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【决战期末·50道解答题专练】湘教版数学八年级上册期末总复习
1．中，，是的垂直平分线分别交于点D，E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长为，求的长．
2．如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
3．如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．
4．（1）已知一个正数的两个平方根是2a﹣3和3a﹣22，求这个正数．
（2）已知，求的值．
5．2020年3月，象群共计16头从西双版纳州进入普洱市，一路“象”北．当地政府组成大象护卫队，全程跟踪象群迁移轨迹，全景式记录大象“出走”经过．护卫队分成甲、乙两组，甲组行程120km和乙组行程80km所用时间相等，已知甲组的速度比乙组速度每小时快3km，求甲、乙两组的速度．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，点D在BC上，且BD=AB，E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F.
（1）求∠AFE的度数；
（2）若AC=4，求AD的长.
7．如图， ， ， ，求 的长度．
8．读句画图．
（1）画射线，连接并延长线段至；
（2）用直尺和圆规作，使得．
9．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，CB=8，求DE的长.
10． 数学来源于生活，又服务于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进甲、乙两种与数学有关的科普书若干本，已知用1800元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少25本，且甲种科普书的单价是乙种科普书单价的1.5倍．求甲、乙两种科普书的单价．
11．如图，在△ABC中，边BC＝30，点D在边AB上，BD＝18，连接CD，CD＝24，当AD＝CD时，求AC的长.
12．已知长方形的长是 ，宽是 ，求长方形的周长.
13．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，求∠BDC的度数．
14．某学组织学生去离学校12千米的农场，早上8：00点从学校出发，到了农场休息整顿30分钟后，按原路返回，13：30到达学校，其中去农场时的速度是返回学校时速度的1.2倍，问去农场时的速度多少？
15．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话：
小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！”
爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份每升汽油的价格的 倍，用150元给汽车加的油量比去年少11.25升.”
小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？”
聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？
16．某商家用3000元购买了一种商品，面市后供不应求，第二次又用5400元购买了这种商品，所购商品的数量比第一次多50件，但单价涨了20%．若销售这种商品每件定价都是50元，所有商品全部售完后，商家共赢利多少元？
17．解方程：
（1）．
（2）
18．如图，在中，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为．
（1） ．
（2）求斜边上的高线长．
（3）①当P在上时，的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时t的值．
19．如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的周长．
20．如图，在中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG.
（1）若的周长为10，求线段BC的长；
（2）若，求的度数.
21．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
22．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
23．对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n=am-bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6=5a-6b+5.
（1）已知2▽3=1，3▽（-1）=10.
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m▽n=n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系.
24．如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为．
（1）当时，求的长；
（2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
25．如图是一块四边形木板，其中 ， ， ， ， ．李师傅找到 边的中点 ，连接 ， ，发现 是直角三角形．请你通过计算说明理由．
26．如图，已知 中，AD平分 交BC于点D， 于点E，若 ， ，求 的度数．
27．为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？
28．已知三角形的三边长分别为2，a-1，4，则化简|a-3|+|a-7|.
29．如图，在 中， 是 边上的高， ， ， ，
求 的度数．
30．如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连接，若，求的度数.
31．列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高 ，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
32．如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数．
33．（1）计算：
（2）小珍解方程过程如下：
解：去分母，得 ……第一步去括号，得 ……第二步合并同类项，得 ……第三步解得 ……第四步经检验不是方程的根，原方程无解． ……第五步
①你认为小珍从第 步出现错误；
②写出正确解答过程．
34．如图，，，，于，
（1）求证：≌；
（2）猜想：，，的数量关系为 不需证明；
（3）当绕点旋转到图位置时，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论．
35．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
36． “绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化长春市环境，甲、乙两工程队承担基隆街河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道米，且甲工程队整治米河道用的时间与乙工程队整治米所用的时间相等求甲、乙工程队每天整治河道各多少米．
37．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE交AD于点F，交AC于点E，若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由.
38．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长．
39．已知，求的值.
40．如图 1， 有 三种不同型号的卡片若干张， 其中 型是边长为 的正方形， 型是长为 、宽为 的长方形 型是边长为 的正方形．
（1） 若用 型卡片 1 张、 型卡片 2 张、 型卡片 1 张拼成一个正方形 (．如图 2)， 此正方形的边长为 ， 请利用该图形面积的不同表示方法写出一条代数恒等式：
（2） ．如果要拼一个长为 、宽为 的长方形， 假设需要 类卡片 张， 类卡片 张， 类卡片 张， 那么 的值为
41．如图，已知等腰中，，，是边上一点，且，.
（1）求的长；
（2）求中边上的高.
42．已知
，求
的值.
43．在△ABC中，D是BC中点，证明AB+AC>2AD．
44．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC=25°．
（1）图1中∠1= ，图2中∠2= .
（2）观察∠1，∠2分别与∠ABC有怎样的数量关系，请你对此归纳出一个真命题．
45．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________
【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，．
①如图2，当时，求证：平分，写出证明过程；
②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________；
【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________；
（4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长并说明理由．
46．两个顶角相等的等腰三角形．如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接DB，EC，则可证得，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
（1）如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且．
①图中线段AE的“友好”线段是______；
②连接AD，若，，，求AE的长；
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，，P是△ACB外一点，，，，求线段BP的长．
47．如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点E．
（1）______°；
（2）延长到点F，以为边向右侧作，交的延长线于点D，求证：；
（3）在（2）的条件下，若把直线绕点F旋转，直线和直线相交于点M，当和的一边平行时，请直接写出的度数．
48．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．
①请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．
②若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
49．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响。
（1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？
（2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
50．在等腰三角形ABC中，三条边分别为a、b、c，已知a= 3，且b、c是关于x的方程x2+mx+2- =0的两个实数根、求△ABC的周长。
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【决战期末·50道解答题专练】湘教版数学八年级上册期末总复习
1．中，，是的垂直平分线分别交于点D，E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长为，求的长．
【答案】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴在中，，
∴；
（2）解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ABC，再根据垂直平分线性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，，再根据三角形周长即可求出答案.
（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴在中，，
∴；
（2）解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴．
2．如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
【答案】解：如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置．
【解析】【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等．
3．如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．
【答案】解：在Rt中，由勾股定理，得：
，
（米）．
答：两棵景观树之间的距离是12米．
【解析】【分析】根据勾股定理计算即可.
4．（1）已知一个正数的两个平方根是2a﹣3和3a﹣22，求这个正数．
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1）∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴2a﹣3+3a﹣22=0，
解得：a=5，
∴这个正数是．
（2）∵，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）两个平方根互为相反数，则这两个平方根相加为0，列式求解即可．
（2）利用完全平方公式进行变形，将，用ab表示出来，即可通过约分得到答案．
5．2020年3月，象群共计16头从西双版纳州进入普洱市，一路“象”北．当地政府组成大象护卫队，全程跟踪象群迁移轨迹，全景式记录大象“出走”经过．护卫队分成甲、乙两组，甲组行程120km和乙组行程80km所用时间相等，已知甲组的速度比乙组速度每小时快3km，求甲、乙两组的速度．
【答案】解：设乙组的速度为xkm/h，则甲组的速度为（x+3）km/h，
依题意列方程得：
解得x=6
经检验，x=6是方程的解
∴x+3=6+3=9（km/h）
答：甲组的速度为9km/h，乙组的速度为6km/h．
【解析】【分析】设乙组的速度为xkm/h，则甲组的速度为（x+3）km/h，根据题意列出方程求解即可。
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，点D在BC上，且BD=AB，E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F.
（1）求∠AFE的度数；
（2）若AC=4，求AD的长.
【答案】（1）解：∵BD=AB， E为AD的中点，
∴BE平分∠ABC.
∵∠ABC=90°，∴∠FBC=45°.
∵∠C=30°，∴∠AFE=∠C+∠FBC=75°.
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∠C=30°， AC=4，
∴AB=2.
∵BD=AB，
∴AD=..
【解析】【分析】(1)先求出∠FBC，再利用三角形外角的性质求∠AFE.
(2)先利用直角三角形中30度角所对的直角边的等于斜边的一半求得AB，再利用勾股定理求得AD.
7．如图， ， ， ，求 的长度．
【答案】解：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵AB=AC=10，
∴△ABC是边长为10的等边三角形，
∴BC=10，
答： 的长度为10．
【解析】【分析】 由AB=AC，BD=CD，可得AD是线段BC的垂直平分线，可得 即得∠BAC=60°，从而证得 △ABC是边长为10的等边三角形， 可得BC=AB=10.
8．读句画图．
（1）画射线，连接并延长线段至；
（2）用直尺和圆规作，使得．
【答案】（1）解：如图1，射线，线段即为所求，
（2）解：如图2，即为所求，
【解析】【分析】（1）利用射线和线段的定义作出射线，线段即可；
（2）利用作一个角等于已知角的方法作出作，使得即可．
（1）如图1，射线，线段即为所求，
（2）如图2，即为所求，
9．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，CB=8，求DE的长.
【答案】解：
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=8，
∵
∴△ADC是直角三角形，
∵DE是Rt△ADC斜边的中线
∴
【解析】【分析】先根据已知条件判断 △ABC为等边三角形， 求出 AC，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出DE的长.
10． 数学来源于生活，又服务于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进甲、乙两种与数学有关的科普书若干本，已知用1800元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少25本，且甲种科普书的单价是乙种科普书单价的1.5倍．求甲、乙两种科普书的单价．
【答案】解：设乙种科普书的单价为x元，则甲种科普书的单价为元，
由题意等：，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲种科普书的单价为36元，乙种科普书的单价为24元．
【解析】【分析】 设乙种科普书的单价为x元，则甲种科普书的单价为元， 根据 用1800元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少25本， 即可得出方程， 解方程并进行检验即可得出乙种科普书的单价为24元，进一步求得=36，即可得出 甲种科普书的单价为36元 。
11．如图，在△ABC中，边BC＝30，点D在边AB上，BD＝18，连接CD，CD＝24，当AD＝CD时，求AC的长.
【答案】解：
为直角三角形，
在中
【解析】【分析】由勾股定理逆定理知△BCD为直角三角形，且∠BDC=90°，由题意可得AD=CD=24，然后在Rt△ADC中，利用勾股定理计算即可.
12．已知长方形的长是 ，宽是 ，求长方形的周长.
【答案】解：
.
即长方形的周长是 .
【解析】【分析】根据长方形周长的公式列式，再进行二次根式的混合运算，即可求得结果.
13．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，求∠BDC的度数．
【答案】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
∵∠AOB＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝60°．
又∵OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝60°，∠ADO＝60°．
∵∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°，
∴∠BAO＝∠CAD．
在△BAO和△CAD中，
，
∴△BAO≌△CAD（SAS），
∴∠ADC＝∠AOB＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO＝60°．
【解析】【分析】由等边三角形的性质可得到AB＝AC，∠BAC＝60°．由∠AOB的度数利用邻补角互补可得出∠AOD＝60°，结合OD=OA可得出△AOD为等边三角形，根据等边三角形的性质可得AO=AD、∠OAD＝60°，再根据∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°，得到∠BAO＝∠CAD．利用全等三角形的判定定理SAS可证出△BAO≌△CAD，根据全等三角形的性质可得出∠ADC的度数，再根据∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO即可求出∠BDC的度数。
14．某学组织学生去离学校12千米的农场，早上8：00点从学校出发，到了农场休息整顿30分钟后，按原路返回，13：30到达学校，其中去农场时的速度是返回学校时速度的1.2倍，问去农场时的速度多少？
【答案】解：设学生返回学校时的速度为x千米/时．
（小时），30分钟小时，（小时）
根据题意得，
解这个方程得：．
检验：当时，，
所以是方程的解且符合实际意义．
所以（千米/时）．
答：学生去农场时的速度为5.28千米/时．
【解析】【分析】先算从学校到农场来返一趟所用的时间，设学生返回学校时的速度为x千米/时，则去农场时的速度为1.2x千米/时，根据来去的时间之和列出方程，求出分式方程的解即可得到答案.
15．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话：
小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！”
爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份每升汽油的价格的 倍，用150元给汽车加的油量比去年少11.25升.”
小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？”
聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？
【答案】解：设去年5月份每升汽油的价格是x元，则今年5月份每升汽油的价格是1.6x元.
根据题意得：
解得x=5.
经检验：x=5是原方程的解，
∴ （元）；
答：今年5月份每升汽油的价格是8元.
【解析】【分析】根据两人对话可得出相关的信息： 今年5月份每升汽油的价格=去年5月份每升汽油的价格×1.6倍；用150元给汽车加的油量比去年少11.25升，设未知数，列方程求出方程的解，通过计算可得出答案。
16．某商家用3000元购买了一种商品，面市后供不应求，第二次又用5400元购买了这种商品，所购商品的数量比第一次多50件，但单价涨了20%．若销售这种商品每件定价都是50元，所有商品全部售完后，商家共赢利多少元？
【答案】解：设第一次购买单价，则第二次为元，
依题意得：
解得
经检验：是原方程的解．
第一次赢利：（元）
第二次赢利：（元）
两次一共赢利：元
答：商家共赢利4100元．
【解析】【分析】先求出，再解方程求解即可。
17．解方程：
（1）．
（2）
【答案】（1）解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
（2）解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解。方程两边乘以x(x+1)，转化为整式方程；
（2）根据解分式方程的步骤求解。先把x2-4分解因式，找出最简公分母是（x+2）（x-2），再去分母转化为整式方程求解。
18．如图，在中，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为．
（1） ．
（2）求斜边上的高线长．
（3）①当P在上时，的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时t的值．
【答案】（1）12；
（2）解：如图1，过点作于点，
，
，
斜边上的高线长为；
（3）①，，②
（4）解：∵是以为一腰的等腰三角形，
∴分以下两种情况：
①如图，当时，有，
；
②如图，当时，过点作于点，
由（2）知，
，
，，
，
，
，
综上所述，是以为一腰的等腰三角形时的值为或．
【解析】【解答】解：（1），，，
∴，
故答案为：12；
（3）①∵点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，
∴，，
∴，
，
故答案为：，；
②如图2，过点作于，
∵点在的角平分线上，，
，
在和中，
，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
由①得，
∵
，
，
在中，有，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】（1）利用勾股定理进行求解；
（2）过点作于点，利用”面积法“进行求解；
（3）①根据点的运动路径及速度即可求解；
②过点作于，根据角平分线的性质可得，然后证明，得，从而依次得，，由①得，进而求出，然后在中，利用勾股定理得到关于的方程，解方程即可；
（4）分两种情况讨论：①当时，则，于是得的值；
②当时，过点作于点，由（2）知，然后利用勾股定理得，由等腰三角形“三线合一”性质得，于是求出，最后得的值.
（1）解：在中，，，
；
故答案为：12；
（2）解：如图1所示，过点作于点，
，
，
斜边上的高线长为；
（3）解：①点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，
，
，即，
；
故答案为：，；
②点在的角平分线上时，过点作于，
平分，，
，
又，
∴
，则，
由（2）知，
，
，
在中，，即，
解得，
点在的角平分线上时，；
故答案为：；
（4）解：依题意，是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当时，
则，
；
当时，过点作于点，
由（2）知，
，
，，
，
，
，
故是以为一腰的等腰三角形时的值为或．
19．如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的周长．
【答案】（1）解：，，
垂直平分，
垂直平分，
，
，，
∵，
，
∵，
∴．
（2）解：的周长为，，
，
∵，
的周长为．
【解析】【分析】（1）易得垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，根据等边对等角得到，，再根据三角形内角和定理求出的度数，则由三角形任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，从而可求出答案；
（2）根据三角形周长计算公式、等量代换及线段和差可推出，再根据三角形的周长公式计算即可．
（1）解：，，
垂直平分，
垂直平分，
，
，，
∵，
，
∵，
∴．
（2）解：的周长为，，
，
∵，
的周长为．
20．如图，在中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG.
（1）若的周长为10，求线段BC的长；
（2）若，求的度数.
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB、GF垂直平分AC，
∴，.
∵的时长为10，
∴.
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵，，
∴，.
∴.
∴.
【解析】【分析】（1）由垂直平分线，得到EA=EB，GA=GC，将求线段BC的长转化到求的周长上求解即可；
（2）先利用三角形内角和求出∠B+∠C的值，然后利用（1）中证明结论，EA=EB，GA=GC，得到相关等角∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，在通过等角代换即可求解。
21．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）由垂直平分线的定义可得AD是BE的垂直平分线，再利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE；
（2）先利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得到∠EAC的度数，再通过三角形的外角性质求得∠AEB的度数，然后由三角形的内角和定理及等腰三角形的性质得到∠BAE的度数，进而由角的和差求得∠BAC的度数．
22．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【答案】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【解析】【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，解方程即可求出答案.
②根据题意，可以列出相应的不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
23．对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n=am-bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6=5a-6b+5.
（1）已知2▽3=1，3▽（-1）=10.
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m▽n=n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系.
【答案】（1）解：①∵，，
，
解得：，；
②， ，，
，
，
即，
，
∵关于x的不等式组有且只有两个整数解，
，
解得：；
（2）解：∵m▽n=n▽m，
∴ma-nb+5=na-mb+5，
∴ma-nb-na+mb=0，
∴m（a+b）-n（a+b）=0，
∴（a+b）（m-n）=0，
∵m、n为任意数，
∴m-n不一定等于0，
∴a+b=0，
即a、b所应满足的关系式是a+b=0．
【解析】【分析】（1）①新运算规定m▽n=am-bn+5，等式右边有两个未知的系数a，b，由 2▽3=1，3▽（-1）=10两组值分别代入等式，可得二元一次方程组，解方程组即可；
②由①可得a，b的值，代入原不等式组，用t表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有两个整数解，可得t的取值范围；
（2）由m▽n=n▽m可得ma-nb+5=na-mb+5，将等式进行移项、因式分解可得a，b的数量关系.
24．如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为．
（1）当时，求的长；
（2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：连接，
在等腰直角中，，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，
理由如下：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
（3）解：存在点使得与全等，理由如下：连接，
∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，根据等腰直角三角形的底角是45°得出，求得，根据等边对等角得出，求得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求出；
（2）根据同角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，推得，即可证明；
（3）连接，根据全等三角形的对应角相等得出，推得是钝角，，根据等边对等角和三角形内角和是180°求出，根据等角对等边得出，即可列出方程，求出t的值.
（1）解：连接，在等腰直角中，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（3）存在点使得与全等，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．如图是一块四边形木板，其中 ， ， ， ， ．李师傅找到 边的中点 ，连接 ， ，发现 是直角三角形．请你通过计算说明理由．
【答案】解：∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【解析】【分析】利用勾股定理先求出线段的长度，再利用勾股定理逆定理证明即可。
26．如图，已知 中，AD平分 交BC于点D， 于点E，若 ， ，求 的度数．
【答案】解：∵AE⊥BC，∠EAC＝20°，
∴∠C＝70°，
∴∠BAC＋∠B＝110°．
∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝ （∠BAC＋∠B）＋ ∠B，
∴∠B＝50°．
【解析】【分析】根据题意求出 ∠C＝70°， 再求出 ∠BAC＋∠B＝110° ，最后计算求解即可。
27．为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？
【答案】解：设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据题意得，
，
解得， ，
经检验， 是原方程的解，
∴ x+150=400+150=450，
答：八年级捐书人数是450人.
【解析】【分析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，列出方程求解并检验即可.
28．已知三角形的三边长分别为2，a-1，4，则化简|a-3|+|a-7|.
【答案】解：由三角形三边关系得： 2
得 3则原式=a-3+7-a=4.
【解析】【分析】由三角形的三边关系可以得到a的取值范围，再根据绝对值的意义进行化简可以得解.
29．如图，在 中， 是 边上的高， ， ， ，
求 的度数．
【答案】解：∵DE∥BC，∠ADE=45°，
∴∠ABC=∠ADE=45°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC=90°，
∵∠C=65°，
∴∠EBC=90-∠C=25°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=45°-25°=20°．
【解析】【分析】利用平行线的性质定理可得∠ABC=∠ADE=45°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，可得∠ABE．
30．如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连接，若，求的度数.
【答案】解：解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
在△BDE和△BDC中
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴∠C=∠E=42°，
∴∠BAD=∠E+∠ADE=42°+38°=80°.
∴∠BAD的度数为80°.
【解析】【分析】利用角平分线的定义可证得∠EBD=∠CBD；利用SAS证明△BDE≌△BDC，利用全等三角形的性质可证求出∠E的度数；然后利用三角形的外角的性质可求出∠BAD的度数.
31．列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高 ，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
【答案】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是 千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是 千米/分钟，
由题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的根，且正确，
所以 (千米/分钟)，
答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是 千米/分钟
【解析】【分析】
设汽车行驶在普通公路上的平均速度是 千米/分钟 ，根据“
行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟 ”所表达的等量关系列出方程。行驶时间=路程÷速度，81千米高速公路行驶的时间+36=81千米普通公路行驶的时间，解出方程即可求出高速公路上的平均速度1.8x的值。
32．如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数．
【答案】解：∵，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵是的边上的高，，
∴．
【解析】【分析】
由三角形内角和定理先求出的度数，再由角平分线的概念可得，再在中利用直角三角形两锐角互余即可．
33．（1）计算：
（2）小珍解方程过程如下：
解：去分母，得 ……第一步去括号，得 ……第二步合并同类项，得 ……第三步解得 ……第四步经检验不是方程的根，原方程无解． ……第五步
①你认为小珍从第 步出现错误；
②写出正确解答过程．
【答案】解：（1）原式
；
（2）①第一步；
②解：去分母，得
去括号，得
解得．
经检验是原方程的解．
【解析】【解答】
（2）①小珍从第一步出现错误，去分母时给“1”漏乘了最简公分母；
【分析】本题考查解分式方程；
（1）实数的混合运算，先运算乘方、绝对值和零指数次幂，然后加减解题即可；
（2）①小珍从第一步出现错误，去分母时给“1”漏乘了最简公分母；
②解分式方程的一般步骤是去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，验根，最后再写根.
34．如图，，，，于，
（1）求证：≌；
（2）猜想：，，的数量关系为 不需证明；
（3）当绕点旋转到图位置时，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：，，
在和中
≌
（2）
（3）解：DE=BE-AD，
，，
在和中
≌
，，
．
【解析】【解答】（2）解：∵ △BCE≌△CAD，∴ CE=AD，BE=CD，
∵ DE=CE-CD，∴ DE=AD-BE；
故答案为：
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，依据AAS即可判定△BCE≌△CAD；
（2）由（1）△BCE≌△CAD可知，CE=AD，BE=CD，即可证明；
（3）根据AAS判定△BCE≌△CAD，推出AD=CE，BE=CD，即可得到DE=BE-AD.
35．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，由勾股定理得，，
∴米或米 （负值舍去），
∴（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）由题意得，米，则米，再根据勾股定理可得BM，再根据边之间的关系即可求出答案.
36． “绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化长春市环境，甲、乙两工程队承担基隆街河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道米，且甲工程队整治米河道用的时间与乙工程队整治米所用的时间相等求甲、乙工程队每天整治河道各多少米．
【答案】解：设甲工程队每天整治河道米，则乙工程队每天整治河道米，
根据题意得：，
解得：，
经检验得：是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲工程队每天整治河道米，乙工程队每天整治河道米．
【解析】【分析】 设甲工程队每天整治河道米，则乙工程队每天整治河道米， 根据“ 甲工程队整治米河道用的时间与乙工程队整治米所用的时间相等 ”列出方程并解之即可.
37．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE交AD于点F，交AC于点E，若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由.
【答案】解：△AEF为等腰三角形，
理由：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠3＝∠4，
∵∠1＝∠3+∠BAD，∠2＝∠4+∠C，
∴∠1＝∠2，
∴AF＝AE，
即△AEF为等腰三角形.
【解析】【分析】由在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，易得∠BAD＝∠C，又由BE平分∠ABC，∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，即可证得∠AFE＝∠AEF，继而证得：△AEF为等腰三角形.
38．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长．
【答案】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8（cm），∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4cm，∴BC=BD+DC=8+4=12（cm）．
【解析】【分析】等腰△ABC中，由∠B=∠C=30°，∠BAD=90°，得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=4cm．Rt△ABD中，由30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=8cm；由此可求得BC的长．
39．已知，求的值.
【答案】解：∵，
∴
=xy（x2+y2+2xy）
=xy（x+y）2
=×4
=3.
【解析】【分析】先将原式进行因式分解变形为xy（x+y）2，再将代入计算即可.
40．如图 1， 有 三种不同型号的卡片若干张， 其中 型是边长为 的正方形， 型是长为 、宽为 的长方形 型是边长为 的正方形．
（1） 若用 型卡片 1 张、 型卡片 2 张、 型卡片 1 张拼成一个正方形 (．如图 2)， 此正方形的边长为 ， 请利用该图形面积的不同表示方法写出一条代数恒等式：
（2） ．如果要拼一个长为 、宽为 的长方形， 假设需要 类卡片 张， 类卡片 张， 类卡片 张， 那么 的值为
【答案】（1）；
（2）12
【解析】【解答】解：（1）由图片可知，图2正方形边长为a+b，其面积为，同时也可视为1张A型卡片的面积加上1张C型卡片的面积再加上2张B型卡片的面积，为，因此建立等式.
故填：；；
（2） 长为 、宽为 的长方形的面积为：，意味着需要A类卡片2张，B类卡片7张，C类卡片3张.
∴x=2，y=7，z=3，
∴ =2+7+3=12.
故填：12.
【分析】（1）长方形面积可由其边长结合面积公式求得，也可视为构成其图形的各小图形面积和，根据此列出等式即可；
（2）先计算出长方形面积的代数表达式，根据表达式的系数知道x、y、z的值，然后计算即可.
41．如图，已知等腰中，，，是边上一点，且，.
（1）求的长；
（2）求中边上的高.
【答案】（1）解：，且，，
，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
（2）解：，
过作于，则是的高，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即中边上的高是.
【解析】【分析】(1)由勾股定理逆定理可知∠BDC=90°，利用方程和勾股定理可得AD的长；
(2)由等腰三角形的性质知BE=10，勾股定理即可求出AE的长.
42．已知
，求
的值.
【答案】解：∵x= ，y= ，
∴x+y= + =2 ，xy=（ ）（ ）=1，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=2 .
【解析】【分析】先求出x+y和xy的值，再把原式提公因式化为xy（x+y）的形式，再代入进行计算，即可得出答案.
43．在△ABC中，D是BC中点，证明AB+AC>2AD．
【答案】解：如图，将△ABD拼到直线DC的下方，使D与D重合，B与C重合(由于BD=DC，这是可以做到的)．由于 ∠EDC=∠ADB，∠EDC+∠ADC=∠ADB+∠ADC=180°，所以A、D、E三点在一条直线上，AE=AD+DE=2AD．在△AEC中，AC+EC>AE．因为EC=AB，所以上式即①．
【解析】【分析】将△ABD拼到直线DC的下方，使D与D重合，B与C重合，首先根据平角的定义判断出A、D、E三点在一条直线上，然后根据线段的和差得出AE=AD+DE=2AD．最后根据三角形三边的关系即可得出结论。
44．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC=25°．
（1）图1中∠1= ，图2中∠2= .
（2）观察∠1，∠2分别与∠ABC有怎样的数量关系，请你对此归纳出一个真命题．
【答案】（1）；
（2）解：∠1与∠ABC相等，∠2与∠ABC互补.
归纳：如果两个角的两边分别互相平行，那么这两个角相等或互补.
【解析】【解答】解：（1）图1中，∵AB∥DE， ∠ABC=25° ，
∴∠DGC=∠ABC=25°，
∵BC∥EF，
∴∠1 =∠DGC=25°；
图2中，∵AB∥DE， ∠ABC=25°
∴∠BGE=∠ABC=25°，
∵BC∥EF，
∴∠2 +∠BGE=180°，
∴∠DEF =180°﹣25°=155°；
故答案为：25°，155°；
【分析】（1）图1中，根据平行线的性质，由AB∥DE和BC∥EF得∠1=∠DGC=∠ABC=25°；图2中，根据平行线的性质，由AB∥DE和BC∥EF得∠DEF +∠BGE=180°，进而得∠DEF =135°；
（2）由（1）易得∠1与∠ABC相等，∠2与∠ABC互补，这个结论可归纳为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
45．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________
【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，．
①如图2，当时，求证：平分，写出证明过程；
②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________；
【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________；
（4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长并说明理由．
【答案】（1）45；
（2）①证明：∵，
，
∵矩形中，
，
，
平分；
② 4；
（3）；
（4），理由如下：
过点F作，与的延长线交于点H，如图：
四边形是菱形，
，，
，
由旋转得，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：45；（2）
②过点B作于点E，
，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
故答案为：4；
（3）过点F作交于点H，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转得，，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据全等图形性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）①根据等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
②过点B作于点E，根据勾股定理可得DF，再根据等边对等角可得，根据直线平行性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得AE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）过点F作交于点H，根据正方形性质可得，，则，由旋转得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理及性质即可求出答案.
（4）过点F作，与的延长线交于点H，根据菱形性质可得，，则，由旋转得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，，根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
46．两个顶角相等的等腰三角形．如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接DB，EC，则可证得，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
（1）如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且．
①图中线段AE的“友好”线段是______；
②连接AD，若，，，求AE的长；
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，，P是△ACB外一点，，，，求线段BP的长．
【答案】（1）解：①BD；
②如图，连接AD，
∵，
∴．
在△ABC中，，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，以C为直角顶点构造等腰直角三角形PCD，连接AD，过点D作交AP的延长线于点E．
由（1）可得．
在△PCD中，，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，．
在△AED中，，，
∴．
∴．
【解析】【解答】（1）①∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且，
∴，，．
在△ACE和△BCD中，
∴，
∴连接AE和BD使，
∴线段AE的“友好”线段是BD，
故答案为：BD；
【分析】（1）①先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得AE=BD，从而可得答案；
②连接AD，先利用勾股定理求出AB的长，再求出BD的长，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）以C为直角顶点构造等腰直角三角形PCD，连接AD，过点D作交AP的延长线于点E，先利用勾股定理求出PD的长，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理求出AD的长，即可得到．
47．如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点E．
（1）______°；
（2）延长到点F，以为边向右侧作，交的延长线于点D，求证：；
（3）在（2）的条件下，若把直线绕点F旋转，直线和直线相交于点M，当和的一边平行时，请直接写出的度数．
【答案】（1）65
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【解析】【解答】解：（1）∵中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：65．
（3）①当与平行时，如图所示，
∴；
②当与平行时，如图所示，
∴，
③∵F在上，
∴与平行不存在，
综上所述：或．
故答案为：或
【分析】
（1）根据外角的性质得到，再由角平分线的定义计算即可解答；
（2）根据是三角形内角和得出，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；
（3）分两种情况讨论①当与平行时②当与平行时，再利用平行线的性质计算即可．
（1）解：∵中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：65．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当与平行时，如图所示，
∴；
②当与平行时，如图所示，
∴，
③∵F在上，
∴与平行不存在，
综上所述：或．
48．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．
①请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．
②若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
【答案】【解答】两边长分别为9和7，设第三边是m，则9－7＜m＜7＋9，即2＜a＜16．①第三边长是4．（答案不唯一）；②∵2＜m＜16，∴m的值为4，6，8，10，12，14共六个，∴a＝6．
【解析】【分析】①根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，即可求解；
②找到第三边的取值范围内的正整数的个数，即为所求．
49．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响。
（1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？
（2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【答案】（1）解：如图，过点C作于点D，因为，，，
所以，，
即，
所以是直角三角形
所以，
即，
解得
因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.，
所以着火点C受洒水影响；
（2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点C，
在中，。
所以
因为飞机的速度为，
所以
20秒秒，
答：着火点C能被扑灭。
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案；
（2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
50．在等腰三角形ABC中，三条边分别为a、b、c，已知a= 3，且b、c是关于x的方程x2+mx+2- =0的两个实数根、求△ABC的周长。
【答案】解：根据题意可知，b和c为方程的两个实数根
∴b+c=-m，bc=2-m
当a为腰时，b=a，或c=a
∴方程必有一根为3
代入方程可知，9+3m+2-m=0
解得，m=-
∴b+c=-m=
∴周长=a+b+c=3+=
当a为底时，b=c，方程有两个不相等的实数根
∴△=m2-4（2-m）=0
∴m=-4或m=2＞0（舍去）
∵b+c=-m=4＞a，bc=4＞0
∴m=-4符合题意
∴a+b+c=3+4=7
【解析】【分析】根据题意，在等腰三角形中，a可能为三角形的腰或者底，所以进行分类讨论，即可得到答案。
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