2025-2026学年人教版九年级数学上册期中复习检测卷（21-23章）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教版九年级数学上册期中复习检测卷（21-23章）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-16 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年九年级数学上册期中复习检测卷（21-23章）
题型1 由一元二次方程的解求参数
1．等腰三角形的一边长为2，它的另外两边的长度是关于x的方程的两个实数根，则k的值是（ ）
A．9 B．8 C．8或9 D．1
2．已知、、是的三条边长，若是关于的一元二次方程的根．
(1)是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
(2)若代数式有意义，且为方程的根，求的周长．
题型2 一元二次方程的解的估算
3．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（ ）
输出
A． B．
C． D．
4．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（ ）
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
A． B． C． D．0.6＜x＜0.7
题型3 由一元二次方程的定义求参数
5．如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ．
6．如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（ ）．
A．2 B． C． D．3
题型4 配方法解一元二次方程
7．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：
解：．
∵，
∴，
∴的最小值是9．
请根据以上材料，完成下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)小红的爸爸要在一边靠墙（墙长）的空地上建一个如图所示的长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．设，当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？
8．关于x的方程（m为常数）是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程中二次项系数肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确 证明你的结论．
题型5 公式法解一元二次方程
9．按要求解下列方程：
(1)（配方法）； (2)（公式法）．
10．关于x的方程为，k为实数．
(1)若方程有一个根是1，求此时k的值；
(2)求证：不管k取任何实数，方程总有实数根；
(3)求整数k，使原方程至少有一个整数根．
题型6 因式分解法解一元二次方程
11.用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
12．如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰方程”．
(1)一元二次方程______凤凰方程（填“是”或“不是”）；
(2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值．
题型7 —元二次方程的根与系数的关系
13．已知关于的方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的一个实数根为，求另一个实数根；
(3)若方程的两个实数根，满足，求的值．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值．
题型8 传播问题（一元二次方程的应用）
15．感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同．
(1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？
(2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？
16．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总数
(2)填空（用含x的代数式表示）：
①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为；
(3)请继续完成本题的解答：
题型9 增长率问题（一元二次方程的应用）
17．某厂某年1月的总产量为620吨，第一季度的总产量为3100吨，设二、三月份的产量月平均增长率为x,根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．为了推进农产品的销售，某村村委会在网上直播销售A，B两种农产品礼包．
(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；
(2)若B种农产品礼包每包成本价为7元，当售价为每包25元时，每月销量为300包，经调查发现，若B种农产品礼包每包降价1元，月销售量可增加30包．设B种农产品礼包每包降价m元．请解答以下问题：
①填空：每包降价m元，B种农产品礼包每包利润为__________；B种农产品礼包月销售量为__________包（用含m的代数式表示）：
②为了尽快减少库存，该村在10月进行降价促销．若该村在10月份销售B种农产品礼包获利5760元，求m的值．
题型10 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
19．如图，某市近郊有一块长为，宽为的矩形土地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的四个矩形（四个矩形的一边长均为）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
(1)设通道的宽度为，则塑胶运动场地总面积_______．（用含x的代数式表示）；
(2)若塑胶运动场地总面积为，请问通道的宽度为多少？
20．如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．
(1)这个无盖纸盒的长为______，宽为______ 用含x的式子表示；
(2)若要制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，求x的值；
(3)当x为______时，该长方体纸盒的容积是（写出一个答案即可
题型11 数字问题（元二次方程的应用）
21．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ．
22．有一个两位数，个位数字比十位数字大，且个位数字与十位数字的平方和等于，这个两位数是 ．
题型12 营销问题（一元二次方程的应用）
23．2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨“和“妮妮“以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件．若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？
24．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率．
题型13 动态几何问题（一元二次方程的应用）
25．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动．
(1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为；
(2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是．
26．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
(1)填空：________，______（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长为？
(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
题型14 工程问题（一元二次方程的应用）
27．年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个．
（1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？
（2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
28．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园.
（1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
（2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值.
题型15 行程问题（一元二次方程的应用）
29．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
30．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
题型16 图表信息题（一元二次方程的应用）
31．根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？
32．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；
（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．
题型17 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
33．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
34．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次；
(2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数；
(3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？
题型18 二次函数y=ax 的图象和性质
35．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）．
36．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型19 二次函数y=a(x- h) +k的图象和性质
37．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大
38．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型20 y=ax +bx+c的图象与性质
39．函数与的图像如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
40．二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（ ）
A．③④⑤ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②③④
题型21 二次函数图象与各项系数符号
41．抛物线（）的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法；①；②（t为全体实数）；③若图象上存在点和，当时，满足，则m的取值范围为；④若直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式的解集为．其中正确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
42．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型22 一次函数、二次函数图象综合判断
43．函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
44．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
题型23 根据二次函数的图象判断式子符号
45．如图，抛物线经过原点，顶点坐标为
(1)该抛物线的对称轴为直线_________，当____时，函数有最____值；
(2)求抛物线的解析式；
(3)当时，写出的取值范围______________．
46．已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为．
(1)若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标．
(2)在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值．
(3)若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围．
题型24 y=ax +bx+c的最值
47．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点M是x轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标．
48．请用无刻度的直尺分别按下列要求画图，每个问题的画线不得超过五条（保留画图痕迹）．
(1)如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作出抛物线的对称轴；并在上画出点，使得最小；
(2)如图2，抛物线，交于点且关于直线对称，两抛物线分别交轴于点，和点，，作出直线．
题型25 待定系数法求二次函数解析式
49.（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，请结合图象直接写出的取值范围；
(3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值．
50．已知二次函数的部分图象如图所示．
(1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值．
(2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上．
题型26 线段周长问题（二次函数综合）
51.如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线解析式；
(2)当，求t的值；
(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；
52．如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及C点坐标；
(2)如图1，连接，在对称轴上找一点D，使得是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
(3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值．
题型27 面积问题（次函数综合）
53．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点
(1)a的值为 ．
(2)如图1，在第二象限的抛物线上取点P，点D为抛物线的顶点，连接、、、，若点P的横坐标为t，四边形的面积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上取点，且点在x轴的上方，连接、，，，再在第二象限的抛物线上另取一点Q，点Q在点P的上方，连接交于，并在上取点，连接交于，求点的坐标．
54．如图，已知二次函数过点，．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
题型28 角度问题（二次函数综合)
55．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标；
(3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．
56．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标．
题型29 特殊三角形问题（次函数综合）
57．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F．
（）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标；
（）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
58．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
题型30 特殊四边形（二次函数综合）
59．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
60．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点，为抛物线上的一个动点，连接，，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在直线上方时，求面积的最大值；
(3)当点在轴右侧时：
①连接，当的面积是面积的一半时，直接写出点的坐标______；
②设是抛物线对称轴上一动点，当、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的的值．
题型31 抛物线与x轴的交点问题
61．对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
62．二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
题型32 求x轴与抛物线的截线长
63.如图，函数的图象过点和．有下列结论：
①；
②关于x的方程必有两个不相等的实数根；
③；
④
其中正确的结论是
64.已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ．
题型33 图形问题（实际问题与二次函数）
65．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设的长为米．
(1)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
(2)矩形这块菜地的最大面积是多少
66．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．
(1)请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？
题型34 图形运动问题（实际问题与二次函数）
67．如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过E点作，交直线于点F．E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设的面积为，点的运动时间为x秒．
(1)求证：；
(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)用配方法说明的面积有最大值，并求出它的最大值．
68．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）．
(1)填空： ______；（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)连接，，记的面积为．
① ______（用含的代数式表示）；
②当______秒时，的最小值为______．
题型35 拱桥问题（实际问题与二次函数）
69．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．
(1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式；
(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
70．某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长；
(2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度；
(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由．
题型36 销售问题（实际问题与二次函数）
71．某商场销售一种商品，每件进价为30元，售价为40元时，每天可售出500件．市场调查发现：售价每上涨1元，日销售量减少10件．
(1)设售价上涨x元，写出日销售利润 y元与 x的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
72．校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？
题型37 投球问题（实际问题与二次函数）
73．在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
(2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？
74．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足．
(1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________；
(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？
题型38 喷水问题（实际问题与二次函数）
75．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为 ．
76.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围．
题型39 增长率问题（实际问题与二次函数）
77．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
78．某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
题型40坐标与旋转规律问题
79．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为 ．
80．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2013次，点依次落在点，，，，的位置，则点的横坐标为 ．
题型41 线段问题（旋转综合题）
81．如图，四边形、均为正方形．
(1)如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明．
(2)将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数．
(3)若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）．
82.已知：正方形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上．
(1)如图1，若，，则_______；
(2)如图2，若，点E，F分别是，上的动点，求证：的周长是定值；
(3)如图3，若，和交于点O，且，求的长度；
(4)如图4，若点P为正方形内一点，其中，，，则______．
题型42 面积问题（旋转综合题）
83．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ．
84．如图，中，，，，，D为AB中点．将绕点B旋转一周，设点A、C对应的点分别为、，的面积为S，则S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型43 角度问题（旋转综合题）
85．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上．
(1)求的度数；
(2)求的长；
(3)求的面积．
86．如图，已知，点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，…，连接AA1,AA2,AA3 …，依此作法，则∠A An An+1 度．（用含的代数式表示，为正整数）
题型44 坐标系中的动点问题（不含函数）
87．如图，点为矩形的中心，轴，轴，，则点的坐标为 ；若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即…连接，，点为的中点，当的面积为时，则点坐标为 ．
88．如图，在平面直角坐标系中，，，，，连接，以为边在x轴上方作正方形．
(1)直接写出C，D两点的坐标；
(2)将正方形向右平移t个单位长度，得到正方形．
①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时t的值；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形和三角形重叠的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围．
参考答案
题型1 由一元二次方程的解求参数
1．A
解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程有两个相等实数根，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得，
此时两腰长为3，
∵，
∴满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时是方程的其中一根，
代入得，
∴，
∴求出另外一根：，
∵，
∴不能组成三角形，
综上所述，，
故选：A．
2．（1）解：是等腰三角形，不是等边三角形，证明如下：
∵是关于的一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵方程为一元二次方程，
∴，
∴，
∴不是等边三角形；
（2）解：∵代数式有意义，
∴，，
∴，
∴，
∵为方程的根，
∴，
解得或，
∴或，
当时，，满足三角形三边关系，此时的周长为，
当时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，的周长为．
题型2 一元二次方程的解的估算
3．C
解：通过表格可知，当时，输出值为，
当时，输出值为，
∴当时，．
故选：C．
4．C
解：∵时，；时，，
∴当x在之间取一数值时，，
∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为．
故选：C．
题型3 由一元二次方程的定义求参数
5．2
方程是一元二次方程，
所以且，
解得．
故答案为：2．
6．A
解：由题意可得且，
解得．
故选：A．
题型4 配方法解一元二次方程
7．（1）解：，
∵，
∴，
∴的最小值是．
（2）解：设，则，
由题意，得花园的面积是，
，
，
的最大值是50，此时，，符合题意，
则当时，花园的面积最大，最大面积是．
8．解：乙同学意见正确
证明如下：
，
∵
∴
∴肯定不会等于零
∴可以确定这个方程一定是一元二次方程，
故乙同学意见正确．
题型5 公式法解一元二次方程
9．（1）解：，
，
，
，
，
，．
（2），
，，，
，
，
，．
10．（1）解：把代入，得，
解得或；
当时，方程化为，符合题意；
当时，方程化为，符合题意；
故或．
（2）解：当时，或．
原方程为，或，两个方程均有实数根．
当时，
．方程有实数根．
综上，为任何实数，原方程均有实数根．
（3）解：由（2），当时，方程化为，解得，符合题意；
当时，方程化为，解得，不符合题意．
当时，∵
∴．
即．
若是整数，
则．
∴．
取．
若是整数，
则．
∴．
综上，，原方程至少有一个整数根．
题型6 因式分解法解一元二次方程
11．（1）解：，
，
，
，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
或，
；
（4）解：方程可化为，
，
或，
．
12．（1）解：由题意得：，
，
故一元二次方程是凤凰方程，
故答案为：是；
（2）解：由题意得：，
是关于x的凤凰方程，
，
解得：或．
题型7 —元二次方程的根与系数的关系
13．（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：∵方程的一个实数根为，
∴，
整理得，，
解得或，
当时，方程为，
解得，，
∴方程的另一个实数根为；
当时，方程为，
解得，，
∴方程的另一个实数根为；
综上，另一个实数根为或；
（3）解：由一元二次方程根和系数的关系得，，，
∴，
整理得，，
解得或，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴．
14．（1）证明：
，
∵，
∴，
∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵一元二次方程两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴﹒
题型8 传播问题（一元二次方程的应用）
15．（1）解：设每轮传播中平均一个人传播x个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传播中平均一个人传播个人；
（2）三轮感染后，患病的人数为（人）．
∵，
被感染的人数会超过800人．
答：被感染的人数会超过800人．
16．（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为；
主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为；
主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为；
则填表为：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总数 7 13 21
（2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：；
（3）解：由题意得，，
解得：，（不合题意，舍去）
答：每个支干长出10个小分支．
题型9 增长率问题（一元二次方程的应用）
17．B
解：设月平均增长率为x,则根据题意可得方程为：
．
故选：B．
18．（1）根据题意得，
解得，（舍去）
∴；
（2）①每包降价m元，B种农产品礼包每包利润为（元）；
B种农产品礼包月销售量为包；
②根据题意得，
解得，
∵为了尽快减少库存，
∴．
题型10 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
19．（1）解：设通道的宽度为米，
则，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得，（不合题意，舍去），
答：通道的宽度为米．
20．（1）解：用一张长、宽的矩形纸板，将四个角各剪去一个边长为的正方形，制成一个无盖纸盒，这个无盖纸盒的长为，宽为，
故答案为：，；
（2）解：由题意得，，
解得，舍去，
所以；
（3）解：这个长方体的纸盒的长，宽为，高为，由题意得，
，
解得，
故答案为：（答案不唯一）
题型11 数字问题（元二次方程的应用）
21．8
解：第1个图中棋子的个数为：，
第2个图中棋子的个数为：，
第3个图中棋子的个数为：，
第4个图中棋子的个数为：，
则第个图中棋子的个数为：，
，
解得：，（不合题意，舍去）
第个图中共有个棋子．
故答案为：．
22．
解：设十位上的数字为，的个位上的数字为，可列方程为
，
解得，（舍去），
，
，
故答案为24．
题型12 营销问题（一元二次方程的应用）
23．解：设每件降价x元（），则每天的销量为件，
根据题意得，，
整理得：，
解得：，，
因为要让顾客获得更大实惠，
所以这种玩偶每件应降价4元，
答：这种玩偶每件应降价4元．
24．（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，日销售量为件；
当时，日销售量为件，
因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取，
∴，
答：每件售价应定为50元；
（2）解：设该款小商品的日平均增长率为m，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款小商品的日平均增长率为．
题型13 动态几何问题（一元二次方程的应用）
25．（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，
则，，
根据梯形的面积公式得，
解之得，
答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为；
（2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，
作，垂足为E，则，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
解得（舍去）．
答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是．
26．（1）解：由题意得，
点从点开始沿边向终点以的速度移动，，
故
故答案为：；；
（2）解：由题意得：，
解得，；
当的值为或时，的长度等于；
（3）解：存在的值，能够使得五边形的面积等于．理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
∴，即，
解得，（舍去）．
即当时，五边形的面积等于．
题型14 工程问题（一元二次方程的应用）
27．（1）解：设生产线至少生产口罩小时
解得：
答：生产线至少生产口罩小时.
（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为
解得：
生产时间：
答：设该厂实际每天生产口罩的时间为.
28．（1）设原计划修建滨河步道x千米，
根据题意，得.解这个方程，得.
答：原计划修建滨河步道8千米
（2）根据题意，
一期工程疏通河道里程数：（千米）.
一期工程疏通河道费用：（万元/千米）.
一期工程修建滨河步道费用：（万元/千米）
令，原方程可化为
，
整理这个方程，得.
解这个方程，得，.
∴（舍去），.∴.
答：a的值是28.
题型15 行程问题（一元二次方程的应用）
29．解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，即甲走的步数是，
故答案为：．
30．C
解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米，
根据题意得：，
去分母得：
，
即，
解得：或（舍去），
经检验分式方程的解，且符合题意，
，
则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时，
故选：C．
题型16 图表信息题（一元二次方程的应用）
31．设有人参加这次旅游
∵
∴参加人数
依题意得：
解得：，
当时，，符合题意.
当时，，不符合题意
答：参加旅游的人数40人.
32．（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），
∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），
=a2﹣1﹣（a2﹣49），
=48．
（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），
依题意，得：x（x﹣14）＝435，
解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．
答：设这5个数中最大数为29．
（3）嘉琪的说法不正确．
设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确．
题型17 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
33．B
解：根据题意得：．
故选：B．
34．（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次），
若参加聚会的人数为6，则共握手（次）．
（2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次，
参加聚会的人数为2，则共握手次，
参加聚会的人数为3，则共握手次，
参加聚会的人数为4，则共握手次，
归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次，
若参加聚会的人共握手45次，
则，
解得或（不符合题意，舍去），
答：参加聚会的人数为10人．
（3）解：角的总数不可能是20；理由如下：
若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个，
若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个，
若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个，
归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个，
令，即，
解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去），
所以角的总数不可能为20个．
题型18 二次函数y=ax 的图象和性质
35．
解：∵抛物线皆开口向上，
∴各二次函数中的二次项系数都为正数，
∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，
∴．
故答案为：．
36．D
解：已知抛物线为，
对称轴为，
根据二次函数图象的对称性可知A点的对称点 也在函数图象上，
由各点坐标可知，，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
，
∴，
故选：D．
题型19 二次函数y=a(x- h) +k的图象和性质
37．C
解：抛物线中，
A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意；
B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意；
C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意；
D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意；
故选：C．
38．A
解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
且，即，
∴离直线的距离最远，点离直线最近，
∴．
故选：A．
题型20 y=ax +bx+c的图象与性质
39．C
解：由图像可知：点和点在抛物线的图像上，
∴，
解得：，
∴①错误，②正确，③错误；
由图像可知：当时，，
即当时，，
故④正确；
综上可知：共有2个正确，
故选：C．
40．C
解：∵抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧，
∴，
∴①正确；
由图知：抛物线与轴有两个不同的交点，
∴，
∴
∴②正确；
∵当时，，
∴，
又∵，
∴，
∴③错误；
由图知：时，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴④正确；
∵对称轴
∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
∴，
∴⑤正确；
综上所述：①②④⑤正确，
故选：C．
题型21 二次函数图象与各项系数符号
41．B
解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，代入原解析式得：，
由图象可得：当时，，
即：，
∴，
故①正确；
∵对称轴为直线，当时有最大值，
∴当时的函数值大于或等于时的函数值，
∴，
故②错误；
由题意得：、是一元二次方程的两个根，
从图象上看，由于二次函数具有对称性，、关于直线对称，
∴当且仅当时，存在点和，
当时，满足，
即m的取值范围为，
故③正确；
直线与抛物线两交点横坐标为分别为和，则不等式，
即：的解集为：或，
故④错误；
综上所述，正确的有①③，一共2个，
故选：B．
42．C
解：①点在二次函数图象上，
∴，结论①正确；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，
，
，
∴，结论②错误；
③，
∴，
∴，结论③正确；
④二次函数的图象经过点和，
∴，
∴，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：C．
题型22 一次函数、二次函数图象综合判断
43．B
A、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符；
B、由函数的图象知，由函数的图象知，相符；
C、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符；
D、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符．
故选：B．
44．B
解：∵，y随x的增大而增大，
∴C、D错误；
∵A、B中二次函数开口均向下，
∴，
∴直线与轴交于负半轴，
∴A错误、B正确；
故选：B．
题型23 根据二次函数的图象判断式子符号
45．（1）解：抛物线经过原点，顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向下，
当时，函数有大值；
故答案为：，，大；
（2）解：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过原点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
整理得：；
（3）解：由函数图象可知，当时，函数有最大值，
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：．
46．（1）解：将代入，
得，
解得，
即：抛物线的解析式为：，
∴对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵且对称轴为直线，
∴当时，函数最小值取在当时，为，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
当时，，当时，，
则当时函数的最大值为，
即：，，
；
（3）解：点坐标为，
的解析式为，
，则顶点为，
若，则，若，则，
当时，原点在上方，顶点在线段下方，
要使抛物线与线段只有一个交点，需使得在上方，
，解得；
当时，原点在上方，在下方，
要使抛物线与线段只有一个交点，只需要使得有两个相等的解，
即：有两个相等的解，且该解在0到4之间，
，
，
解得：，
又 ，则，
，
；
综上，抛物线与线段只有一个交点时，或．
题型24 y=ax +bx+c的最值
47．（1）解：把代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：令，则，
点的坐标为，
∴长度为定值，
∴若的周长最小，即最小，
作点关于轴的对称点的坐标为，
连接与轴的交点即为所求的的值最小时的点，
设直线的解析式为，代入和
则，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
解得，
，
则．
48．（1）如图所示，直线，点即为所求；
（2）如图所示，直线即为所求．
题型25 待定系数法求二次函数解析式
49．（1）解：根据二次函数的图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，
将函数与轴正半轴交点的坐标代入得，
解得，
则该二次函数的解析式为．
（2）当时，，
整理得，解得，
∵二次函数中，
∴函数图象开口向上，当时，的取值范围是．
（3）由题意，平移后的函数解析式为，
将点代入得，解得．
50．（1）解：由题意得，该抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，
∴该抛物线与轴的另外一个交点坐标为，即，
把代入中得，解得；
（2）解：由（1）得该抛物线解析式为，
∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴点在抛物线上，即点在平移后的抛物线上．
题型26 线段周长问题（二次函数综合）
51．（1）解：直线中，时，；时，．
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵设点（），则点，，
∴，，
∵，
∴，
解得：或4（与点B重合，舍去），
∴；
（3）解：点N到直线的距离为d，
求d的最大值即为求面积的最大值，
连接，如下图所示，
∵点，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴面积最大为8，
∵，
∴，
解得，
即d的最大值为；
52．（1）解： ，
，
解得，
故抛物线的表达式为：，
当时，，
；
（2）解：，
对称轴为直线，
设，
①当时，如图，
，
解得：，
；
②当时，如图，
，
解得：，，
；
故点D的坐标为或或；
（3）解：过作轴交于，
轴，
，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
，
，
当时，
的最大值是；
，
．
题型27 面积问题（次函数综合）
53．（1）解：，
由于函数经过，
则，
解得：，
故答案为：；
（2）解：作于点，轴于点，
由抛物线解析式得、、，
设，
，，，
；
（3）解：设抛物线的对称轴交轴于，作于点，
设，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
解得（舍），
，，
，
延长至点，连接且满足，设，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
，，
根据勾股定理可得，
在中，，
，，
，
为的中点，
，，
设直线解析式为，
把，代入可得，，
解得，
直线解析式为，
解方程得：，（舍去），
故点．
54．（1）将点，代入
得，，
解得，，
∴二次函数的解析式为；
（2），
由平移规律得平移后的解析式为，
∴顶点为；
（3）当时，，
解得：，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵顶点为，
∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，
∴，
解得，或，
∴或．
题型28 角度问题（二次函数综合)
55．（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线，
设，则，
当为矩形边时，可得或，
当时，则，即，
解得：，
则；
当时，则，即，
解得：，
则；
如图，当为矩形对角线时，
，四边形是矩形，
，
则，即，
解得：或，
则或；
综上：或或或．
（3）解：设直线的解析式为，则，解得：，
故直线的解析式为，
设，
作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示．
根据题意可得，
当时，，，故符合条件．
此时，，
解得：，
∴点的坐标为．
作于点，作点关于点的对称点．如图所示．
此时，则，故点符合条件．
根据题意，
∴，
∵，
∴，
过点作于H，
则，
∴，
∵点关于点N对称，
即点为线段的中点，
∴点的坐标为．
∴点的坐标为或．
56．（1）解：将，代入，得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：对于，令，得，
解得，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图，过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得（舍去）或，
∴当时，，
∴．
题型29 特殊三角形问题（次函数综合）
57．（1）解：把，的坐标代入，得，
解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：（）设，
令，则，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将，的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
，
的面积为，
，
当时，的面积有最大值，最大值为8，
此时，
点E的坐标为；
（）存在，点P的坐标为或．理由如下：
由（）知，，
在中，，
，
，
当时，如图， ，
，
，
解得或3，
；
当时， 过点C作于点H，
则，
，
，
，
，
解得或2，
；
综上所述，点P的坐标为或．
58．（1）解：把，代入，
得，
解得．
∴这个抛物线的解析式为：，
令，则，
解得，，
∴，
∴；
（2）解：∵抛物线的解析式为；
∴对称轴为，
设，
∵轴，
∴，
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的周长
∵
∴当时，四边形的周长最大，则，
∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为；
（3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，
∴，
由翻折得，
∵．
∴，
∴，
∵对称轴于H，
∴轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为：，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：
∴，
设，
∴，，，
分两种情况：
①当时，，
∴
解得：，
∴；
②当时，，
∴
解得：，
∴点的坐标为；
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
题型30 特殊四边形（二次函数综合）
59．（1）解：过C作轴于K，如图：
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
把代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，此时直线L恰好将的面积分为相等的两部分，如图：
设直线L为，
由，可得，
，
设直线为，
将，代入，
得，
解得，
直线解析式为，
，
设直线为，
将，代入，
得,
解得，
直线解析式为，
，
，
，
，
解得（此时直线L在C右侧，舍去）或，
∴当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分；
（3）解：存在点P，使四边形为平行四边形，
理由如下：
设P的横坐标为t，
∵四边形为平行四边形，
的中点即为的中点，
，，，
，
解得，
此时，
，
经检验，符合题意；
∴P点坐标为．
60．（1）对于直线，当时，，解得，
；
当时，，
，
把得：
，
将代入，
得，解得，
抛物线解析式为；
（2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，把代入得，
．
点的坐标为，
．
将代入，
，
面积的最大值最大值是4；
（3）①抛物线，令，即，
解得，
．
，
的面积是面积的一半，
，
过点作轴交x轴于点H，设H点的横坐标为n，
H点坐标为，，
代入化简解得，
代入抛物线得，
；
②由题意，
当是对角线时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
当是平行四边形的边时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
解得
的值是或．
题型31 抛物线与x轴的交点问题
61．C
解：，
∴它的对称轴是直线，故①正确；
∵对称轴两侧的增减性不一样，
∴设，则当时，有，故②错误；
当，则，解得：，故它的图象与x轴的两个交点是和，故③正确；
∵，
∴抛物线开口向下，
∵它的图象与x轴的两个交点是和，
∴当时，，故④正确．
∴正确的结论的个数为3，
故选：C．
62．A
解：关于的方程的根的情况，可以看作是二次函数的图像与直线交点情况，如图所示：
即二次函数的图像与直线有两个交点，
关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
题型32 求x轴与抛物线的截线长
63．①③④
解：抛物线开口向下，
.
抛物线交轴的正半轴，
.
抛物线的对称轴在轴的左侧，
,
,
，故①正确；
方程，
.
由图象可知，当时，
直线与抛物线在顶点以下有两个交点，顶点时只有一个交点，顶点以上没有交点，
关于x的方程必有两个不相等的实数根不一定成立，
故②错误；
函数的图象过点和，
，，
，，
，
，
，
，故③正确；
对于二次函数，
其判别式，由求根公式可得,
,
已知两根为，，
由图象可知，
则
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确.
综上所述，正确的结论有：①③④.
故答案为：①③④.
64．
解：∵抛物线与轴交于点，
∴
解得：，；
∴，
∴
故答案为：
题型33 图形问题（实际问题与二次函数）
65．（1）解：矩形这块菜地的面积不能为225平方米．理由如下：
米，
米，依题意得，
，
解得，，
当时，，
墙长为40米，
不符合题意，舍去，
的值为15．
（2）解：设矩形的面积为平方米，则，
，
当，时，的最大值为300平方米，
矩形的最大面积是300平方米．
66．（1）解：由可知边所用篱笆为，
，
，
墙的长度不超过，
，
；
（2）解：在中，
令，则，
解得（不合题意，舍去），
，
当为为时，矩形场地的面积为；
题型34 图形运动问题（实际问题与二次函数）
67．（1）证明：过E作，交于M，交于N，则，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
；
（2）解：在中，由勾股定理得：，
E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，
，，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
当时，y有最大值是；即面积的最大值是．
68．（1）解：∵，点从点开始沿边向终点以的速度移动，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，，，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
∴当秒时,的长度等于；
（3）解：①根据题意得，，，，，，，
∴
，
故答案为：；
②由①可知，，
∵，
∴当秒时，取得最小值，最小值为，
故答案为：2，48．
题型35 拱桥问题（实际问题与二次函数）
69．（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得，
船的宽度须不超过米．
70．（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为，
由题意得，，，
∴，解得，
∴桥拱所在抛物线的解析式为，
∵，，
∴（米），
∴（米），
答：的长为米；
（2）解：∵，米，
∴（米），
∴（米），
答：的宽为米；
（3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由，
当时，，
∵，
∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过．
题型36 销售问题（实际问题与二次函数）
71.（1）解：设售价上涨元，则售价为，销量为，
由题意可得：利润： ；
（2）解：，
∵，
∴当时，由最大值为，此时售价为元
故当售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元．
72．（1）解：由图像可知，当甲种水果质量千克时，费用保持不变，为元千克，
所以函数关系式为：，
当甲种水果质量千克时，函数图像为直线，
设函数关系式为：，
将，和，分别代入函数关系式得：
，
解得：，
，
当时，与的函数关系式应为：
．
（2）解：设甲种水果的质量为千克 ，则乙种水果的质量为千克，
乙种水果的质量不低于甲种水果质量的倍，
，
解得：，
的范围为：，
当时， ，
此时当最小时，最小，
即当时，有最小值元，
当时， ，
此时当时，离对称轴最远，最小，
即当时，有最小值 元，
，
当时总费用最少，为元，此时千克
故购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元．
题型37 投球问题（实际问题与二次函数）
73．（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点代入，得，
解得 ，
，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为，
将点代入，得，
解得（不合题意，舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处射进球门．
74．（1）解：令，代入得
，
将化为顶点式得
，
∴ 篮球飞行的最大高度是．
故答案依次为：；．
（2）解：当时，
∵ ，
∴ 他在原地不能接到球．
令，则，
两边同乘得：，
，
，
解得，，
∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球．
题型38 喷水问题（实际问题与二次函数）
75．18
解：将代入，得到，
解得，或（舍）
，
，
从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
，
，
故答案为：18．
76．（1）解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
解得或，
结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为．
题型39 增长率问题（实际问题与二次函数）
77．D
解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作，
第二天销售额为万元，第三天销售额为万元．
根据题意得：．
故选：D．
78．A
解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为，
，
故选：A．
题型40坐标与旋转规律问题
79．
解：由题知，
因为四边形是正方形，且点A坐标为，
所以点B的坐标为，且正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为，
所以点的坐标为
依次类推，点，，，，，，，，…，
由此可见，从点开始，每经过8次旋转，点B对应点的坐标循环一次．
因为余1，
所以点的坐标为
故答案为：
80．
解：观察图形结合翻转的方法可以得出、的横坐标是，的横坐标是，
、的横坐标是，的横坐标是…
∴可以看作3个点一组循环，其中前两个点的横坐标相等，且等于每一组中第一个点下标，第三个点的横坐标为前两个点的横坐标加，
∵，
∴点，的横坐标为2011，，
∴点的横坐标为．
故答案为：．
题型41 线段问题（旋转综合题）
81．（1）解：，．
证明：延长交于点，
∵四边形、均为正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过作，，垂足分别为、，设交于点，
∴，
∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴；
（3）∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形，
当正方形在初始位置时，最大，如图，
∵四边形、均为正方形，，，
∴，，，
此时；
当点在线段上时，DG最小，如图，
∵四边形、均为正方形，，，
∴，，，
∴
此时；
综上所述，在这个旋转过程中线段长度的最大值为，最小值为．
故答案为：；．
82．（1）解：如图1，∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：如图2：延长到点K，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即的周长为40．
（3）解：如图3：过点D作，交于点L，作，交于点M，连接，
∵，
∴四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
∴，，，
∴；
由（2）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得∶，
∴，
∵，
∴，
∴．
（4）解：如图，将绕点B顺时针方向旋转得，且．
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
在中，，
∴
∴
∴
题型42 面积问题（旋转综合题）
83．1
解：如图，过点E作于点P，于点Q，
则，
∵点E是正方形的中心，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
84．A
解：过点D作所在的直线，如图，有，，
即，
①当两点重合时，取得最小值，如图
∴，
∴，
②当在同一直线上时，取得最大值，此时两点重合，如图
∴，
∴，
综上所述，．
故选A．
题型43 角度问题（旋转综合题）
85．（1）解：正方形，
，
将绕点顺时针旋转至处，
，且旋转角度为，
，，
是等腰直角三角形，
，
点、、三点正好在同一直线上，
；
（2）解：，，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
（3）解：是等腰直角三角形，，
，
，
，
过点作于点，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
86．
解：点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，
，
，
点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，
，
，
点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，
，
，
，
．
故答案为：．
题型44 坐标系中的动点问题（不含函数）
87． ； 或．
解：，，
，
，的面积为，
点到的距离是，
，
，，
当时，在y轴的左侧，
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：，
，，
是的中点，
；
当时，在轴的右侧，
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：，
，，
是的中点，
；
综上所述：点坐标为或
88．（1）解：∵点，点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴点，点；
（2）解：如图，
∵，，将正方形向右平移个单位长度，
∴，
连接，
∴，
则，
∴；
如图，
∵将正方形向右平移t个单位长度，
∴，
∵区域W内恰有3个整点，
∴或，
∴或．
题型1 由一元二次方程的解求参数
1．等腰三角形的一边长为2，它的另外两边的长度是关于x的方程的两个实数根，则k的值是（ ）
A．9 B．8 C．8或9 D．1
2．已知、、是的三条边长，若是关于的一元二次方程的根．
(1)是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
(2)若代数式有意义，且为方程的根，求的周长．
题型2 一元二次方程的解的估算
3．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（ ）
输出
A． B．
C． D．
4．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（ ）
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
A． B． C． D．0.6＜x＜0.7
题型3 由一元二次方程的定义求参数
5．如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ．
6．如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（ ）．
A．2 B． C． D．3
题型4 配方法解一元二次方程
7．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：
解：．
∵，
∴，
∴的最小值是9．
请根据以上材料，完成下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)小红的爸爸要在一边靠墙（墙长）的空地上建一个如图所示的长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．设，当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？
8．关于x的方程（m为常数）是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程中二次项系数肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确 证明你的结论．
题型5 公式法解一元二次方程
9．按要求解下列方程：
(1)（配方法）； (2)（公式法）．
10．关于x的方程为，k为实数．
(1)若方程有一个根是1，求此时k的值；
(2)求证：不管k取任何实数，方程总有实数根；
(3)求整数k，使原方程至少有一个整数根．
题型6 因式分解法解一元二次方程
11.用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
12．如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰方程”．
(1)一元二次方程______凤凰方程（填“是”或“不是”）；
(2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值．
题型7 —元二次方程的根与系数的关系
13．已知关于的方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的一个实数根为，求另一个实数根；
(3)若方程的两个实数根，满足，求的值．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值．
题型8 传播问题（一元二次方程的应用）
15．感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同．
(1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？
(2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？
16．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总数
(2)填空（用含x的代数式表示）：
①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为；
(3)请继续完成本题的解答：
题型9 增长率问题（一元二次方程的应用）
17．某厂某年1月的总产量为620吨，第一季度的总产量为3100吨，设二、三月份的产量月平均增长率为x,根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．为了推进农产品的销售，某村村委会在网上直播销售A，B两种农产品礼包．
(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；
(2)若B种农产品礼包每包成本价为7元，当售价为每包25元时，每月销量为300包，经调查发现，若B种农产品礼包每包降价1元，月销售量可增加30包．设B种农产品礼包每包降价m元．请解答以下问题：
①填空：每包降价m元，B种农产品礼包每包利润为__________；B种农产品礼包月销售量为__________包（用含m的代数式表示）：
②为了尽快减少库存，该村在10月进行降价促销．若该村在10月份销售B种农产品礼包获利5760元，求m的值．
题型10 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
19．如图，某市近郊有一块长为，宽为的矩形土地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的四个矩形（四个矩形的一边长均为）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
(1)设通道的宽度为，则塑胶运动场地总面积_______．（用含x的代数式表示）；
(2)若塑胶运动场地总面积为，请问通道的宽度为多少？
20．如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．
(1)这个无盖纸盒的长为______，宽为______ 用含x的式子表示；
(2)若要制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，求x的值；
(3)当x为______时，该长方体纸盒的容积是（写出一个答案即可
题型11 数字问题（元二次方程的应用）
21．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ．
22．有一个两位数，个位数字比十位数字大，且个位数字与十位数字的平方和等于，这个两位数是 ．
题型12 营销问题（一元二次方程的应用）
23．2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨“和“妮妮“以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件．若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？
24．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率．
题型13 动态几何问题（一元二次方程的应用）
25．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动．
(1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为；
(2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是．
26．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
(1)填空：________，______（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长为？
(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
题型14 工程问题（一元二次方程的应用）
27．年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个．
（1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？
（2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
28．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园.
（1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
（2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值.
题型15 行程问题（一元二次方程的应用）
29．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
30．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
题型16 图表信息题（一元二次方程的应用）
31．根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？
32．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；
（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．
题型17 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
33．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
34．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次；
(2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数；
(3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？
题型18 二次函数y=ax 的图象和性质
35．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）．
36．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型19 二次函数y=a(x- h) +k的图象和性质
37．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大
38．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型20 y=ax +bx+c的图象与性质
39．函数与的图像如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
40．二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（ ）
A．③④⑤ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②③④
题型21 二次函数图象与各项系数符号
41．抛物线（）的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法；①；②（t为全体实数）；③若图象上存在点和，当时，满足，则m的取值范围为；④若直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式的解集为．其中正确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
42．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型22 一次函数、二次函数图象综合判断
43．函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
44．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
题型23 根据二次函数的图象判断式子符号
45．如图，抛物线经过原点，顶点坐标为
(1)该抛物线的对称轴为直线_________，当____时，函数有最____值；
(2)求抛物线的解析式；
(3)当时，写出的取值范围______________．
46．已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为．
(1)若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标．
(2)在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值．
(3)若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围．
题型24 y=ax +bx+c的最值
47．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点M是x轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标．
48．请用无刻度的直尺分别按下列要求画图，每个问题的画线不得超过五条（保留画图痕迹）．
(1)如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作出抛物线的对称轴；并在上画出点，使得最小；
(2)如图2，抛物线，交于点且关于直线对称，两抛物线分别交轴于点，和点，，作出直线．
题型25 待定系数法求二次函数解析式
49.（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，请结合图象直接写出的取值范围；
(3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值．
50．已知二次函数的部分图象如图所示．
(1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值．
(2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上．
题型26 线段周长问题（二次函数综合）
51.如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线解析式；
(2)当，求t的值；
(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；
52．如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及C点坐标；
(2)如图1，连接，在对称轴上找一点D，使得是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
(3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值．
题型27 面积问题（次函数综合）
53．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点
(1)a的值为 ．
(2)如图1，在第二象限的抛物线上取点P，点D为抛物线的顶点，连接、、、，若点P的横坐标为t，四边形的面积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上取点，且点在x轴的上方，连接、，，，再在第二象限的抛物线上另取一点Q，点Q在点P的上方，连接交于，并在上取点，连接交于，求点的坐标．
54．如图，已知二次函数过点，．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
题型28 角度问题（二次函数综合)
55．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标；
(3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．
56．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标．
题型29 特殊三角形问题（次函数综合）
57．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F．
（）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标；
（）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
58．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
题型30 特殊四边形（二次函数综合）
59．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
60．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点，为抛物线上的一个动点，连接，，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在直线上方时，求面积的最大值；
(3)当点在轴右侧时：
①连接，当的面积是面积的一半时，直接写出点的坐标______；
②设是抛物线对称轴上一动点，当、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的的值．
题型31 抛物线与x轴的交点问题
61．对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
62．二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
题型32 求x轴与抛物线的截线长
63.如图，函数的图象过点和．有下列结论：
①；
②关于x的方程必有两个不相等的实数根；
③；
④
其中正确的结论是
64.已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ．
题型33 图形问题（实际问题与二次函数）
65．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设的长为米．
(1)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
(2)矩形这块菜地的最大面积是多少
66．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．
(1)请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？
题型34 图形运动问题（实际问题与二次函数）
67．如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过E点作，交直线于点F．E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设的面积为，点的运动时间为x秒．
(1)求证：；
(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)用配方法说明的面积有最大值，并求出它的最大值．
68．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）．
(1)填空： ______；（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)连接，，记的面积为．
① ______（用含的代数式表示）；
②当______秒时，的最小值为______．
题型35 拱桥问题（实际问题与二次函数）
69．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．
(1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式；
(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
70．某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长；
(2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度；
(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由．
题型36 销售问题（实际问题与二次函数）
71．某商场销售一种商品，每件进价为30元，售价为40元时，每天可售出500件．市场调查发现：售价每上涨1元，日销售量减少10件．
(1)设售价上涨x元，写出日销售利润 y元与 x的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
72．校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？
题型37 投球问题（实际问题与二次函数）
73．在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
(2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？
74．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足．
(1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________；
(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？
题型38 喷水问题（实际问题与二次函数）
75．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为 ．
76.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围．
题型39 增长率问题（实际问题与二次函数）
77．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
78．某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
题型40坐标与旋转规律问题
79．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为 ．
80．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2013次，点依次落在点，，，，的位置，则点的横坐标为 ．
题型41 线段问题（旋转综合题）
81．如图，四边形、均为正方形．
(1)如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明．
(2)将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数．
(3)若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）．
82.已知：正方形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上．
(1)如图1，若，，则_______；
(2)如图2，若，点E，F分别是，上的动点，求证：的周长是定值；
(3)如图3，若，和交于点O，且，求的长度；
(4)如图4，若点P为正方形内一点，其中，，，则______．
题型42 面积问题（旋转综合题）
83．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ．
84．如图，中，，，，，D为AB中点．将绕点B旋转一周，设点A、C对应的点分别为、，的面积为S，则S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型43 角度问题（旋转综合题）
85．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上．
(1)求的度数；
(2)求的长；
(3)求的面积．
86．如图，已知，点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，…，连接AA1,AA2,AA3 …，依此作法，则∠A An An+1 度．（用含的代数式表示，为正整数）
题型44 坐标系中的动点问题（不含函数）
87．如图，点为矩形的中心，轴，轴，，则点的坐标为 ；若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即…连接，，点为的中点，当的面积为时，则点坐标为 ．
88．如图，在平面直角坐标系中，，，，，连接，以为边在x轴上方作正方形．
(1)直接写出C，D两点的坐标；
(2)将正方形向右平移t个单位长度，得到正方形．
①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时t的值；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形和三角形重叠的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围．
参考答案
题型1 由一元二次方程的解求参数
1．A
解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程有两个相等实数根，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得，
此时两腰长为3，
∵，
∴满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时是方程的其中一根，
代入得，
∴，
∴求出另外一根：，
∵，
∴不能组成三角形，
综上所述，，
故选：A．
2．（1）解：是等腰三角形，不是等边三角形，证明如下：
∵是关于的一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵方程为一元二次方程，
∴，
∴，
∴不是等边三角形；
（2）解：∵代数式有意义，
∴，，
∴，
∴，
∵为方程的根，
∴，
解得或，
∴或，
当时，，满足三角形三边关系，此时的周长为，
当时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，的周长为．
题型2 一元二次方程的解的估算
3．C
解：通过表格可知，当时，输出值为，
当时，输出值为，
∴当时，．
故选：C．
4．C
解：∵时，；时，，
∴当x在之间取一数值时，，
∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为．
故选：C．
题型3 由一元二次方程的定义求参数
5．2
方程是一元二次方程，
所以且，
解得．
故答案为：2．
6．A
解：由题意可得且，
解得．
故选：A．
题型4 配方法解一元二次方程
7．（1）解：，
∵，
∴，
∴的最小值是．
（2）解：设，则，
由题意，得花园的面积是，
，
，
的最大值是50，此时，，符合题意，
则当时，花园的面积最大，最大面积是．
8．解：乙同学意见正确
证明如下：
，
∵
∴
∴肯定不会等于零
∴可以确定这个方程一定是一元二次方程，
故乙同学意见正确．
题型5 公式法解一元二次方程
9．（1）解：，
，
，
，
，
，．
（2），
，，，
，
，
，．
10．（1）解：把代入，得，
解得或；
当时，方程化为，符合题意；
当时，方程化为，符合题意；
故或．
（2）解：当时，或．
原方程为，或，两个方程均有实数根．
当时，
．方程有实数根．
综上，为任何实数，原方程均有实数根．
（3）解：由（2），当时，方程化为，解得，符合题意；
当时，方程化为，解得，不符合题意．
当时，∵
∴．
即．
若是整数，
则．
∴．
取．
若是整数，
则．
∴．
综上，，原方程至少有一个整数根．
题型6 因式分解法解一元二次方程
11．（1）解：，
，
，
，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
或，
；
（4）解：方程可化为，
，
或，
．
12．（1）解：由题意得：，
，
故一元二次方程是凤凰方程，
故答案为：是；
（2）解：由题意得：，
是关于x的凤凰方程，
，
解得：或．
题型7 —元二次方程的根与系数的关系
13．（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：∵方程的一个实数根为，
∴，
整理得，，
解得或，
当时，方程为，
解得，，
∴方程的另一个实数根为；
当时，方程为，
解得，，
∴方程的另一个实数根为；
综上，另一个实数根为或；
（3）解：由一元二次方程根和系数的关系得，，，
∴，
整理得，，
解得或，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴．
14．（1）证明：
，
∵，
∴，
∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵一元二次方程两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴﹒
题型8 传播问题（一元二次方程的应用）
15．（1）解：设每轮传播中平均一个人传播x个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传播中平均一个人传播个人；
（2）三轮感染后，患病的人数为（人）．
∵，
被感染的人数会超过800人．
答：被感染的人数会超过800人．
16．（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为；
主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为；
主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为；
则填表为：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总数 7 13 21
（2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：；
（3）解：由题意得，，
解得：，（不合题意，舍去）
答：每个支干长出10个小分支．
题型9 增长率问题（一元二次方程的应用）
17．B
解：设月平均增长率为x,则根据题意可得方程为：
．
故选：B．
18．（1）根据题意得，
解得，（舍去）
∴；
（2）①每包降价m元，B种农产品礼包每包利润为（元）；
B种农产品礼包月销售量为包；
②根据题意得，
解得，
∵为了尽快减少库存，
∴．
题型10 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
19．（1）解：设通道的宽度为米，
则，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得，（不合题意，舍去），
答：通道的宽度为米．
20．（1）解：用一张长、宽的矩形纸板，将四个角各剪去一个边长为的正方形，制成一个无盖纸盒，这个无盖纸盒的长为，宽为，
故答案为：，；
（2）解：由题意得，，
解得，舍去，
所以；
（3）解：这个长方体的纸盒的长，宽为，高为，由题意得，
，
解得，
故答案为：（答案不唯一）
题型11 数字问题（元二次方程的应用）
21．8
解：第1个图中棋子的个数为：，
第2个图中棋子的个数为：，
第3个图中棋子的个数为：，
第4个图中棋子的个数为：，
则第个图中棋子的个数为：，
，
解得：，（不合题意，舍去）
第个图中共有个棋子．
故答案为：．
22．
解：设十位上的数字为，的个位上的数字为，可列方程为
，
解得，（舍去），
，
，
故答案为24．
题型12 营销问题（一元二次方程的应用）
23．解：设每件降价x元（），则每天的销量为件，
根据题意得，，
整理得：，
解得：，，
因为要让顾客获得更大实惠，
所以这种玩偶每件应降价4元，
答：这种玩偶每件应降价4元．
24．（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，日销售量为件；
当时，日销售量为件，
因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取，
∴，
答：每件售价应定为50元；
（2）解：设该款小商品的日平均增长率为m，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款小商品的日平均增长率为．
题型13 动态几何问题（一元二次方程的应用）
25．（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，
则，，
根据梯形的面积公式得，
解之得，
答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为；
（2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，
作，垂足为E，则，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
解得（舍去）．
答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是．
26．（1）解：由题意得，
点从点开始沿边向终点以的速度移动，，
故
故答案为：；；
（2）解：由题意得：，
解得，；
当的值为或时，的长度等于；
（3）解：存在的值，能够使得五边形的面积等于．理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
∴，即，
解得，（舍去）．
即当时，五边形的面积等于．
题型14 工程问题（一元二次方程的应用）
27．（1）解：设生产线至少生产口罩小时
解得：
答：生产线至少生产口罩小时.
（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为
解得：
生产时间：
答：设该厂实际每天生产口罩的时间为.
28．（1）设原计划修建滨河步道x千米，
根据题意，得.解这个方程，得.
答：原计划修建滨河步道8千米
（2）根据题意，
一期工程疏通河道里程数：（千米）.
一期工程疏通河道费用：（万元/千米）.
一期工程修建滨河步道费用：（万元/千米）
令，原方程可化为
，
整理这个方程，得.
解这个方程，得，.
∴（舍去），.∴.
答：a的值是28.
题型15 行程问题（一元二次方程的应用）
29．解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，即甲走的步数是，
故答案为：．
30．C
解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米，
根据题意得：，
去分母得：
，
即，
解得：或（舍去），
经检验分式方程的解，且符合题意，
，
则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时，
故选：C．
题型16 图表信息题（一元二次方程的应用）
31．设有人参加这次旅游
∵
∴参加人数
依题意得：
解得：，
当时，，符合题意.
当时，，不符合题意
答：参加旅游的人数40人.
32．（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），
∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），
=a2﹣1﹣（a2﹣49），
=48．
（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），
依题意，得：x（x﹣14）＝435，
解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．
答：设这5个数中最大数为29．
（3）嘉琪的说法不正确．
设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确．
题型17 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
33．B
解：根据题意得：．
故选：B．
34．（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次），
若参加聚会的人数为6，则共握手（次）．
（2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次，
参加聚会的人数为2，则共握手次，
参加聚会的人数为3，则共握手次，
参加聚会的人数为4，则共握手次，
归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次，
若参加聚会的人共握手45次，
则，
解得或（不符合题意，舍去），
答：参加聚会的人数为10人．
（3）解：角的总数不可能是20；理由如下：
若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个，
若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个，
若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个，
归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个，
令，即，
解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去），
所以角的总数不可能为20个．
题型18 二次函数y=ax 的图象和性质
35．
解：∵抛物线皆开口向上，
∴各二次函数中的二次项系数都为正数，
∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，
∴．
故答案为：．
36．D
解：已知抛物线为，
对称轴为，
根据二次函数图象的对称性可知A点的对称点 也在函数图象上，
由各点坐标可知，，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
，
∴，
故选：D．
题型19 二次函数y=a(x- h) +k的图象和性质
37．C
解：抛物线中，
A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意；
B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意；
C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意；
D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意；
故选：C．
38．A
解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
且，即，
∴离直线的距离最远，点离直线最近，
∴．
故选：A．
题型20 y=ax +bx+c的图象与性质
39．C
解：由图像可知：点和点在抛物线的图像上，
∴，
解得：，
∴①错误，②正确，③错误；
由图像可知：当时，，
即当时，，
故④正确；
综上可知：共有2个正确，
故选：C．
40．C
解：∵抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧，
∴，
∴①正确；
由图知：抛物线与轴有两个不同的交点，
∴，
∴
∴②正确；
∵当时，，
∴，
又∵，
∴，
∴③错误；
由图知：时，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴④正确；
∵对称轴
∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
∴，
∴⑤正确；
综上所述：①②④⑤正确，
故选：C．
题型21 二次函数图象与各项系数符号
41．B
解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，代入原解析式得：，
由图象可得：当时，，
即：，
∴，
故①正确；
∵对称轴为直线，当时有最大值，
∴当时的函数值大于或等于时的函数值，
∴，
故②错误；
由题意得：、是一元二次方程的两个根，
从图象上看，由于二次函数具有对称性，、关于直线对称，
∴当且仅当时，存在点和，
当时，满足，
即m的取值范围为，
故③正确；
直线与抛物线两交点横坐标为分别为和，则不等式，
即：的解集为：或，
故④错误；
综上所述，正确的有①③，一共2个，
故选：B．
42．C
解：①点在二次函数图象上，
∴，结论①正确；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，
，
，
∴，结论②错误；
③，
∴，
∴，结论③正确；
④二次函数的图象经过点和，
∴，
∴，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：C．
题型22 一次函数、二次函数图象综合判断
43．B
A、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符；
B、由函数的图象知，由函数的图象知，相符；
C、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符；
D、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符．
故选：B．
44．B
解：∵，y随x的增大而增大，
∴C、D错误；
∵A、B中二次函数开口均向下，
∴，
∴直线与轴交于负半轴，
∴A错误、B正确；
故选：B．
题型23 根据二次函数的图象判断式子符号
45．（1）解：抛物线经过原点，顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向下，
当时，函数有大值；
故答案为：，，大；
（2）解：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过原点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
整理得：；
（3）解：由函数图象可知，当时，函数有最大值，
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：．
46．（1）解：将代入，
得，
解得，
即：抛物线的解析式为：，
∴对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵且对称轴为直线，
∴当时，函数最小值取在当时，为，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
当时，，当时，，
则当时函数的最大值为，
即：，，
；
（3）解：点坐标为，
的解析式为，
，则顶点为，
若，则，若，则，
当时，原点在上方，顶点在线段下方，
要使抛物线与线段只有一个交点，需使得在上方，
，解得；
当时，原点在上方，在下方，
要使抛物线与线段只有一个交点，只需要使得有两个相等的解，
即：有两个相等的解，且该解在0到4之间，
，
，
解得：，
又 ，则，
，
；
综上，抛物线与线段只有一个交点时，或．
题型24 y=ax +bx+c的最值
47．（1）解：把代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：令，则，
点的坐标为，
∴长度为定值，
∴若的周长最小，即最小，
作点关于轴的对称点的坐标为，
连接与轴的交点即为所求的的值最小时的点，
设直线的解析式为，代入和
则，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
解得，
，
则．
48．（1）如图所示，直线，点即为所求；
（2）如图所示，直线即为所求．
题型25 待定系数法求二次函数解析式
49．（1）解：根据二次函数的图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，
将函数与轴正半轴交点的坐标代入得，
解得，
则该二次函数的解析式为．
（2）当时，，
整理得，解得，
∵二次函数中，
∴函数图象开口向上，当时，的取值范围是．
（3）由题意，平移后的函数解析式为，
将点代入得，解得．
50．（1）解：由题意得，该抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，
∴该抛物线与轴的另外一个交点坐标为，即，
把代入中得，解得；
（2）解：由（1）得该抛物线解析式为，
∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴点在抛物线上，即点在平移后的抛物线上．
题型26 线段周长问题（二次函数综合）
51．（1）解：直线中，时，；时，．
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵设点（），则点，，
∴，，
∵，
∴，
解得：或4（与点B重合，舍去），
∴；
（3）解：点N到直线的距离为d，
求d的最大值即为求面积的最大值，
连接，如下图所示，
∵点，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴面积最大为8，
∵，
∴，
解得，
即d的最大值为；
52．（1）解： ，
，
解得，
故抛物线的表达式为：，
当时，，
；
（2）解：，
对称轴为直线，
设，
①当时，如图，
，
解得：，
；
②当时，如图，
，
解得：，，
；
故点D的坐标为或或；
（3）解：过作轴交于，
轴，
，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
，
，
当时，
的最大值是；
，
．
题型27 面积问题（次函数综合）
53．（1）解：，
由于函数经过，
则，
解得：，
故答案为：；
（2）解：作于点，轴于点，
由抛物线解析式得、、，
设，
，，，
；
（3）解：设抛物线的对称轴交轴于，作于点，
设，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
解得（舍），
，，
，
延长至点，连接且满足，设，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
，，
根据勾股定理可得，
在中，，
，，
，
为的中点，
，，
设直线解析式为，
把，代入可得，，
解得，
直线解析式为，
解方程得：，（舍去），
故点．
54．（1）将点，代入
得，，
解得，，
∴二次函数的解析式为；
（2），
由平移规律得平移后的解析式为，
∴顶点为；
（3）当时，，
解得：，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵顶点为，
∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，
∴，
解得，或，
∴或．
题型28 角度问题（二次函数综合)
55．（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线，
设，则，
当为矩形边时，可得或，
当时，则，即，
解得：，
则；
当时，则，即，
解得：，
则；
如图，当为矩形对角线时，
，四边形是矩形，
，
则，即，
解得：或，
则或；
综上：或或或．
（3）解：设直线的解析式为，则，解得：，
故直线的解析式为，
设，
作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示．
根据题意可得，
当时，，，故符合条件．
此时，，
解得：，
∴点的坐标为．
作于点，作点关于点的对称点．如图所示．
此时，则，故点符合条件．
根据题意，
∴，
∵，
∴，
过点作于H，
则，
∴，
∵点关于点N对称，
即点为线段的中点，
∴点的坐标为．
∴点的坐标为或．
56．（1）解：将，代入，得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：对于，令，得，
解得，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图，过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得（舍去）或，
∴当时，，
∴．
题型29 特殊三角形问题（次函数综合）
57．（1）解：把，的坐标代入，得，
解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：（）设，
令，则，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将，的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
，
的面积为，
，
当时，的面积有最大值，最大值为8，
此时，
点E的坐标为；
（）存在，点P的坐标为或．理由如下：
由（）知，，
在中，，
，
，
当时，如图， ，
，
，
解得或3，
；
当时， 过点C作于点H，
则，
，
，
，
，
解得或2，
；
综上所述，点P的坐标为或．
58．（1）解：把，代入，
得，
解得．
∴这个抛物线的解析式为：，
令，则，
解得，，
∴，
∴；
（2）解：∵抛物线的解析式为；
∴对称轴为，
设，
∵轴，
∴，
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的周长
∵
∴当时，四边形的周长最大，则，
∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为；
（3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，
∴，
由翻折得，
∵．
∴，
∴，
∵对称轴于H，
∴轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为：，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：
∴，
设，
∴，，，
分两种情况：
①当时，，
∴
解得：，
∴；
②当时，，
∴
解得：，
∴点的坐标为；
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
题型30 特殊四边形（二次函数综合）
59．（1）解：过C作轴于K，如图：
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
把代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，此时直线L恰好将的面积分为相等的两部分，如图：
设直线L为，
由，可得，
，
设直线为，
将，代入，
得，
解得，
直线解析式为，
，
设直线为，
将，代入，
得,
解得，
直线解析式为，
，
，
，
，
解得（此时直线L在C右侧，舍去）或，
∴当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分；
（3）解：存在点P，使四边形为平行四边形，
理由如下：
设P的横坐标为t，
∵四边形为平行四边形，
的中点即为的中点，
，，，
，
解得，
此时，
，
经检验，符合题意；
∴P点坐标为．
60．（1）对于直线，当时，，解得，
；
当时，，
，
把得：
，
将代入，
得，解得，
抛物线解析式为；
（2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，把代入得，
．
点的坐标为，
．
将代入，
，
面积的最大值最大值是4；
（3）①抛物线，令，即，
解得，
．
，
的面积是面积的一半，
，
过点作轴交x轴于点H，设H点的横坐标为n，
H点坐标为，，
代入化简解得，
代入抛物线得，
；
②由题意，
当是对角线时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
当是平行四边形的边时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
解得
的值是或．
题型31 抛物线与x轴的交点问题
61．C
解：，
∴它的对称轴是直线，故①正确；
∵对称轴两侧的增减性不一样，
∴设，则当时，有，故②错误；
当，则，解得：，故它的图象与x轴的两个交点是和，故③正确；
∵，
∴抛物线开口向下，
∵它的图象与x轴的两个交点是和，
∴当时，，故④正确．
∴正确的结论的个数为3，
故选：C．
62．A
解：关于的方程的根的情况，可以看作是二次函数的图像与直线交点情况，如图所示：
即二次函数的图像与直线有两个交点，
关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
题型32 求x轴与抛物线的截线长
63．①③④
解：抛物线开口向下，
.
抛物线交轴的正半轴，
.
抛物线的对称轴在轴的左侧，
,
,
，故①正确；
方程，
.
由图象可知，当时，
直线与抛物线在顶点以下有两个交点，顶点时只有一个交点，顶点以上没有交点，
关于x的方程必有两个不相等的实数根不一定成立，
故②错误；
函数的图象过点和，
，，
，，
，
，
，
，故③正确；
对于二次函数，
其判别式，由求根公式可得,
,
已知两根为，，
由图象可知，
则
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确.
综上所述，正确的结论有：①③④.
故答案为：①③④.
64．
解：∵抛物线与轴交于点，
∴
解得：，；
∴，
∴
故答案为：
题型33 图形问题（实际问题与二次函数）
65．（1）解：矩形这块菜地的面积不能为225平方米．理由如下：
米，
米，依题意得，
，
解得，，
当时，，
墙长为40米，
不符合题意，舍去，
的值为15．
（2）解：设矩形的面积为平方米，则，
，
当，时，的最大值为300平方米，
矩形的最大面积是300平方米．
66．（1）解：由可知边所用篱笆为，
，
，
墙的长度不超过，
，
；
（2）解：在中，
令，则，
解得（不合题意，舍去），
，
当为为时，矩形场地的面积为；
题型34 图形运动问题（实际问题与二次函数）
67．（1）证明：过E作，交于M，交于N，则，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
；
（2）解：在中，由勾股定理得：，
E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，
，，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
当时，y有最大值是；即面积的最大值是．
68．（1）解：∵，点从点开始沿边向终点以的速度移动，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，，，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
∴当秒时,的长度等于；
（3）解：①根据题意得，，，，，，，
∴
，
故答案为：；
②由①可知，，
∵，
∴当秒时，取得最小值，最小值为，
故答案为：2，48．
题型35 拱桥问题（实际问题与二次函数）
69．（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得，
船的宽度须不超过米．
70．（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为，
由题意得，，，
∴，解得，
∴桥拱所在抛物线的解析式为，
∵，，
∴（米），
∴（米），
答：的长为米；
（2）解：∵，米，
∴（米），
∴（米），
答：的宽为米；
（3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由，
当时，，
∵，
∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过．
题型36 销售问题（实际问题与二次函数）
71.（1）解：设售价上涨元，则售价为，销量为，
由题意可得：利润： ；
（2）解：，
∵，
∴当时，由最大值为，此时售价为元
故当售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元．
72．（1）解：由图像可知，当甲种水果质量千克时，费用保持不变，为元千克，
所以函数关系式为：，
当甲种水果质量千克时，函数图像为直线，
设函数关系式为：，
将，和，分别代入函数关系式得：
，
解得：，
，
当时，与的函数关系式应为：
．
（2）解：设甲种水果的质量为千克 ，则乙种水果的质量为千克，
乙种水果的质量不低于甲种水果质量的倍，
，
解得：，
的范围为：，
当时， ，
此时当最小时，最小，
即当时，有最小值元，
当时， ，
此时当时，离对称轴最远，最小，
即当时，有最小值 元，
，
当时总费用最少，为元，此时千克
故购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元．
题型37 投球问题（实际问题与二次函数）
73．（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点代入，得，
解得 ，
，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为，
将点代入，得，
解得（不合题意，舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处射进球门．
74．（1）解：令，代入得
，
将化为顶点式得
，
∴ 篮球飞行的最大高度是．
故答案依次为：；．
（2）解：当时，
∵ ，
∴ 他在原地不能接到球．
令，则，
两边同乘得：，
，
，
解得，，
∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球．
题型38 喷水问题（实际问题与二次函数）
75．18
解：将代入，得到，
解得，或（舍）
，
，
从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
，
，
故答案为：18．
76．（1）解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
解得或，
结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为．
题型39 增长率问题（实际问题与二次函数）
77．D
解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作，
第二天销售额为万元，第三天销售额为万元．
根据题意得：．
故选：D．
78．A
解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为，
，
故选：A．
题型40坐标与旋转规律问题
79．
解：由题知，
因为四边形是正方形，且点A坐标为，
所以点B的坐标为，且正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为，
所以点的坐标为
依次类推，点，，，，，，，，…，
由此可见，从点开始，每经过8次旋转，点B对应点的坐标循环一次．
因为余1，
所以点的坐标为
故答案为：
80．
解：观察图形结合翻转的方法可以得出、的横坐标是，的横坐标是，
、的横坐标是，的横坐标是…
∴可以看作3个点一组循环，其中前两个点的横坐标相等，且等于每一组中第一个点下标，第三个点的横坐标为前两个点的横坐标加，
∵，
∴点，的横坐标为2011，，
∴点的横坐标为．
故答案为：．
题型41 线段问题（旋转综合题）
81．（1）解：，．
证明：延长交于点，
∵四边形、均为正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过作，，垂足分别为、，设交于点，
∴，
∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴；
（3）∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形，
当正方形在初始位置时，最大，如图，
∵四边形、均为正方形，，，
∴，，，
此时；
当点在线段上时，DG最小，如图，
∵四边形、均为正方形，，，
∴，，，
∴
此时；
综上所述，在这个旋转过程中线段长度的最大值为，最小值为．
故答案为：；．
82．（1）解：如图1，∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：如图2：延长到点K，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即的周长为40．
（3）解：如图3：过点D作，交于点L，作，交于点M，连接，
∵，
∴四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
∴，，，
∴；
由（2）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得∶，
∴，
∵，
∴，
∴．
（4）解：如图，将绕点B顺时针方向旋转得，且．
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
在中，，
∴
∴
∴
题型42 面积问题（旋转综合题）
83．1
解：如图，过点E作于点P，于点Q，
则，
∵点E是正方形的中心，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
84．A
解：过点D作所在的直线，如图，有，，
即，
①当两点重合时，取得最小值，如图
∴，
∴，
②当在同一直线上时，取得最大值，此时两点重合，如图
∴，
∴，
综上所述，．
故选A．
题型43 角度问题（旋转综合题）
85．（1）解：正方形，
，
将绕点顺时针旋转至处，
，且旋转角度为，
，，
是等腰直角三角形，
，
点、、三点正好在同一直线上，
；
（2）解：，，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
（3）解：是等腰直角三角形，，
，
，
，
过点作于点，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
86．
解：点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，
，
，
点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，
，
，
点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，
，
，
，
．
故答案为：．
题型44 坐标系中的动点问题（不含函数）
87． ； 或．
解：，，
，
，的面积为，
点到的距离是，
，
，，
当时，在y轴的左侧，
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：，
，，
是的中点，
；
当时，在轴的右侧，
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：，
，，
是的中点，
；
综上所述：点坐标为或
88．（1）解：∵点，点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴点，点；
（2）解：如图，
∵，，将正方形向右平移个单位长度，
∴，
连接，
∴，
则，
∴；
如图，
∵将正方形向右平移t个单位长度，
∴，
∵区域W内恰有3个整点，
∴或，
∴或．
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