1=40°，∠2=85°.
【解析】【分析】 根据平行线的性质得到∠B=∠D=45°，通过外角的性质计算得到∠2，再利用∠2计算出∠1，解答即可.
2．如图，在中，是边上的一点，且．
（1）求证：；
（2）求的大小．
【答案】（1）证明：∵，
∴是等腰三角形，
∵，即，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）先由得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；
（2）先由已知得，则，再根据计算即可．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40，∠2=20°，求∠AEB的度数．
【答案】解：如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠1=40°
∵∠2=20°，
∴∠EAD=∠EAC-∠2=20°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°
∴∠AEB=∠ADE+∠EAD=110°．
【解析】【分析】先根据角平分线得到∠EAC=∠1=40°，进而得到∠EAD=∠EAC-∠2=20°，再根据垂直得∠ADE=90°，最后外角 ∠AEB=∠ADE+∠EAD 即可得。
4．如图，在四边形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为5
（2）解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积的面积的面积
，
∴四边形的面积为36
【解析】【分析】（1）根据，易得，在中，利用勾股定理，即可求出AC的值；
（2）根据勾股定理的逆定理，易得是直角三角形，从而可得，然后根据四边形的面积的面积的面积，根据三角形的面积公式，代入数据即可求解。
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为5；
（2）解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积的面积的面积
，
∴四边形的面积为36．
5．如图，大正方形ABCD的边长为a，小正方形CEFH的边长为b．
（1）请用字母a、b表示出图中阴影部分的面积；若a＝6，b＝4，阴影部分的面积是多少？
（2）有同学通过研究发现，图中三角形BDF的面积只与a的值有关，而与b的值无关，你认为他的这个发现正确吗？写出你的理由．
【答案】解：（1）∵ 大正方形ABCD的边长为a，小正方形CEFH的边长为b，
∴
当，时，
；
（2）他的这个发现正确，理由如下：
∵
．
∴只与的值有关，而与的值无关，
∴他的这个发现正确．
【解析】【分析】（1）阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去的面积，再减去的面积，列式计算得，再将，代入求解即可得；
（2）三角形BDF的面积等于正方形ABCD的面积与梯形DCEF的面积之和减去三角形ABD的面积，再减去三角形BEF的面积，列式计算得，即可得．
6．在数轴上近似地表示出及它们的相反数，并比较所有数的大小，按从大到小的顺序用“＞”连接起来.
【答案】解：的相反数分别为，
如图所示：
用“＞”连接为：.
【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数求出每一个数的相反数；根据数轴上原点表示数字0，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数，互为相反数的两个数位于原点的两侧，且到原点的距离相等，故在数轴上找出表示各个实数的点，并用实心的小黑点作好标注，将各个数在数轴上表示出来；进而根据数轴上的数从左至右依次增大用“ ＞ ”来连接各数即可.
7．如图，P为等边△ABC内一点，连接BP、PC，延长PC到点D，使CD= PC；延长BC到点E，使CE=BC，连接AE、DE．
（1）求证：BP∥DE；
（2）求∠BAE的度数；
（3）若BP⊥AC，则∠AED= 度．
【答案】（1）证明：在△PCB与△DCE中，∵PC = DC，∠PCB =∠DCE，BC = EC，
∴PCB≌△DCE（SAS），∴∠PBC =∠DEC，∴BP∥DE
（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB = 60° ，AC = BC，∴∠ACE= 120°，∵BC = CE，∴AC = CE，∴∠CAE =∠AEC = （180°- 120°） = 30°
∴∠BAE =∠BAC+∠CAE = 60°+ 30°= 90°．
（3）60
【解析】【解答】解：（3）分别延长AC，ED交于点F
∵BP∥DE，且BP⊥AC
∴ED⊥AC
∴∠F=90°
∵∠FAE=30°
∴∠AED=60°
故答案为：60
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得 △PCB≌△DCE ，则∠PBC =∠DEC，再根据内错角相等，两直线平行即可求出答案；
（2）根据等边三角形性质和三角形外角性质可得∠ACE= 120°，AC = CE，再根据等边对等角性质，三角形内角和定理可得∠CAE =∠AEC ，再根据∠BAE =∠BAC+∠CAE 即可求出答案；
（3）分别延长AC，ED交于点F，根据直线平行性质可得∠F=90°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
8． 某水果店购进甲、乙两种苹果，这两种苹果的销售额y(单位：元)与销售量x(单位： kg)(0≤x≤120)之间的关系如图所示.
（1）求乙种苹果的销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）若不计损耗等因素，甲、乙两种苹果的销售总量为 100 kg，销售总额为2100元，求乙种苹果的销售量.
【答案】（1）解：当0≤x≤30时，设乙种苹果的销售额 y与销售量x之间的函数表达式为 为常数，且k1≠0).
将点A(30，750)的坐标代入，得3 750，解得
∴y=25x.
当30为常数，且k2≠0).
将点A(30，750)，B(60，1200)的坐标
代入，得
解得
∴y=15x+300.
综上可知，乙种苹果的销售额y与销售量x之间的函数表达式为
（2）解：设甲种苹果的销售额y与销售量x之间的函数表达式为y=kx(k为常数，且k≠0).
将点 B(60，1200)的坐标代入，得60k=1200，
解得 k=20，∴y=20x(0≤x≤120).
设乙种苹果的销售量为m kg，
则甲种苹果的销售量为(100-m) kg.
当0≤m≤30 时，由题意，得 25m+20(100-m)=2100，解得m=20；
当30解得m=40，
∴乙种苹果的销售量是 20 kg 或40 kg.
【解析】【分析】(1)用待定系数法求出乙两种苹果销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的函数解析式即可；
(2)先用待定系数法求出甲种苹果的甘薯解析式，再分0≤m≤30和309．如图，在锐角三角形ABC中，AB = 13，AC = 15，点D是BC边上一点，BD = 5，AD = 12，求BC的长度．
【答案】解：在△ABD中，
∵ AB=13，BD=5，AD=12，
∴，
∴
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
∴ BC = BD + CD = 5+9 =14
【解析】【分析】根据已知条件可得BD2+AD2=AB2，利用勾股定理逆定理知△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°，利用勾股定理可得CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
10．如图，已知AB∥CD，射线 AF平分∠CDE，∠A=∠AGB.
（1）BC 与DE 平行吗？请说明理由。
（2）若∠EDF=110°，求∠B的度数。
【答案】（1）解：BC∥DE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ADC，
∵射线AF平分∠CDE，
∴∠ADC=∠ADE，
∴∠A=∠ADE，
∵∠A=∠AGB，
∴∠AGB=∠ADE，
∴BC∥DE；
（2）解：∵BC∥DE，
∴∠EDF=∠BGD=110°，
∴∠AGB=180°-∠BGD=70°，
∴∠A=∠AGB=70°，
∴∠B=180°-∠A-∠AGB=40°，
∴∠B的度数为40°。
【解析】【分析】（1）先由AB∥CD可得∠A＝∠ADC，然后利用角平分线的定义可得∠ADC＝∠ADE，则可得∠A＝∠ADE，然后利用等量代换可得∠AGB＝∠ADE，最后根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行即可解答；
（2）利用（1）的结论可得∠EDF＝∠BGD＝110°，然后利用平角定义可得∠AGB＝70°，从而可得∠A＝∠AGB＝70°，最后利用三角形内角和定理可求出∠B的度数，即可解答．
11．当x=-1时，求下列函数的函数值．
（1）y=3x-7．
（2）.
（3）.
（4）.
【答案】（1）解：当时，.
（2）解：当时，.
（3）解：当时，.
（4）解：当时，.
【解析】【分析】分别把x=-1代入函数解析式，计算即可得出答案．
12．如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为．
（1）填空：点的坐标是_______，点的坐标是_______；
（2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请写出的三个顶点坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1），；
（2）解：如图，即为所画的三角形，
由，，的位置可得：
，，；
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）由A，B在坐标系内的位置可得：，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据点A，B位置写出点的坐标即可；
（2）先根据平移的性质描出A，B，C三点的对应点，然后一次连接即可，然后写出点，，的坐标；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
13．如图：已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
【答案】解：∵ CD⊥AB，AC=AB=5，CD=3
∴ AD=
∴ BD=1
∴ BC=
∴ BC=
【解析】【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键。由CD⊥AB得AD=4，得BD=1，再用勾股定理得BC=.
14．用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片(裁剪方式见示意图)，该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．
【答案】解：不能．设长方形纸片的长为3x cm宽为2x cm．
依题意，得3x×2x=300，解得x2=50．因为长方形的边长为正
数，所以x= ，所以长方形纸片的长为3 cm．
因为50>49，所以 >7，所以3 >21．
又因为正方形纸片的边长为20cm，所以不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【解析】【分析】利用已知条件：沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片，因此设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm，利用长方形的面积建立关于x的方程，解方程求出x的值，由此可求出长方形的长和宽；然后根据正方形纸片的面积为400，可作出判断.
15．游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水900立方米，换水时打开排水孔，以每小时300立方米的速度将水放出．设放水时间为小时，游泳池内存水量为立方米．
（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）放水多少小时后，游泳池内存水量小于300立方米？
【答案】（1）解：设放水时间为小时，
以每小时300立方米的速度将水放出，共放出立方米，
存水900立方米，
游泳池内存水量为.
（2）解：当时，，
解得．
答：放水2小时后，游泳池内存水量小于300立方米.
【解析】【分析】(1)根据泳池存水量=总量-排水量，排水量=排水速度×排水时间，即可得到y=900-300x，总量900，速度300，3小时即可排空，时间具有非负性，由此可得出自变量取值范围0≤x≤3；
（2）存水小于300，即y＜300，代入得到关于x的不等式900-300x＜300，解不等式得到x＞2，即放水2小时以上游泳池内存水量小于300立方米.
16．如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8cm，求DE的长．
【答案】解：设 DE＝x cm，则 BD＝(4＋x)cm，CD＝(4－x)cm，
由勾股定理得 92－(4＋x) 2 ＝72－(4－x) 2，
解得 x＝2，
∴DE＝2 cm.
【解析】【分析】设DE＝xcm，则BD＝(4＋x)cm，CD＝(4-x)cm，利用勾股定理得AD2=AB2-DB2=AC2-CD2，据此建立方程求出x，据此可得DE的长.
17．已知2a-1的平方根是±1，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的平方根．
【答案】解：由题意得 ，则
，即
∴c=7
∴ ，
故答案为±6.
【解析】【分析】根据平方根的定义可得，据此求出a、b值，再估算出，即得c值，再代入求解即可.
18．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠D＝56°，∠ACD＝70°，求∠A的度数．
【答案】解：∵DF⊥AB
∴∠AFD=90°
∵∠AFD+∠A+∠AEF=180°=∠D+∠ACD+∠CED，∠AEF=∠CED
∴∠AFD+∠A=∠D+∠ACD
即90°+∠A=56°+70°
∴∠A=36°．
【解析】【分析】根据垂直的定义，由DF⊥AB得出∠AFD+∠A=∠D+∠ACD，即90°+∠A=56°+70°，即可得出答案。
19．如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AD是∠BAC的角平分线，AE是高，求∠EAD的度数.
【答案】解：∵∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-40°=80°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，
∵AE是高，
∴∠BEA=90°
∴∠BAE=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=40°-30°=10°．
【解析】【分析】由三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，由角平分线的定义可求得∠BAD的度数，由三角形高线得∠AEB=90°，由直角三角形两锐角互余求出∠BAE度数，最后依据∠EAD=∠BAD-∠BAE求解即可．
20．如图，A、B两个花圃相距，C为水源地，水源地C距离A花圃，水源地C距离B花圃，为了方便灌溉，某工程队想修筑水渠．现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作的垂线，垂足为点H，先从水源地C修筑一条水渠到所在直线上的点H处，再从点H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断的形状并写出推理过程；
（2）按照乙方案，求从水源地点C修筑水渠到点H处，即的长度．
【答案】（1）解：是直角三角形，
理由：由题意可得：，，，
∵，
∴是直角三角形；
（2）解：根据题意可得：，
则，
解得，
答：的长度为
【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形等面积法的应用。（1）根据题中描述，可得AC、BC、AB的长度，它们满足，则 是直角三角形；（2）求直角三角形斜边上的高，用等面积法来解决。
21．有两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾，和各发多少度电？
（2）两个发电厂共焚烧90吨垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾的两倍，求厂和厂总发电量的最大值.
【答案】解：（1）设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，则
，解得：
答：焚烧1吨垃圾，发电厂发电300度，发电厂发电260度.
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨，总发电量为度，则
∵
∴
∵随的增大而增大
∴当时，取最大值25800度.
【解析】【分析】(1) 设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，分别根据“每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电” ，“A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电”，列方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨，总发电量为度，列出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
22．在中，，，．
（1）求的取值范围．
（2）若是等腰三角形，则的周长为 ．
【答案】（1）解：，，，
，即，
解得；
（2）
【解析】【分析】⑴、根据三角形三边关系可以确定第三边取值的不等式组，从而确定未知字母的取值范围。
⑵、根据等腰三角形的定义可知三角形有两边相等，所以考虑AB=AC或CA=CB，且要考虑三边能否组成三角形，进而求解。
23．已知数0.101 001 000 100 001…， 它的特点是： 从左向右看， 相邻的两个1之间依次多一个0. 这个数是有理数还是无理数 为什么
【答案】解：这个数是无理数。 从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0。这意味着，该数的小数部分是无限长的，并且没有出现循环的模式。因此，根据无理数的定义，我们可以确定题目中的数是无理数。
【解析】【分析】 首先，需要明确无理数的定义，即无限不循环小数。然后，根据题目中给出的数的特性，分析该数是否符合无理数的定义。
24．如图，
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'，并写出点B'的坐标（ ， ）；
（2）若点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，则m＝ 、n＝ ；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）4；0
（2）-1；-4
（3）解：如图，AC交x轴于点D
∴
=4
【解析】【解答】解：（1）如图
∵点B（-4，0）
∴点B’（4，0）
故答案为：4；0.
（2）∵点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称
∴m-1=-2，3+n+1=0
∴m=-1，n=-4
故答案为：-1；-4。
【分析】（1）根据对称口诀：横轴对称横不变，纵轴互为相反数，纵轴对称纵不变，横轴互为相反数可得结果；
（2）根据对称口诀：横轴对称横不变，纵轴互为相反数，纵轴对称纵不变，横轴互为相反数可得结果；
（3）根据AC交x轴点的坐标以及三角形面积公式可得三角形面积.
25．已知 是2x-y+4 的算术平方根， 是y-3x的立方根，试求 A+B的平方根.
【答案】解：由题意得
方程组整理，得
由②-①得3y=3，解得 y=1，
把y=1代入①，得x-1=2，解得x=3，
∴A+B=3-2=1，
∴A+B的平方根为：
【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的定义即可得到二元一次方程组，从而解方程组得到x和y的值，再代入A和B，将A和B相加，根据平方根即可求解。
26．如图，长方形ABCD内相邻的两个正方形面积分别为9，3。
（1）求图中AD的长。
（2）求图中阴影部分的面积。
【答案】（1）解：两个正方形面积分别为9，3，
两个正方形的边长分别为
（2）
【解析】【分析】(1)根据两个正方形的面积，可以求得它们的边长，然后即可计算出AD的长；
(2)根据图形和(1)中计算出的两个正方形的边长，可以计算出图中阴影部分的面积.
27．分别求出下列图形中x和y的值．
【答案】解：图1中，根据题意得：50+x+x=180，
解得：x=65；
图2中：根据题意得：y+70=y+y+10，
解得：y=60；
∴x的值为65，y的值为60.
【解析】【分析】在图1中，根据三角形的内角和为180°可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；在图2中，根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可列出关于y的一元一次方程，解方程即可得出答案.
28．已知：一次函数，是常数，的图象过，两点．
（1）求该函数的表达式；
（2）试判断点是否在直线上？并说明理由．
【答案】（1）解：把，分别代入得，
解得，
该函数的表达式为
（2）解：点在直线上．
理由如下：
当时，，
点在直线上．
【解析】【分析】(1)先把M、N点的坐标分别代入 得到k、b的方程组，然后解方程组即可；
(2)通过计算自变量为-a所对应的函数值可判断点 是否在直线MN上.
29．如图，已知，点E在AB边上，若，求∠BCE的度数．
【答案】解： ∵△ABC≌△DEC，
∴而，
∴∠BCE=．
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得CB=CE，根据等腰三角形的性质可得∠CEB=∠B=70°，然后根据内角和定理进行计算.
30．已知某蓄水池的容量为50立方米，某小组同学测量了此蓄水池放水时蓄水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据.
放水时间t/分 1 2 3 4 5 …
蓄水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 …
（1）分别指出这个变化过程中的常量和变量.
（2）写出蓄水池中剩余水量y与放水时间t之间的关系式.
（3）当放水多少分钟时，蓄水池的水恰好全部放完
【答案】（1）解：常量：每分钟的放水量，蓄水池的容量(50立方米).变量：放水时间，蓄水池中剩余水量
（2）解：由题表数据可知，每分钟的放水量为2立方米，所以y=50-2t
（3）解：根据题意，得50-2t=0，解得t=25.
答：当放水25 分钟时，蓄水池的水恰好全部放完
【解析】【分析】(1)根据常量与变量的定义作答即可；
(2)根据蓄水池中剩余水量=放水前蓄水池中的水量-放水速度×放水时间解答即可；
(3)当y=0时，求出对应t的值即可.
31．
（1）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD
（2）化简：
【答案】（1）证明：·因为∠3=∠4，所以∠ABC=∠ABD
在△ABC和△ABD中，
所以AC=AD
（2）解：原式= =4a-5．
【解析】【分析】（1）由题意，可以得到 ，再由三角形全等的性质 可得AC=AD；
（2）根据平方差公式和完全平方公式把算式展开，再合并同类项可得解 ．
32．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的顶角的度数．
【答案】解：①当都是底角时，设其为x，则x＝2x﹣30°，x＝30°，所以三个角为30°，30°，120°
②当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2（2x﹣30°）＝180°，
解得x＝48°，三个角为48°，66°，66°；
③当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝52.5°，三个角为52.5°，52.5°，75°．
∴这个三角形的顶角为120°或48°或75°.
【解析】【分析】分三种情况讨论：①当都是底角时，②当底角比顶角2倍少30°时，③当顶角比底角2倍少30°时，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可.
33．在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）若∠BAC＝120°，求∠BAD的度数；
（2）求证：△ADF是等腰三角形．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线
∴；
（2）证明：∵AE是∠BAD的平分线
∴∠BAF＝∠DAF
∵AB∥DF
∴∠BAF＝∠AFD
∴∠DAF＝∠AFD
∴△ADF是等腰三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一，即可得解；
（2）由角平分线的性质得∠BAF＝∠DAF，结合平行线的性质，得∠BAF＝∠AFD，再根据等量代换得∠DAF＝∠AFD，最后根据等腰三角形的判定，即可得到答案．
34．钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江连续绿道.圆圆和方方在笔直的绿道上分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人与甲地的距离s关于时间t的函数图象如图所示，圆圆的速度是180m/min，圆圆跑了2分钟后休息了a分钟，然后按原速度继续跑，方方的速度是150m/min，最后圆圆与方方同时到达各自终点.
（1）求a的值和图中AB对应的函数表达式.
（2）求两人相遇时t的值.
【答案】（1）解：方方到达甲地所用时间为900÷150=6(min)，
根据题意，得180(6-a)=900，
解得a=1，
s=180×2+180(t-3)=180t-180，
∴AB对应的函数表达式为s=180t-180(3≤t≤6).
（2）解：当两相遇时，得180t-180+150t=900，
解得t=
答：两人相遇时t的值为.
【解析】【分析】(1)根据时间=路程÷速度求出方方到达甲地所用时间，即圆圆到达乙地所用时间，再由路程=速度×时间列关于a的一元一次方程并求解即可；
(2)根据两人相遇时路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可.
35．甘肃地震牵动全国，甲、乙两人沿同一条路用货车从地匀速开往相距的灾区地运送救灾物资.如图，和分别表示甲、乙与地的距离与行驶的时间之间的关系．
（1）甲出发 后，两人相遇，这时他们与地的距离为 ；
（2）甲的速度是 ，乙的速度是 ；
（3）乙从地出发 时到达地．
【答案】（1）；
（2）；
（3）3
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：甲出发后，两人相遇，这时他们与地的距离为，
故答案为：，；
（2）由图象可得：甲的速度为：，
乙的速度为：，
故答案为：，；
（3）由图象可得：，
乙从地出发时到达地，
故答案为：．
【分析】（1）由函数图象两直线的交点的横坐标表示两人相遇的时间，纵坐标表示距A地的距离，即可得出答案；
（2）根据速度=路程时间，结合函数图象，计算求解即可；
（3）由函数图象即可得出答案．
36．如图，在中，，是斜边上的高，，点E在的延长线上，求：
（1）的度数．
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（文字理由或数学式）．
解：（1）（已知），
______，
______，
____________（等量代换），
（2）（______）．
（等式的性质），
（已知），
____________（等量代换）．
【答案】解：（1）（已知），
，
，
（等量代换）；
（2）（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
（等式的性质），
（已知），
（等量代换）
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义结合题意进行角的运算得到，再根据三角形的外角即可求解；
（2）根据三角形的外角结合等式的性质即可求解。
37．如图，已知，，，，，求四边形的面积.
【答案】解：，，，
，
在中，，
是直角三角形，；
由图形可知：
.
【解析】【分析】根据勾股定理可得BD的长，再根据勾股定理的逆定理可判定△ABD为直角三角形，再根据三角形的面积公式计算求和即可.
38． 在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝-20x+2200．
（1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
（2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围．
【答案】（1）解：∵y＝-20x+2200，
∴当x＝80时，y＝-20×80+2200＝600，
∴600×（80-60）＝12000（元），
答：若芒果的售价为80元/箱，合作社每天芒果的销售利润为12000元；
（2）解：由题意得：，
解得：86≤x≤95，
答：芒果的售价x的范围为86≤x≤95．
【解析】【分析】（1）根据每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式由售价计算出销售量，再根据总利润=（售价-成本）×数量即可求得答案；
（2）根据“售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱”列出不等式求解即可.
39．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过两点．
（1）求b的值；
（2）若是y轴上的点，连接，求的面积；
（3）若，且直线与线段有一个交点，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵ 正比例函数的图象经过两点，
∴，b=﹣2k，
解得，.
（2）解：，
，
．
（3）解：由(1)可得，
∴直线的解析式为，
∵，且直线与线段有一个交点，
∴将代入，可得，
∴；
将代入，可得
∴；
．
【解析】【分析】（1）将代入可得，解析式为，再把点代入即可求解；
（2）根据点C的坐标，可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解；
（3）由（1）可得，求得直线解析式，再分别把点代入求解即可．
（1）解：将代入中，得，
解得，
正比例函数的解析式为，
把代入中，得．
（2）解：，
，
．
（3）解：由(1)可得，
所以直线的解析式为，
将代入，
解得；
将代入，
解得；
．
40．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、．
（1）若，求的度数；
（2）若，的长为5，求的周长．
【答案】（1）解：，，
，
又垂直平分，
，
，
（2）解：垂直平分，
，
，
又，，
周长为12．
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，进而由等边对等角得到∠ABD=∠A=50°，最后根据角的运算即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，最后根据三角形周长计算方法，计算即可.
41．已知一次函数的图象经过点 ， 两点.求这个一次函数的解析式.
【答案】解：设一次函数的解析式是：y=kx+b，
根据题意得： 解得：
则函数的解析式是：y=2x-4．
故答案为：y=2x-4．
【解析】【分析】设一次函数的解析式是：y=kx+b，把（0，-4）与（1，-2）代入即得到一个关于k，b的方程组，解方程组即可求解．
42．甲骑电动车，乙骑自行车从太子湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）对比图①、图②可知： ， ；
（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
【答案】（1）25；10
（2）10；1.5
（3）解：当甲乙路程差为7.5km时，即有
25x-12.5-10x=7.5或10x-(25x-12.5)=7.5
解得x=或，
即当x=或时，甲乙路程差为7.5km.
【解析】【解答】解：(1)由函数图象知甲行驶25km的时间为1小时，故=25km/h，乙行驶25km的时间为2.5小时，故=25÷2.5=10km/h.
(2)由图①知甲的路程与时间函数关系为S=25x-12.5，乙的路程与赶时间的函数关系为S=10x，
由图可知当x=1.5时，=25km，=15km.甲乙的路程差为25-15=10km；
【分析】(1)直接由图像可知甲乙的路径与时间，即可求出甲乙的速度；
(2)求出甲乙路程与时间的函数关系式，再由图①与②可知当x=1.5时，甲乙的路程差最大，即可得出a和b的值；
(3)可能甲比乙的路程多7.5km，也可能是乙比甲的路程多7.5，即可计算出对应的时间.
43．已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使，延长交射线于点，连接，作于点．
（1）如图1，当点为中点时，_______，的值为_______；
（2）如图2，当点在上运动时．
①直接写出的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1），
（2）解：①；②，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：如图，当点为中点时，等边，
∴，，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：60，；
（2）解：①∵，，
∴由八字形可得：，
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，由三角形外角性质德∠AEH=60°，则，利用含30°的直角三角形所对的直角边等于斜边的一半得；
（2）①利用三角形的内角和定理可得；②如图，在上截取，连接，证明，可得，再证明，则．
（1）解：如图，当点为中点时，等边，
∴，，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：60，；
（2）①∵，，
∴由八字形可得：，
②，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
44．在平面直角坐标系中，，，，且．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），是等腰直角三角形，，A，F，E三点在一条直线上，过点B作于G．若，的面积为15，求的长；
（3）如图（2），点，，连接．当最小时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：∵，即，
∴，，
∴，，
∴，，；
（2）解：过B作于H，
∵是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，，，
∴，
设，，
∴，
，
∴，
∵，，的面积为15，
∴，即，
∴；
（3）解：∵点，，，
∴点N在直线上运动，点M在直线运动，
如图，将沿着方向平移到，则，，
作点B关于直线对称的点，连接，，则，，
，当，，三点共线时取等号，此时最小，点N为与直线的交点，
设直线的表达式为，
将，，代入，得，
解得，
∴直线的表达式为，
当时，由得，则，
由得．
【解析】【分析】（1）利用绝对值和平方式的非负性求解即可；
（2）过B作于H，证明是等腰直角三角形得到，，，，再证明，，再证明得到，，，进而得，设，，利用三角形面积公式推导出，进而可求解；
（3）将沿着方向平移到，则，，作点B关于直线对称的点，连接，，则，，，当，，三点共线时取等号，此时最小，点N为与直线的交点，利用待定系数法求出直线的表达式为，进而求得点N坐标即可．
（1）解：∵，即，
∴，，
∴，，
∴，，；
（2）解：过B作于H，
∵是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，，，
∴，
设，，
∴，
，
∴，
∵，，的面积为15，
∴，即，
∴；
（3）解：∵点，，，
∴点N在直线上运动，点M在直线运动，
如图，将沿着方向平移到，则，，
作点B关于直线对称的点，连接，，则，，
，当，，三点共线时取等号，此时最小，点N为与直线的交点，
设直线的表达式为，
将，，代入，得，
解得，
∴直线的表达式为，
当时，由得，则，
由得．
45．将平面直角坐标系中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，，称与中的最大值为点和点的“联络量”，记作，．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．
如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数．
（1）①点A，C，D，E，O，与点B“联络量”是2的有 ；
②点M在平面上运动，已知将点D，E，M分在同一类时“代表量”是5，则动点M所在区域的面积为 ；
（2）已知二次函数上的任一点均满足将点，，，，，分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出的取值范围 ．
【答案】（1）①点，点；②45；
（2）或．
【解析】【解答】（1）①，，，，，
，，
，，
，，
，，
与点的“联络量”是2的有点，点；
故答案为：点，点；
②，，
当点在点的右边时，，
当点在点的左边时，，
如图1，过和作轴和轴的平行线得动点所在区域为：矩形，
动点所在区域的面积；
故答案为：45；
（2）
如图2，由平移可知：可以看用由向左或向右平移所得，
当时，，
，
当抛物线在点的右侧时，，
，
当抛物线在点的左侧时，，
，
综上，的取值是或．
【分析】（1）①根据“联络量”的定义分别计算点与其它各点的“联络量”即可；
②先确定点向右和向左的边界点，构建矩形，可得答案；
（2）先计算当时，，将平移可得，对应时与抛物线的交点与的距离是，根据点，，，，，分为两类的最小“类筹”大于4，分两种情况可得结论．
（1）①，，，，，
，，
，，
，，
，，
与点的“联络量”是2的有点，点；
故答案为：点，点；
②，，
当点在点的右边时，，
当点在点的左边时，，
如图1，过和作轴和轴的平行线得动点所在区域为：矩形，
动点所在区域的面积；
故答案为：45；
（2）如图2，由平移可知：可以看用由向左或向右平移所得，
当时，，
，
当抛物线在点的右侧时，，
，
当抛物线在点的左侧时，，
，
综上，的取值是或．
46．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，且.
（1）求直线的解析式；
（2）①若另一条直线与直线有唯一交点，求点的坐标；
②直接写出的取值范围.
（3）若直线只与轴的交点在线段上（不与，重合），试写出取值范围.
【答案】（1）解：对于直线，令得
∴
∵，
∴
∴
把代入，得
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：①联立方程组，
∴
整理得，，
∵直线与直线有唯一交点，
∴
解得，
∴，
∴点P的坐标为：
②由①知
∴；
（3）解：对于，当时，
∵直线只与轴的交点在线段上（不与，重合），
∴，
解得，．
【解析】【分析】（1）先根据与坐标轴的交点问题即可得到点B的坐标，进而根据题意即可得到点A的坐标，再将点A代入函数解析式即可求解；
（2）①根据两个一次函数的交点问题联立解析式，进而根据题意即可求出x，进而即可得到点P的坐标；
②根据①结合题意即可求解；
（3）先根据题意得到进而结合题意即可得到，从而即可求解。
47．如图1，和在线段的同侧，且边与在同一直线上，，连接．
（1）在图1中，的形状为 ．
（2）如图2，若，请判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，若，和的角平分线交于点P，请直接写出的度数．
【答案】（1）等腰直角三角形
（2）解：为等边三角形
在和中，
，
，
为等边三角形．
（3）解：
和的角平分线交于点P
．
【解析】【解答】解： (1) 由题意 ，
∴，
，
∴是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
【分析】(1)由三角形全等的判定得，根据全等三角形的性质可得结论；
(2)由三角形全等的判定得，根据全等三角形的性质可得，进而得出，由全等三角形的判定可得结论；
(3)由三角形全等的判定得，根据全等三角形的性质可得，结合角平分线的性质可得 ，即可求解.
48．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
（1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
【答案】（1）和
（2）
（3）解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中．
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过，即，
解得：，
n的最小值为；
同理，当过，得到n的最大值为．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴轴，
如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）解：∵，
∴在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”；
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在第一象限，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，
解得：，
∴，
当在上时，，解得：；
当在上时，，解得：；
∴当时，点是关于原点O的“伴随点”；
【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点旋转后的对应点，再进行判断即可求出答案.
（2）根据“伴随点”的定义可得点在第二象限，过点作轴于点，过点作轴于点，则，再根据旋转性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据两点间距离可得，再根据第一象限内点的坐标特征可得，设直线的解析式为：，再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，分情况讨论：当在上时，当在上时，将点D'代入解析式求出m值，即可求出答案.
（3）绕点O逆时针旋转得到，其中，根据“伴随点”定义建立方程，解方程可得最小值，同理，当过，得到n的最大值为.
（1）解：∵，
∴轴，
如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）解：∵，
∴在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”；
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在第一象限，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，
解得：，
∴，
当在上时，，解得：；
当在上时，，解得：；
∴当时，点是关于原点O的“伴随点”；
（3）解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中．
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过，即，
解得：，
n的最小值为；
同理，当过，得到n的最大值为．
49．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，是64的立方根．
（1）直接写出： ， ， ；
（2）将线段平移得到线段，点的对应点是点，点的对应点是点．
①在平面直角坐标系中画出平移后的线段，直接写出点的坐标；
②若点在轴上，且的面积是6，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点在轴负半轴上运动，但不与点重合，直接写出、、之间的数量关系．
【答案】（1），5，4
（2）解：①如图，线段CD就是所求的线段，
点的坐标为；
②设点的坐标为，
，，且的面积是6，
，
，
解得：，
点的坐标为或；
（3）解：或．
【解析】【解答】（1）解：∵
∴，，
解得：，，
是64的立方根，
；
故答案为：，5，4；
（2）解：①由（1）得：，
∵
如图，线段即为所求，
点的坐标为；
（3）解：如图，当点在之间时，过点作，
由平移的性质得，则，
，，
；
如图，当点在点的下方时，过点作，
由平移的性质得，则，
，，，
．
综上所述，或．
【分析】（1）利用算术平方根和绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零算出a、b的值，由立方根定义求出的值；
（2）①根据B、C两点的坐标得到平移规律“向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度”，根据平移的性质，画出点的位置即可作答；
②根据y轴上点的坐标特点，设点M(0，m)，根据三角形面积计算公式并结合△ACM的面积是6，建立方程，解方程，即可求解；
（3）分类讨论：①当点E在OD之间时，②当点E在D点的下方时，分别过点E作EF∥CD，由平移的性质得AB∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质，得出∠BEC、∠ABE、∠DCE的数量关系．
（1）解：由题意得，，，
解得：，，
是64的立方根，
；
故答案为：，5，4；
（2）解：①由（1）得：，
∵
如图，线段即为所求，点的坐标为；
②设点的坐标为，
，，且的面积是6，
，
，
解得：，
点的坐标为或；
（3）解：如图，当点在之间时，过点作，
由平移的性质得，则，
，，
；
如图，当点在点的下方时，过点作，
由平移的性质得，则，
，，，
．
综上所述，或．
50．，两地相距，甲、乙两人开车沿同一条路从地到地，，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系，请结合图象回答下列问题：
（1）当时，求乙离开地的距离与时间之间的关系式；
（2）在行驶过程中，甲出发多少后，两人相距？不考虑乙到达地停止行驶后，甲乙相距的情况
【答案】（1）解：当时，设乙离开地的距离与时间之间的关系式为，将坐标和代入，
得，解得，
当时，求乙离开地的距离与时间之间的关系式为．
（2）解：根据可知，当时，乙离开地的距离与时间之间的关系式为；
当，设甲离开地的距离与时间之间的关系式为，将坐标代入，
得，解得，
甲离开地的距离与时间之间的关系式为；
当时，，即，解得；
当时，，整理得，即或，解得或；
综上，、或，
在行驶过程中，甲出发、或后，两人相距．
【解析】【分析】（1）根据图像可知直线经过点（1，0）和（7，480），设乙离开地的距离与时间之间的关系式为，利用待定系数法求解即可得到关系式.
（2）根据直线经过的点的坐标先求出甲的s与t的函数关系式，再结合（1）中乙的s与t的函数关系式，写出 当时，乙离开地的距离与时间之间的关系式为 ，然后分类讨论，当 时 ， 当时 ，列车对应的绝对值方程求解即可.
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