新北师大版八年级数学上册位置与坐标期末专题复习课件（共63张PPT）

(共63张PPT)
位置与坐标
知识点 平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴（x轴、y轴）组成，交点为原点；坐标用有序数对(x,y)表示，x是横坐标（对应x轴），y是纵坐标（对应y轴）。
示例 点A(3, -2)，横坐标是3，纵坐标是-2，位于第四象限。
易错点 混淆横、纵坐标的顺序，如将点(2,3)写成(3,2)；误判点所在象
限，如点(-1,-3)错认为在第二象限（实际在第三象限）。
平面直角坐标系的基本概念
知识点01
知识点 各象限内点的坐标符号：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)；x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反。
示例 点B(-5, 1)关于x轴对称的点为(-5, -1)，关于y轴对称的点为(5, 1)。
易错点 对称点坐标符号变化错误，如关于y轴对称的点误将横坐标保持
不变；混淆x轴、y轴上点的坐标特征，如认为x轴上点横坐标为
0。
点的坐标特征
知识点02
知识点 可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根据坐标确定地点。
示例 以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，单位长
度1km，图书馆坐标为(2, 3)，即位于学校东2km、北3km处。
易错点 建立坐标系时原点、方向选择不当，导致坐标表示错误；单位长度与实际距离换算错误。
用坐标表示地理位置
知识点03
知识点 图形关于x轴对称时，各点横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称时，各点纵坐标不变，横坐标变为相反数。
示例 三角形顶点为C(1,2)、D(3,4)、E(5,1)，关于x轴对称后的顶点为
C'(1,-2)、D'(3,-4)、E'(5,-1)。
易错点 轴对称时横、纵坐标变化规律混淆，如关于x轴对称误改横坐标；未结合图形整体判断轴对称关系，仅单一改变点坐标导致图形变形。
轴对称与坐标变化
知识点04
判断点所在的象限
题型一
解｜题｜技｜巧
1. 明确象限符号规律：牢记四个象限的坐标符号特征，这是解题基础。
- 第一象限：横坐标（）>0，纵坐标（y）>0（“+，+”）
- 第二象限：横坐标（）<0，纵坐标（y）>0（“-，+”）
- 第三象限：横坐标（）<0，纵坐标（y）<0（“-，-”）
- 第四象限：横坐标（）>0，纵坐标（y）<0（“+，-”）
2. 先判符号，再对号入座：拿到点的坐标（）后，先
判断点所在的象限
题型一
解｜题｜技｜巧
分别判断x和y的正负，再对照上述规律，确定对应的象限。例如点（-3，2），=-3<0，y=2>0，对应第二象限。
3. 排除特殊情况：若=0或y=0，点在坐标轴上（x轴、y轴），不属于任何象限，需先排除这类情况再判断。
【例1】（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：在平面直角坐标系中，点，
横坐标为-2025为负，纵坐标为为正，
故点在第二象限，
故选：B．
B
【变式1-1】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
D
解：∵，，，
∴点一定在第四象限，
故选：D．
【变式1-2】 （24-25八年级下·山东淄博·期末）已知点在第三象限内，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
解：点在第三象限内，
，，
，
故选D．
D
平面直角坐标系中点的特征
题型二
解｜题｜技｜巧
1. 抓坐标符号定位置：核心是判断横（）、纵坐标（y）的正负。四个象限按“右上为一，逆时针递增”记符号：一（+，+）、二（-，+）、三（-，-）、四（+，-），非正负（=0或y=0）则在坐标轴上。
2. 记坐标轴特殊特征：x轴上点y=0，向右增大；y轴上点=0，向上y增大；原点坐标（0，0），是两轴交点，需优先排除这类非象限点。
平面直角坐标系中点的特征
题型二
解｜题｜技｜巧
3. 用对称关系快速推导：关于轴对称，不变、y变号；关于y轴对称，y不变、变号；关于原点对称，、y均变号，可通过已知点直接推对称点特征。
【例2】 （24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知点，根据条件解决下列问题：
(1)若点A在y轴上，求点A的坐标；
(2)若点A在过点且与x轴平行的直线上，求线段的长度．
（1）解：∵点A在y轴上，
∴，解得：，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴．
【变式2-1】 （24-25七年级下·吉林白山·期末）已知点．
(1)若点P在轴上，求点P的坐标；
(2)若点，轴，求线段PQ的长度．
（1）解：点在轴上，
，
解得，
∴，
；
（2）解：轴，
，
，
，
．
【变式2-2】 （24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为
(1)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标；
(2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值．
（1）解：∵P点在过点且与y轴平行的直线上，
∴，解得，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）由题意知，点M的坐标为，即，
∵点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，
∴，解得．
已知平面直角坐标系中的对称点求参数
题型三
解｜题｜技｜巧
1. 牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。
- 关于轴对称：横坐标（）不变，纵坐标（y）变为相反数。
- 关于y轴对称：纵坐标（y）不变，横坐标（）变为相反数。
- 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。
已知平面直角坐标系中的对称点求参数
题型三
解｜题｜技｜巧
2. 按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。
3. 用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图准确。
【例3】 （24-25八年级下·甘肃张掖·期末）若点和关于x轴对称，则的值是 ．
解：∵点和关于x轴对称，
∴，
∴．
故答案为：2025
2025
【变式3-1】 （24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则 ．
解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
故答案为：
12
【变式3-2】 （24-25八年级上·青海·期末）已知点和点关于轴对称，则的值是 ．
解：∵点和点关于轴对称，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
1
平面直角坐标系中作轴对称图形
题型四
解｜题｜技｜巧
1. 牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。
- 关于x轴对称：横坐标（x）不变，纵坐标（y）变为相反数。
- 关于y轴对称：纵坐标（y）不变，横坐标（x）变为相反数。
- 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。
2. 按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。
平面直角坐标系中作轴对称图形
题型四
解｜题｜技｜巧
3. 用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图准确。
【例4】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，
在正方形网格中，若点A，C的坐标分别为，，按要求回答下列问题：
(1)在图中建立正确的平面直角坐标系；并根据所建立的坐标系，写出点B的坐标；
(2)画出关于x轴对称的图形；
(3)求的面积．
（1）解：所建立的平面直角坐标系，如图所示：
点B的坐标为：；
（2）解：所作如图所示：
（3）解：
，
答：的面积为5．
（1）解：如图，即为所作；
（2）解：由关于轴对称的点的坐标特征可知：
；
（3）解：．
【变式4-1】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，
的顶点坐标分别为．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)写出点的坐标；
(3)求的面积．
【变式4-2】 （24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，.
(1)求出的面积；
(2)在图中作出关于轴的对称图形；
(3)写出点的坐标．
（1）解：
（2）解：如图，为所作；
（3）根据坐标系可得：
平面直角坐标系中的面积问题
题型五
解｜题｜技｜巧
1. “补全法”算不规则图形面积：将不规则图形补成矩形或梯形，先算补全后的大图形面积，再减去周围多余的三角形、矩形面积，适用于顶点坐标已知的图形。
2. “分割法”拆复杂图形：把图形分割成几个易算面积的基本图形（三角形、矩形），分别用公式（如三角形面积=底×高÷2）计算，最后求和，注意分割时尽量让底或高与坐标轴平行，简化计算。
3. 利用坐标轴找边长/高：若图形边平行于x轴，边长为两点横坐标差的绝对值；平行于y轴，边长为纵坐标差的绝对值。非平行时，可借助坐标轴作垂线，转化为求高的长度。
【例5】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
(1)请直接写出点A、B、C和D的坐标；
(2)点M从点O出发，以每秒2个单位的
速度沿y轴正方向平移运动，设运动
时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？
（1）解：∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，，
∵线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，
∴，，
（2）即：，；
解：由题意得：，，
由（1）得，，
∴轴，即，
则三角形的面积，
∵的面积是12平方单位，
∴，解得，
即当秒时，的面积是12平方单位
【变式5-1】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)求、的长；
(2)连接，设的面积为S，用含t的式子表示S；
(3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，
在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（1）解： 即，
，，
，，
，，
点，点，
，；
（2）解：连接，t秒后，，，
；
（3）解：存在．
∵，
∴，
∴，，，
，
只要，即可求证，
或，
或．
【变式5-2】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段交于第一象限的点B，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4，点A，C均在x轴上，C点坐标为，线段．
(1)A点坐标为______，B点坐标为______；
(2)若线段上存在一点D，使
（O为原点），求D点纵坐标；
(3)点是坐标平面内的动点，若满足
，求a的取值范围．
（1）解：∵点A，C均在x轴上，C点坐标为，∴，
∵线段，
∴，
又∵点A在x轴负半轴上，
∴，
∵点B在第一象限，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4，
∴．
故答案为：，；
（2）∵，
又∵，
∴，即，解得，
∵点D在第一象限，
∴，即点D的纵坐标为2；
（3）设直线交直线于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线于M，N，
则，，，，，
∵，即，
∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，令，
∵，即，
∴，
∴，解得或，
∵，∴，
当点与点重合，即时，点在同一直线上，无法构成三角形，
∴．
综上所述，a的取值范围为且．
解｜题｜技｜巧
1. 精准解读新定义：这是核心，逐字分析题干中定义的规则（如“新距离”“特殊点”），将抽象描述转化为数学关系（如坐标公式、位置条件），避免理解偏差。
2. 结合坐标系特征转化问题：把新定义与坐标性质结合，比如新定义的“对称点”可关联已知对称规律，新定义的“区域”可转化为坐标满足的不等式，用熟悉的坐标知识拆解陌生概念。
3. 用具体坐标举例验证：若对定义理解模糊，可代入简单坐标试算，通过实例总结规律；解题后再用特殊点验证，确保答案符合新定义规则，避免逻辑错误。
平面直角坐标系中新定义型问题
题型六
【例6】 （24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”．
(1)点的“长距”为______；
(2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由．
（1）解：由题意得：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，
∵，
∴点的“长距”为5，
故答案为：5；
（2）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内，
∴，解得，∴，
∴点的坐标为，∴点到轴、轴的距离都是5，
∴点是“角平分线点”．
【变式6-1】 （25-26八年级上·全国·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．
例如：的“2属派生点”为，即．
(1)点的“2属派生点”的坐标为________；
(2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________；
(3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值．
（1）解：点的“2属派生点”的坐标为，
即，
故答案为：；
（2）解：设点的坐标为，
由题意知，
解得：，
即点的坐标为 (0,2)，
故答案为：(0,2)；
（3）解：∵点在轴的正半轴上，
∴，，
∴点的坐标为，点的坐标为
∴线段的长为到轴距离为，
∵在轴正半轴，线段的长为，
∴，即，
∴．
平面直角坐标系中规律探究问题
题型七
解｜题｜技｜巧
1. “列表法”梳理坐标规律：将已知点按顺序编号（1、2、3…），列出“序号-横坐标-纵坐标”表格，观察横、纵坐标随序号变化的规律（如倍数、加减、循环），例如序号n对应横坐标为n，纵坐标为2n。
2. 结合象限与对称找循环规律：若点的位置循环出现（如绕原点旋转、在象限间移动），记录点所在象限及坐标符号的变化周期，根据周期推导未知点坐标。
3. 用特殊值验证规律：推导规律后，代入已知序号的点验证是否符合；再用规律计算未知点坐标，反向检查是否满足坐标系中的位置特征（如对称、象限分布），确保规律正确。
【例7】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
．
解：由题意可知，
∴第四象限中的点为，
∵，
∴的坐标是，即．
故选：D
【变式7-1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（ ）
A． B．
C． D.
解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，
∴动点A完成第2025次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：，
∴最左边的点的坐标为，
故选B．
1．（24-25七年级下·河北承德·期末）点在第（ ）象限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：点的横坐标，纵坐标，符合第四象限的符号特征，
因此点在第四象限．
故选D．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
D
2．（24-25七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，点在y轴上，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
A
解：∵点N在y轴上：点N的坐标为．
∴，解得：．
∵点M在x轴上，点M的坐标为，
，
把代入得，
解得：
将和代入，得．
故选：A．
3．（24-25七年级下·全国·期末）已知点P位于x轴上方，到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，则点P的坐标为（　 　）
A． B．
C．或 D．或
解：根据题意，到x轴的距离为2，得到，到y轴的距离为5，得到，点P位于x轴上方，得到，得，，
故点P的坐标为或，
故选：D．
D
4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）与关于x轴对称的点的坐标为 ．
解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
5． （24-25八年级下·四川成都·期末）已知点向左平移4个单位后，到y轴的距离为2，则a的值为 ．
2或6
解：点向左平移4个单位后的对应点的坐标为：，
∵点到轴的距离为2，
∴，
解得：或．
故答案为：2或6．
6． （24-25七年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线l上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标为 ．
解：如图所示，
过点B作直线l的垂线，垂足为M，
根据垂线段最短可知，
当点C在点M处时，线段长度最小，
此时点C的坐标为．
故答案为：．
7． （24-25七年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点在轴上，求点的坐标；
(2)若点在第四象限，且点到轴的距离是1，求点的坐标．
（1）解：点在轴上，
，
得，∴，
∴点的坐标为．
（2）解：点在第四象限，且点到轴的距离是1，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
8． （23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图．在边长为1的正方形网格中，三角形（点均在格点上），已知，点，点．
(1)请根据图中B，C两点的坐标，画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标_____，
(2)的面积为___________；
(3)已知点是平面直角坐标系内一动点，若的面积为8，求的值．
（1）解：∵点，点，∴平面直角坐标系如图所示：
则点A的坐标为．
故答案为：；
（2）解：，
∴ 的面积为10．故答案为：10；
（3）解：点在直线上，
根据题意，得，
解得或．
1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．5 B． C． D．3
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离公式为，
将点代入公式，得：，
故选：B．
B
2．（24-25七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，点在y轴上，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
解：∵点N在y轴上：点N的坐标为．
，
解得：．
∵点M在x轴上，点M的坐标为，
，
把代入得，
解得：
将和代入，得．
故选：A．
A
3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）下列说法：①若，则点在原点处；②点一定在第二象限；③若点，，且，则直线轴；④若点，则线段．其中正确是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
解：①：若，则或，此时点在坐标轴上，但不一定在原点，故①错误；
②：点的横坐标为负，纵坐标，满足第二象限的条件，故②正确；
③：点与的横坐标相同，且纵坐标不为0，因此直线PQ平行于轴，故③正确；
④：点与的纵坐标相同，线段的长度为横坐标之差的绝对值：，故④正确；
综上分析可知：正确的有②③④．
故选：A．
A
4．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，，，
∴，，
∴长方形的周长为，
设运动时间为t，∴，解得，
∴当时，点P、Q第一次相遇，则点P路程为，即在x的正半轴上，
∴点；
当时，点P、Q第二次相遇，则点P路程为，即在x的负半轴上，
∴点；
当时，点P、Q第三次相遇，则点P路程为，即到达点D，
∴点；
当时，点P、Q第四次相遇，则点P路程为，即在x的负半轴上，
∴点；
当时，点P、Q第五次相遇，则路程为，即到达点A，
∴点；
当时，点P、Q第六次相遇，则路程为，即在x的正半轴上，
∴点；
∴五次相遇一循环，∴，∴点，故选：C．
5．（24-25七年级下·重庆·期末）若点与点关于x轴对称，则的值为 ．
解：点与点关于x轴对称，
，
，
∴．
故答案为：．
-2
6．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ．
解：设点P的坐标为，∵，，，
∴，，，
如图所示，当点P在点B上方时，
∵，
∴，解得，∴点P的坐标为；
如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时，
∵，∴
，解得，∴点P的坐标为；
如图所示，当点P在x轴下方时，
∵，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，点P的坐标为或，
故答案为：或．
7．（24-25七年级下·天津南开·期末）平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的最小值为 ，此时点C的坐标为 ．
解：如图，
当时，线段最短，
∵点，若轴，
∴最小值为，
∴此时，
故答案为：，．
3
（-1，-1）
8．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为．
（1）若点Q的坐标为，且轴，则点P的坐标为 ；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的值为 ．
解：（1）由题知，
因为点P的坐标为，点Q的坐标为，且轴，所以，解得，
则，
所以点P的坐标为
故答案为：
（2）因为点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
所以，解得，
所以
故答案为：2024
（5，-1）
2024
9．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为．
(1)在点中，与点等距的点是___________；
(2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标；
(3)若两点为“等距点”，求的值．
（1）解：∵点的坐标为，
∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4，
∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4，∴点等距的点是；
故答案为：
（2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4，
∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4，
∵点的坐标为，∴，
∴，
∴点的坐标为或；
（3）解： 若，此时或，
∵两点为“等距点”，
∴，
解得： 或（舍去）；
综上所述，k的值为3或9．