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北师大版2025—2026学年九年级上册期末复习全能练考卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．反比例函数经过点，则k的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
2．已知点和点都在反比例函数图象上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3． 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数图象上．若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点和都在反比例函数的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接、，若四边形的面积记作，面积记作，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上
B．当时随的增大而增大
C．它的图象在第二、四象限
D．若点，都在图象上，且，则
8．如图， 在正方形 和正方形 中， 点 在 上， 是 的中点，则 的长是（ ）
A． B． C． D．2
9．如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
10．如图，正方形中，，点在边上，且对折至，延长交边于点，连接下列结论：中点；其中正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为 ．
12．不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，大小、形状完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为 ．
13．对于点P（a，b），点Q（c，d），如果a﹣b＝c﹣d，那么点P与点Q就叫作等差点．例如：点P（4，2），点Q（﹣1，﹣3），因4﹣2＝1﹣（﹣3）＝2，则点P与点Q就是等差点．如图在矩形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，点P是直线y＝x+b上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则b的取值范围为 ．
14．如图，在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则 ．
15．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝ ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程：
（1）；
（2）.
18．实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内(包括1.5 小时)其血液中酒精含量 y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用一次函数y=100x表示；1.5小时后(包括 1.5 小时)y与x的关系可近似地用反比例函数≠0)表示(如图所示).
（1）求k的值.
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间 其 血 液 中酒 精含量不 低 于 75毫克/百毫升(用分钟表示)
19．在矩形纸片ABCD中，点E为BC边上的动点，连结DE，将矩形纸片ABCD沿DE对折，使点C落在点F处，连结AF.
（1）如图1，若点A，F，E三点共线，求证：AD=AE.
（2）如图2，若点F在对角线AC上，M是对角线AC的中点，且MF=AB，求∠DAF的度数.
20．设x1，x2是关于x的方程的两根.
（1）当时，求x2及m的值；
（2）求证：
21．如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC于点 E，延长BC 至点 F 使 CF=BE，连接DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD 是矩形；
（2）若AB=3，ED=4，BF=5，求AE的长.
22．如图，菱形中，，点在对角线上，交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）连结，当时，判断与的数量关系并证明．
23．某商城在端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元.
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台.若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
24．四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外）、△EFG是直角三角形，EG=EF，点G在CD的延长线上.
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说
明理由：
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF=EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由.
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求b的值和反比例函数解析式；
（2）如图1，P为反比例函数的图象一点，使得，求P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一点，点N为平面中的一点，是否存在这样的M，N两点，使得A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
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北师大版2025—2026学年九年级上册期末复习全能练考卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．反比例函数经过点，则k的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵反比例函数经过点，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k，即可求出答案.
2．已知点和点都在反比例函数图象上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 此函数在每个象限内，y均随x的增大而减小，
∵ A和B都在第一象限，
∴ 2＜4，
∴ y1＞y2.
故答案为：A.
【分析】根据可知函数图象特征：此函数在每个象限内，y均随x的增大而减小，即可求得.
3． 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】【解答】解：∵已知ax2-ax+c=0没有实数根，
∴Δ=(-a)2-4ac=a2-4ac=a(a-4c)<0，
∴当a>0时，a-4c<0，
当a<0时，a-4c>0，
故答案为：D.
【分析】一元二次方程没有实数根的条件是判别式Δ<0，通过计算判别式并分析其符号，结合选项中的条件确定正确选项.
4．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数图象上．若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设直线与y轴的交点为G，
在中，令，得，解得，
令，得，
，，
如图，过A作轴于E，过C作轴于F，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图象上，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
，
∴反比例函数表达式为，
故答案为：A
【分析】 先求出直线与坐标轴的交点坐标，过A作轴于E，过C作轴于F，证明，推出，，再证，推出，设，，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得，求出a值即可．
5．如图，点和都在反比例函数的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接、，若四边形的面积记作，面积记作，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点和都在反比例函数的图象上.
∴，
∴点，，
∵过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N.
∴，
如图，过点B作交的延长线于点K，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】将点和分别代入中，可求出m、n值，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据反比例函数k的几何意义可得，过点B作交的延长线于点K，从而求出，继而得解.
6．已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、
，
∵是线段，
，
，
故A选项正确；
B、若满足此时
，
，
，故B选项错误；
C、已知线段m，且m≠0，所以m＞0；当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即故C选项错误；
D、若满足此时，故D选项错误.
故答案为： A.
【分析】根据比例线段的定义及性质逐一判断可得答案.
7．对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上
B．当时随的增大而增大
C．它的图象在第二、四象限
D．若点，都在图象上，且，则
【答案】D
【解析】【解答】解：
A. ∵，
∴点在它的图象上，
∴此选项不合题意；
B.，当时，y随x的增大而增大，
∴此选项不合题意；
C.，
∴它的图象在第二、四象限，
∴此选项不合题意；
D. 若点，都在图象上，且，不一定成立，只有当同为正或者同为负时，成立，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断求解；
BCD、根据反比例函数图象的性质“当k＞0时，图象位于一、三象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象位于二、四象限，y随x的增大而增大”可判断求解.
8．如图， 在正方形 和正方形 中， 点 在 上， 是 的中点，则 的长是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AC、CF， 如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
在 中，
∵H是AF的中点，
故答案为： A.
【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质得 则 再利用勾股定理计算出 长，然后根据直角三角形斜边上的中线计算即可长.
9．如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，AD∥BC
E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE=CF
在△CBE与△DCF中，
∴△CBE≌△DCF（SAS）
∴∠ECB=∠CDF，CE=DF，故①正确；
∵∠B=90°
∴∠BCE+∠ECD=90°
∴∠CDF+∠ECD=90°
∴∠CGD=90°
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD=90°
延长CE交DA的延长线于点H，
∵AD∥BC
∴∠AHE=∠ECB
点E是AB的中点，
∴AE=BE
∴在△AEH和△BEC中
∴△AEH≌△BEC(AAS)
∴BC=AH
∴AH=AD
∴∠ADG=∠AGD
∵∠EGD=90°
∴∠AGE+∠AGD=90°
∵∠ADC=90°
∴∠CDF+∠ADG=90°
∴∠AGE=∠CDF，故③正确；
∴∠CDF≠30°
∴∠ADG≠60°
∵AD=AG
∴△ADG不是等边三角形
∴∠EAG≠30°，故④错误；
综上正确的结论为：①②③，共3个
故答案为：D．
【分析】
此题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．根据直角三角形的性质构造辅助线是解题关键．
对于①：根据正方形的性质：四边相等，四个角都是直角，可知：AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，再根据中点的定义可知：，等来那个代换得：BE=CF；再根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△CBE≌△DCF，再根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等可知：∠ECB=∠CDF，CE=DF，故①正确；
对于②：根据直角三角形两锐角互余可知：∠BCE+∠ECD=90°，等量代换可知：∠CDF+∠ECD=90°，即∠CGD=90°，根据垂直的定义得到CE⊥DF，故②正确；
对于③： 延长CE交DA的延长线于点H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根据全等三角形的判定定理AAS可证得：△AEH≌△BEC，再根据全等三角形的性质：对应边相等可知：BC=AH=AD，即可知AG是Rt△HGD斜边的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠ADG=∠AGD，根据等角的余角相等可知：∠AGE=∠CDF．故③正确；
对于④：根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，再结合可得：∠CDF≠30°，通过角的和差运算可知：∠ADG≠60°，进而可得出∠EAG≠30°，故④错误；
由此判断出答案．
10．如图，正方形中，，点在边上，且对折至，延长交边于点，连接下列结论：中点；其中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，CD=3DE，
∴DE=1，CE=2，
由折叠性质得AD=AF=3，DE=EF=1，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF=AD，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF
设BG=FG=x，则GE=x+1，CG=3-x，
在Rt△CGE中，∵CG2+CE2=GE2，
∴（3-x）2+22=（x+1）2，
解得x=，
∴BG=GF=，
∴CG=BC-BG=，
∴BG=CG，
∴点G是BC的中点，故①正确；
在△ABG中，AB=2BG，AG＞AB，
∴AG≠2BG，
∴∠AGB≠60°，
∴∠CGF≠180°-2×60°=60°，
∴△CGF不是等边三角形，
∴FC≠FG，故②错误；
∵S△CGE=CG×CE=××2=，
GF∶EF=∶1=3∶2，
∴S△CGF=，故③正确，
综上，正确的有①③.
故答案为：B.
【分析】由正方形性质及已知易得DE、CE的长，由折叠得AD=AF=3，DE=EF=1，∠D=∠AFE=90°，再利用“HL”证明Rt△ABG≌Rt△AFG，根据全等三角形性质得BG=FG，∠AGB=∠AGF，设BG=FG= x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x的值，从而可以判断①； 根据含30度角直角三角形性质逆用判断出∠AGB≠60°，从而可判断出△CGF不是等边三角形，据此可判断②；先求出△CGE的面积，再求出EF与FG的比值，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到△FGC的面积.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，由题意得，
∴和是等边三角形，
∴，
如图，取的中点E，连接，，
∵边长为4的菱形，的中点E，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴当三点共线时最大，最大值为，
故答案为：．
【分析】连接，由题意得，根据等边三角形性质可得，取的中点E，连接，，再根据菱形性质可得，，根据勾股定理可得CE，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据边之间的关系即可求出答案.
12．不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，大小、形状完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意知，列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
由表可知，两次卡片编号之积有1、2、3、4、6、9，卡片组合共有9种等可能的结果，其中两次卡片编号之积为奇数有1、3、9，卡片组合共有（1，1），（1，3），（3，1），（3，3）4种等可能的结果，
∴两次卡片编号之积为奇数的概率为，
故答案为：．
【分析】先求出卡片组合共有9种等可能的结果，再求概率即可。
13．对于点P（a，b），点Q（c，d），如果a﹣b＝c﹣d，那么点P与点Q就叫作等差点．例如：点P（4，2），点Q（﹣1，﹣3），因4﹣2＝1﹣（﹣3）＝2，则点P与点Q就是等差点．如图在矩形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，点P是直线y＝x+b上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则b的取值范围为 ．
【答案】﹣5＜b＜5
【解析】【解答】解：由题意，G(-2，3)，M(2，-3)，
根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，
当直线y＝x+b经过点G(-2，3)时，b＝5，
当直线y＝x+b经过点M(2，-3)时，b＝-5，
∴满足条件的b的范围为：-5＜b＜5.
故答案为：-5＜b＜5.
【分析】由题意可得G(-2，3)，M(2，-3)，根据等差点的定义可知：当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，分别将点G、M的坐标代入直线解析式中求出b的值，进而可得满足条件的b的范围.
14．如图，在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则 ．
【答案】24
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：24．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，则，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，再根据同高三角形面积比等于底的比即可求解．
15．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，左视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，
其中底面高为一边长为，以棱柱高为另一边长为2，
所以左视图的面积为，
故答案为：．
【分析】由主视图可得该正三棱柱底面正三角形边长为2，三棱柱的高为2，由主视图、俯视图得到三棱柱的左视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，根据等边三角形的三线合一、勾股定理算出底面的高，最后根据矩形面积公式计算可得答案.
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝ ．
【答案】 或
【解析】【解答】解： 在矩形 中， ， ，
， ，
是 的中点，
，
，
沿过点 的直线将矩形折叠，使点 落在 上的点 处，
，
设 ，则 ，
当 是直角三角形时，
①当 时，
，
，
，
△ ，
，
，
，
；
②当 时，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当 是直角三角形时， 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，设，则，当 时，当 时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
，
；
（2）解：，
，
，
，
【解析】【分析】（1）首先将右边的式子移至左边，然后分解因式可得x(x-3)=0，据此求解；
（2）首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算.
18．实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内(包括1.5 小时)其血液中酒精含量 y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用一次函数y=100x表示；1.5小时后(包括 1.5 小时)y与x的关系可近似地用反比例函数≠0)表示(如图所示).
（1）求k的值.
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间 其 血 液 中酒 精含量不 低 于 75毫克/百毫升(用分钟表示)
【答案】（1）解：如图，
∴
∴
（2）解：1.5小时内(包括1.5 小时)y与x的关系可近似地用一次函数y=100x表示，
当时，
1.5小时后(包括 1.5 小时)y与x的关系可近似地用反比例函数表示，
当时，
∴当时，，
∴
【解析】【分析】（1）根据一次函数上点的坐标特征求出点A的坐标，最后将点A的坐标代入反比例函数解析式即可得到k的值；
（2）分别求出在各段函数上满足的x的取值范围，最后计算即可.
19．在矩形纸片ABCD中，点E为BC边上的动点，连结DE，将矩形纸片ABCD沿DE对折，使点C落在点F处，连结AF.
（1）如图1，若点A，F，E三点共线，求证：AD=AE.
（2）如图2，若点F在对角线AC上，M是对角线AC的中点，且MF=AB，求∠DAF的度数.
【答案】（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿DE对折，使点C落在点F处，点F在线段AE上，
∴∠DEC＝∠DEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠AED＝ADE，
∴AD＝AE；
（2）解：连结DM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB=CD
∵M是AC的中点，
∴DM＝AM＝CM，
∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD．
∵将矩形纸片ABCD沿DE对折，使点C落在点F处，
∴DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF．
∵MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，
∴MF＝FD．
∴∠FMD＝∠FDM．
∵∠DFC＝∠FMD＋∠FDM，
∴∠DFC＝2∠FMD．
∵∠DMC＝∠FAD＋∠ADM，
∴∠DMC＝2∠FAD．
设∠FAD＝x°，则∠DFC＝4x°，
∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．
∵∠DMC＋∠MCD＋∠MDC＝180°，
∴2x＋4x＋4x＝180．
∴x＝18，
∴∠FAD＝18°；
【解析】【分析】（1）由折叠的性质得∠DEC＝∠DEF，由矩形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行内错角相等得∠ADE＝∠DEC，则可得∠AED＝ADE，再由等角对等边可得AD=AE；
（2）连结DM，由矩形四个内角都是直角得∠ADC＝90°，由直角三角形斜边上得中线等于斜边的一半得DM＝AM＝CM，由等边对等角得∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD，由折叠性质得DF＝DC，由等边对等角得∠DFC＝∠DCF，由题意可得MF=FD，由等边对等角得∠FMD＝∠FDM，由三角形外角性质推出∠DFC＝2∠FMD，∠DMC＝2∠FAD，设∠FAD＝x°，则∠DFC＝4x°，则∠MCD＝∠MDC＝4x°，进而根据三角形的内角和定理建立方程求解得出x的值，从而得解.
20．设x1，x2是关于x的方程的两根.
（1）当时，求x2及m的值；
（2）求证：
【答案】（1）解： 当时，，
解得，
则方程为，
即，
∴（x-4）(x+1)=0，
∴，
综上所述：
（2）证明：方程可化为
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程，
即的两根为x1，x2，
，
，
，
∴
【解析】【分析】（1）将代入原方程中，求出m的值，再利用因式分解求出 x2的值；
（2） 根据根与系数的关系进行推导即可得证.
21．如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC于点 E，延长BC 至点 F 使 CF=BE，连接DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD 是矩形；
（2）若AB=3，ED=4，BF=5，求AE的长.
【答案】（1）证明： 在 ABCD，AD∥BC，AD=BC， CD=AB，
∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC，
∴EF=BC，
∴EF=AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）解：设AD=x，
∵四边形AEFD是矩形，
∴EF =AD=x， ∠AEB=∠DAE=90°，
解得
【解析】【分析】(1)由CF=BE， 可得EF = BC， 即EF = AD，结合AD∥BC，可得四边形AEFD是平行四边形，再结合AE⊥BC，可得平行四边形AEFD是矩形；
(2)设AD =x， 根据矩形的性质得到EF =AD =x， ∠AEB=∠DAE=90°， 根据勾股定理即可得到结论.
22．如图，菱形中，，点在对角线上，交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）连结，当时，判断与的数量关系并证明．
【答案】（1）解：根据题意可知：，，
∴四边形EBFP是平行四边形，
∴∠EPF=∠ABC，
∵∠ABC=100°，
∴∠EPF=100°.
（2）解：，
证明：连接PB，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠ACD=∠ACB=，点D与点B关于AC对称，
∴PB=PD，∠BPC=∠DPC=60°，
∵∠ABC=100°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=80°，∠ACB==40°，
∴∠PBC=180°-∠BPC-∠ACB=80°，
∵PE∥BC，
∴∠APE=∠ACB=40°，
∴∠CPF=180°-∠APE-∠EPF=40°，
∴∠PFB=∠ACB+∠CPF=80°，
∴∠PFB=∠PBC，
∴PB=PF，
∴PD=PF.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定和判定即可解决问题；
（2）连接，根据菱形的对称性，证得，，∠PBC=80°，然后三角形内角和和外角和定理证明，得，即可解决问题．
（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：，理由如下：
连接，
四边形是菱形，
∴点B与点D关于对称，
∴，，
菱形中，，，
，
，
，
∴
，
由（1）知：四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
，
，
．
23．某商城在端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元.
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台.若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得，（不合题意，舍去）.
答：每次降价的百分率是10%.
（2）解：假设下调a个50元，依题意得：，
解得.
所以下调150元，因此定价为2750元.
【解析】【分析】⑴、列一元二次方程解答百分率问题，模型：原量（1±百分率）2=两次增加（或减少）后的量，列方程求解即可；
⑵、“每每问题”根据总利润=每台利润×销售数量，列方程求解；设下调a个50元，可以表示降价后的利润，亦可表示降价后的销量，根据相等关系列方程求解即可。
24．四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外）、△EFG是直角三角形，EG=EF，点G在CD的延长线上.
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说
明理由：
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF=EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，点与点重合，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由(2)得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，，从而得，然后求出，进而证明，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质求出，，然后利用“一线三垂直”全等模型证明，得；
（3）过点作于点，先推出，根据平行线分线段成比例定理得，从而得是的中位线，进而由三角形中位线定理得，然后结合（2）中的三角形全等得，于是有，最后在中，利用勾股定理即可得.
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求b的值和反比例函数解析式；
（2）如图1，P为反比例函数的图象一点，使得，求P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一点，点N为平面中的一点，是否存在这样的M，N两点，使得A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
当时，，即点，
将点A的坐标代入反比例函数表达式，
得：，
即反比例函数的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
∴，
令，则，
∴
由于和的底都可以看成，在轴负半轴截取，，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P，
同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P，
∵，
则直线m、n的表达式分别为：和，
联立直线和双曲线，
解得：，，
当时，；当时，，
点P的坐标为或；
联立直线和双曲线和，
解得：，
当时，；当时，，
点P的坐标为或，
综上可知，点P的坐标为或或或；
（3）解：存在，点N的坐标为：或或或或．
【解析】【解答】解：（3）存在，理由：设点，
联立方程组得，
解得，，
∴，
∴
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
，
解得：，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或或；
综上，点N的坐标为：或或或或．
【分析】（1）将点A(2，b)代入直线，算出b的值，从而得到点A的坐标；将点A的坐标代入 反比例函数算出k的值，从而可得反比例函数的解析式；
（2）首先根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点E、F得坐标；由于和的底都可以看成，根据同底三角形的面积关系等于对应底上的高之间的关系及平行线间的距离处处相等，故在轴负半轴截取，，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P，同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P；根据互相平行直线的斜率相同求出直线和得解析式，联立直线m直线和双曲线及直线n与双曲线，求出交点即可；
（3）首先连着直线AB与双曲线求解得出点A、B得坐标；然后分类讨论：①当为对角线时，由中点坐标公式和得列出方程组，即可求解；②当或为对角线时，同理可解．
（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
当时，，即点，
将点A的坐标代入反比例函数表达式，得：，
即反比例函数的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
∴，
令，则，
∴
由于和的底都可以看成，在轴负半轴截取，，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P，
同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P，
∵，
则直线m、n的表达式分别为：和，
联立直线和双曲线，
解得：，，
当时，；当时，，
点P的坐标为或；
联立直线和双曲线和，
解得：，
当时，；当时，，
点P的坐标为或，
综上可知，点P的坐标为或或或；
（3）解：存在，理由：
设点，
联立方程组得，
解得，，
∴，
∴
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或或；
综上，点N的坐标为：或或或或．
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