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【决战期末·50道解答题专练】湘教版数学九年级上册期末总复习
1．对于实数m，n定义一种新运算“*”为：m*n=m2+mn，如3*2=32+3×2=15．
（1）若x*3=0，求x的值；
（2）如果关于x的方程*=－5有两个相等的实数根，求a的值．
2．某同学进行社会调查，随机抽查了某地15个家庭的收入情况，数据如表：
年收入（万元） 2 2.5 3 4 5 9 13
家庭个数 1 3 5 2 2 1 1
（1）求这15个家庭年收入的平均数、中位数、众数；
（2）你认为用（1）中的哪个数据来代表15个家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由．
3． 计算：
4．（1）某铁路全长 1 500 km，某列车的平均速度v(km/h)随此列车的全程运行时间 t(h)的变化而变化，其关系可用函数表达式表示为 。
（2）某住宅小区要种植一个面积为1000 m2 的矩形草坪，草坪的长y(m)随宽 x(m)的变化而变 化，其关系可用函数表达式表示为 .
（3）把一个长、宽、高分别为 3cm， 2cm ，1cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)随高 h(cm)的变化而变 化，其关系可用函数表达式表示为 .
5．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在 处测得小岛 在渔船的北偏东 方向；半小时后，渔船到达 处，此时测得小岛 在渔船的北偏东 方向.已知以小岛 为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区.如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？
6．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结EB．延长DA至点F，使EF=EB．以线段AF为边作正方形AFGH，则H就是AB的黄金分割点．你能说出这种方法的道理吗？
7．已知关于x的一元二次方程．
（1）证明：无论m取何值，此方程必有实数根．
（2）等腰三角形中，，、的长是此方程的两个根，求等腰三角形的周长．
8．如图，已知△ABC∽△ADB，点D在AC上．若AD=3，CD=6，求AB的长．
9．如图，正△ABC中，∠ADE=60°.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=2，CD=4，求AE的长．
10．某校八年级两个班，各选派名学生参加学校举行的“安全知识大赛”预赛，各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：，，，，，，，，，；
八（2）班：，，，，，，，，，．
整理后得到数据分析表如下：
班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
八（1）班
八（2）班
（1）填空： ， ；
（2）求出表中的值；
（3）你认为哪个班级成绩好？请写出两条你认为该班成绩好的理由．
11．已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根，求m的取值范围．
12．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CF.CG.
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形.
（2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值.
13．已知：，分别求下列代数式的值：
（1）；
（2）
14．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这六场比赛中，得分方差较小的队员是_____（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为_____分；
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好；
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
15．一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
16．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）.某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD=EF=1.7m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE=32m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度.（结果取整数，参考数据：（
17． 如图，点D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB上的点，DF//CA，∠A=∠EDF，
（1）求证：四边形AFDE为平行四边形；
（2）若，直接写出的值为 ．
18．小程经营的是一家服装店，店里有一款毛衣和一款牛仔裤销售非常可观，从2019年1月开店以来，平均每天可卖出毛衣10件，牛仔裤20件.已知道买1件毛衣和3件牛仔裤与买2件毛衣和1件牛仔裤需要的钱一样多，都为500元.
（1）买一件毛衣和一件牛仔裤各需要多少钱？
（2）双“十一”将至，小程经营的网店提前对该毛衣和牛仔裤开启了促销活动，活动当天，毛衣每件售价降低了 ，销售量在原来的基础上上涨 ，仔裤每件售价也降低了 ，但销售量和原来一样，当天，这两件商品总的销售额为3960元，求 的值.
19．为选拔一名跳高运动员去参加省赛，表现优异的小超和小梦共进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下：
小超：，，，，，，，；
小梦：，，，，，，，；
【数据整理】
平均数 中位数 众数
小超 x
小梦 y
（1） m， m；
（2）为了便于分析数据，教练用折线统计图表示了两位运动员的数据，由折线统计图可知 的成绩更为稳定；
【数据决策】
（3）经大数据分析预测，跳高获得冠军的可能性很大，为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由．
20．步行是全世界公认的有效、科学的健身方法.为了方便市民步行健身，某区园林部门决定将某公园里的一段斜坡 改造成 .已知原坡角 ，改造后的斜坡 的坡度为 ， 米，求原斜坡 的长．(精确到0.1米，参考数据： )
21．为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量，从七、八年级中随机各抽取了个班的餐厨垃圾质量，数据如下：(单位：)
七年级：，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，．
餐厨垃圾质量用表示，共分为四个等级：．，．，．，．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 等级所占百分比
七年级
八年级
（1）直接写出上述表中，，的值；
（2）结合以上各个统计量进行分析，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由．
22． 如图，已知B，C，D 三点在同一水平线上，AD⊥BD，∠B=30°，∠ACD=60°，BC=30米，求线段 AD 的长.
23．小红学面镜成像原理后，利用这一原理测量一古楼的高度，在水平面的点E处放一平面镜（为法线）（为眼睛到脚底的高度）恰好能看到古楼最高点A处，测得，，．（参考数据：，，，结果保留整数）
（1）求之间的距离；
（2）求古楼的高度．
24．学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度．
25．为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的数值．
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
九年级10名学生频数分布表
组别 频数
0
1
【应用数据】
（1）求数据统计表中的值，并直接写出的值．
（2）请估计该校九年级300名学生中的人数．
26．某楼盘7月份的均价为10000元/m2．受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价.9月份的均价为8100元/m2．
（1）求该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率；
（2）林叔叔决定等到均价低于7000元/m2时买房子，按这样的月平均下降末，林叔叔能在10月份买房子吗？
27．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）若P是线段上一点，过点P作y轴的垂线交反比例函数图象于点Q，连接，当时，求点Q的坐标．
28．已知函数和函数（k1，k2，b是常数，
（1）若两函数的图象交于点A（1，4），点B（a，1），求函数 y1，y2的表达式；
（2）若点C(-1，n)向上平移6个单位恰好落在函数y的图象上，又点C(-1，n)向右平移⒉个单位恰好落在函数y2的图象上，且k1+k2=0，求b的值.
29．某游乐场部分平面图如图所示，点C，E，A在同一条直线上，点D，E，B在同一条直线上.测得点A 与点E 的距离为80m，点 C 与点 D 的距离为34 m，∠C=90°，∠B=90°， 求：
（1）旋转木马 E 处到出口 B 处的距离.
（2）海洋球D 处到出口B处的距离(结果精确到1m，参考数据：
30．财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息：
信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图
信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：
统计量类别 平均数 中位数 方差
教育支出 520.7 m
社会保障和就业支出 448.3 466.5
交通运输支出 292.3 282.0
（以上数据来源于《中国统计年鉴》）
根据以上信息解决下列问题：
（1） ； （填＞，＜号）；
（2）根据以上信息，判断下列结论正确的是 ；（只填序号）
①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；
②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；
③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多．
（3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是 年．
31．如图，在凯里市某广场上空飘着一只气球，、是地面上相距90米的两点，它们分别在气球的正西和正东，测得仰角，仰角，求气球的高度．精确到米，
32．湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果．校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下：
【收集数据】
七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89；
八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100；
【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下：
七年级 4 7 2 7
八年级 3 4 7
【分析数据】
两组数据的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 91 97
八年级 91 91
请结合以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是_____（填写“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）填空：_____，_____，_____；
（3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数．
33．
（1）解方程：；
（2）如果四条成比例线段线段的长分别为2，3，6，，求的值．
34．某商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．若商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
35．如图是两辆某品牌小汽车平行停放的平面示意图．已知右边小汽车车门为1.2米，车门打开最大角度为．当两辆小汽车水平距离为0.8米时，请问能否保证右边小汽车在打开车门最大角时不碰到左边小汽车？请说明理由．
（结果精确到0.1米，参数考据：，，）
36．已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，.
（1）求证：；
（2）求的值.
37．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120° ，AB=AC=2．D是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE= 30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
38．已知关于x的方程2x2-5x+k=0的一个根是1．
（1）求k的值．
（2）解这个方程．
39． 如图，一次函数（是常数）与反比例函数在第二象限的图象交于两点，与轴、轴分别交于点点，且．
（1）求反比例函数解析式；
（2）连接，求的面积．
40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，求的面积.
41．已知函数 .
（1）当m，n为何值时，该函数为一次函数
（2）当m，n为何值时，该函数为正比例函数
（3）当 m，n为何值时，该函数为反比例函数
42．小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB=OA=25cm，OE⊥AD于点E，OE=12.5cm.
（1）求∠OAE的度数；
（2）若保持显示屏OB与底板OA的135°夹角不变，将电脑平放在桌面上如图2中的所示，则显示屏顶部比原来顶部B大约下降了多少？(参考数据：结果精确到0.1cm.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，，)
43．如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
44．某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
45．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润．
46．项目式学习
目的 探究遮阳篷的影子长度
素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景．图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米．
素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表：时刻8：009：0010：0011：0012：00太阳高度角（度）
观察·思考 在这天10：00时，将篷面与墙面的夹角调整为．任务1：求点D到墙的距离；任务2：铁树能否会被太阳光照射到？
探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l．
解答问题（，结果精确到米）
（1）完成任务1，要有必要的解答过程．（2）完成任务2，要有必要的解答过程．（3）直接写出这天10：00时，l的最大值以及相应的的度数．
47．在矩形ABCD中，于点E，P是边AD上的一点.
（1）若BP平分，交AE于点，如图甲所示，证明：四边形AGFP是菱形.
（2）若PE⊥EC，如图乙所示，求证：.
（3）在第(2)题的条件下，若，求AP的长.
48．已知a，b是整数，关于x的方程x2-ax+3-6=0有两个不相等的实数根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实数根，求a，b的值．
49．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
50．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）．
（2）已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值．
（3）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值．
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【决战期末·50道解答题专练】湘教版数学九年级上册期末总复习
1．对于实数m，n定义一种新运算“*”为：m*n=m2+mn，如3*2=32+3×2=15．
（1）若x*3=0，求x的值；
（2）如果关于x的方程*=－5有两个相等的实数根，求a的值．
【答案】解：（1）∵，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴，
∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：.
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算规则得到一个一元二次方程并解之即可；
（2）根据新定义的运算规则得到一个一元二次方程，然后利用一元二次方程根的判别式得到关于的方程并解之即可.
2．某同学进行社会调查，随机抽查了某地15个家庭的收入情况，数据如表：
年收入（万元） 2 2.5 3 4 5 9 13
家庭个数 1 3 5 2 2 1 1
（1）求这15个家庭年收入的平均数、中位数、众数；
（2）你认为用（1）中的哪个数据来代表15个家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由．
【答案】解：平均数为=4.3万元；
中位数为3万元，众数为3万元；
（2）众数或中位数；
理由：虽然平均数为4.3万元，但年收入达到4.3万元的家庭只有4个，大部分家庭的收入未达到这一水平，而中位数或众数3万元是大部分家庭可以达到的水平，因此用中位数或众数较为合适．
【解析】【分析】（1）利用平均数、中位数及众数的定义进行求解即可；
（2）根据家庭收入差距较大得到结论即可．
3． 计算：
【答案】解：原式=﹣3﹣2+﹣1+﹣1=﹣5.
【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解。
4．（1）某铁路全长 1 500 km，某列车的平均速度v(km/h)随此列车的全程运行时间 t(h)的变化而变化，其关系可用函数表达式表示为 。
（2）某住宅小区要种植一个面积为1000 m2 的矩形草坪，草坪的长y(m)随宽 x(m)的变化而变 化，其关系可用函数表达式表示为 .
（3）把一个长、宽、高分别为 3cm， 2cm ，1cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)随高 h(cm)的变化而变 化，其关系可用函数表达式表示为 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【解答】(1)由题可知， 平均速度v(km/h) 与全程运行时间 t(h)之间的函数关系为反比例关系，
设(k)，
∵铁路全长 1 500 km，即k=1500，
∴．
(2)由题可知， 草坪长y（m）与宽x（m）之间的函数关系为反比例关系，
设y=(k)，
∵面积为1000，即k=500，
∴．
(3)根据题意可得铜块的体积=3×2×1=6，则圆柱体的体积=Sh=6，则S=.
【分析】本题考查反比例函数的实际应用.
(1)已知两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系，平均速度v(km/h)乘以运行时间 t等于路长，所以 v和 t成反比关系，据此可设函数的解析式为，，代入解析式可得出答案.
(2)已知两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系， 草坪长y（m）乘以宽x（m）等于面积，所以 y和 x成反比关系，据此可设函数的解析式为，，代入解析式可得出答案.
(3)已知两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系，底面积S(cm2)乘以高 h等于体积，所以 S和 h成反比关系，据此可设函数的解析式为，，代入解析式可得出答案.
5．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在 处测得小岛 在渔船的北偏东 方向；半小时后，渔船到达 处，此时测得小岛 在渔船的北偏东 方向.已知以小岛 为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区.如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？
【答案】解：有着弹危险.
理由如下：作 于 ，
根据题意， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险.
【解析】【分析】判断是否有危险，只需要判断船在离岛C最近的位置是否在演习范围内即可，即是点岛C到直线AB的最小距离是否小于18海里，则在岛C的最下方的点到岛C的距离最近，根据特殊三角函数值与三角形边角的关系，求出最短距离判断即可.
6．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结EB．延长DA至点F，使EF=EB．以线段AF为边作正方形AFGH，则H就是AB的黄金分割点．你能说出这种方法的道理吗？
【答案】解：设AE=x，
则AB=2x，
EF=EB=，
所以.
即H就是AB的黄金分割点．
【解析】【分析】设AE=x，则得AB=2x，根据题意和勾股定理求出BE的长用含x的式子表示，然后求出AH：AB的值，再根据黄金分割点的定义来进行判断即可解答．
7．已知关于x的一元二次方程．
（1）证明：无论m取何值，此方程必有实数根．
（2）等腰三角形中，，、的长是此方程的两个根，求等腰三角形的周长．
【答案】（1）证明：∵，
∴无论m取何值，此方程必有实数根；
（2）解：当为腰时，则或有一条边为腰，
∴的解为1，即，
解得：，
∵时原方程为，
∴解得方程两根为1和3，
∵此时三角形三边为1，1，3，这样的三角形不存在，
∴不合题意，应舍去；
当为底时，则为腰，
即方程有两个相等的实数根，
∴，解得，
∴原方程为，即，
∴等腰三角形的三边为1，3，3，
∴该等腰三角形的周长为．
综上所述，等腰三角形的周长为7．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出算式求解即可；（2）分类讨论：①当为腰时，则或有一条边为腰，②当为底时，则为腰，再分别求解即可.
（1）证明：∵，
∴无论m取何值，此方程必有实数根；
（2）解：当为腰时，则或有一条边为腰，
∴的解为1，即，解得：，
∵时原方程为
∴解得方程两根为1和3，
∵此时三角形三边为1，1，3，这样的三角形不存在，
∴不合题意，应舍去；
当为底时，则为腰，即方程有两个相等的实数根，
∴，解得，
∴原方程为，即，
∴等腰三角形的三边为1，3，3，
∴该等腰三角形的周长为．
综上所述，等腰三角形的周长为7．
8．如图，已知△ABC∽△ADB，点D在AC上．若AD=3，CD=6，求AB的长．
【答案】解： ∵△ABC∽△ADB ，
∴AB：AD=AC：AB，
∵ AD=3，CD=6 ，
∴AC=9，
∴AB2=AC×AD=3×9，
∴AB=.
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例进行解答即可.
9．如图，正△ABC中，∠ADE=60°.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=2，CD=4，求AE的长．
【答案】（1）解：在正ABC中，∠B=∠C=60°
∵∠BAD+∠ADB=120°，∠EDC+∠ADB=180°-∠ADE=120°
∴∠BAD=∠EDC
∵∠B=∠C
∴△ABD∽△DCE.
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴
∴
∴AE=AC-CE=6-=
【解析】【分析】
（1）根据正三角形ABC中∠B＝∠C＝60°，结合三角形内角和定理得出∠BAD＝∠CDE，从而可证得结论。
（2）根据两个三角形相似得出线段间的比例关系，代入数据计算出CE，再计算AE即可。
10．某校八年级两个班，各选派名学生参加学校举行的“安全知识大赛”预赛，各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：，，，，，，，，，；
八（2）班：，，，，，，，，，．
整理后得到数据分析表如下：
班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
八（1）班
八（2）班
（1）填空： ， ；
（2）求出表中的值；
（3）你认为哪个班级成绩好？请写出两条你认为该班成绩好的理由．
【答案】（1）；
（2）解：八班成绩的方差
（3）解：八班成绩好，理由如下：
从平均数看，八班成绩的平均数高于八班，所以八班成绩好；
从中位数看，八班成绩的中位数为分，大于八班成绩的中位数，
八班高分人数多于八班，
故八班成绩好．
【解析】【解答】解：（1）八（1）班平均分a=，则a=95；
把八(2)班的成绩按从小到大的顺序排列如下：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
处于中间位置的两个数是93和93，则中位数=，则 b=93；
【分析】本题考查平均数的计算、中位数。准确掌握中位数的概念很关键。结合平均数和中位数的意义，找出成绩较好的班级。
11．已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】解：由题意可得：
解得：m≤2
故答案为：m≤2
【解析】【分析】根据二次方程有两个实数根，则判别式，即可求出答案.
12．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CF.CG.
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形.
（2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD，AB//CD，OB = OD，
∴∠ABE=∠CDF.
∵E.F是OB，OD的中点，
∴BE=EO=OF=OD
∴△ABE△CDF(SAS)，
∴AE=CF=EG， ∠AEB=∠CFD=∠GEF
∴EG//CF，EG=CF，
"四边形EGCF是平行四边形；
（2）解：∵四边形EGCF是菱形、
∴EG=EF=AE=2EO=OB.
∵矩形ABCD.
∴OB=OA=AE=2EO.
作AH⊥EO
设EH=HO=a.
∴EO=2a.AE=OA =4a =OD.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，可得AB = CD，AB//CD，OB = OD，∠ABE=∠CDF；根据中点的性质，可得BE=EO=OF=OD，从而用SAS判断出△ABE≌△CDF，得AE=CF=EG， ∠AEB=∠CFD=∠GEF；由同位角相等，两直线平行，得AE∥CF，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；
（2）根据菱形和矩形的性质，可得EG=EF=AE=2EO=OB，OB=OA=AE=2EO；根据等腰三角形的三线合一得EH=HO=a，根据勾股定理表示出AH，进而根据∠ADB的正切函数即可得AB与AD的比值.
13．已知：，分别求下列代数式的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：∵
∴a﹣b＝
ab＝
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝
（2）解：a2+ab+b2＝（a﹣b）2+3ab＝
【解析】【分析】（1）由a、b的值先计算出ab、a﹣b，再将待求式子利用提取公因式法分解因式变形为ab（a﹣b），最后整体代入计算即可；
（2）将待求式子利用配方法变形为（a﹣b）2+3ab，将a﹣b、ab代入，计算求解可得．
14．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这六场比赛中，得分方差较小的队员是_____（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为_____分；
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好；
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
【答案】（1）甲，29
（2）解：从得分方面分析，因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好．
（3）解：甲的综合得分为；
乙的综合得分为，
因为，
所以乙队员表现更好．
【解析】【解答】解：甲的方差为：，
乙的方差为：，
因为，
所以得分方差较小的队员是甲；
将乙的得分按从小到大顺序排列为：14，20，28，30，32，32，
因此乙队员得分的中位数为（分），
故答案为：甲，29；
【分析】（1）分别计算甲乙的方差，并进行比较即可；并根据中位数的定义得出乙队员得分的中位数；
（2）通过比较平均分和方差，得出平均数大且方差较小的甲表现更好；
（3）根据规则计算出两人的“综合得分”，比较大小即可．
（1）解：甲的方差为：，
乙的方差为：，
因为，
所以得分方差较小的队员是甲；
将乙的得分按从小到大顺序排列为：14，20，28，30，32，32，
因此乙队员得分的中位数为（分），
故答案为：甲，29；
（2）解：从得分方面分析，因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好．
（3）解：甲的综合得分为；
乙的综合得分为，
因为，
所以乙队员表现更好．
15．一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）解： ∵反比例函数的图象的过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象的过点、，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：，
当时，，解得：，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）先反比例函数的图象过点，得到，由此求得 反比例函数的表达式 ；
（2）先反比例函数的图象的过点，求出点B的坐标，再将、代入可得一次函数的表达式，进而可得的坐标，然后利用即可求解．
（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴
解得：
∴反比例函数的表达式为：
（2）解：将点代入得：，
∴
将、代入得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：，
令，则，
∴
∴
16．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）.某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD=EF=1.7m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE=32m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度.（结果取整数，参考数据：（
【答案】解：如图，延长 DF 与AB 相交于点G.
根据题意，得四边形 GAEF 和四边形 FECD 是矩形，
在 中，
在 中，
答：世纪钟建筑AB的高度约为40 m.
【解析】【分析】延长 DF 与AB 相交于点G.即可得到四边形 GAEF 和四边形 FECD 是矩形，然后根据正切表示GF和GD长，根据GF+DF=GD列方程求出GB长即可解答.
17． 如图，点D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB上的点，DF//CA，∠A=∠EDF，
（1）求证：四边形AFDE为平行四边形；
（2）若，直接写出的值为 ．
【答案】（1）证明：∵DF//CA，
∴∠BFD=∠A，
∵∠A=∠EDF，
∴∠BFD=∠EDF，
∴AB//DE，
∵DF//CA，
∴四边形AFDE为平行四边形；
（2）
【解析】【解答】解：（2）∵DF//CA，AB//DE，
∴∠BDF=∠C，∠B=∠CDE，
∴△BDF∽△DCE，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）根据平行线的判定与性质证出AB//DE，然后根据平行四边形的判定定理即可证明；
（2）根据平行线的性质及相似三角形的判定定理证明△BDF∽△DCE，然后根据相似三角形的性质即可得解.
18．小程经营的是一家服装店，店里有一款毛衣和一款牛仔裤销售非常可观，从2019年1月开店以来，平均每天可卖出毛衣10件，牛仔裤20件.已知道买1件毛衣和3件牛仔裤与买2件毛衣和1件牛仔裤需要的钱一样多，都为500元.
（1）买一件毛衣和一件牛仔裤各需要多少钱？
（2）双“十一”将至，小程经营的网店提前对该毛衣和牛仔裤开启了促销活动，活动当天，毛衣每件售价降低了 ，销售量在原来的基础上上涨 ，仔裤每件售价也降低了 ，但销售量和原来一样，当天，这两件商品总的销售额为3960元，求 的值.
【答案】（1）解：设买一件毛衣需要 元钱，买一件牛仔裤需要 元钱
依题意有 ，
解得 .
答：买一件毛衣需要200元钱，买一件牛仔裤需要100元钱.
（2）解：依题意有：
.
解得 (舍去)， .
故 的值为10.
【解析】【分析】（1）设买一件毛衣需要 元钱，买一件牛仔裤需要 元钱，根据买1件毛衣和3件牛仔裤与买2件毛衣和1件牛仔裤需要的钱一样多，都为500元，列出方程组并求出解即可；
（2）利用毛衣的总销售额+仔裤的总销售额=3960元列出方程，解出方程并检验即可.
19．为选拔一名跳高运动员去参加省赛，表现优异的小超和小梦共进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下：
小超：，，，，，，，；
小梦：，，，，，，，；
【数据整理】
平均数 中位数 众数
小超 x
小梦 y
（1） m， m；
（2）为了便于分析数据，教练用折线统计图表示了两位运动员的数据，由折线统计图可知 的成绩更为稳定；
【数据决策】
（3）经大数据分析预测，跳高获得冠军的可能性很大，为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由．
【答案】（1）、；
（2）小超；
（3）可能选择小梦参加跳高比赛，
由题意知，小超8次中仅有1次达到，小梦8次中有2次超过，
所以小梦的潜力更大，应选择小梦参加跳高比赛．
【解析】【解答】解：（1）小超成绩的众数，
小梦成绩重新排列为：1.60，1.62，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，1.75，
所以其成绩的中位数，
故答案为：、；
（2）分别计算两人的跳高成绩的方差分别：
，
，
∴，
∴小超的成绩更为稳定；
故答案为：小超；
【分析】(1)本题考察众数和中位数的计算，众数是出现次数最多的数据，小超成绩中1.68出现3次，故；中位数是数据排序后中间的数（偶数个数据取中间两数的平均数），将小梦成绩排序为1.60，1.62，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，1.75，中间两数为1.69和1.71，平均数为1.70，故。
(2)本题考察方差与数据稳定性的关系，方差越小成绩越稳定。根据方差公式，分别计算小超和小梦成绩的方差，得到小超的方差为0.00065，小梦的方差为0.00255，比较得出小超成绩更稳定。
(3)本题考察根据数据特征决策，核心是看达到1.73m的次数。小超8次中仅1次达到1.73m，小梦有2次超过1.73m，说明小梦冲击目标的能力更强，潜力更大，故选择小梦参赛。
20．步行是全世界公认的有效、科学的健身方法.为了方便市民步行健身，某区园林部门决定将某公园里的一段斜坡 改造成 .已知原坡角 ，改造后的斜坡 的坡度为 ， 米，求原斜坡 的长．(精确到0.1米，参考数据： )
【答案】解：设AD=x，∵在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，
∴ ， ，
∵在Rt△ACD中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
答：斜坡AB的长约为 米．
【解析】【分析】设AD=x米，利用锐角三角函数表示出AD、AB的长，再根据 可得 ，最后根据 列出方程求解即可．
21．为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量，从七、八年级中随机各抽取了个班的餐厨垃圾质量，数据如下：(单位：)
七年级：，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，．
餐厨垃圾质量用表示，共分为四个等级：．，．，．，．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 等级所占百分比
七年级
八年级
（1）直接写出上述表中，，的值；
（2）结合以上各个统计量进行分析，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：八年级落实的更好，理由如下：
从统计表中可以看出，虽然八年级的众数略高于七年级，
但两者的平均数相同，八年级的中位数低于七年级，八年级等级的占比高于七年级，说明八年级更多班级落实了光盘行动，
同时八年级的方差低于七年级，说明八年级的成绩更稳定，
所以八年级比七年级落实的更到位言之有理即可．
【解析】【解答】（1）解：∵从七年级的数据可以看出，出现的次数更多，
∴这组数据的众数为，
即；
将八年级的数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，一共有个数据，其中第个和第个数据均为，
∴这组数据的中位数为：，
即；
∵八年级中的数据有个，
∴，
故答案为：，，．
【分析】（1）根据众数、中位数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求出、；再根据八年级的数据中A等级的数据除以调查总数，即可求解；
（2）根据统计表中的相关数据并结合众数、中位数、平均数的意义，合理分析即可求解．
22． 如图，已知B，C，D 三点在同一水平线上，AD⊥BD，∠B=30°，∠ACD=60°，BC=30米，求线段 AD 的长.
【答案】解：∵ ∠B=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD-∠B=60°-30°=30°=∠B，
∴BC=AC=30米，
又∵ AD⊥BD，
∴∠ADC=90°，
又∵sin∠ACD=，
∴AD=AC×sin∠ACD=2=30×=15米.
【解析】【分析】根据三角形的外角求出∠BAC=30°=∠B，即可得到BC=AC，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义解答即可.
23．小红学面镜成像原理后，利用这一原理测量一古楼的高度，在水平面的点E处放一平面镜（为法线）（为眼睛到脚底的高度）恰好能看到古楼最高点A处，测得，，．（参考数据：，，，结果保留整数）
（1）求之间的距离；
（2）求古楼的高度．
【答案】（1）解：由题意得：，
在中，，，
，
之间的距离为
（2）解：法线，，
，
，
，
，
，
解得
【解析】【分析】（1）在中，利用解直角三角形求出CE的长.
（2）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，根据相似三角形的对应边成比例求出即可．
（1）解：由题意得：，
在中，，，
，
之间的距离为；
（2）解：法线，，
，
，
，
，
，
解得．
24．学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度．
【答案】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，
∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米），
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴，
∴，
解得：CH＝4.8，
∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米），
答：树高CD为6.5米．
【解析】【分析】 过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为矩形， 进一步求得 AG＝的长度，再根据EH⊥CD，EH⊥AB， 证明 △AEG∽△CEH， 利用相似三角形的性质求得CH 的长度，从而求得CD的值.
25．为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的数值．
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
九年级10名学生频数分布表
组别 频数
0
1
【应用数据】
（1）求数据统计表中的值，并直接写出的值．
（2）请估计该校九年级300名学生中的人数．
【答案】（1）解：由题意得：x20，∴由九年级10名学生频数分布表得，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级300名学生中的人数为60人．
【解析】【分析】
（1）根据计算公式可得x的值，观察表格可得a，b的值；
（2）利用样本估计总体即可．
（1）解：由题意得：x20，
∴由九年级10名学生频数分布表得，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级300名学生中的人数为60人．
26．某楼盘7月份的均价为10000元/m2．受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价.9月份的均价为8100元/m2．
（1）求该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率；
（2）林叔叔决定等到均价低于7000元/m2时买房子，按这样的月平均下降末，林叔叔能在10月份买房子吗？
【答案】（1）解：设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为x，
根据题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为10%；
（2）解：8100×（1﹣10%）＝7290（元），
∵7290＞7000，
∴按这样的月平均下降率，林叔叔不能在10月份买房子．
【解析】【分析】(1)设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为x，根据9月份的均价=7月份的均价×(1-7月
到9月期间均价的月平均下降率)2，可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论.
( 2 )利用10月份的均价=9月份的均价×(1-7月到9月期间均价的月平均下降率)，可求出该楼盘10月份的均价，再将其与7000元比较后，即可得出结论.
27．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）若P是线段上一点，过点P作y轴的垂线交反比例函数图象于点Q，连接，当时，求点Q的坐标．
【答案】（1）将点代入中，得，
∴反比例：；
将点和点分别代入中，
得，解得，
∴AB：.
（2）如图，设，
∵轴，
∴点P纵坐标为，
∴当时，，
∴P，
∴，
解得 (舍去)，此时在线段上，符合题意，
∴点Q的坐标为．
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案；
（2）设Q点坐标，根据PQ纵坐标相同，表示出P坐标，进而表示，解方程即可得到答案．
（1）解：将点和点分别代入中，得，
解得，
∴直线的表达式为，
将点代入中，得，
∴反比例函数图象的表达式为；
（2）解：如图，设，
∵轴，
∴点P，Q纵坐标相同，
∴在直线中，当时，，
∴点P坐标为，
∴，
解得 (舍去)，此时在线段上，符合题意，
∴点Q的坐标为．
28．已知函数和函数（k1，k2，b是常数，
（1）若两函数的图象交于点A（1，4），点B（a，1），求函数 y1，y2的表达式；
（2）若点C(-1，n)向上平移6个单位恰好落在函数y的图象上，又点C(-1，n)向右平移⒉个单位恰好落在函数y2的图象上，且k1+k2=0，求b的值.
【答案】（1）解：将点，代入，
∴，
∴，
∵点在上，
∴
∴，
∴，
将，，代入
∴
解得：
∴
（2）解：∵点向上平移个单位得到，
由题意得点在上，
则，
解得，
点向右平移2个单位得到，
由题意得在函数上，
∴，
∴
即
又∵，
∴．
【解析】【分析】（1）先运用待定系数法将点A代入求出反比例函数的解析式，从而即可得到点B的坐标，再运用待定系数法求出直线AB的函数解析式即可；
（2）先根据平移-坐标的变化得到点向上平移个单位得到，点向右平移2个单位得到，进而根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，从而根据一次函数图象上的点得到，即，再根据即可求出b.
29．某游乐场部分平面图如图所示，点C，E，A在同一条直线上，点D，E，B在同一条直线上.测得点A 与点E 的距离为80m，点 C 与点 D 的距离为34 m，∠C=90°，∠B=90°， 求：
（1）旋转木马 E 处到出口 B 处的距离.
（2）海洋球D 处到出口B处的距离(结果精确到1m，参考数据：
【答案】（1）解：∵ 在 Rt△ABE 中，AE=
∴ BE=AE· sin A=80×sin30°=
∴ 旋转木马E 处到出口 B 处的距离为40m.
（2）解：∵ ∠C=∠B=90°，∠DEC=∠AEB，
∴△DCE∽△ABE，
∴∠D=∠A=30°.
∵ 在 Rt△DCE 中， CD = 34 m，
∴DB=DE+BE=40+40=80(m).
∴ 海洋球 D 处到出口 B 处的距离约为80m.
【解析】【分析】（1）在直角三角形中，利用正弦函数定义，求出BE的长度；
（2）先通过证明三角形相似得到角相等；再在直角三角形中利用余弦函数定义，求出DE的长度；最后结合BE的长度，即可求出DB的长度．
30．财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息：
信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图
信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：
统计量类别 平均数 中位数 方差
教育支出 520.7 m
社会保障和就业支出 448.3 466.5
交通运输支出 292.3 282.0
（以上数据来源于《中国统计年鉴》）
根据以上信息解决下列问题：
（1） ； （填＞，＜号）；
（2）根据以上信息，判断下列结论正确的是 ；（只填序号）
①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；
②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；
③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多．
（3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是 年．
【答案】（1）562.7，
（2）②
（3）2014
【解析】【解答】（1）根据折线统计图可知，，
，，
，
，
故答案为：562.7，；
（2）由折线图可知，2015年与2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出分别是278.2亿元，219.2亿元，所以与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出下降了，故结论①错误，不符合题意；年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长，故结论②正确，符合题意；
2019年甘肃省在社会保障和就业的支出为529.1亿元，交通运输的支出为360.4亿元，所以2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的1倍还多168.7亿元，故结论③错误，不符合题意．
故答案为：②；
（3）年这6年中甘肃省在教育支出的平均数为520.7亿元，高于2014与2015年的平均数，又连续5年教育支出的平均数大于520.7亿元，
不是去掉的2015年的教育支出，
该小组去掉的年份是2014年．
故答案为：2014．
【分析】（1） 结合折线图从6个数据求到中间两个数的平均数等于中位数，方差公式=；
（2）根据折线统计图可知年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长，故结论②正确；
（3）根据5年教育支出的平均数大于520.7亿元，2014年教育支出费用小于520.7亿元，连续5年教育支出的平均数，得到该小组去掉的年份为2014年．
31．如图，在凯里市某广场上空飘着一只气球，、是地面上相距90米的两点，它们分别在气球的正西和正东，测得仰角，仰角，求气球的高度．精确到米，
【答案】解：过点作于点，设米．
在中，，
．
在中，，
，
又，
，
，
．
答：气球的高度为米．
【解析】【分析】过点作于点，设米，利用锐角三角函数可得，，再结合，可得，所以。
32．湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果．校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下：
【收集数据】
七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89；
八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100；
【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下：
七年级 4 7 2 7
八年级 3 4 7
【分析数据】
两组数据的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 91 97
八年级 91 91
请结合以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是_____（填写“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）填空：_____，_____，_____；
（3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数．
【答案】（1）抽样调查
（2）6，89，95；
（3）解：七年级学生甲在本年级的排名更靠前．理由如下∶
∵八年级抽取学生成绩的中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分，
∴90 分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数，
∴七年级学生甲在本年级的排名更靠前；
（4）解：，
答：这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数约为200 名．
【解析】【解答】（1）解：∵校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析，
∴在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
（2）解：根据题意得到，
七年级中位数：，
∴，
根据八年级抽取学生的成绩数据得到95最多，
∴，
故答案为：6，89，95；
【分析】（1）根据调查的分类解答即可；
（2）数出的人数得到，根据中位数的定义得到b，众数的定义求出c即可；
（3）根据七、八年级的中位数分析解答即可；
（4）分别运用七、八年级成绩不低于90分的人数占比乘以该校七、八年级总人数求和解答即可．
（1）解：∵校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析，
∴在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
（2）解：根据题意得到，
七年级中位数：，
∴，
根据八年级抽取学生的成绩数据得到95最多，
∴，
故答案为：6，89，95；
（3）解：七年级学生甲在本年级的排名更靠前．理由如下∶
∵八年级抽取学生成绩的中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分，
∴90 分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数，
∴七年级学生甲在本年级的排名更靠前；
（4）解：，
答：这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数约为200 名．
33．
（1）解方程：；
（2）如果四条成比例线段线段的长分别为2，3，6，，求的值．
【答案】（1）解：
，
∴，
∴解得，；
（2）解：∵2，3，6，a成比例，
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）掌握解一元二次方程的解法，观察本题各项系数，可以用十字相乘法分解因式求解比较简便；
（2）了解成比例线段的含义：同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a：b=c：d（或），那么，这四条线段叫做成比例线段。
34．某商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．若商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
【答案】解：设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，每天可销售件，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∴商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价元．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程在利润问题中的应用，准确找到等量关系是解题关键.
设每件商品应降价x元，原来每件商品的利润为100-80=20元，降价x元后，每件商品的利润为100-80-x=20-x元，原来一天可售出100件，单价每降低1元，销量增加10件，降价x元后，一天可售出(100+10x)件，根据总利润 = 每件利润 × 销售量，可列出方程：，解得：，，因为要让顾客得到实惠，所以应选择降价更多的，即x=8，由此可得出答案.
35．如图是两辆某品牌小汽车平行停放的平面示意图．已知右边小汽车车门为1.2米，车门打开最大角度为．当两辆小汽车水平距离为0.8米时，请问能否保证右边小汽车在打开车门最大角时不碰到左边小汽车？请说明理由．
（结果精确到0.1米，参数考据：，，）
【答案】解：过点作，垂足为点，
在中，因为，米，
所以．
，
因为两辆小汽车水平距离为1.1米大于0.8米，
所以右边小汽车在打开车门时会碰到左边小汽车．
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题关键。过点作，垂足为点，解，根据得AC，与0.8米作比较，可得结论。
36．已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，.
（1）求证：；
（2）求的值.
【答案】（1）解：
平分，.
，..
.
（2）解：，，
.
，
.
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）先证出，再利用相似三角形的性质可得.
37．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120° ，AB=AC=2．D是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE= 30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，
∴∠ABD=∠ADE．∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．
（2）解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFB=90°．
∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF= AB=1，BF= ，
∴BC=2BF=，则DC=-x，EC=2-y．
∵△ABD∽△DCE，∴，即
化简，得y= x2- x+2 (0
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质并结合已知可得∠ABD=∠ADE，由∠ADC的构成和三角形外角的性质可得∠EDC=∠DAB，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFB=90°．在直角三角形ABF中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AF=AB，用勾股定理求得BF的值，根据等腰三角形的三线合一得BC=2BF，然后根据（1）中的相似三角形得比例式，整理即可求解.
38．已知关于x的方程2x2-5x+k=0的一个根是1．
（1）求k的值．
（2）解这个方程．
【答案】（1）解：∵关于x的方程2x2-5x+k=0的一个根是1，
∴2×12-5×1+k=0，
解得：k=3；
（2）解：由（1）知：k=3，
∴原方程为：2x2-5x+3=0，
（2x-3）（x-1）=0，
∴2x-3=0，x-1=0，
解得：x1=，x2=1.
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的定义，将x=1代入原方程可得关于k的方程，解方程可求解；
（2）由（1）中求得的方程，将方程左边分解因式，可得关于x的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
39． 如图，一次函数（是常数）与反比例函数在第二象限的图象交于两点，与轴、轴分别交于点点，且．
（1）求反比例函数解析式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，
，
把坐标代入得：
解得：
一次函数解析式为，
当时，，
，
是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
反比例函数的解析式为
（2）解：，
【解析】【分析】（1）先求出点C、D的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，再求出点A的坐标，最后将点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）根据点A的坐标，再利用三角形的面积公式求出△AOC的面积即可.
40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，求的面积.
【答案】解：解方程组得或，
所以A点坐标为，B点坐标为，
设一次函数的图象交y轴与点C，则，
，
.
故的面积为4.
【解析】【分析】联立两函数解析式组成方程组，求解得其交点坐标，设一次函数图象交y轴于点C，令一次函数解析式中的x=0，代入即可算出对应的y的值，从而可得点C的坐标，进而根据S△OAB=S△AOC+S△BOC，结合三角形面积计算公式，即可算出答案.
41．已知函数 .
（1）当m，n为何值时，该函数为一次函数
（2）当m，n为何值时，该函数为正比例函数
（3）当 m，n为何值时，该函数为反比例函数
【答案】（1）解：当函数是一次函数时，
，且，
解得，，；
（2）解：当函数是正比例函数时，
，
解得，，．
（3）解：当函数是反比例函数时，
，
解得，，．
【解析】【分析】本题考查一次函数的概念，正比例函数的概念，反比例函的概念．
（1）根据一次函数的定义可列出方程组，且，解方程组可求出、的值；
（2）根据正比例函数的定义可列出方程组，，且，解方程组可求出、的值．
（3）根据反比例函数的定义可列出方程组，，且，解方程组可求出、的值．
42．小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB=OA=25cm，OE⊥AD于点E，OE=12.5cm.
（1）求∠OAE的度数；
（2）若保持显示屏OB与底板OA的135°夹角不变，将电脑平放在桌面上如图2中的所示，则显示屏顶部比原来顶部B大约下降了多少？(参考数据：结果精确到0.1cm.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，，)
【答案】（1）解：∵OE⊥AD于点E，OA=OB=25cm，OE=12.5cm，
在Rt△OEA中，.
∴∠OAE=30°.
（2）解：如图，过点O作MN⊥OE，过点B作BH⊥MN于点H，过点B＇作B＇F⊥AD，交AD的延长线于点F.
∵∠BOA=135°，∠AOE=60°，∠MOE=90°
∴∠BOH=360°－∠BOA －∠AOE －∠MOE =75°
∵在Rt△BOH中，
∴
=25×sin75°≈25×0.97=24.25（cm）
∵=135°
∴=45°
∵在Rt△中，
∴=25×≈25×0.705=17.625（cm）
∴BH+OE－B＇F≈24.25+12.5－17.625=19.125≈19.1（cm）
答：显示屏顶部比原来顶部B大约下降了19.1cm.
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题
（1）根据题中数据，在△OEA中，将∠OAE的正弦值求出，从而得出∠OAE的度数.
（2）过点O作MN⊥OE，过点B作BH⊥MN于点H，过点B＇作B＇F⊥AD，交AD的延长线于点F. 通过∠BOH的度数，计算出BH的长度，在△B＇O＇F中，求出∠B＇O＇F的度数，从而求出B＇F的长度，利用OE和BH的长度之和得出B点距离桌面的高度，最后求出下降的高度.
43．如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而得到∠1+∠3＝90°，再根据折叠的性质得到∠EPH＝∠A＝90°，从而结合题意即可得到∠3＝∠2，再根据相似三角形的判定证明△EDP∽△PCH即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而根据中点得到，设EP＝AP＝x，则ED＝AD﹣x＝3﹣x，再运用勾股定理即可求出x，从而即可得到ED，再根据相似三角形的性质结合题意求出PH，从而根据GH=PG-PH即可求解；
（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先根据折叠得到AP⊥EF，BG⊥直线EF，进而根据平行线的判定与性质结合等腰三角形的性质得到∠BAP＝∠GPA，从而得到MA＝MP，设DP＝CP＝y，结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△MBH≌△PCH（ASA）即可得到BM＝CP＝y，HM＝HP，从而得到MP＝MA＝MB+AB＝3y，再结合题意根据勾股定理表示出，，，，根据相似三角形的判定与性质证明△BMG∽△MAP得到，最后得到即可求解.
44．某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1-x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；
（2）解：假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900-2500-50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为X，根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1-X） ，第二次后的价格是60（1-X）2 元，据此既可以列出方程求解。
（2）假设下调a个50元，销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一个减一个加”，根据每台的盈利×销售的件数=5000，既可以列出方程并求解。
45．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润．
【答案】（1）解：设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨，依题意得x+2x-100=800 ，解得x= 300，
∴2x-100= 2x300- 100=500，即4月份再生纸的产量为500吨．
（2）解：依题意得1 000(1+ % ) ×500( 1 +m%)= 660 000，
整理得m2+300m-6 400=0，解得m1= 20，m2=-320(不合题意，舍去)，即m的值为20．
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得1 200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1 200(1+y)·a，
∴1200(1+y)2=1 500．
即6月份每吨再生纸的利润是1500元
【解析】【分析】（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨，根据“ 4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨 ”列出方程并解之即可；
（2）根据月利润=每吨利润×月产量，列出方程并解之即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%，可列出关于y的方程并解解之即可.
46．项目式学习
目的 探究遮阳篷的影子长度
素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景．图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米．
素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表：时刻8：009：0010：0011：0012：00太阳高度角（度）
观察·思考 在这天10：00时，将篷面与墙面的夹角调整为．任务1：求点D到墙的距离；任务2：铁树能否会被太阳光照射到？
探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l．
解答问题（，结果精确到米）
（1）完成任务1，要有必要的解答过程．（2）完成任务2，要有必要的解答过程．（3）直接写出这天10：00时，l的最大值以及相应的的度数．
【答案】解：（1）作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去），
即点D到墙的距离约为米；
（2）作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵10：00时，，
∴，
∴米，
∵，
∴铁树能被太阳光照射到；
（3）l的最大值为米，此时的度数．
【解析】【解答】（3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵10：00时，，
∴，
在四边形中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴米，
∴l的最大值为米，此时的度数．
【分析】（1）作于点，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）作于点，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，根据补角可得∠DEB=120°，再根据四边形内角和可得∠BAD=60°，则，根据含30°角的直角三角形性质可得AF，根据勾股定理可得DF，再根据彼岸之回见的关系可得DG，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案.
47．在矩形ABCD中，于点E，P是边AD上的一点.
（1）若BP平分，交AE于点，如图甲所示，证明：四边形AGFP是菱形.
（2）若PE⊥EC，如图乙所示，求证：.
（3）在第(2)题的条件下，若，求AP的长.
【答案】（1）证明： ∵BP平分∠ABD，PF⊥BD，PA⊥AB，
∴AP=PF，∠ABP=∠GBE，
又∵在Rt△ABP中，∠APB+∠ABP= 90°，
在Rt△BGE中，∠GBE+∠BGE =90°，
∴∠APB=∠BGE，
又∵∠BGE=∠AGP，
∴∠APB=∠AGP，
∴AP= AG，
∴AG= PF，
∵PF⊥BD，AE⊥BD，
∴AG∥PF，
∴四边形AGFP是平行四边形，
∴四边形AGFP是萎形；
（2）证明：
，
，
.
又；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=2，∠BAD=90°，
∴，
∵AE⊥BD，
∴S△ABD=，
∴AE=，
∴DE=，
∵AE·AB=DE·AP；
∴.
【解析】【分析】（1）由角平分线性质可得AP=PF，则只需证四边形AGFP为平行四边形，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到AGFP为平行四边形，即可得AP=PF，一组邻边相等的平行四边形是菱形，得证；
（2）要证，即，只需要证；两个三角形中，则∠PAE=∠CDE；，则∠AEP=∠CED；两角对应相等，两三角形相似，证得，从而得出结论；
（3）利用（2）的结论，求出DE、AE即可.
48．已知a，b是整数，关于x的方程x2-ax+3-6=0有两个不相等的实数根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实数根，求a，b的值．
【答案】根据题意得对于x2-ax+3-b=0， b2-4ac=a2-4(3-b)= a2+4b-12>0，即a2+4b>12①，
对于x2+(6-a)x+7-b=0，b2-4ac=(6-a)2-4(7-b)= a2 +4b- 12a+8=0，即a2+4b=12a-8②，
对于x2 +(4-a)x+5-b=0，b2-4ac=(4-a)2-4(5-b)=a2 +4b-8a-4< 0，即a2 +4b<8a+4③，
把②分别代人①③，得
解不等式组得 再代人②，得4+4b=12x2-8 ，解得b=3，
∴a=2，b=3．
【解析】【分析】 由关于x的方程x2-ax+3-6=0有两个不相等的实数根，可得△=a2+4b-12>0①，由x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根，可得△=a2 +4b- 12a+8=0②，由x2+(4-a)x+5-b=0没有实数根，可得△=a2 +4b-8a-4＜0③，把②分别代人①③可求出整数a值，再将其代入②即可求出b值.
49．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【答案】（1）解：根据题意可得， 每位选手与其他选手各比赛1局 ，因此，5个人需比赛的局数为；
（2）解：小哲说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
解得：，
x不是整数，
所以方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）解：设有人报名参赛，有一人参加了n场比赛后中途退出，此时，剩下（x-1）人，
根据题意，可列方程为：=70，
整理得：，
解得：，
因为x为正整数， 且参赛者少于15人 ，
所以，当x=4时，x=13，符合题意，
当x=15时，x=12，符合题意，
所以，报名本次比赛的参赛者有12或13名.
【解析】【分析】（1）根据题意可得：5个人需比赛的局数为；
（2）根据题意列方程求解即可得出结论；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，根据题意列出方程求解即可.
50．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）．
（2）已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值．
（3）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值．
【答案】（1）①③
（2）解：由是黄金方程，可得，即
∴，
将代入 可得，，
∵ 是此黄金方程的一个根，
∴，化简可得
解得或；
则或
（3）解：由一元二次方程是“黄金方程”可得，即，
将代入可得
，
∵，
∴
∴的最小值为4．
【解析】【解答】（1）解：①由可得，
，且，
根据黄金方程的定义可得，是黄金方程；
②可得
∴，且，
根据黄金方程的定义可得，不是黄金方程；
③，
，且，
根据黄金方程的定义可得，是黄金方程，
故答案为：①③；
【分析】（1）将每个一元二次方程化为一般式，再根据黄金方程的定义逐个判断即可；
（2）由黄金方程的定义可得，将代入 可得，再由 是此黄金方程的一个根可得，解方程即可；
（3）由黄金方程的定义可得，将代入，再利用配方法，非负数的性质求解即可．
（1）解：①是黄金方程，理由：
∵，
∴，
∴
∴，
∴是黄金方程；
②不是黄金方程，理由：
∵
∴
∴，
∴，
故不是黄金方程；
③是黄金方程，
∴，
∴，
∴是黄金方程，
故答案为：①③；
（2）解：∵是关于的黄金方程，
∴，
∴，
∴原方程为，
∵是此黄金方程的一个根，
∴，即
∴，
解得或；
（3）解：∵关于的一元二次方程是“黄金方程”，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的最小值为4．
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